课时作业3 等式与不等式的性质-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦不等式性质的系统性应用，通过分层题型构建"性质辨析-方法迁移-综合应用"的逻辑链条，培养推理意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质判断|单选1-2、多选7-9|不等式性质（乘方/倒数）、作差法|从概念辨析到多变量关系推理| |比较大小与条件关系|单选4-5、填空10-12|充要条件判定、参数法|性质应用到逻辑关系构建| |实际应用与综合问题|单选3、6、解答13-14|建模分析、范围求解|从实际情境到代数论证的转化|

课时3 等式与不等式的性质 一、单选题 1.下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b>0，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则a2>b2 C．若a<b<0，则a2<ab<b2 D．若a<b<0，则< 2．若，，则一定有（ ） A． B． C． D． 3. (2026·湖南六校联考)公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为a m2，绿化面积为b m2(0<b<a).现对该公园再扩建2x m2，其中绿化面积为x m2，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比(　　) A.变大 B.变小 C.不变 D.不确定 4. 已知a>0，b>0，则“a>b”是“a－b>－”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5. 已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．不确定 6．(2026·河北衡水中学调研卷)已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7.若实数a，b，c满足a>c，(a－b)(b－c)>0，则有(　　) A．a(b－c)>0 B．a(b－c)≤0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－c)(b－c)>0 8. （2026·安徽合肥八中高三期初检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 9. (2026·江苏宿迁市期末)下列不等式中正确的有(　　) A.x2－2x>－3(x∈R) B.a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C.a2＋b2>2(a－b－1) D.<(b>a>0) 三、填空题 10、(2026·河北沧衡八校联盟)已知，则大小关系是 ． 11.(2026·湖北鄂南高中月考)若－1<a＋b<3，2<a－b<4，则2a＋3b的取值范围是________． 12.给出三个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③>－.则能够使得以上三个不等式同时成立的一个条件是________． 四、解答题 13.（1）已知，求证：； （2）已知均为正实数．求证：. 14.已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.求： (1)实数a的取值范围； (2)3a－2b的取值范围． 课时3 等式与不等式的性质参考答案 1.B【解析】 对于选项A，c2＝0时不成立； 对于选项B，因为a>b>0，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，所以a2>b2，所以B成立； 对于选项C，a<b<0a2>ab>b2，所以C不成立； 对于选项D，因为a<b<0，所以>，所以D不成立．故选B. 2．D【解析】由，又，由不等式性质知：， 所以．故选D． 3. D【解析】原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为，则，所以与的大小与a，2b的大小有关，故扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率的变化情况不确定.故选D. 4. C【解析】若a>b>0，则>，所以a＋>b＋，所以a－b>－，充分性成立．若a－b>－，则a＋－b－>0，即(a－b)>0，又a>0，b>0，所以1＋>0，所以a－b>0，即a>b，必要性成立．故“a>b”是“a－b>－”的充要条件．故选C. 5. B【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，因为a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以a1－1<0，a2－1<0.所以(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，所以M>N.故选B. 6．C【解析】由已知及三角形三边关系得，所以，则，两式相加得，所以.选项A,B,D错误.故选C. 7.CD【解析】因为实数a，b，c满足(a－b)(b－c)>0⇔(b－a)(b－c)<0，又a>c，则c<b<a，若a<0，则a(b－c)<0，故A不正确； 若a>0，则a(b－c)>0，故B不正确； 因为c<b<a，所以a－b>0，a－c>0，b－c>0，所以(a－b)(a－c)>0，(a－c)(b－c)>0，故C，D正确．故选CD. 8. BC【解析】依题意，，，所以，所以，所以A选项错误，B选项正确.所以，所以，所以C选项正确，D选项错误.故选BC. 9.AD【解析】因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，所以x2－2x>－3，故A正确； a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).因为(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定，所以a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误； 因为a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误； 用作差法比较，因为b>a>0，所以>0，所以<，故D正确.故选AD. 10、【解析】由，得，因此， 显然，则，所以大小关系是. 11.【解析】设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝a(x＋y)＋b(x－y)，则解得又因为－<(a＋b)<，－2<－(a－b)<－1，所以－<(a＋b)－(a－b)<，即－<2a＋3b<. 12.a>b>0(答案不唯一)【解析】由被开方数的性质可知a≥b≥0，当a＝b或b＝0时，＝－，故猜测使三个不等式同时成立的一个条件是a>b>0.验证：当a>b>0时，①②显然成立．对于③，()2－(－)2＝2－2b＝2(－)，因为a>b>0，所以2(－)>0，所以()2－(－)2>0，即>－. 13.【证明】（1）因为，所以，，所以.又，所以. （2）因为，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以. 14.【解】(1)a＝[(a＋b)＋(a－b)]，由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6，所以－2≤[(a＋b)＋(a－b)]≤3，即－2≤a≤3，故实数a的取值范围是[－2,3]． (2)设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，则解得所以 3a－2b＝(a＋b)＋(a－b).因为－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.所以－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10，所以－4≤3a－2b≤11，即3a－2b的取值范围是[－4,11]． . 学科网（北京）股份有限公司 $