精品解析：陕西省咸阳市永寿县中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

高二数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前三章，选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题p：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数，则“”是“在第一象限单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有（ ） A. 24种 B. 16种 C. 12种 D. 6种 6. ，两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且，两种品牌的钢笔的次品率分别为和．若市场上这种型号钢笔的次品率为，则（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（ ） A. B. C. D. 2 8. 除以128的余数为（ ） A. 51 B. 43 C. 41 D. 33 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共有项 B. 展开式的第项系数为 C. 展开式的所有项的系数之和为 D. 展开式的所有二项式系数之和为 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. 图象的一个对称中心为点 B. C. 的一个周期为12 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组样本数据不全相等散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据相关系数为___________. 13. 已知，若，则______. 14. 六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 研究人员对某种口腔药物的使用时间x（单位：分钟）与口腔内细菌的含量水平y进行了检验，得到了口腔内细菌的含量水平与药物使用时间的数据，如下表所示： 药物使用时间x/分钟 1 2 3 4 5 口腔内细菌含量水平y 92 85 73 65 52 （1）根据散点图可以判断，y与x呈线性相关关系，求y关于x的经验回归方程； （2）经过对这种细菌的研究发现，当口腔内细菌含量水平低于5时，可认为口腔处于健康状态，请你计算该药物使用多长时间后口腔处于健康状态（结果精确到整数）. 附：用最小二乘法求经过点，，，…，的经验回归方程的系数公式，，. 16. 某平台为了解企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，对200家企业进行跟踪调查，发现其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有100家，余下的企业中，每天线上销售额不足50万元的企业占. 每天线上销售额不少于50万元 每天线上销售额不足50万元 合计 每天线上销售时间不少于8小时 70 每天线上销售时间不足8小时 合计 （1）请完成上面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为企业的每天线上销售额与每天线上销售时间有关； （2）在上述线上销售时间不足8小时的企业中，按线上销售额进行分层抽样，抽取5家企业，再从这5家企业中抽取3家企业，求抽取的3家企业中恰有1家企业线上销售额不足50万元的概率. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 17 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求，； （2）若有三个零点，求实数的取值范围． 18. 随机选取某市6所小学调研“徒步走”活动参加情况，统计各校参加学生人数，所得数据如下表所示： 学校 甲 乙 丙 丁 戊 戌 参加“徒步走”人数 50 55 45 48 60 56 （1）现从这6所小学中随机选出3所，记其中参加“徒步走”人数不低于55的学校数量为X，求X的分布列和数学期望. （2）在“徒步走”活动终点设置挑战游戏，每位“徒步走”活动参与者都可参与挑战，每次挑战都需要闯3关，且参与者每次挑战至少通过其中2关，才视为挑战成功，每关是否通过互不影响.已知参与者小明每关通过的概率均为. ①求小明1次挑战成功的概率； ②若小明进行多次挑战，且希望挑战成功总次数的期望大于3，则理论上他至少需挑战多少次？ 19. 已知函数，. （1）判断的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）若方程有两个不同的根，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前三章，选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的含义即可得到答案. 【详解】根据并集的含义得. 故选：D. 2. 若命题p：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可得到答案. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题， 则为，. 故选：D. 3. 若随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的性质求出，再根据标准差与方差的关系求出. 【详解】因为，所以， 故. 故选：C. 4. 已知幂函数，则“”是“在第一象限单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数单调性和充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】当时，幂函数在第一象限单调递增， 所以“”是“在第一象限单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有（ ） A. 24种 B. 16种 C. 12种 D. 6种 【答案】C 【解析】 【分析】从四个当中选两个安排在不同日期，意味着有顺序需要用排列解决. 【详解】由题意可得不同的选择及安排方法有种. 故选：. 6. ，两种品牌某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且，两种品牌的钢笔的次品率分别为和．若市场上这种型号钢笔的次品率为，则（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式计算直接得出结果. 【详解】设从市场上任取一支该种型号钢笔，它是次品为事件A， 则，解得，故B正确. 故选：B. 7. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出，，则，，代入曲率公式求解即可． 【详解】令，则，． 因为，， 所以曲线在点处的曲率为． 故选：B 8. 除以128的余数为（ ） A. 51 B. 43 C. 41 D. 33 【答案】C 【解析】 【分析】变形为，再利用二项展开式即可得到答案. 【详解】因为， 且显然能被128整除， 所以所求余数即为681除以128的余数. 因为，所以除以128的余数为41. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于展开式，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共有项 B. 展开式的第项系数为 C. 展开式的所有项的系数之和为 D. 展开式的所有二项式系数之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的相关概念和性质，分别对各选项进行分析判断. 【详解】展开式共有101项，A正确； 展开式的第2项系数为，B错误； 令，得展开式所有项的系数之和为，C正确； 展开式的所有二项式系数之和为，D正确. 故选：ACD. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A，利用作差法判断BCD. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，，故C正确；对于D，因为，所以，故D不正确． 故选：AC 11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. 图象的一个对称中心为点 B. C. 的一个周期为12 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由为奇函数关于对称，则可得关于对称，则可对A、B判断；结合，可化简得到，可对C判断；利用周期可得，可对D判断. 【详解】A、B：因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以的图象关于点对称，且，故A正确，B不正确； C:因为，所以，所以，所以，故C正确； D：因为当时，，所以，故D不正确． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组样本数据不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据相关系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据回归直线方程为，可知相关系数为负数，又所有样本点都在直线上，即可求出答案. 【详解】因为所有样本点都在直线上，则这组样本数据相关系数为. 故答案为：. 13. 已知，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算. 【详解】由，，得. 故答案为： 14. 六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数为______. 【答案】1560 【解析】 【分析】分为按2，2，1，1和按3，1，1，1分发，再利用排列组合数计算即可. 【详解】若书本数按2，2，1，1分发，则有种不同的分配方法； 若书本数按3，1，1，1分发，则有种不同的分配方法. 故共有1560种不同的分配方法. 故答案为：1560. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 研究人员对某种口腔药物的使用时间x（单位：分钟）与口腔内细菌的含量水平y进行了检验，得到了口腔内细菌的含量水平与药物使用时间的数据，如下表所示： 药物使用时间x/分钟 1 2 3 4 5 口腔内细菌含量水平y 92 85 73 65 52 （1）根据散点图可以判断，y与x呈线性相关关系，求y关于x的经验回归方程； （2）经过对这种细菌的研究发现，当口腔内细菌含量水平低于5时，可认为口腔处于健康状态，请你计算该药物使用多长时间后口腔处于健康状态（结果精确到整数）. 附：用最小二乘法求经过点，，，…，的经验回归方程的系数公式，，. 【答案】（1） （2）10分钟 【解析】 【分析】（1）计算出样本中心点，再利用回归直线公式即可； （2）代入回归直线方程得到不等式，解出即可. 【小问1详解】 因为，， ， ， 所以， 所以， 所以y关于x的经验回归方程为. 【小问2详解】 要使口腔内细菌含量水平低于5，则， 解得，故该药物使用10分钟后口腔处于健康状态. 16. 某平台为了解企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，对200家企业进行跟踪调查，发现其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有100家，余下的企业中，每天线上销售额不足50万元的企业占. 每天线上销售额不少于50万元 每天线上销售额不足50万元 合计 每天线上销售时间不少于8小时 70 每天线上销售时间不足8小时 合计 （1）请完成上面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为企业的每天线上销售额与每天线上销售时间有关； （2）在上述线上销售时间不足8小时的企业中，按线上销售额进行分层抽样，抽取5家企业，再从这5家企业中抽取3家企业，求抽取的3家企业中恰有1家企业线上销售额不足50万元的概率. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 【答案】（1）列联表见解析，没有 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件完善联表，用求出数值，对比2.706即可 （2）先分层抽样得到各部分抽取数目，再用组合数算出对应概率 【小问1详解】 每天线上销售额不少于50万元 每天线上销售额不足50万元 合计 每天线上销售时间不少于8小时 70 30 100 每天线上销售时间不足8小时 60 40 100 合计 130 70 200 因为， 所以没有90%的把握认为企业的每天线上销售额与每天线上销售时间有关. 【小问2详解】 因为每天线上销售时间不足8小时的100家企业中，线上销售额不少于50万元的企业有60家，线上销售额不足50万元的企业有40家，所以抽出的5家企业中线上销售额不少于50万元的企业有3家，线上销售额不足50万元的企业有2家. 设“抽取的3家企业中恰有1家企业每天线上销售额不足50万元”为事件A， 则， 即抽取的3家企业中恰有1家企业每天线上销售额不足50万元的概率为. 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求，； （2）若有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义及导数函数值列方程求解即可； （2）将问题转化为曲线与直线有三个交点，令， 利用导数法研究其单调性，结合函数的极值数形结合即可求解. 【小问1详解】 因为，所以． 因为，，所以， 解得； 【小问2详解】 因为有三个零点，且， 所以关于的方程有三个不同的根， 即曲线与直线有三个交点． 令， 则． 因为， 所以在，上单调递减，在上单调递增． 因为，所以当时，直线与曲线有三个交点， 故实数的取值范围是． 18. 随机选取某市6所小学调研“徒步走”活动的参加情况，统计各校参加学生人数，所得数据如下表所示： 学校 甲 乙 丙 丁 戊 戌 参加“徒步走”人数 50 55 45 48 60 56 （1）现从这6所小学中随机选出3所，记其中参加“徒步走”人数不低于55的学校数量为X，求X的分布列和数学期望. （2）在“徒步走”活动的终点设置挑战游戏，每位“徒步走”活动参与者都可参与挑战，每次挑战都需要闯3关，且参与者每次挑战至少通过其中2关，才视为挑战成功，每关是否通过互不影响.已知参与者小明每关通过的概率均为. ①求小明1次挑战成功的概率； ②若小明进行多次挑战，且希望挑战成功总次数的期望大于3，则理论上他至少需挑战多少次？ 【答案】（1）分布列见解析， （2）①；②12次 【解析】 【分析】（1）写出所有的可能取值，再计算出分布列，最后利用期望公式即可； （2）①利用组合数和独立事件的乘法公式即可； ②利用二项分布的期望公式得到不等式，解出即可. 【小问1详解】 参加“徒步走”人数不低于55的学校共3所，则X的所有可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 【小问2详解】 ①小明1次挑战成功的概率为. ②小明在n轮挑战中挑战成功总次数服从二项分布，即， 由题意可得，因为，所以解得， 所以理论上小明至少需挑战12次. 19. 已知函数，. （1）判断的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）若方程有两个不同的根，，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，讨论的取值范围可得的单调性. （2）根据条件可得恒成立，分离参数，构造函数，通过导数求函数的最值可得结果. （3）分析条件可得，通过构造函数、分析函数单调性可证明结论. 【小问1详解】 因为，所以. 当时，，所以在和上单调递减； 当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减； 当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减. 【小问2详解】 （方法一）因为恒成立， 所以恒成立. 令，则.令，则在上单调递增. 因为，所以，即. 由，得. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. （方法二）令，则恒成立. ， ①当时，因为，所以，所以在上单调递减. 因为，所以不恒成立. ②当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故. 因为函数在上单调递增，且， 所以当时，恒成立. 【小问3详解】 设，由（2）得，， 当时，，此时 因为，，当时，， 所以有两个不同的根，即有两个不同的根，，且. 由得，， 因为函数在上单调递增，且，所以， 所以，故. 又，所以. 令，则. 要证，只要证，即证. 方法一：要证，即证. 令，，则. 令，，则， 所以在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 所以，即成立，故. 方法二：要证，即证. 令，则， 所以上单调递增， 所以，即，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$