03 重点强化练（三）函数零点问题（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦函数零点判定、个数与综合应用，通过梯度化题型构建从基础到创新的训练体系，强化数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|3题（1,3,4）|零点区间/个数/定义辨析|从零点定义出发，结合存在性定理与函数单调性构建判定逻辑| |综合应用|6题（2,5,6,9,10,12）|参数零点/复合函数/性质综合|通过方程与函数转化，关联函数性质（奇偶性、周期性）形成解题链条| |创新拓展|5题（7,8,11,13,14）|图像交点/跨模块综合|以实际问题为载体，融合导数、对数函数等知识，发展数学应用意识|

重点强化练(三)函数零点问题 一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.已知函数f(x)=ln x+x-,则f(x)的零点所在的区间为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.(1,2) C.(2,e) D.(e,3) 2.已知a,b,c均大于1,且满足=2+log2a,=3+log3b,=4+log4c,则下列不等式成立的是 (　 ) A.c<b<a B.a<b<c C.a<c<b D.c<a<b 3.函数f(x)=ln+x-1的所有零点之和为 (　 ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.函数f(x)=的零点是 (　 ) A.(-1,0),(9,0) B.-1,9 C.(9,0) D.9 5.已知函数f(x)=若方程[f(x)]2-(m+1)f(x)+m=0有5个不同的实数根,则实数m的取值范围为 (　 ) A.(0,1)∪(1,3) B.(0,1) C.[0,1) D.(1,3) 6.当a≥e时,函数f(x)=ex+x+ln x-ln a-,x∈[1,+∞)的零点的个数为 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 7.若不等式(|x-a|-b)sin≤0,x∈[-1,1]恒成立,则2a+b= (　 ) A. B. C. D.2 8.[2025·浙江北斗星盟模拟] 定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f=-f(x),f=-f(2x),当x∈[1,2]时,f(x)=(x-1)(x-2),则函数y=f(x)+在区间[1,100]内的零点个数为 (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.[2026·贵阳模拟] 若函数y=f(x)-cos x的零点个数为偶数,则f(x)的解析式可以是 (　 ) A.f(x)=x2 B.f(x)=ex+e-x C.f(x)=cos 2x D.f(x)=ln|x| 10.已知f(x)=msin2x+sin3x-sin x,x∈[0,π],则下列说法正确的是 (　 ) A.函数f(x)可能有两个零点 B.函数f(x)可能有三个零点 C.函数f(x)可能有四个零点 D.函数f(x)可能有五个零点 11.[2025·岳阳模拟] 已知函数y=3x的图象上不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)到直线y=的距离相等,则下列说法错误的是 (　 ) A.x1x2<0 B.x1+x2<-2 C.y1y2> D.y1+y2<2× 三、填空题:本题共3小题. 12.[2025·保定5月模拟] 已知函数f(x)=ex+1+x-2和g(x)=ln x+x-3的零点分别为a,b,则a+b=　　　　.  13.[2025·浙江宁波镇海中学模拟] 当n∈N,且n≥3时,函数y=log(n-1)x与y=logn(x+1)图象的交点个数为　　　　.  14.[2025·嘉兴二模] 已知函数f(x)=ln x+ax(a>0),若方程f[f(x)]=x在区间[2,4]上有解,则实数a的取值范围为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(三)函数零点问题 1.B　[解析] 函数f(x)=ln x+x-的定义域为(0,+∞),且函数y=ln x,y=x,y=-在(0,+∞)上都单调递增,所以函数f(x)=ln x+x-在(0,+∞)上单调递增.又f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2+2-1=ln 2+1>0,所以f(1)·f(2)<0,所以f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B. 2.B　[解析] ∵=2+log2a,∴=log2a.∵=3+log3b,∴=log3b.∵=4+log4c,∴=log4c,∴考虑y=和y=logmx(m=2,3,4)的图象交点的横坐标,由图可知a<b<c.故选B. 3.D　[解析] 由f(x)=0得ln=1-x,令g(x)=ln,y=1-x,因为g(x)+g(2-x)=ln+ln=ln 1=0,所以函数g(x)=ln的图象关于点(1,0)对称.y=1-x的图象也关于点(1,0)对称, 如图所示,两个函数图象有两个交点,设两个交点的横坐标分别为x1,x2,这两个交点关于点(1,0)对称,所以x1+x2=2.故选D. 4.B　[解析] 当x≤0时,令f(x)=-1=0,解得x=-1;当x>0时,令f(x)=log3x-2=0,解得x=9.所以函数f(x)的零点为-1,9.故选B. 5.B　[解析] 当x≤0时,f(x)=|2x-1|=1-2x<1,当0<x≤2时,f(x)=|2x-1|=2x-1,由[f(x)]2-(m+1)f(x)+m=0,可得f(x)=1或f(x)=m.由题意可知,关于x的方程f(x)=1,f(x)=m共有5个不同的实数根, 作出函数f(x)的图象如图所示,由图可知,方程f(x)=1有2个根,故方程f(x)=m有3个根,则0<m<1.故选B. 6.B　[解析] 令f(x)=0,得ex+x+ln x=ln a+,即ex+x=+ln=+ln,设函数F(x)=ex+x(x≥1),问题转化为求方程F(x)=F的根的个数,又F(x)单调递增,故问题转化为求x+ln x=ln a,x∈[1,+∞)的根的个数问题.令h(x)=x+ln x,x∈[1,+∞),易知h(x)在[1,+∞)上单调递增,故h(x)∈[1,+∞),所以当a≥e时,方程x+ln x=ln a只有一根,所以f(x)的零点的个数为1.故选B. 7.A　[解析] 令sin=0,得x=-+k(k∈Z),当k=0时,x=-;当k=1时,x=.由正弦型函数可知,当x∈时,sin≥0;当x∈∪时,sin≤0.因为不等式(|x-a|-b)sin≤0,x∈[-1,1]恒成立,所以当x∈时,|x-a|-b≤0;当x∈∪时,|x-a|-b≥0.设f(x)=|x-a|-b,则f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,所以|x-a|-b=0的两个根应为-和,即解得所以2a+b=,故选A. 8.B　[解析] 因为f=-f(2x),所以f=-f(4x),故-f(x)=-f(4x),即f(x)=f(4x).当x∈[1,2]时,f(x)=(x-1)(x-2),故当x∈[2,4]时,∈[1,2],故f(x)=-f=-,故f(x)= 当x∈[1,2]时,f(x)=(x-1)(x-2)=-∈,又f(x)在上单调递减,在上单调递增,故f(x)=-在[1,2]上有且只有一个实数解为x=;当x∈(2,4]时,f(x)=-=-+,又∈[1,2),故f(x)∈,此时f(x)=-在(2,4]上无解.故当x∈[4k,4k+1](k∈N*)时,∈[4k-1,4k],则f(x)=f,结合f(x)的性质可得f(x)=-在[4k-1,2×4k-1]上有且只有一个实数解,且该实数解为x==×4k-1,在(2·4k-1,4k]上无实数解,又43<100<44且100>×43,故f(x)=-在[1,100]上的实数解为x=,x=×4=6,x=×42=24,x=×43=96,共4个实数解,故y=f(x)+在[1,100]上共有4个不同的零点.故选B. 9.ABD　[解析] 对于A,若f(x)=x2,则y=f(x)-cos x=x2-cos x,因为f(x)=x2是偶函数,y=cos x是偶函数,所以y=x2-cos x是偶函数,易知该函数在(0,+∞)上单调递增.当x=0时,y=02-cos 0=-1<0,当x=1时,y=1-cos 1>0,所以y=x2-cos x在(0,1)内有一个零点,根据偶函数图象的对称性,可得y=x2-cos x在(-1,0)内有一个零点,共2个零点.故A正确.对于B,若f(x)=ex+e-x,则y=f(x)-cos x=ex+e-x-cos x,因为f(x)=ex+e-x是偶函数,y=cos x是偶函数,所以y=ex+e-x-cos x是偶函数.因为ex+e-x≥2=2,cos x∈[-1,1],所以y∈[1,+∞).当x=0时,y=e0+e0-cos 0=1+1-1=1>0,所以函数的零点个数为0,是偶数,故B正确.对于C,若f(x)=cos 2x,则y=f(x)-cos x=cos 2x-cos x,因为f(x)=cos 2x为偶函数,y=cos x为偶函数,所以y=cos 2x-cos x是偶函数.当x=0时,y=f(0)-cos 0=0,根据偶函数的图象的性质知函数y=cos 2x-cos x的零点个数不是偶数,故C错误.对于D,若f(x)=ln|x|,则x≠0,y=f(x)-cos x=ln|x|-cos x,因为f(x)=ln|x|是偶函数,y=cos x是偶函数,所以y=ln|x|-cos x是偶函数.当x>0时,y=ln x-cos x,y'=+sin x,当0<x<π时,y'=+sin x>0,函数y=ln x-cos x在(0,π)内单调递增,当x=1时,y=ln 1-cos 1=-cos 1<0,所以当x∈(0,1]时,y恒小于0,无零点;当x=e时,y=ln e-cos e=1-cos e>0,所以当x∈(1,e)时,存在1个零点;当x>e时,ln x>1,cos x∈[-1,1],所以y=ln x-cos x恒大于0,无零点.所以y=ln|x|-cos x在(0,+∞)内存在1个零点,根据偶函数图象的对称性,y=ln|x|-cos x在(-∞,0)内存在1个零点,共2个零点,所以零点个数为偶数,故D正确.故选ABD. 10.ABC　[解析] 函数f(x)=msin2x+sin3x-sin x,其中x∈[0,π],令f(x)=0,即msin2x+sin3x-sin x=sin x(msin x+sin2x-1)=0,可得sin x=0或msin x=-sin2x+1,则x=0或x=π或m=-,x∈(0,π).设t=sin x,则m=-,t∈(0,1],函数g(t)=-在(0,1]上单调递减,且g(t)min=0.当m∈(-∞,0)时,方程m=-在(0,1]上无解,即t=sin x无解,此时f(x)=0只有两个实数根,即函数f(x)可能有两个零点;当m=0时,可得sin x=t=1,解得x=,此时f(x)=0只有三个实数根,即函数f(x)可能有三个零点;当m∈(0,+∞)时,方程m=-在(0,1]上有一个解,则sin x=t在(0,π)上有两个解,此时f(x)=0只有四个实数根,即函数f(x)可能有四个零点.综上,函数f(x)可能有两个或三个或四个零点.故选ABC. 11.ACD　[解析] 如图,不妨设x1<x2,不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)到直线y=的距离相等,∵点A到直线y=的距离不超过,而点(0,1)到直线y=的距离为,∴x2<0,故x1x2>0,故A选项中说法错误;根据不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)到直线y=的距离相等,得-=-,∴+=,则2<,故<,解得x1+x2<-2,故B选项中说法正确;y1>0,y2>0且y1≠y2,又=,故y1+y2=,由基本不等式得y1y2<=,故C选项中说法错误;∵x1+x2<-2,∴<,∴2×<,又y1+y2=,故y1+y2>2×,故D选项中说法错误.故选ACD. 12.2　[解析] 令u(x)=ex+1,φ(x)=ln x-1,h(x)=2-x,则函数u(x)=ex+1和φ(x)=ln x-1的图象与函数h(x)=2-x的图象交点的横坐标分别为a,b,又易得u(x)=ex+1和φ(x)=ln x-1的图象关于直线y=x对称,设u(x)=ex+1和φ(x)=ln x-1的图象与h(x)=2-x的图象的交点坐标分别为(a,2-a),(b,2-b),则交点也关于直线y=x对称,所以a=2-b,即a+b=2. 13.1　[解析] 设f(x)=log(n-1)x-logn(x+1)(x>0),由换底公式得f(x)=-,可知f'(x)=-==,因为n∈N,且n≥3,所以x(x+1)ln(n-1)ln n>0,x[ln n-ln(n-1)]+ln n>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=-=-<0,f(n-1)=-=1-=0,故函数f(x)有一个零点,即y=log(n-1)x与y=logn(x+1)的图象有1个交点. 14.　[解析] 设f(x)=t,则f(t)=x,那么(x,t),(t,x)都在函数y=f(x)的图象上.假设x>t,因为函数y=f(x)单调递增,所以f(x)>f(t),即t>x,与假设矛盾;假设t>x,因为函数y=f(x)单调递增,所以f(t)>f(x),即x>t,与假设矛盾.所以t=x,则f(x)=x在[2,4]上有解,即1-a=在[2,4]上有解.令g(x)=,x∈[2,4],则g'(x)=,令g'(x)=0,解得x=e,故g(x)在[2,e]上单调递增,在(e,4]上单调递减,又g(e)=,g(2)=,g(4)==,所以≤g(x)≤,可得≤1-a≤,即1-≤a≤1-,故实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $