第2章 第9讲 函数的对称性及其应用(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

**基本信息** 以函数对称性判定为核心，通过分层训练构建“定义-性质-应用”逻辑体系，融合几何直观与代数推理，培养数学思维与创新意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|10题（含多选）|对称点性质（f(a+x)+f(a-x)=2b）、奇偶性与对称结合、代数验证法|从具体函数（三次/指数）到抽象函数，构建“对称定义→判定方法→性质推导”链条| |综合运用练|3题|对称交点性质（和差关系）、定义域对称分析|对称性与函数图像综合，强化模型观念与数据意识| |创新拓展练|2题|新定义转化（“优美点”）、对称图像交点问题|结合新情境应用对称性，发展创新意识与推理能力|

课时分层测评10　函数的对称性及其应用 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (每小题5分，共50分) 1.若函数f(x)＝的图象关于点(1，2)对称，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C.1 D.2 答案：D 解析：f(x)＝关于点(1，2)对称，则a＝2.故选D． 2.(2026·山东烟台模拟)若函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象关于点对称，则实数a的值为(　　) A．－3 B.3 C．－6 D.6 答案：C 解析：依题意，函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象关于点对称，所以f＝－f，即f＋f＝0，即＋a＋b＋＋a＋b＝0，即x2＋4a＋b＋8＝0恒成立，所以解得a＝－6，b＝16.故选C. 3.(2026·福建福州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．当x∈时，f(x)＝2x＋2，则f＝(　　) A．－3 B．－1 C.1 D.3 答案：B 解析：因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f＝f．又因为函数f(x)是奇函数，所以f＝－f．又当x∈时，f(x)＝2x＋2，所以f＝2×＋2＝1，所以f()＝－f＝－1.故选B． 4.(2026·河北保定模拟)已知函数f(x)＝，则f(x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于点对称 C．关于直线x＝2对称 D．关于原点对称 答案：B 解析：函数f(x)＝＝2x－，对于A，f＝22－x－＝22－x－＝＝－f(x)≠f(x)，故A错误；对于B，f＝22－x－＝22－x－＝＝－f(x)，故B正确；对于C，f＝24－x－＝24－x－2x－2＝－≠f(x)，故C错误；对于D，f(－x)＝2－x－＝－2x＋2≠－f(x)，故D错误.故选B. 5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＋f＝0，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)的图象关于点对称 B．f＝f(x) C．f＝f D．f＝f(x) 答案：C 解析：对于A，已知f(x)＋f(2－x)＝0，则有f(2－x)＝－f(x)，即函数f(x)的图象关于点对称，故A正确；对于B，由于f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(－x)＝－f(x)，因为f(x)＋f(2－x)＝0，则有f(2－x)＝－f(x)＝f(－x)，用－x替换x可得：f(x＋2)＝f(x)，故B正确；对于D，再用x－2替换x可得：f＝f(x)，故D正确；只有C项，无法推得.故选C. 6.(2026·广东深圳模拟)已知函数f(x)＝则f(x)图象上关于原点对称的点有(　　) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 答案：B 解析：如图所示，当x＞0时，f(x)＝，其关于原点对称后的图象为y＝＝－2x，易知y＝－2x与f(x)＝－有两个交点，即f(x)＝－上有两个点，中心对称后在f(x)＝上.故选B. 7.(多选)若a为非零常数，函数f(x)的定义域为R，则下列说法正确的是(　　) A．若f(x－a)是奇函数，则f(x－a)＝－f(a－x) B．若f(x－a)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x＝－a对称 C．若f(a－x)－f(a＋x)＝0，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称 D．若f(2a－x)＝－f(x)＋b，则函数f(x)的图象关于点对称 答案：BCD 解析：对于A，由f是奇函数，则f＝－f，故A错误；对于B，由f(x－a)是偶函数可得其图象关于x＝0对称，所以f(x)的图象关于直线x＝－a对称，故B正确；对于C，由f(a－x)－f＝0，则f＝f，则得f为偶函数，从而可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，故C正确；对于D，由f＝－f(x)＋b，可得f＋f(x)＝b，可得f(a－x)－＝－，所以f－为奇函数，则函数f(x)的图象关于点对称，故D正确.故选BCD. 【教师备选】　(多选)已知函数f(x)的定义域是R，则下列说法正确的是(　　) A．若f(x＋2)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 B．函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 C．函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称 D．函数y＝f(1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称 答案：ABC 解析：若f(x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋2)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，故A正确；若点(x，y)在y＝f(x)上，则点(2－x，－y)在y＝－f(2－x)的图象上，且点(x，y)与点(2－x，－y)关于点(1，0)对称，则函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B正确；设g(x)＝f(－1＋x)－f(1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f(1－x)－f(x－1)＋f(－1＋x)－f(1－x)＝0，故函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称，故C正确；令g(x)＝f(1＋x)－f(1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f(3－x)－f(x－1)＋f(1＋x)－f(1－x)不恒为0，故函数y＝f(1＋x)－f(1－x)的图象不关于点(1，0)对称，故D错误．故选ABC． 8.(多选)已知函数f(x)的图象的对称轴为x＝3，则函数f(x)的解析式可以是(　　) A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝ex－3＋e3－x C．f(x)＝x4－18x2 D．f(x)＝ 答案：BD 解析：若函数f(x)的图象的对称轴为x＝3，则f(6－x)＝f(x)总成立．对于A，则f(6－x)＝6－x＋＝f(x)，故A错误；对于B，f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x)，故B正确；对于C，f(0)＝0，f(6)＝64－18×62＝648≠f(0)，所以f(6－x)＝f(x)不恒成立，故C错误；对于D，易求f(x)的图象关于直线x＝3对称，故D正确．故选BD． 9.(多题同解)(1)已知函数f(x)为R上的奇函数，若函数y＝g与y＝f(x)的图象关于点对称，则g＝　　　　． (2)(2026·河南郑州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝f(x)的图象关于x＝3对称，若g＝－5，则f＝　　　　． 答案：(1)0　(2)1 解析：(1)依题意，函数f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，则f(0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，函数y＝g与y＝f(x)的图象关于点对称，所以函数y＝g过点(2，0)，函数y＝g(x)过点(4，0)，所以g＝0. (2)因为g＝f＝－5f＝－5，所以f＝1.因为f(x)是奇函数，f＝－f＝－1，所以g＝f＝1.因为函数g(x)＝f(x)的图象关于x＝3对称，所以g＝g＝1，即g＝f＝f＝1. 10.已知函数f(x)＝(x－1)3－，过点M(1，0)的两条直线l1，l2分别与曲线y＝f(x)相交于点A，B和C，D，若△MAC的面积为2，则四边形ACBD的面积为　　　　． 答案：8 解析：由函数f(x)＝(x－1)3－，所以f(x＋1)＝x3－．因为g(x)＝x3－为奇函数，所以函数f(x)的图象关于(1，0)中心对称．又因为两条直线l1，l2都过点M(1，0)，所以两条直线l1，l2都关于点M(1，0)中心对称，所以点A，B关于点(1，0)中心对称，且点C，D关于点(1，0)中心对称，可知四边形ACBD为平行四边形，其面积为△MAC面积的4倍，所以四边形ACBD的面积为8. (11、12题，每小题5分，共10分) 11.(2025·山东日照一模)已知函数f(x)＝的图象关于点P对称，则点P的坐标为　　　　． 答案： 解析：令9－3x≠0，解得x≠2，可知f(x)的定义域是．又因为f＋f，所以函数f(x)的图象关于点P对称． 12.已知函数y＝f(x)－1是奇函数，若曲线y＝1＋与曲线y＝f(x)共有2 026个交点，分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 026，y2 026)，则(xi＋yi)＝　　　　． 答案：2 026 解析：因为y＝f(x)－1为奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称．又y＝1＋的图象关于点(0，1)对称，所以x1＋x2＋…＋x2 026＝0，y1＋y2＋…＋y2 026＝1 013×2＝2 026，所以(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x2 026)＋(y1＋y2＋…＋y2 026)＝2 026. 【教师备选】　(2026·广东珠海模拟)已知函数f(x)定义域为R，且满足f(x)＝6－f(－x)，g(x)＝＋3，若f(x)的图象与g(x)的图象的交点分别为，，…，，则＝　　　　． 答案：3m 解析：对于f(x)，f(x)＝6－f(－x)，f(－x)＝6－f(x)，所以f(x)的图象关于点对称.因为h(－x)＝＝－＝－h(x)，所以h(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，所以g(x)＝h(x)＋3的图象关于点对称，所以f(x)，g(x)的图象的交点关于对称，所以＝xi＋yi＝0＋3m＝3m. 13.(15分)(2025·陕西西安二模节选)已知函数f(x)＝ln (x＋1)，设g(x)＝(x＋1)f()－f(＋1)． (1)求g(1)－g(－2)的值； (2)证明：存在实数m，使得曲线y＝g(x)关于直线x＝m对称． 解：(1)依题意，g(x)＝(x＋1)ln(＋2)， 所以g(x)＝(x＋1)ln－ln， 所以g(1)＝2ln 2－ln 3＝ln ，g(－2)＝－ln －ln ＝－ln ＝ln ， 所以g(1)－g(－2)＝ln －ln ＝0. (2)证明：g(x)的定义域是(－∞，－1)⋃(0，＋∞)，若存在实数m，使得曲线y＝g(x)关于直线x＝m对称，则定义域是(－∞，－1)⋃(0，＋∞)关于直线x＝m对称， 所以m＝－．－－－－－－－－－－［破题点］ 所以g(－1－x)－g(x)＝［(－x)ln－ln］－［(x＋1)ln－ln］ ＝［(－x)ln－ln］－［(x＋1)ln－ln］ ＝［xln－ln］－［(x＋1)ln－ln］ ＝ln－ln－ln＝ln(··)＝ln 1＝0， 所以g(－1－x)＝g(x)， 所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称. (每小题5分，共10分) 14.(2026·重庆质检)在同一直角坐标系内，存在一条直线l，使得函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象关于直线l对称，就称函数y＝g(x)是函数y＝f(x)的“轴对称函数”．已知函数f(x)＝ex(e是自然对数的底数)，则下列函数不是函数y＝f(x)的“轴对称函数”的是(　　) A．y＝2－ex B．y＝e2－x C．y＝－e－x D．y＝ln x 答案：C 解析：对于选项A，由＝1，可知f(x)＝ex与y＝2－ex的图象关于直线y＝1对称，不合题意；对于选项B，由＝1，可知f(x)＝ex与y＝e2－x的图象关于直线x＝1对称，不合题意；对于选项C，因为f(x)＝ex与y＝－e－x的图象关于原点对称，所以y＝－e－x不是y＝f(x)的轴对称函数，符合题意；对于选项D，f(x)＝ex与y＝ln x的图象关于直线y＝x对称，不合题意.故选C. 15.(2026·湖南衡阳模拟)对于函数y＝f(x)，若存在x0使f(x0)＋f(－x0)＝0，则称点(x0，f(x0))是曲线y＝f(x)的“优美点”，已知f(x)＝若曲线f(x)存在“优美点”，则实数k的取值范围为　　　　． 答案： 解析：若函数f(x)存在“优美点”，则函数f(x)图象上存在关于原点对称的点，当x＜0时，f(x)＝x2＋3x，将其图象关于原点对称，所得图象的解析式为g(x)＝－f(－x)＝－＝－x2＋3x．所以只要射线y＝kx＋4与g(x)＝－x2＋3x(x＞0)的图象有公共点即可，由得x2＋x＋4＝0，所以k－3＝－，由基本不等式可得x＋≥4⇒－≤－4，当且仅当x＝2时等号成立，所以k－3≤－4，即k≤－1. 学生用书⬇第34页 学科网（北京）股份有限公司 $