精品解析：山东省潍坊市坊子区2025-2026学年第二学期八年级期末考试数学试题

2025—2026学年度第二学期期末质量检测八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得 第一步 二次项系数化为1，得① 第二步 配方，得② 第三步 ①②处应分别填入的数是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 游乐园中“海盗”船（图1）围绕顶端横梁左右摇摆，给游客带来奇妙的运动体验．小莹同学绘制了“海盗”船在两个不同时刻摇摆状态的侧面示意图（图2），横梁可视为一点，那么在小莹的绘画中横梁应是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 已知关于的方程，下列的取值能使方程有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则下列关于一次函数的说法正确的是（ ） A. 该函数图象与轴交于点 B. 该函数图象经过第一、二、三象限 C. 当时， D. 当时， 7. 在篮球选修课上，男、女各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，命中次数如图所示．则下列结论正确的是（ ）． A. 男生投篮平均水平比女生投篮平均水平高 B. 男生、女生投篮命中次数的中位数均为6 C. 男生、女生投篮命中次数的离差平方和相等 D. 男生的投篮命中次数比女生的投篮命中次数波动大 8. 2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 在测浮力的实验中，某实验小组将一长方体石块从玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，如图①．在此过程中弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图②所示．已知石块入水后，，则以下说法一定正确的是（ ） A. 长方体石块的高度为 B. 当时，与的函数表达式为 C. 石块下降时，石块所受的浮力是 D. 当弹簧测力计的示数为时，石块距离器皿底部 10. 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．当点落在线段的延长线上时，与相交于点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是__________． 12. 学校广播站招聘一名学生播音员，某应聘者三项测试的成绩如下表： 测试项目 稿件创作 综合知识 口语表达 测试成绩/分 85 75 95 若将稿件创作、综合知识和口语表达三项测试成绩按的比例计算总成绩，则该应聘者的总成绩是______分． 13. 已知关于的一元二次方程的两个实数根均为整数，请写出一个满足条件的的值：_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边所在的直线与轴交于点，与直线交于点，边与轴交于点，直线经过点、．给出以下四个结论：①点的坐标为；②；③；④．其中正确的是________．（只填序号） 15. 如图，在中，，，点是直线上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接，则线段长度的最小值为_________． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）解方程：． 17. 如图，网格图中每个小正方形的边长为1，矩形的顶点都在格点上，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）根据条件，在网格图中画出平面直角坐标系； （2）将矩形平移得到矩形，点的对应点的坐标为，请画出平移后的矩形； （3）请画出矩形绕点顺时针旋转得到的矩形． 18. 关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． （1）代数式的等根值为____________； （2）已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 19. 潍坊萝卜是当地有名的特色农产品，其水果萝卜品种繁多，不同品种在外观、口感及生长特性上各有差异．为探究不同萝卜品种的生长均匀度，某数学兴趣小组从种植基地随机选取甲、乙两个品种的萝卜各20个，并测量了其直径（单位：）． 【数据收集、整理、描述】 甲品种萝卜直径： 60，62，63，65，66，67，67，67，68，68，68，69，69，69，70，70，71，72，74，75． 乙品种萝卜直径在范围内的具体数据是：66，66，66，67，67，68，68，68，69． 【数据分析】 该数学兴趣小组根据收集的数据绘制了如下的统计表与箱线图： 品种 平均数 众数 方差 四分位数 第一四分位数 中位数 第三四分位数 甲 67、68、69 68 乙 66、68 72 【问题解决】 （1）求，，，的值； （2）若种植户想要种植大小更均匀、品相更稳定的萝卜，你会推荐哪个品种？请综合以上信息说明理由． 20. 某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为，停车场内共设计了如图所示的40个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2倍还多．停车场内所有横、纵向的通车道的宽度均相等．设每个停车位的宽为． （1）请用含的代数式表示横向通车道的长； （2）求该停车场的每个停车位的宽． 21. 如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，与相交于点，此时点恰好在的角平分线上． （1）求证：； （2）求平移的距离． 22. 某南北走向的路段设有双向四车道，在车流高峰时段，该路段经常拥堵．交通部门统计了该路段从时至时的车流量（单位：辆/分钟），分别绘制了如图所示的（自北向南车流量）、（自南向北车流量）与时刻（单位：时）的函数图象，其中． （1）求自北向南车流量与时刻之间的函数表达式； （2）求函数与的图象的交点坐标，并结合图象比较该路段在时至时两个方向的车流量的大小； （3）为缓解拥堵，交通部门通过“潮汐车道”动态调整车道方向，即大流量方向的汽车可借用相邻的对向的一条机动车道通行，对向相邻的这条车道则改变成与拥堵车道一致的行驶方向．据有关统计：当某一方向车流量不低于双向总车流量的时，该方向视为严重拥堵，需启用潮汐车道．在时至时内，你认为该路段应如何设置“潮汐车道”？ 23. 在中，，，点是直线上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角，点的对应点是点，连接，． 【基本探究】 （1）如图1，当点在边上时，线段、、之间满足的数量关系为__________； （2）如图2，当点在的延长线上时，猜想、、之间的数量关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）当点在直线上时，若，，．根据题意在图3中画出相应图形，并求的长． （4）当点在直线上时，若，，．直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末质量检测八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： 2. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意． 3. 小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得 第一步 二次项系数化为1，得① 第二步 配方，得② 第三步 ①②处应分别填入的数是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先将二次项系数化为1得到①，再根据配方的规则求出②即可． 【详解】解： 把常数项移到方程的右边，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得． 因此①为，②为． 4. 游乐园中“海盗”船（图1）围绕顶端横梁左右摇摆，给游客带来奇妙的运动体验．小莹同学绘制了“海盗”船在两个不同时刻摇摆状态的侧面示意图（图2），横梁可视为一点，那么在小莹的绘画中横梁应是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转中心在对应点所连线段的中垂线上进行逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，四边形与四边形成旋转对称，其旋转中心为M． 5. 已知关于的方程，下列的取值能使方程有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等实数根的条件，得到判别式大于0，求出m的取值范围，再匹配选项得到答案． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得，， 对比选项，只有A选项的 符合要求，故选A． 6. 已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则下列关于一次函数的说法正确的是（ ） A. 该函数图象与轴交于点 B. 该函数图象经过第一、二、三象限 C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知一次函数的图象位置确定的取值范围，再结合一次函数的性质逐一分析选项． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴． 选项A：对于，令，得，则函数图象与轴交于点，故本选项错误； 选项B：在中，，，则函数图象经过第一、二、四象限，故本选项错误； 选项C：由得中随的增大而减小，当时，，故本选项错误； 选项D：， ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴． 故本选项正确． 7. 在篮球选修课上，男、女各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，命中次数如图所示．则下列结论正确的是（ ）． A. 男生投篮平均水平比女生投篮平均水平高 B. 男生、女生投篮命中次数的中位数均为6 C. 男生、女生投篮命中次数的离差平方和相等 D. 男生的投篮命中次数比女生的投篮命中次数波动大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折线统计图、平均数、中位数、方差（离差平方和）的统计意义，核心规律：平均数反映平均水平，中位数反映中间水平，方差/离差平方和反映数据波动大小． 【详解】解：实线（男生）编号1~5命中数：4，5，2，8，6， 虚线（女生）编号1~5命中数：5，3，7，6，4， 男生平均数： ， 女生平均数： ， 男女平均水平相等，A错误． 男生数据从小到大排序：2，4，5，6，8，中位数为第3个数：5； 女生数据从小到大排序：3，4，5，6，7，中位数为第3个数：5， 中位数均为5不是6，B错误． 离差平方和公式：，男女生均值都为5男生离差平方和： ； 女生离差平方和： ； ，离差平方和不相等，C错误． 方差反映波动，样本数量相同，方差： 男生离差平方和女生离差平方和10，因此男生方差更大，命中次数波动更大，D正确． 8. 2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 9. 在测浮力的实验中，某实验小组将一长方体石块从玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，如图①．在此过程中弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图②所示．已知石块入水后，，则以下说法一定正确的是（ ） A. 长方体石块的高度为 B. 当时，与的函数表达式为 C. 石块下降时，石块所受的浮力是 D. 当弹簧测力计的示数为时，石块距离器皿底部 【答案】C 【解析】 【分析】通过函数图象获取石块重力、入水点及完全浸没时的拉力信息，利用待定系数法求出函数解析式，结合浮力公式及几何关系逐项判断即可． 【详解】解：由图②可知，当时，保持不变，说明此时石块未接触水面，则， 当时，石块开始进入水中，当时，保持不变，说明此时石块全部浸入水中， 由图①可知，石块初始位置底部距离容器底，则石块距离水底的高度，  A．，故石块的高度为，故A选项错误； B．当时， 设， 将点，代入得， 解得， ，故B选项错误； C．当时，， 此时，故C选项正确； D．当时，由图②可知， 此时石块距离水底的距离无法确定，故D选项错误 ． 10. 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．当点落在线段的延长线上时，与相交于点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，先证明，再证明，设，则根据勾股定理，得，解答即可； 【详解】解：连接， 矩形绕点顺时针旋转得到矩形，，， ，，，， ∵在和中 ， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 设，则 根据勾股定理，得， 故， 解得， 故的长为. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：要使有意义，则，解得． 12. 学校广播站招聘一名学生播音员，某应聘者三项测试的成绩如下表： 测试项目 稿件创作 综合知识 口语表达 测试成绩/分 85 75 95 若将稿件创作、综合知识和口语表达三项测试成绩按的比例计算总成绩，则该应聘者的总成绩是______分． 【答案】 【解析】 【分析】根据三项成绩的权重，利用加权平均数公式计算该应聘者的总成绩. 【详解】解：（分）. 13. 已知关于的一元二次方程的两个实数根均为整数，请写出一个满足条件的的值：_______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到方程两根的乘积为，找出乘积为的整数对，再结合两根之和求出的可能值，任取一个正确值即可． 【详解】解：设一元二次方程的两个实数根为， 则，， ∵两根均为整数，对进行整数因数分解，取，满足， 此时，即，解得． 满足条件的还可以为等，任意写出一个正确值即可． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边所在的直线与轴交于点，与直线交于点，边与轴交于点，直线经过点、．给出以下四个结论：①点的坐标为；②；③；④．其中正确的是________．（只填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先求出点坐标，证明，得到，进而求出点坐标，联立，求出点坐标，待定系数法求出的值，证明，得到，根据全等三角形的面积相等，得到，，进而得到，得到即可. 【详解】解：∵直线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 联立，解得， ∴， ∵直线经过点、， ∴，解得，故②正确； ∵点在直线上，即点在一三象限的角平分线上， ∴， 又∵， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．故④错误. 综上：正确的是①②③. 15. 如图，在中，，，点是直线上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接，则线段长度的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，使，连接，作于点，三线合一结合含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，证明，推出点在过点平行于的直线上运动，根据垂线段最短，得到当时，的长度最小，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可. 【详解】解：延长至点，使，连接，作于点， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在过点平行于的直线上运动， ∴当时，的长度最小， 在中，，， ∴. 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）解方程：． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【小问1详解】 解：（1）； ； 【小问2详解】 解： = = ； 【小问3详解】 解： 整理得： 因式分解得： 所以， 解得：，． 17. 如图，网格图中每个小正方形的边长为1，矩形的顶点都在格点上，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）根据条件，在网格图中画出平面直角坐标系； （2）将矩形平移得到矩形，点的对应点的坐标为，请画出平移后的矩形； （3）请画出矩形绕点顺时针旋转得到的矩形． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据点B，D的坐标建立平面直角坐标系即可；（2）根据A点平移后的坐标为得出平移的方式，再根据平移的性质作图即可；（3）利用旋转性质画出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． （1）代数式的等根值为____________； （2）已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 【答案】（1）0或1 （2） ①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值 ②的值为，另一个等根值为2 【解析】 【分析】（1）根据“等根值”的定义，将问题转化为对应的一元二次方程，解方程即可； （2）①由题得到关于的一元二次方程，计算根的判别式，如果判别式恒大于0，那么方程总有两个不相等的实数根，即代数式总有两个不相等的等根值； ②将已知的等根值代入对应的方程求解的值，再将代回方程，再解方程求出另一个根即可． 【小问1详解】 由题可得， 整理得， ， 解得，； 【小问2详解】 ①略； ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2． 19. 潍坊萝卜是当地有名的特色农产品，其水果萝卜品种繁多，不同品种在外观、口感及生长特性上各有差异．为探究不同萝卜品种的生长均匀度，某数学兴趣小组从种植基地随机选取甲、乙两个品种的萝卜各20个，并测量了其直径（单位：）． 【数据收集、整理、描述】 甲品种萝卜直径： 60，62，63，65，66，67，67，67，68，68，68，69，69，69，70，70，71，72，74，75． 乙品种萝卜直径在范围内的具体数据是：66，66，66，67，67，68，68，68，69． 【数据分析】 该数学兴趣小组根据收集的数据绘制了如下的统计表与箱线图： 品种 平均数 众数 方差 四分位数 第一四分位数 中位数 第三四分位数 甲 67、68、69 68 乙 66、68 72 【问题解决】 （1）求，，，的值； （2）若种植户想要种植大小更均匀、品相更稳定的萝卜，你会推荐哪个品种？请综合以上信息说明理由． 【答案】（1）；；； （2）优先选择甲品种．因为从箱线图看，两个品种萝卜的直径中位数相同，但甲品种的直径明显更集中，粗细更均匀，品相就更好．（合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据平均数，四分位数，中位数的含义可得答案； （2）根据中位数的含义分析即可． 【小问1详解】 解：∵60，62，63，65，66，67，67，67，68，68，68，69，69，69，70，70，71，72，74，75． ∴以为基准, ； 由题意知:范围内有个数据，范围内有个数据，一共个数据， ∴中位数应是第和第个数据的平均数，即， 即； 方法一：∵60，62，63，65，66，67，67，67，68，68，68，69，69，69，70，70，71，72，74，75． ， ∴， ∵， ∴， 方法二：∵60，62，63，65，66，67，67，67，68，68，68，69，69，69，70，70，71，72，74，75． ∴第一四分位数为前个数据的中位数，即第个，第个数据的平均数为， 第三四分位数为后个数据的中位数，即第个，第个数据的平均数为． 【小问2详解】 略 20. 某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为，停车场内共设计了如图所示的40个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2倍还多．停车场内所有横、纵向的通车道的宽度均相等．设每个停车位的宽为． （1）请用含的代数式表示横向通车道的长； （2）求该停车场的每个停车位的宽． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据长比宽的2倍多表示出停车位的长，再结合图形中横向停车位的排列数量，加上通车道宽度相关的部分，得到横向通车道的长的表达式； （2）结合图形分别表示出整个停车场的长和宽，利用停车场面积为建立方程，并解方程，结合实际意义对根进行取舍，得到停车位的宽即可． 【小问1详解】 解：∵每个停车位的宽为，且长比宽的2倍多， ∴停车位的长为， 观察图形可得横向通车道的长为4个停车位的宽与两个停车位长的和， ∴横向通车道的长为； 【小问2详解】 解：由题意得： 整理得： 解得：，（舍去） 答：货运停车场的每个停车位的宽为． 21. 如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，与相交于点，此时点恰好在的角平分线上． （1）求证：； （2）求平移的距离． 【答案】（1） 证明：连接 因为平移得到， 所以， 所以四边形是平行四边形 所以 所以 因为是的角平分线 所以 所以 所以 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）因为平移的性质可得，所以可推得；结合是的角平分线，可得，所以，依据等角对等边得到，再结合即可推导结论； （2）作于，得到可证得（），再用勾股定理求得的长，进而设，在中，由勾股定理得解出即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：作于， 则 因为， 所以（） 所以 在中， 所以 所以 设，则， 在中，由勾股定理得 解得： 所以平移的距离为． 22. 某南北走向的路段设有双向四车道，在车流高峰时段，该路段经常拥堵．交通部门统计了该路段从时至时的车流量（单位：辆/分钟），分别绘制了如图所示的（自北向南车流量）、（自南向北车流量）与时刻（单位：时）的函数图象，其中． （1）求自北向南车流量与时刻之间的函数表达式； （2）求函数与的图象的交点坐标，并结合图象比较该路段在时至时两个方向的车流量的大小； （3）为缓解拥堵，交通部门通过“潮汐车道”动态调整车道方向，即大流量方向的汽车可借用相邻的对向的一条机动车道通行，对向相邻的这条车道则改变成与拥堵车道一致的行驶方向．据有关统计：当某一方向车流量不低于双向总车流量的时，该方向视为严重拥堵，需启用潮汐车道．在时至时内，你认为该路段应如何设置“潮汐车道”？ 【答案】（1） （2）当时，；当时，；当时， （3）自北向南方向在时到时，需启用潮汐车道，相邻的自南向北的一条车道要临时改为自北向南的通行方向；自南向北方向在时到时，需启用潮汐车道，相邻的自北向南的一条车道要临时改为自南向北的通行方向 【解析】 【分析】（1）设与之间的函数表达式为，把和代入，解方程组求出、的值，即可得出答案； （2）联立和解析式，解方程组即可求出交点坐标，根据图象及交点坐标解答即可； （3）先求出，再分别求出时，时，的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， ∵该函数的图象经过点和， ∴， 解得：， ∴与之间的函数表达式为． 【小问2详解】 解：联立和解析式得，， 解得：， ∴交点坐标为， 观察图象得：当时，； 当时，； 当时，． 【小问3详解】 解：由题意得： 当时，即， 解得：； 当时，即 解得：． 所以，自北向南方向在时到时，需启用潮汐车道，相邻的自南向北的一条车道要临时改为自北向南的通行方向；自南向北方向在时到时，需启用潮汐车道，相邻的自北向南的一条车道要临时改为自南向北的通行方向． 23. 在中，，，点是直线上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角，点的对应点是点，连接，． 【基本探究】 （1）如图1，当点在边上时，线段、、之间满足的数量关系为__________； （2）如图2，当点在的延长线上时，猜想、、之间的数量关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）当点在直线上时，若，，．根据题意在图3中画出相应图形，并求的长． （4）当点在直线上时，若，，．直接写出的长． 【答案】（1） （2）， 理由如下： ， ， 即， 又，， ， ， ， ； （3）； 或； （4）或 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质可得； （2）可证，根据全等三角形的性质可得； （3）分点在点右侧和点在点左侧两种情况求解； （4）分点在线段上、在点右侧、在点左侧三种情况求解． 【小问1详解】 解：由旋转可知，， ， ， ， 在和中，， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点在点右侧时，如下图所示， ， ，， ， ， ， ， ， ； 当点在点左侧时，如下图所示， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或； 【小问4详解】 解：当点在线段上时，如下图所示， 过点作交延长线于点， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ； 当点在点的右侧时，如下图所示， 过点作交延长线于点， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ； 当点在点左侧时，如下图所示， 过点作于点， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 在中，， ， 解得：，（不符合题意，舍去） ； 综上所述，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $