第三章 第6节 导数与函数的极值 练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数与函数极值的系统性突破，通过梯度题型构建"求导-判号-极值分析"的完整方法链，强化数学思维的逻辑性与严谨性。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|12题|导数符号分析、极值点判定、参数范围讨论|从导数几何意义到极值存在条件，构建"概念-判定-应用"递进逻辑| |解答题|2题|分类讨论、构造函数、极值与参数关系|整合导数应用与函数性质，形成综合问题的解题范式|

第6节　导数与函数的极值 一、单选题 1.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数y＝(1－x)f'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 2.函数f(x)＝x3＋x2－3x－1的极小值点是(　　) A.1 B. C.－3 D.(－3，8) 3.函数f(x)＝(x－ln x)(ln x－2)的极小值和极大值分别为(　　) A.1－e，－(2－ln 2)2 B.e－1，－(ln 2)2 C.e－1，2－ln 2 D.－e，－ln 2 4.已知函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是(　　) A.[0，1] 　　　　B.(－∞，0]∪[1，＋∞) C.[0，2] 　　　　D.(－∞，0]∪[2，＋∞) 5.(2026·江西省重点高中联考)已知x＝2是函数f(x)＝x2＋aln x的极值点，则a＝(　　) A.8 B.4 C.－4 D.－8 6.已知函数f(x)＝xln x－ax有极值－e，则a等于(　　) A.1 B.2 C.e D.3 7.(2026·威海模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 二、多选题 8.(2025·新高考Ⅱ卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝(x2－3)ex＋2，则(　　) A.f(0)＝0 B.当x<0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2 C.f(x)≥2当且仅当x≥ D.x＝－1是f(x)的极大值点 9.(2026·运城调研)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则下面结论正确的为(　　) A.a＝－1 B.f(x)的单调递增区间为(－2，1) C.f(x)的极小值为1 D.f(x)的极大值为5e－3 三、填空题 10.函数f(x)＝2x－xln x的极值是　　　　.  11.(2025·新高考Ⅱ卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝　　　　.  12.若函数f(x)＝x2－x＋aln x在(1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为　　　　.  四、解答题 13.已知函数f(x)＝＋x(a∈R). (1)若f'(0)＝0，求实数a的值; (2)讨论函数f(x)的极值. 14.(2024·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程; (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 第6节　导数与函数的极值 一、单选题 1.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数y＝(1－x)f'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 答案　D 解析　由题图可知，当x<－2时，f'(x)>0; 当－2<x<1时，f'(x)<0; 当1<x<2时，f'(x)<0; 当x>2时，f'(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值， 在x＝2处取得极小值. 2.函数f(x)＝x3＋x2－3x－1的极小值点是(　　) A.1 B. C.－3 D.(－3，8) 答案　A 解析　f'(x)＝x2＋2x－3，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3或x＝1， 所以函数f(x)＝x3＋x2－3x－1在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，在(－3，1)上单调递减， 故f(x)在x＝1处有极小值，极小值点为1. 3.函数f(x)＝(x－ln x)(ln x－2)的极小值和极大值分别为(　　) A.1－e，－(2－ln 2)2 B.e－1，－(ln 2)2 C.e－1，2－ln 2 D.－e，－ln 2 答案　A 解析　f'(x)＝， 则f(x)在(0，2)，(e，＋∞)上单调递增， 在(2，e)上单调递减，故f(x)的极大值为f(2)＝－(2－ln 2)2，极小值为f(e)＝1－e. 4.已知函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是(　　) A.[0，1] 　　　　B.(－∞，0]∪[1，＋∞) C.[0，2] 　　　　D.(－∞，0]∪[2，＋∞) 答案　C 解析　由f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1， 得f'(x)＝x2＋2(a－1)x＋1. 根据题意得[2(a－1)]2－4≤0， 解得0≤a≤2. 5.(2026·江西省重点高中联考)已知x＝2是函数f(x)＝x2＋aln x的极值点，则a＝(　　) A.8 B.4 C.－4 D.－8 答案　D 解析　由题设知f'(x)＝2x＋， 令f'(2)＝4＋＝0，可得a＝－8， 此时f'(x)＝2x－，x>0， 所以0<x<2时，f'(x)<0，x>2时，f'(x)>0， 所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 故x＝2是f(x)的极小值点，符合题意. 故a＝－8.故选D. 6.已知函数f(x)＝xln x－ax有极值－e，则a等于(　　) A.1 B.2 C.e D.3 答案　B 解析　由题目条件可得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝ln x＋1－a. 令f'(x)>0，得x>ea－1; 令f'(x)<0，得0<x<ea－1. 所以函数f(x)在区间(0，ea－1)上单调递减，在区间(ea－1，＋∞)上单调递增， 则函数f(x)的极小值点是ea－1，无极大值点， 故f(ea－1)＝ea－1ln ea－1－aea－1＝－e， 解得a＝2. 7.(2026·威海模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由f(x)＝ex－ax2－2ax， 得f'(x)＝ex－2ax－2a. 因为函数f(x)＝e2－ax2－2ax有两个极值点， 所以f'(x)＝ex－2ax－2a有两个变号零点， 令f'(x)＝0，得， 设g(x)＝，y＝; 则g'(x)＝－， 令g'(x)＝0，即－＝0，解得x＝0， 当x>0时，g'(x)<0; 当x<0时，g'(x)>0， 所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减. 当x→－∞时， g(x)→－∞; 当x→＋∞时，g(x)→0. 分别作出函数g(x)＝与y＝的图象，如图所示， 由图可知，0<<1，解得a>， 所以实数a的取值范围为. 二、多选题 8.(2025·新高考Ⅱ卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝(x2－3)ex＋2，则(　　) A.f(0)＝0 B.当x<0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2 C.f(x)≥2当且仅当x≥ D.x＝－1是f(x)的极大值点 答案　ABD 解析　根据奇函数的定义有f(0)＝0，A正确; 当x<0时，－x>0， 所以f(x)＝－f(－x)＝－[(x2－3)e－x＋2] ＝－(x2－3)e－x－2，B正确; 当x>0时，f'(x)＝(x2＋2x－3)ex＝(x－1)·(x＋3)ex， 所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以x＝1是极小值点，f(1)＝2－2e， 因为函数f(x)是奇函数，所以x＝－1是极大值点，D正确; 极大值f(－1)＝2e－2>2＝f()，而－1<， C错误. 9.(2026·运城调研)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则下面结论正确的为(　　) A.a＝－1 B.f(x)的单调递增区间为(－2，1) C.f(x)的极小值为1 D.f(x)的极大值为5e－3 答案　AD 解析　由题可得f'(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，x∈R， 因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点， 所以f'(－2)＝0，则4－2(a＋2)＋a－1＝0， 解得a＝－1， 故f(x)＝(x2－x－1)ex－1， f'(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝(x－1)(x＋2)ex－1， 当x<－2或x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增; 当－2<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减; 故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)， 单调递减区间为(－2，1)，故A正确，B错误; 由上可知，f(x)的极大值为f(－2)＝5e－3，极小值为f(1)＝－1，故C错误，D正确. 三、填空题 10.函数f(x)＝2x－xln x的极值是　　　　.  答案　e 解析　因为f'(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x， 令f'(x)>0，解得0<x<e; 令f'(x)<0，解得x>e， 则f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以x＝e时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e. 11.(2025·新高考Ⅱ卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝　　　　.  答案　－4 解析　由题意得 f(x)＝x3－(3＋a)x2＋(3a＋2)x－2a， 所以f'(x)＝3x2－2(3＋a)x＋3a＋2， 因为x＝2是函数f(x)的极值点， 所以f'(2)＝0， 即3×22－2×2(3＋a)＋3a＋2＝0， 解得a＝2，经检验，满足题意， 所以f(x)＝(x－1)(x－2)2， 所以f(0)＝－4. 12.若函数f(x)＝x2－x＋aln x在(1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　(－∞，－1) 解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝2x－1＋， 由题意知2x2－x＋a＝0在(1，＋∞)上有解， 相应二次函数的对称轴为直线x＝， 所以2×12－1＋a<0，解得a<－1， 所以a∈(－∞，－1). 四、解答题 13.已知函数f(x)＝＋x(a∈R). (1)若f'(0)＝0，求实数a的值; (2)讨论函数f(x)的极值. 解　(1)由函数f(x)＝＋x， 可得f'(x)＝1－， 所以f'(0)＝＝1－a＝0，解得a＝1. (2)函数f(x)＝＋x的定义域为R， 且f'(x)＝1－， 当a≤0时，f'(x)>0恒成立， 所以f(x)在R上单调递增，f(x)无极值; 当a>0时，令f'(x)>0，解得x>ln a; 令f'(x)<0，解得x<ln a， 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， 所以f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值. 综上所述，当a≤0时，f(x)无极值; 当a>0时，f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值. 14.(2024·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程; (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，则f'(x)＝ex－1， 则f'(1)＝e－1. f(1)＝e－2，所以切点坐标为(1，e－2)， 所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)， 即(e－1)x－y－1＝0. (2)易知函数f(x)的定义域为R， f'(x)＝ex－a. 当a≤0时，f'(x)>0，函数f(x)在R上单调递增，无极值; 当a>0时，由f'(x)>0，得x>ln a，由f'(x)<0，得x<ln a， 所以函数f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递减， 在区间(ln a，＋∞)上单调递增， 所以f(x)的极小值为f(ln a)＝a－aln a－a3. 由题意知a－aln a－a3<0(a>0)， 等价于1－ln a－a2<0(a>0). 令g(a)＝1－ln a－a2(a>0)， 则g'(a)＝－－2a<0， 所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减， 又g(1)＝0，故当0<a<1时，g(a)>0; 当a>1时，g(a)<0. 故实数a的取值范围为(1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $