精品解析：陕西渭南市校联考2025-2026学年下学期高二数学期末质量评估试题

渭南校联2025～2026学年下学期高二数学期末质量评估试题 2026.07 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求． 1. 下列说法错误的个数是（ ） ①根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据独立性检验，可以认为“与没有关联”；②对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，样本中心点为，则样本点的残差为；③当样本相关系数的绝对值等于时，样本数据无相关性；④在一组数据中插入一个数后，该组数据的方差变大 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】对①根据独立性检验的定义判断可得，对②先由样本中心求得回归直线方程，再根据残差定义计算可得，对③根据相关系数的定义判断可得，对④直接计算插入数前后数据的方差可得. 【详解】对①：独立性检验中，当时，仅能说明在显著性水平下，没有充分证据推断与有关联， 不能直接得出“与没有关联”的结论，故①错误； 对②：经验回归直线过样本中心点，代入得，解得，即回归方程为. 当时，，残差为，故②错误； 对③：样本相关系数刻画的是变量间的线性相关程度，当时，仅说明变量间不存在线性相关关系， 可能存在非线性相关关系，不能判定样本数据无相关性，故③错误； 对④：原数据的均值，方差； 插入数后，新数据的均值， 方差，方差变小，故④错误. 综上所述，个说法均错误. 2. 若函数的反函数为，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用互为反函数的两个函数可以互相还原，先求出的反函数表达式，再和题干给出的原函数 划等号，整理变形得到 的关系式. 【详解】由知，， 即函数的反函数为． 因函数的反函数为， 故；则B正确． 3. 已知函数，则是（） A. 偶函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是增函数 C. 偶函数，且在上是减函数 D. 奇函数，且在上是减函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和函数单调性的定义判断得到结果； 【详解】已知函数，定义域为，关于原点对称. ，故是奇函数. ，因为且在上单调递增. 所以在上单调递增，进而在上单调递减. 故在上单调递减. 综上，是奇函数，且在上是减函数. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，令，求导得， 令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 因为，所以， 所以，即， 综上，． 5. 对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，，，由条件结合伴随的定义可判断结论. 【详解】设，，，， 则，， 当和伴随，有或， 又，， 若和伴随，则或， 所以和伴随的充要条件是，即. 6. 已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据，结合已知条件，判断出等差数列的公差，再根据等差数列通项公式，把求的最小值转化为求的最小值，再通过赋值的方式求出的最小值即可． 【详解】设数列的公差为，设数列的公差为. 因为等差数列和的前项均为正整数，且公差均不为0， 所以首项和公差为整数，即， 若数列是递增数列，则，这样， 已知，此时，与题意不符， 故数列是递减数列，即， 而，， 若要求的最小值，只需求的最小值， 若要求的最小值，只需求最小值减去最大值，而最大值为， 时，， 下面分析最小值： 当时，，此时，即最小值必定大于等于； 当时，递减数列最小项，即，解得， 结合得，解得， 由于且为整数，故，则， 因为， 得，若，满足题干所有条件， 若，则，，，则， ，则，故， 结合为整数，，故， 则， 综上，的最小值为． 7. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式整理为，构造函数，用导函数判断函数单调性，再取对数变量分离，再令，求导函数进而求最值可得. 【详解】由，得，令， 则不等式变形为在上恒成立. 因为，再令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ，即，所以在上单调递增， 因此，由得，即，所以不等式在上恒成立. 设，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以，所以. 因此实数的取值范围为. 8. 某种酵母菌发酵过程中，发酵原液浓度，定义浓度对应的代谢函数，满足代谢变化率，已知原液浓度时，．现经过小时后，发酵液浓度变为，若要求，求实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过构造函数，判断其单调性，通过变形将不等式转化为求解. 【详解】设，则， 因为，所以， 所以在上单调递增. . 由，所以， 即，因为在上单调递增， 所以，即， 所以的取值范围是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 除以6所得余数为1 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，可求得，从而得，对于A，利用赋值法即可判断；对于B，由题意可得，利用二项式展开式的通项公式，即可判断；对于C，由题意可得，利用二项式展开式的通项公式，即可判断；对于D，对函数的两个解析式分别求导，再令，即可判断. 【详解】令，则有， 因为，则得，解得， 所以， 对于A，令，则有， 所以，故A错误； 对于B，因为， 其展开式的通项为：， 令，得， 所以，故B正确； 对于C，因为， 其展开式为： ， 所以除以6所得余数为1，故C正确； 对于D，因为， 求导得， 令,得； 又因为，则， 令,得，所以，故D正确. 10. 某校为了解课后体育锻炼与体质测试达标是否有关，随机调查了80名学生，得到如下列联表： 体质测试达标 体质测试未达标 合计 经常参加课后体育锻炼 30 10 40 不经常参加课后体育锻炼 20 20 40 合计 50 30 80 从参加调查的学生中随机抽取一人，记事件A为“该学生经常参加课后体育锻炼”，事件B为“该学生体质测试达标”，则（ ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A. B. C. 根据小概率值的独立性检验，可以认为经常参加课后体育锻炼与体质测试达标有关 D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为经常参加课后体育锻炼与体质测试达标有关 【答案】ABC 【解析】 【详解】 选项A：事件A为“该学生经常参加课后体育锻炼”，总调查人数为80，经常参加锻炼的共40人， 故，A正确； 选项B：为体质测试达标条件下，学生经常参加锻炼的概率， 体质达标的学生共50人，其中经常参加锻炼的有30人，故，B正确； 选项C：代入卡方公式计算得， 根据的独立性检验，可认为经常参加课后体育锻炼与体质测试达标有关，C正确； 选项D：，根据的独立性检验，不能认为经常参加课后体育锻炼与体质测试达标有关，D错误. 11. 已知函数对任意的，满足，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】构造函数，根据题意，求得在单调递增，结合选项，利用函数的单调性和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】构造函数，可得， 因为，可得， 又因为，所以，在单调递增， 对于A，由，可得，即， 可得，所以，所以A不正确； 对于B，由，可得，即， 可得，所以，所以B不正确； 对于C，由，可得，所以， 可得，所以C正确； 对于D，由，可得，所以， 可得，所以D不正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若正项整数数列满足，，已知，则的所有可能取值的和为________． 【答案】24 【解析】 【分析】利用递推关系进行求解． 【详解】因为， 当时，，解得， 当时，，解得或， 当时，，解得或或， 则的所有可能取值的和为：． 13. 已知实数，，成等比数列，则其公比是__________. 【答案】 【解析】 【详解】设数列的三项分别为，，， 设等比数列的公比为，则通项为，，， 所以,, 则. 14. 若，，不等式恒成立，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】若，不等式恒成立可转化为恒成立，构造函数，利用导数分析的单调性，即可求得的值. 【详解】若，，不等式恒成立， 则恒成立， 即， 即恒成立. 令，则在上单调递减. . 令，得，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以. 又，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤；15题13分，16～17题15分，18～19题17分． 15. 人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量.很多学校已经推出基于豆包的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用豆包解答完成100份不同的模拟试卷，统计其解答准确率，整理得到如下频数分布表： 准确率（%） 频数 10 20 30 （1）求的值，并估计豆包解答这100份试卷准确率的第62百分位数； （2）若按比例分配的分层随机抽样的方法从准确率在，的两组中抽取7份试卷，再从这7份试卷中随机抽取2份试卷，求这2份试卷来自同一组的概率. 【答案】（1），第62百分位数为 （2） 【解析】 【分析】（1） 先依据总频数为求解，再通过百分位数定义计算可得豆包解答这100份试卷准确率的第62百分位数； （2）先借助分层随机抽样定义求出从组及组抽出的份数，再利用列举法分别求出从这7份试卷中随机抽取2份试卷的所有可能种数及这2份试卷来自同一组的可能种数即可得. 【小问1详解】 ； 由，， 故豆包解答这100份试卷准确率的第62百分位数为； 【小问2详解】 ，，故从组抽取份，从组抽取份， 设从组抽取的份分别为， 从组抽取的份分别为， 则从这份试卷中随机抽取份试卷，有、、、 、、、、、、、 、、、、、、、 、、、，共种可能， 其中来自同一组的情况有、、、、、、 、、，共种可能， 故从这7份试卷中随机抽取2份试卷，这2份试卷来自同一组的概率为. 16. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）若在区间上单调，且存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】（1）的极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】代入参数值，求导求得函数极值； 求出导函数并因式分解，转为求更简单的函数值域，利用函数单调性求的初步范围， 利用存在性条件和函数最值进一步缩小的范围得出结论. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 则，，， 当时，，则，单调递减， 当时，，则，单调递增， 故时，有极小值：，没有极大值. 【小问2详解】 ， 在区间上单调，在上不变号，此时，， 令，则在上，恒成立或恒成立， 若在区间上单调递增，则恒成立， 即在上恒成立，即， 若在区间上单调递减，则恒成立， 即在上恒成立，即. 则当时，因在上单调递增，， 令，解得，故得； 当时，因在上单调递减，， 令，即，也即， 比较和大小： ，且，， . 故实数a的取值范围是. 17. 某互动智能屏的屏幕中央有一个圆形图案，其圆周上等距分布着6个感应点．点击“开始”后，每个感应点被点亮的概率均为，各感应点的显示结果相互独立．记被点亮的感应点的个数为随机变量X，以被点亮的感应点为顶点构成的直角三角形的个数为随机变量Y． （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据题意进行几何转化，再利用点亮数服从二项分布建模，对进行等价转化，进而求出相应概率； （2）对应3种互斥情况，求出相应概率，进而利用条件概率公式计算求解； （3）先定义指示变量，再利用期望线性性计算求解． 【小问1详解】 圆周上6个等距点对应正六边形顶点，由圆周角定理，直角三角形的斜边为圆的直径， 共3条直径，每条直径与其余4个点分别构成4个直角三角形，共计个直角三角形， 随机变量，即， 当且仅当恰好点亮3个点，且3个点恰好构成1个直角三角形， 总共个直角三角形，每个直角三角形对应“3个点亮、其余3个不亮”的互斥事件， 单个直角三角形被点亮的概率： ， 故． 【小问2详解】 ，仅发生在时，即4个点恰好是2条直径的端点，则 ， ，仅发生在时，即5个点恰好是2条直径的端点， 每条直径对应3个直角顶点，共6个直角三角形，则 ， ，仅发生在时，3条直径全部完整，共个直角三角形， ， 则， 且， 由条件概率公式得． 【小问3详解】 设个直角三角形对应指示变量，其中表示第个直角三角形的 三个顶点全被点亮，否则，则， 对每个，3个顶点全被点亮的概率为，故， 由线性期望得：． 18. 已知数列的首项为，点在函数的图象上． （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，． （i）求数列的前项和； （ii）试确定所有的正整数，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，并证明． 【答案】（1）因为点在函数的图象上， 所以，即， 整理得， 又，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，整理得； （2）（i）； （ii），设数列从第项开始，连续项的和为， ， ，数列的项全部为正奇数，因此要求为奇数，即为奇数， 因为恒为奇数，所以必须为奇数， 题意等价于存在正整数，使得③， 当为正偶数时， 令， ，因此， ，即是的倍数， 所以是偶数，与必须为奇数矛盾，即为正偶数均不满足条件， 当为正奇数时， 令， ，奇次幂保持余数， ，即除以余， 所以为奇数， 证明如下：取（取数列第一项为连续段起点）， 代入③得，解出， 为奇数，则为偶数，设，， ，， 所以能被整除，为整数， 又，代入得，即是正整数， 所以对任意正奇数，取时，总能找到对应的正整数，使连续项和，满足题意， 即满足条件的正整数是全体正奇数，即． 【解析】 【分析】（1）由点在函数图像上得递推式，取倒数变形构造，证得等比后利用等比通项反解出； （2）（i）代入化简求出，再算出，得到等差乘等比型数列，采用错位相减法求前项和； （ii）设连续项和，结合全为奇数，通过模分奇偶讨论；偶数时和为偶数矛盾舍去，奇数可找到对应正整数满足条件，故为全体正奇数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i），， ， 所以①， ②， ①②得， ， 所以； （ii）略 19. 已知函数的图象在定义域上连续不断，，，在区间上单调递减，是的导数. （1）证明：是周期函数； （2）给定，设，证明：存在，使得； （3）若，，，设函数. （i）求的最大值； （ii）若存在，使得对恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1）证明：由题知：， 所以， 所以， 所以是以4为周期的周期函数. （2）证明：，所以是偶函数， ①取代入①得，所以是周期为的周期函数，取代入①得，所以的图象关于直线轴对称， 所以，在[0,1]单调递减，在[1,2]单调递增，在 [0,2]的最小值为， 根据周期性，不妨设， 若，即，则，所以取，有， ②若，即，则 （i）若时，则，所以在单调递减，所以取，有, （ii）若时，则在上的最小值为，所以取，有, （iii）若时，直线关于直线的对称直线为，则，在上单调递增，且，所以取，有， 综上，对，存在，使得. （3）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）变形得，则； （2）通过其周期性、对称性和单调性得为的最小值，再取即可得； （3）（i）求导得，令，再合理赋值即可得到其最值； （ii）分和讨论，当时，转而证明总存在，使得成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （i）因为， 且， 所以是周期为4的偶函数，不妨设， 因为， 令，则，又因为， 所以或； 即或， 解得：或或或 因为，得， 又因为， ， ， ， 所以的最大值为. (ii)设， 一方面，若存在，使得对任意恒成立， 所以，对任意恒成立， 所以， 令， 同理， 所以，、、均不超过 假设 则，，（I） 根据（2）的周期为 2，我们取，又在[0,1][2,3]递减，在递增， 当时，由（I）的三个不等式得，它的解集为空集， 当时，由（I）的三个不等式得，它的解集为空集， 这就是说，假设不成立，即一定有成立， 因为在[0,2]单调递减，所以， 另一方面，当取时，由（i）知，取满足对任意的恒成立， 综合得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭南校联2025～2026学年下学期高二数学期末质量评估试题 2026.07 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求． 1. 下列说法错误的个数是（ ） ①根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据独立性检验，可以认为“与没有关联”；②对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，样本中心点为，则样本点的残差为；③当样本相关系数的绝对值等于时，样本数据无相关性；④在一组数据中插入一个数后，该组数据的方差变大 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 若函数的反函数为，那么（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则是（） A. 偶函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是增函数 C. 偶函数，且在上是减函数 D. 奇函数，且在上是减函数 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（ ）. A. B. C. D. 6. 已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 5 7. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 某种酵母菌发酵过程中，发酵原液浓度，定义浓度对应的代谢函数，满足代谢变化率，已知原液浓度时，．现经过小时后，发酵液浓度变为，若要求，求实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 除以6所得余数为1 D. 10. 某校为了解课后体育锻炼与体质测试达标是否有关，随机调查了80名学生，得到如下列联表： 体质测试达标 体质测试未达标 合计 经常参加课后体育锻炼 30 10 40 不经常参加课后体育锻炼 20 20 40 合计 50 30 80 从参加调查的学生中随机抽取一人，记事件A为“该学生经常参加课后体育锻炼”，事件B为“该学生体质测试达标”，则（ ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A. B. C. 根据小概率值的独立性检验，可以认为经常参加课后体育锻炼与体质测试达标有关 D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为经常参加课后体育锻炼与体质测试达标有关 11. 已知函数对任意的，满足，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若正项整数数列满足，，已知，则的所有可能取值的和为________． 13. 已知实数，，成等比数列，则其公比是__________. 14. 若，，不等式恒成立，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤；15题13分，16～17题15分，18～19题17分． 15. 人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量.很多学校已经推出基于豆包的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用豆包解答完成100份不同的模拟试卷，统计其解答准确率，整理得到如下频数分布表： 准确率（%） 频数 10 20 30 （1）求的值，并估计豆包解答这100份试卷准确率的第62百分位数； （2）若按比例分配的分层随机抽样的方法从准确率在，的两组中抽取7份试卷，再从这7份试卷中随机抽取2份试卷，求这2份试卷来自同一组的概率. 16. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）若在区间上单调，且存在，使得，求实数a的取值范围． 17. 某互动智能屏的屏幕中央有一个圆形图案，其圆周上等距分布着6个感应点．点击“开始”后，每个感应点被点亮的概率均为，各感应点的显示结果相互独立．记被点亮的感应点的个数为随机变量X，以被点亮的感应点为顶点构成的直角三角形的个数为随机变量Y． （1）求； （2）求； （3）求． 18. 已知数列的首项为，点在函数的图象上． （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，． （i）求数列的前项和； （ii）试确定所有的正整数，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，并证明． 19. 已知函数的图象在定义域上连续不断，，，在区间上单调递减，是的导数. （1）证明：是周期函数； （2）给定，设，证明：存在，使得； （3）若，，，设函数. （i）求的最大值； （ii）若存在，使得对恒成立，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $