01 重点强化练（一）不等式的性质与基本不等式（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦不等式性质与基本不等式，通过单选、多选、填空多题型覆盖一轮复习核心考点，强化运算推理与模型应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式性质应用|5题（如2,3,8,9,10）|判断大小关系、取值范围|从性质推导到含参数不等式分析，培养推理意识| |基本不等式求最值|6题（如1,4,5,6,12,13）|条件最值、实际应用（昆虫跳跃）|结合“一正二定三相等”原则，强化模型意识与运算能力| |综合应用|3题（如7,11,14）|比较大小、函数与不等式综合|融合对数函数、二次函数，构建知识网络，提升数学思维|

重点强化练(一)不等式的性质与基本不等式 一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.[2025·河北保定二模] 已知x,y是非零实数,则+的最小值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.6 B.12 C.2 D.4 2.[2025·山西临汾二模] 若3≤a≤5,-2≤b≤1,则2a-b的取值范围是 (　 ) A.[8,9] B.[4,8] C.[5,8] D.[5,12] 3.[2025·北京十一学校模拟] 已知x>y,则一定有 (　 ) A.< B.x2>y2 C.x|x|>y|y| D.> 4.若a>0,b>0,且a+b=1,则--的最大值为 (　 ) A.-9 B.-7 C.-5 D.-3 5.[2025·江西上进联考5月联合测评] 在生物界中,部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为v(单位:米/秒)时的跳跃高度H(单位:米)满足v2=,则该类昆虫的最大跳跃高度为 (　 ) A.0.25米 B.0.5米 C.0.75米 D.1米 6.[2025·山东济宁检测] 已知x>0,y>0,且xy+2y2-36=0,则xy2的最大值为 (　 ) A.12 B.6 C.36 D.24 7.[2025·北京海淀区一模] 已知四个数a=,b=,c=lg 2,d=lg 5,其中最小的是 (　 ) A.a B.b C.c D.d 8.[2025·云南昆明质检] 已知x>0,x2-2xy+z2=0,x2<yz,则 (　 ) A.y>z>x B.x>y>z C.y>x>z D.z>x>y 二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.已知a<b<0,c∈R,下列不等式不成立的是 (　 ) A.ac2>bc2 B.< C.3a>2b D.log2a2>log2b2 10.[2025·河北张家口三模] 已知a,b∈R,且ab=3,若a∈(0,6],则 (　 ) A.b∈ B.a+b的最小值为2 C.+的最小值为 D.a-2b的取值范围为(-∞,5] 11.[2026·山西大同一调] 设正实数m,n满足m+n=1,则下列说法中正确的是 (　 ) A.2m-n> B.+的最小值为 C.mn的最大值为 D.m2+n2的最小值为 三、填空题:本题共3小题. 12.[2025·安徽淮北、淮南二模] 若实数m和n的等差中项为1,则m2+n2的最小值为　　　　.  13.已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则+的最小值为　　　　.  14.已知函数f(x)=ax2+bx+c(b>a),对任意的x∈R,f(x)≥0恒成立,则的最大值是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(一)不等式的性质与基本不等式 1.A　[解析] +≥2=6,当且仅当=,即|y|=|x|>0时,等号成立,所以+的最小值为6,故选A. 2.D　[解析] 由3≤a≤5,-2≤b≤1可得6≤2a≤10,-1≤-b≤2,故5≤2a-b≤12,故选D. 3.C　[解析] 对于A,不妨取x=1,y=-1,可得<不成立,故A错误.对于B,不妨取x=1,y=-1,可得x2=y2,故B错误.对于C,当x>y≥0时,x|x|-y|y|=x2-y2=(x-y)(x+y)>0,即x|x|>y|y|;当0≥x>y时,x|x|-y|y|=-x2+y2=(y-x)(y+x)>0,即x|x|>y|y|;当x≥0>y或y≤0<x时,显然x|x|>0>y|y|.综上可知,当x>y时,x|x|>y|y|成立,故C正确.对于D,因为指数函数y=为减函数,所以当x>y时,<,故D错误.故选C. 4.A　[解析] 因为a>0,b>0,且a+b=1,所以+=(a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,a>0,b>0,即a=,b=时等号成立,所以--的最大值为-9.故选A. 5.A　[解析] 由v2=可知v2-Hv4=4H,且v>0,故H=≤=,当且仅当v2=2,即v=时等号成立,即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.故选A. 6.D　[解析] 由xy+2y2-36=0,得y(x+2y)=36,则x=-2y,因为x>0,y>0,所以xy2=y2= y(36-2y2)== ≤×= 24,当且仅当y=,x=4时等号成立,所以xy2的最大值为24,故选D. 7.C　[解析] 易知0<lg 2<lg 5,所以可得lg 2<<lg 5,即c<a<d.由基本不等式可得<,即b<a.显然lg 2=<,即c<b,可得c<b<a<d,即最小的是c.故选C. 8.A　[解析] 由x>0,且x2-2xy+z2=0可得2xy=x2+z2,即y=,则y-x=-x==.又x2<yz,即x2<·z,化简可得2x3-x2z-z3<0,即(x-z)(2x2+xz+z2)<0,其中2x2+xz+z2=2+z2>0恒成立,所以x-z<0,即0<x<z,所以x2<z2,所以y-x=>0,所以y>x.又y-z=-z==>0,所以y>z.综上所述,y>z>x.故选A. 9.ABC　[解析] 对于A选项,由a<b<0,c2≥0,得ac2≤bc2,故A中不等式不成立;对于B选项,由a<b<0,得a-c2<b-c2<0,b-a>0,故(a-c2)(b-c2)>0,故-==≥0,即≥,故B中不等式不成立;对于C选项,由a<b<0,得3a<3b<2b,故C中不等式不成立;对于D选项,由a<b<0,得a2>b2>0,所以log2a2>log2b2,故D中不等式成立.故选ABC. 10.BCD　[解析] 对于A,由条件可知,b=,a∈(0,6],则b∈,故A错误;对于B,由题意可知,a>0,b>0,则a+b≥2=2,当且仅当a=b=时等号成立,则a+b的最小值为2,故B正确;对于C,+≥2=,当且仅当=,即a=8b=2时等号成立,则+的最小值为,故C正确;对于D,a-2b=a-,当a∈(0,6]时,y=a,y=-均单调递增,且当a→0时,y=-→-∞,则y=a-在区间(0,6]上单调递增,∴当a=6时取得最大值5,且当a→0时,y=a-→-∞,所以a-2b的取值范围为(-∞,5],故D正确.故选BCD. 11.ACD　[解析] 对于A,因为正实数m,n满足m+n=1,则0<m<1,m-n=m-(1-m)=2m-1∈(-1,1),故2m-n>2-1=,故A正确;对于B,设=sin α,=cos α,α∈,满足正实数m,n的关系式m+n=1,所以+=sin α+cos α=sin,因为α∈,所以<sin≤1,所以1<+≤,故B错误;对于C,由基本不等式得mn≤=,当且仅当m=n=时等号成立,故C正确;对于D,因为2(m2+n2)=(m2+n2)+(m2+n2)≥m2+n2+2mn=(m+n)2=1,所以m2+n2≥,当且仅当m=n=时等号成立,故D正确.故选ACD. 12.2　[解析] 若实数m和n的等差中项为1,则m+n=2,又m2+n2≥2mn,故2(m2+n2)≥(m+n)2,即m2+n2≥==2,当且仅当m=n=1时取等号,故m2+n2的最小值为2. 13.1　[解析] 因为x≥0,y≥0且x+y=1,所以2(x+3)+2y+1=9,所以+=[2(x+3)+2y+1]=≥=1,当且仅当=,即x=0,y=1时,等号成立,所以+的最小值为1. 14.　[解析] ∵f(x)≥0恒成立,∴a>0,Δ=b2-4ac≤0(b>a),∴a2<b2≤4ac,∴c≥,∴≤=.令t=-1>0,则=t+1,∴===≤=,当且仅当t=,即t=3,=4时,等号成立,故的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $