精品解析：陕西咸阳市2025-2026学年第二学期期末质量检测高二数学试题

2025~2026学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或2 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，解得. 2. 在等比数列中，，则（ ） A. 14 B. 28 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【详解】由等比数列性质可知. 3. 某市10000名考生参加某次模拟考试，若他们的数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩在分之间的考生约有（ ） （附：若，则） A. 1570人 B. 2720人 C. 3414人 D. 6827人 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布关于均值对称的性质，结合给定的区间概率计算出成绩在分的概率，再乘以总考生数得到人数. 【详解】由题知数学成绩，因此均值，标准差，正态分布曲线关于对称， 数学成绩在之间的概率，即， 总考生共10000人，因此该分数段人数约为人. 4. 已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线的方程，运算求解即可. 【详解】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 5. 如图，已知三棱锥，为中点，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加法和减法运算化简即可. 【详解】因为为中点，所以， 因为为中点，所以， 则. 故选：D 6. 某人形机器人公司近5年的年利润情况如下表所示，若与线性相关，且经验回归方程是，则当时的残差为（ ） 年份代码 1 2 3 4 5 年利润千万元 9 10 21 26 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据经验回归直线过样本中心点求出对应的真实年利润，再计算时的预测值，最后按照残差定义计算残差. 【详解】年份代码的平均值， 因为经验回归方程过样本中心点，代入得， 又，所以，解得， 当时，预测值，真实值， 因此残差. 7. 函数在区间上的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，求出的增减性，求出. 【详解】由题意知， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以． 故选：A． 8. 从标有，，，，的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这样的四位数中大于的个数为（ ） A. 44 B. 43 C. 42 D. 41 【答案】D 【解析】 【分析】按千位数字分类讨论，结合四位偶数、大于的限制，分步计数每类符合条件的个数后求和得到结果. 【详解】要求从五张不重复的卡片中选4张，组成大于2027的四位偶数，按千位分类讨论： （1）若千位为3或4 ①千位为3，个位需为偶数，可选0、2、4共3种，剩余3个数字选2个排列百位十位， 共个； ②千位为4，个位需为偶数，可选0、2共2种，剩余3个数字选2个排列百位十位， 共个； 即此时满足条件的四位数共 个. （2）千位为2，千位已用2，个位只能是偶数0或4，分情况： ①个位为0，剩余数字1、3、4选2个排列百位十位，共 个； ②个位为4，剩余数字0、1、3选2个排列百位十位，共 个， 其中只有2014小于2027，其余5个都符合； 即此时满足条件的四位数共个. 综上，满足条件的四位数共个. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若函数在上可导，且，则 D. 若一物体的运动方程为，则其在时的瞬时速度为1 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本导数公式、导数定义与导数的物理意义，逐个计算各选项推导结果并判断正误. 【详解】对于A ：根据指数函数求导公式：，对于，可得，A正确； 对于B ：根据商的求导法则：，对，， B错误； 对于C ：根据导数定义：，，C错误； 对于D ：位移对时间的导数为瞬时速度，由，代入得，即瞬时速度为1，D正确. 10. 已知数列为等差数列，为其前项和，若，，则下列结论正确的有（ ） A. 公差 B. C. D. 当时，最小 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式求出公差，再结合通项、前n项和公式以及数列单调性逐一验证四个选项的正误. 【详解】对于A：已知，，所以，即，解得，A错误； 对于B：，B正确； 对于C：，C正确； 对于D：公差，数列递增，， 令得，即，， 因此前项均为负，和最小，即时最小，D正确. 11. 某同学有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了次骰子，最终有4次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子．设随机变量表示每掷次骰子出现1点的次数，现以使最大的值估计的取值并计算．若有多个使最大，则取其中的最小值．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据二项分布的定义判断；对B，对照二项分布概率公式判断；对C，通过比较相邻对应的比值，推导得出使最大的N满足不等式，因此；对D，由二项分布期望，结合的范围和题目“多解取最小”的规则，可推导出，因此. 【详解】对于A：是次独立重复掷骰子，出现1点的次数，每次掷出1点概率为，符合二项分布的定义， 因此，A正确； 对于B：因为，所以，B错误； 对于C：设为总次数为时的值， 计算相邻项比值， 令，化简得， 即​时，递增；​时，递减. 若不是整数，最大概率对应，满足，即； 若是整数，，题目要求取最小，因此； 两种情况都满足，C正确； 对于D：期望， 若不是整数，则，所以； 若是整数，则所以， 因此总有，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线上的一点到其焦点的距离为3，则的值为______________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的定义转化已知距离求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为点到焦点的距离为，由抛物线定义可得点到直线的距离为， 即，解得. 13. 在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴， 建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则令，解得，， 所以是平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， 则. 14. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数，转化为，在区间恒成立，参变分离后，即可求解. 【详解】，在区间恒成立， 所以，在区间恒成立，即在区间恒成立， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为64． （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式所有二项式系数和为，列方程求解； （2）先写出二项展开式通项，由知展开共项，中间第项二项式系数最大，代入算出该项结果. 【小问1详解】 由题意得，故． 【小问2详解】 由（1）知展开式的通项为，展开式共有7项， 故二项式系数最大的项为． 16. 秦腔是陕西最具代表性的戏曲艺术，2006年被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．为研究是否喜爱秦腔与年龄之间的关系，并为传统文化保护提供数据支持，某文化调研队在西安市随机抽取了200名当地居民进行调查，得到如下列联表： 秦腔 年龄 合计 40岁以下 40岁及以上 喜爱 45 45 90 不喜爱 75 35 110 合计 120 80 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜爱秦腔与年龄有关？ （2）现从所抽取的200名居民中随机抽取一人，在抽中喜爱秦腔的居民的条件下，求此人年龄在40岁以下的概率． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）喜爱秦腔与年龄有关 （2） 【解析】 【分析】（1）先建立年龄与喜爱秦腔无关的零假设，代入卡方独立性检验公式计算观测值，对比对应的临界值 ，若观测值更大则推翻假设，判定二者相关； （2）定义对应随机事件，先求出喜爱秦腔的总概率与 “喜爱秦腔且年龄低于 40 岁” 的联合概率，再套用条件概率公式算出结果. 【小问1详解】 零假设为：是否喜爱秦腔与年龄无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即可以认为是否喜爱秦腔与年龄有关． 【小问2详解】 设事件表示“抽中喜爱秦腔的居民”，事件表示“抽中年龄低于40岁的居民”， 则，， 所以， 即在抽中喜爱秦腔的居民的条件下，此人年龄在40岁以下的概率为． 17. 已知椭圆：的焦距为4，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率和焦距列出等式，求得即可； （2）由弦长公式即可求解. 【小问1详解】 由题知得，， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 椭圆的右焦点，所以直线的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 设，，由韦达定理知，，， 故． 由弦长公式，得， 即弦的长度为． 18. 某校的实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为． （1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中体测成绩“及格”的人数，求的分布列和数学期望； （3）现从该校随机抽取10名参加体测的学生，给每名体测成绩“及格”的学生计3分，给每名“非及格”的学生计1分，求这10名学生总得分的方差． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 （3） 【解析】 【分析】（1）先定义对立事件与及格事件，套用全概率公式拆分两种跑步情况分别计算及格概率再求和; （2）识别超几何分布，枚举随机变量全部取值，用组合公式算出各取值概率列出分布列，再代入期望公式计算均值； （3）先判定及格人数服从二项分布求出其方差，再利用方差线性性质换算总得分的方差. 【小问1详解】 设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30次”， 则“抽取1名学生，该学生平均每月跑步的次数不超过30次”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，可得， 所以从该校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为． 【小问2详解】 根据题意，随机变量的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为． 【小问3详解】 设表示“及格”学生人数，表示“总得分”，其中， 则变量，所以， 则， 故这10名学生总得分的方差为． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【小问1详解】 当时，，所以 所以切线方程为即， 【小问2详解】 ， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或2 2. 在等比数列中，，则（ ） A. 14 B. 28 C. 32 D. 64 3. 某市10000名考生参加某次模拟考试，若他们的数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩在分之间的考生约有（ ） （附：若，则） A. 1570人 B. 2720人 C. 3414人 D. 6827人 4. 已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知三棱锥，为中点，为中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 某人形机器人公司近5年的年利润情况如下表所示，若与线性相关，且经验回归方程是，则当时的残差为（ ） 年份代码 1 2 3 4 5 年利润千万元 9 10 21 26 A. B. C. D. 7. 函数在区间上的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 8. 从标有，，，，的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这样的四位数中大于的个数为（ ） A. 44 B. 43 C. 42 D. 41 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若函数在上可导，且，则 D. 若一物体的运动方程为，则其在时的瞬时速度为1 10. 已知数列为等差数列，为其前项和，若，，则下列结论正确的有（ ） A. 公差 B. C. D. 当时，最小 11. 某同学有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了次骰子，最终有4次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子．设随机变量表示每掷次骰子出现1点的次数，现以使最大的值估计的取值并计算．若有多个使最大，则取其中的最小值．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线上的一点到其焦点的距离为3，则的值为______________． 13. 在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______________． 14. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为64． （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项． 16. 秦腔是陕西最具代表性的戏曲艺术，2006年被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．为研究是否喜爱秦腔与年龄之间的关系，并为传统文化保护提供数据支持，某文化调研队在西安市随机抽取了200名当地居民进行调查，得到如下列联表： 秦腔 年龄 合计 40岁以下 40岁及以上 喜爱 45 45 90 不喜爱 75 35 110 合计 120 80 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜爱秦腔与年龄有关？ （2）现从所抽取的200名居民中随机抽取一人，在抽中喜爱秦腔的居民的条件下，求此人年龄在40岁以下的概率． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知椭圆：的焦距为4，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 18. 某校的实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为． （1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中体测成绩“及格”的人数，求的分布列和数学期望； （3）现从该校随机抽取10名参加体测的学生，给每名体测成绩“及格”的学生计3分，给每名“非及格”的学生计1分，求这10名学生总得分的方差． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $