第2章 第10讲 简单的幂函数与几类常见的特殊函数(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

**基本信息** 聚焦幂函数与特殊函数，以定义为根基，通过分层训练系统提炼解析式求解、单调性分析、新定义转化等方法，构建从概念到综合应用的逻辑链条，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|8题|幂函数定义求参、对勾函数单调性应用、取整函数定义转化|从幂函数解析式到特殊函数基本性质，形成概念-性质-应用链条| |综合运用练|3题|min/max函数图象分析与分段讨论、参数范围逻辑推理|结合函数性质解决最值与恒成立问题，强化数学思维| |创新拓展练|2题|狄利克雷函数奇偶性判断、抽象函数性质探究|通过新定义函数深化数学语言表达，提升创新意识|

课时分层测评12　简单的幂函数与几类常见的特殊函数 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.(2026·黑龙江大庆模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(4，2)，则f(3)的值为(　　) A． B． C.3 D.9 答案：B 解析：设f(x)＝xα，则2＝4α，所以α＝，即f(x)＝x．故选B． 2.若函数y＝x－＋在上单调递增，则实数k的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：当k＞0时，y＝x－＋上单调递增，满足题意，当k＝0时，y＝x，满足题意，当k＜0时，y＝x＋＋.由对勾函数的性质知，若满足题意则≤1，解得－1≤k＜0.综上k≥－1.故选B. 3.min表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min的最大值为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案：D 解析：作出f(x)的图象，由图象可知，f(x)＝由图可知f(x)的最大值为8.故选D． 4.(2026·江西南昌模拟)若直线y＝t(0＜t＜1)与幂函数y＝x3，y＝，y＝的图象从左到右依次交于不同的三点A，B，C，则＝(　　) A．－t2 B．－t3 C．－ D．－t2 答案：A 解析：当y＝t时，由y＝x3，得x＝；由y＝，得x＝t2；由y＝，得x＝．因为0＜t＜1，所以y＝tx是关于x的减函数．又－1＜＜2，所以＞t2，所以－t2.故选A． 5.(多选)(2026·湖北黄冈模拟)已知幂函数f(x)＝xm－2，则下列结论不正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)在其定义域上单调递减 C．f(m＋1)＞f(2) D．f(m－1)＜f(－2) 答案：ABD 解析：因为f(x)＝(2m＋m)xm－2是幂函数，根据幂函数的定义可知2m＋m＝1，当m＝0时，20＋0＝1，等式成立，因为y＝2m＋m在R上单调递增，故m＝0为唯一解.此时f(x)＝x－2＝，其定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).对于A，f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A错误；对于B，函数f(x)＝在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在其定义域上不单调递减，故B错误；对于C，m＋1＝1，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(1)＞f(2)，即f(m＋1)＞f(2)，故C正确；对于D，m－1＝－1，f(x)在(－∞，0)上单调递增，－2＜－1，所以f＜f，即f(m－1)＞f(－2)，故D错误.故选ABD. 6.(多选)(2026·重庆模拟)设函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域是R B．f(x)的值域为 C．f(x)是偶函数 D．f(x)是单调函数 答案：ABC 解析：根据函数的解析式可知，定义域是全体实数，值域为，故A、B正确；当x是有理数时，－x是有理数，f(－x)＝f(x)＝1，当x是无理数时，－x是无理数，f(－x)＝f(x)＝0，所以f(x)是偶函数，故C正确；因为f(0)＝f(2)＝1，f()＝0，所以f(x)不是单调函数，故D错误.故选ABC. 7.因函数f(x)＝x＋(t＞0)的图象形状像对勾，我们称形如“f(x)＝x＋(t＞0)”的函数为“对勾函数”，该函数具有性质：在(0，)上是减函数，在(，＋∞)上是增函数，若对勾函数f(x)＝x＋(t＞0)对于任意的k∈Z，都有f(k－)≤f(k＋)，则实数t的最大值为　　　　　． 答案： 解析：因为f(k－)≤f(k＋)，则f(k－)－f(k＋)≤0，k－＋－k－－＝－1≤0，即≤1，当k2－＜0，即－＜k＜，因为k∈Z，则k＝0，t≥－.又t＞0，所以t＞0，当k2－＞0，即k＞或k＜－时，t≤k2－恒成立，所以t≤＝.综上0＜t≤，所以实数t的最大值为. 8.定义［x］表示不超过x的最大整数，＝x－［x］．例如：＝－4，＝0.8，则方程2x－x－1＝0的所有实根之和是　　　　． 答案：－1 解析：对于2x－x－1＝0，显然x＝0不是方程的解，可化为2＝1＋.作出函数y＝2和y＝1＋的大致图象，除了外，其余点关于点对称，从而和为零，故总和为－1. 9.(10分)世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝［x］，［x］表示不超过x的最大整数，例如＝1. (1)若∀x∈R，求的值； (2)已知f(x)＝，x∈⋃(2，＋∞)，求函数f(x)的值域． 解：(1)由取整函数定义可知y＝x－［x］∈＝0. 故的值为0. (2)设g(x)＝，则g(x)＝＝2－. 当x＜－3时，x＋1＜－2，－＜＜0，0＜－＜，2＜2－＜； 当x＞2时，x＋1＞3，0＜＜，－1＜－＜0，1＜2－＜2. 所以g(x)∈∪，所以f(x)＝＝＝， 故函数f(x)的值域为{1，2，3}. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(多选)(2026·福建厦门模拟)分别用m(x)，M(x)表示f(x)，g(x)中的最小者和最大者，记为m(x)＝min，M(x)＝max．若f(x)＝x＋，g(x)＝x－，则(　　) A．m(1)＋M(－1)＝0 B．函数y＝m(x)－2x有2个零点 C．函数y＝m(x)M(x)的图象关于y轴对称 D．关于x的方程(m(x)－)(M(x)－)＝0的所有解的乘积为－1 答案：ACD 解析：依题意，f(x)－g(x)＝，当x＜0时，f(x)＜g(x)；当x＞0时，f(x)＞g(x)，则m(x)＝M(x)＝对于A，m(1)＋M(－1)＝0＋0＝0，故A正确；对于B，m(x)－2x＝由m(x)－2x＝0，解得x＝－1，故B错误；对于C，m(x)M(x)＝x2－，令h(x)＝x2－，h(－x)＝(－x)2－＝h(x)，函数h(x)是偶函数，故C正确；对于D，由(m(x)－)(M(x)－)＝0，得m(x)＝或M(x)＝，而≥0，则m(x)＝⇔x－＝(x＞0)，即x2－x－1＝0，该方程有且仅有一个正根x1，M(x)＝⇔x－＝(x＜0)或x＋＝(x＞0)，x－＝(x＜0)⇔x2－x－1＝0(x＜0)，该方程有且仅有一个负根x2，且x1x2＝－1，x＋＝(x＞0)⇔x2－x＋1＝0(x＞0)，该方程要么无解，要么一解x0＝1，要么两个正根x3，x4，且x3x4＝1，所以关于x的方程(m(x)－)(M(x)－)＝0的所有解的乘积为－1，故D正确.故选ACD. 11.(2026·辽宁鞍山模拟)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为M(x)＝min{f(x)，g(x)}，设函数f(x)＝ex－1＋2x－3，g(x)＝－x2＋ax－a，若∀x∈R，M(x)≤0，则实数a的取值范围为　　　　． 答案： 解析：因为f(x)＝ex－1＋2x－3在上单调递增，又f＝e0＋2－3＝0，所以当x≤1时，f(x)≤f＝0，所以x≤1时M(x)≤0成立.当x＞1时，f(x)＞f＝0.又因为对∀x∈R，M(x)≤0，所以x＞1时，g(x)≤0恒成立.即x＞1时，a≤x2，a≤，设t＝x－1＞0，则＝＝t＋＋2≥4，当且仅当t＝1时取等号，所以a≤4. 12.(15分)对于一个实数x，［x］表示不超过x的最大整数，也就是实数x的整数部分，对应的x的小数部分可以用表示，即定义“取小数函数”：＝x－［x］． (1)求，的值； (2)定义： min＝‖x‖＝min，求p＝min的最大值． 解：(1)＝π－3，＝2e－5. (2)依题意，得0≤＜1， 则 所以‖x‖＝ ①当0≤； ②当， 所以当增大时，‖x‖增大，‖2x‖减小， 所以当‖x‖＝‖2x‖时，p取得最大值， 由＝1－2，解得＝，此时pmax＝； ③当－1， 当增大时，‖x‖减小，‖2x‖增大， 所以当‖x‖＝‖2x‖时，p取得最大值，由1－＝2－1，解得＝，此时pmax＝； ④当≤＜1时，‖x‖＝1－，‖2x‖＝1－＝2≥1－， 所以p＝1－≤；综上，pmax＝. (每小题5分，共10分) 13.德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，他的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数D(x)＝，有以下四个命题，其中假命题是(　　) A．函数D(x)是奇函数 B．∃x，y∈R，D(xy)＝D(x)＋D(y) C．函数D(D(x))是偶函数 D．∀x∈R，∀a∈Q，D(a＋x)＝D(a－x) 答案：A 解析：对于A，若x是有理数，则－x也是有理数，则D(x)＋D(－x)＝1＋1＝2≠0，因此D(x)不是奇函数，故A符合题意；对于B，当x＝，y＝时，D(xy)＝D(×)＝D()＝0，D(x)＝D()＝0，D＝D＝0，此时D＝D(x)＋D，故B不符合题意；对于C，若x是有理数，则D(x)＝1，D＝D＝1；若x是无理数，D(x)＝0，D＝D(0)＝1，所以∀x∈R，D＝1.又－x∈R，则D＝1，因此D＝D，所以函数D是偶函数，故C不符合题意；对于D，若x是有理数，a∈Q，则a＋x，a－x均是有理数，则D＝D＝1；若x是无理数，a∈Q，则a＋x，a－x均是无理数，则D＝D＝0，因此∀x∈R，a∈Q，D＝D，故D不符合题意.故选A. 14.(多选)(2026·湖南永州模拟)已知f(x)的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质： ①f(xy)＝f(x)＋f(y)；②f(x＋y)≥min{f(x)，f(y)}；③当f(x)≠f(y)时，f(x＋y)＝min，其中min＝下列说法正确的是(　　) A．若f(x)＞r，f(y)＞r，则f(x－y)＞r B．f(x)＝0恰有两个整数解 C．若x＋y＋z＝0，xyz≠0，则f(x)，f(y)，f(z)中至少有两个相等 D．若f(2)＝1，则f(240)＝3 答案：AC 解析：对于A，令x＝y＝1，有f＝f＋f，即f＝0；令x＝y＝－1，有f＝f＋f，即f＝0；令y＝－1，有f(－x)＝f(x)＋f＝f(x)，即f(x)是偶函数.因为f＝f≥min{f(x)，f(－y)}＝min，f(x)＞r，f＞r，所以f＞r，故A正确；对于B，假设选项正确，对于任意除1和－1以外的整数a，有f(a)≠0，即f≠0，f≠0，而f＝f≥min{f(1)，f}≥0，且f≠0，所以f＞0，f＝f＝min＝0，矛盾，故B错误；对于C，x＋y＋z＝0⇒x＋y＝－z⇒f＝f＝f，所以f≥min，若f(x)＝f，结论显然成立；若f(x)≠f，则f＝min，即f＝f(x)或f＝f，结论依然成立，故C正确；对于D，f＝f＝min＝f＝0，f＝f＝min＝f＝0，f＝f＝f＋f＋f＝4f＝4，故D错误.故选AC. 学科网（北京）股份有限公司 $