04 重点强化练（四）利用导数研究函数的图象和性质（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦导数研究函数性质，通过17道梯度题构建从基础应用到创新拓展的训练体系，强化数学思维的推理能力与知识逻辑的系统性。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|8选择+3填空|直接考查极值点、单调性、切线方程|从导数几何意义到函数性质（单调性→极值）的概念生成链| |综合应用|3多选+3解答|参数讨论、多函数零点综合|通过导数符号分析构建函数性质与方程、不等式的推导关系| |创新拓展|第7题新定义“相似”函数|结合新情境考查极值点分布规律|体现数学语言表达现实问题的应用意识，深化知识迁移能力|

重点强化练(四)利用导数研究函数的图象和性质 1.A　[解析] 由题得f'(x)=x2-2ax=x(x-2a),因为函数f(x)在x=-4处取得极大值,所以f'(-4)=4(4+2a)=0,解得a=-2.当a=-2时,f'(x)=x(x+4).令f'(x)>0,得x>0或x<-4;令f'(x)<0,得-4<x<0.所以函数f(x)在(-∞,-4),(0,+∞)上单调递增,在(-4,0)上单调递减,所以f(x)在x=-4处取得极大值,满足题意.故选A. 2.D　[解析] 根据导函数的图象可知,当x∈(-∞,-3)时,f'(x)<0,当x∈(-3,1)时,f'(x)≥0,所以函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,则-3是函数y=f(x)的极值点,但-3不一定是函数y=f(x)的零点.因为函数y=f(x)在(-3,-1)上单调递增,所以-1不是函数y=f(x)的极小值点,-2也不是函数y=f(x)的极大值点.故选D. 3.D　[解析] 设正四棱锥的底面边长为a(a>0),则正四棱锥的高h==,由h>0,得0<a<3,所以正四棱锥的体积V=a2h=.设f(a)=27a4-a6,a∈(0,3),则f'(a)=108a3-3a5=3a3(6+a)(6-a).当0<a<6时,f'(a)>0,所以f(a)在(0,6)上单调递增;当6<a<3时,f'(a)<0,所以f(a)在(6,3)上单调递减.所以当a=6时,f(a)取得极大值,即最大值,此时正四棱锥的体积最大,它的高h==3. 4.B　[解析] 由题图知,x=1是函数f(x)的极小值点,f'(x)=ex(ax-1+a),则f'(1)=e(2a-1)=0,解得a=.当x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0.则x=1是函数f(x)的极小值点,所以a=符合题意.因为f'(x)=ex,f(x)=ex,所以不等式f(x)f'(x)<0可化为e2x(x-1)(x-2)<0,解得1<x<2,所以不等式f(x)f'(x)<0的解集为(1,2).故选B. 5.C　[解析] 当x≥2时,f(x)=,则f'(x)=.当2≤x<e时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当x>e时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减.则函数f(x)在x=e处取得极大值,且极大值为f(e)=.因为函数f(x)=有最大值,所以解得0≤k≤,所以实数k的最大值为.故选C. 6.B　[解析] 因为a==>0,b=>0,c=>0,所以ln a=,ln b=,ln c=.设函数f(x)=,则f'(x)=.当x∈[e,+∞)时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,所以f(4)<f(3)<f(e),所以ln a<ln c<ln b,所以a<c<b.故选B. 7.C　[解析] 由题可得f'(x)=ex-ex+2x-2,则f'(1)=0.令f'(x)=0,则ex=(e-2)x+2,如图,作出函数y=ex和y=(e-2)x+2的图象. 由图可知,函数y=ex,y=(e-2)x+2的图象有两个交点,即函数y=f'(x)有两个零点1,x0,且x0<0.令f'(x)>0,则x>1或x<x0;令f'(x)<0,则x0<x<1.所以f(x)在(-∞,x0),(1,+∞)上单调递增,在(x0,1)上单调递减,所以f(x)的极大值点为x0,极小值点为1.对于A,函数y=x2在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以函数y=x2有极小值点,无极大值点,故A不符合题意;对于B,函数y=-x2在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以函数y=-x2有极大值点,无极小值点,故B不符合题意;对于C,y'=3x2-3,当x<-1或x>1时,y'=3x2-3>0,当-1<x<1时,y'=3x2-3<0,所以函数y=x3-3x的极大值点为-1,极小值点为1,故C符合题意;对于D,y=-x3+3x=-(x3-3x),则函数y=-x3+3x的极小值点为-1,极大值点为1,故D不符合题意.故选C. 8.C　[解析] x(1+ln x)=xln y-ay可化为a=--ln.令t=,则t>0.令f(t)=-t-tln t,则f'(t)=-2-ln t,令f'(t)=0,可得t=.当0<t<时,f'(t)>0,当t>时,f'(t)<0.所以函数f(t)在上单调递增,在上单调递减,则f(t)≤f=-+=,所以实数a的取值范围为.故选C. 9.BC　[解析] 对于A,令f(x)=(x+1)2(x-2)=0,解得x=-1或x=2,所以f(x)有两个零点,故A错误;对于B,由题得f'(x)=2(x+1)(x-2)+(x+1)2=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,解得x=-1或x=1,当x<-1或x>1时,f'(x)>0,即f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,当-1<x<1时,f'(x)<0,即f(x)在(-1,1)上单调递减,所以x=1是f(x)的极小值点,故B正确;对于C,因为 f(-x)+f(x)=(-x+1)2(-x-2)+(x+1)2(x-2)=-4,所以f(x)的图象关于点(0,-2)中心对称,故C正确;对于D,当x∈(-1,1)时,f(x)单调递减,则当0<x<1时,f(x)单调递减,又当0<x<1时,x>x2,所以f(x)<f(x2),故D错误.故选BC. 10.ABC　[解析] 由题得f'(x)=2ae2x+bex+c(a≠0),则关于x的方程2ae2x+bex+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根.设t=ex(t>0),则关于t的方程2at2+bt+c=0(a≠0)有两个不相等的正实数根,记为t1,t2,所以即由ab<0,ac>0,得bc<0.综上可知A,B,C正确,D错误.故选ABC. 11.BD　[解析] 因为x1,x2分别是函数f(x),g(x)的零点,所以+x1-a=0,ln x2+x2-a=0,所以+ln x2-a=0,所以f(x1)=f(ln x2),易知f(x)为增函数,所以x1=ln x2,所以x1+x2=x2+ln x2=a>0,故A错误;因为x1=ln x2,所以x1x2=x2ln x2,令h(x)=xln x,x>0,则h'(x)=ln x+1,令h'(x)=ln x+1<0,得0<x<,令h'(x)=ln x+1>0,得x>,则h(x)在上单调递减,在上单调递增,所以h(x)≥h=-,所以x1x2≥-,故B正确;当a∈(1,2)时,由g(1)=1-a<0知ln x2>0,又x1=ln x2<x2,所以x1ln x2+x2ln x1<x2ln x2+x2ln x1=x2ln(x1x2)<x2ln=2x2ln<0,故C错误;由基本不等式得+>2·=2=2aa,结合B选项得aa=ealn a≥,所以+>2,故D正确.故选BD. 12.(-2,-1)　[解析] 由f(x)=x(ln x+a),可得f'(x)=ln x+a+1,因为f(x)=x(ln x+a)在[1,e]上不单调,所以f'(x)=0在(1,e)上有解,即存在x∈(1,e),使得a=-ln x-1,因为y=-ln x-1在(1,e)上单调递减,所以-2<a<-1,所以实数a的取值范围是(-2,-1). 13.y=x或y=x [解析] 设切点为(t,(t+1)et),对函数y=(x+1)ex求导得y'=(x+2)ex,则切线的斜率k=(t+2)et.因为切线过原点,所以=(t+2)et,整理得t2+2t=t+1,即t2+t-1=0,解得t=.当t=时,切线的斜率k1=,此时切线方程为y=x;当t=时,切线的斜率k2=,此时切线方程为y=x.故所求切线方程为y=x或y=x. 14.-　[解析] 由题得f'(x)=+a.当a≥0时,f'(x)>0恒成立,则f(x)在定义域上单调递增,则f(x)不存在最大值.当a<0时,由f'(x)>0得0<x<-,由f'(x)<0得x>-,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)在x=-处取得最大值,即f(x)max=f=ln-1=b,所以ab=aln-a(a<0).令g(x)=xln-x(x<0),则g'(x)=ln-2.令g'(x)>0,得-<x<0;令g'(x)<0,得x<-.所以g(x)在上单调递减,在上单调递增,所以g(x)在x=-处取得最小值.综上可得,a=-. 15.解:(1)当a=-1时,函数f(x)=2x-ln(x+1),其定义域为(-1,+∞),则f'(x)=2-=. 令f'(x)=0,得x=-. 当x∈时,f'(x)<0,则f(x)在上单调递减; 当x∈时,f'(x)>0,则f(x)在上单调递增. 所以函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为. (2)由函数f(x)=2x-ln(x-a),可得f(x)的定义域为(a,+∞), 则f'(x)=2-==2·.因为+a>a, 所以当x∈时,f'(x)<0,则f(x)在上单调递减,当x∈时,f'(x)>0,则f(x)在上单调递增,所以f(x)在x=+a处取得极小值,且极小值为f=1+2a+ln 2,也是最小值. 要使得f(x)≥0恒成立,需使1+2a+ln 2≥0,解得a≥, 所以实数a的取值范围为. 16.解:(1)由题得,g(x)=(ex-1)cos x-sin x,x∈(0,2π), 则g'(x)=excos x-(ex-1)sin x-cos x=(ex-1)(cos x-sin x). 当0<x<2π时,ex>1, 所以ex-1>0. 令g'(x)>0,则cos x>sin x, 得0<x<或<x<2π; 令g'(x)<0,则cos x<sin x, 得<x<. 所以g(x)在和上单调递增,在上单调递减. (2)由h(x)=ex-a-xcos x, 得h'(x)=ex-cos x+xsin x,x∈[0,2π]. 令φ(x)=ex-(x+1),x∈[0,2π],则φ'(x)=ex-1≥0, 所以当x∈[0,2π]时,φ(x)单调递增,又φ(0)=0,所以φ(x)≥0,即ex≥x+1, 则当x∈[0,2π]时,h'(x)=ex-cos x+xsin x≥x+1-cos x+xsin x=x(1+sin x)+(1-cos x)≥0, 所以h(x)在[0,2π]上单调递增,h(0)=1-a,h(2π)=e2π-2π-a, 由题意得,1-a≤0≤e2π-2π-a,解得1≤a≤e2π-2π, 所以实数a的最小值为1. 17.解:(1)因为f(x)=x-x3eax+b,所以f'(x)=1-(3x2+ax3)eax+b, 因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1, 所以f(1)=-1+1=0,f'(1)=-1, 则解得 (2)由(1)得g(x)=f'(x)=1-(3x2-x3)e-x+1(x∈R), 则g'(x)=-x(x2-6x+6)e-x+1,令x2-6x+6=0,解得x=3±, 不妨设x1=3-,x2=3+,则0<x1<x2. 易知e-x+1>0恒成立,所以令g'(x)<0,解得0<x<x1或x>x2,令g'(x)>0,解得x<0或x1<x<x2,所以g(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(-∞,0),(x1,x2)上单调递增,即g(x)的单调递减区间为(0,3-)和(3+,+∞),单调递增区间为(-∞,0)和(3-,3+). (3)因为f(x)=x-x3e-x+1(x∈R),所以f'(x)=1-(3x2-x3)e-x+1, 由(2)知f'(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(-∞,0),(x1,x2)上单调递增. 当x∈(-∞,0)时,f'(x)单调递增,因为f'(-1)=1-4e2<0,f'(0)=1>0,即f'(-1)f'(0)<0,所以f'(x)在(-∞,0)上存在唯一零点,不妨设为x3,则-1<x3<0, 此时,当x<x3时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,当x3<x<0时,f'(x)>0,则f(x)单调递增, 所以f(x)在(-∞,0)上有一个极小值点; 当x∈(0,x1)时,f'(x)单调递减,因为f'(x1)=f'(3-)<f'(1)=1-2<0,即f'(0)f'(x1)<0,所以f'(x)在(0,x1)上存在唯一零点,不妨设为x4,则0<x4<x1, 此时,当0<x<x4时,f'(x)>0,则f(x)单调递增,当x4<x<x1时,f'(x)<0,则f(x)单调递减, 所以f(x)在(0,x1)上有一个极大值点; 当x∈(x1,x2)时,f'(x)单调递增,因为f'(x2)=f'(3+)>f'(3)=1>0,即f'(x1)f'(x2)<0,所以f'(x)在(x1,x2)上存在唯一零点,不妨设为x5,则x1<x5<x2, 此时,当x1<x<x5时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,当x5<x<x2时,f'(x)>0,则f(x)单调递增,所以f(x)在(x1,x2)上有一个极小值点; 当x>x2=3+>3时,3x2-x3=x2(3-x)<0, 所以f'(x)=1-(3x2-x3)e-x+1>0,则f(x)单调递增, 所以f(x)在(x2,+∞)上无极值点. 综上,f(x)共有3个极值点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(四)用导数研究函数的图象和性质 一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.[2025·河南开封模拟] 若函数f(x)=x3-ax2+1在x=-4处取得极大值,则实数a= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则 (　 ) A.-3是函数y=f(x)的一个零点 B.-1是函数y=f(x)的极小值点 C.-2是函数y=f(x)的极大值点 D.函数y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增 3.已知正四棱锥的侧棱长为3,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 (　 ) A.1 B. C.2 D.3 4.[2025·陕西渭南二模] 已知函数f(x)=ex(ax-1)的大致图象如图所示,则不等式f(x)f'(x)<0的解集为 (　 ) A.(-2,-1) B.(1,2) C. D.(2,+∞) 5.[2025·苏北七市二调] 若函数f(x)=有最大值,则k的最大值为 (　 ) A. B. C. D. 6.[2026·重庆八中月考] 若a=,b=,c=,则 (　 ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<b<a 7.[2025·南昌一模] 我们约定:若两个函数的极值点个数相同,并且图象从左到右看,极大值点和极小值点分布的顺序相同,则称这两个函数的图象“相似”.已知f(x)=ex-ex2+(x-1)2,则下列给出的函数中,其图象与y=f(x)的图象“相似”的是 (　 ) A.y=x2 B.y=-x2 C.y=x3-3x D.y=-x3+3x 8.若存在两个正实数x,y使得等式x(1+ln x)=xln y-ay成立(其中ln x,ln y是以e为底的对数),则实数a的取值范围为 (　 ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.已知函数f(x)=(x+1)2(x-2),则 (　 ) A.f(x)有三个零点 B.x=1是f(x)的极小值点 C.f(x)的图象关于点(0,-2)中心对称 D.当0<x<1时,f(x)>f(x2) 10.若函数f(x)=ae2x+bex+cx(a≠0)既有极大值也有极小值,则 (　 ) A.ab<0 B.ac>0 C.b2-8ac>0 D.bc>0 11.已知a>0,记函数f(x)=ex+x-a与g(x)=ln x+x-a的零点分别为x1,x2,则 (　 ) A.x1+x2=0 B.x1x2≥- C.当a∈(1,2)时,x1ln x2+x2ln x1>0 D.+>2 三、填空题:本题共3小题. 12.[2025·江苏苏州三模] 若f(x)=x(ln x+a)在[1,e]上不单调,则实数a的取值范围是　　　　.  13.[2026·东北三省一区八校联考] 函数y=(x+1)ex的图象过原点的切线方程为　　　　.  14.[2025·十堰5月模拟] 若函数f(x)=ln x+ax在定义域(0,+∞)上的最大值为b,则当ab取得最小值时,a=　　　　.  四、解答题:本题共3小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.[2025·河北邯郸一模] 设函数f(x)=2x-ln(x-a),a∈R. (1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间; (2)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围. 16.[2025·安徽蚌埠三模] 已知函数f(x)=ex-a. (1)若a=1,g(x)=f(x)·cos x-sin x,讨论函数g(x)在(0,2π)上的单调性; (2)若h(x)=f(x)-xcos x在[0,2π]上有唯一的零点,求实数a的最小值. 17.[2023·北京卷] 设函数f(x)=x-x3eax+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1. (1)求a,b的值; (2)设函数g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间; (3)求f(x)的极值点个数. 学科网（北京）股份有限公司 $