精品解析：山东省临沂市郯城县2025--2026学年度八年级下学期期末数学试题

2025~2026学年度下学期学业质量检测试题 八年级数学 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，都在直线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 4. 已知中，，，分别是，，的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 正比例函数中y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①②③④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. ①处可填 B. ②处可填 C. ③处可填 D. ④处可填 7. 如图，将一个正五边形和一个正六边形的底边放在直线上，且为它们的公共顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，根据尺规作图的痕迹，长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的周长为36，对角线、相交于点，点是的中点，，则的周长为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 24 10. 甲骑电动车，乙骑自行车从郯国古城门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图②所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲的速度是，乙的速度是． B. 乙出发时，甲追上乙． C. 图②中，． D. 甲乙两人相距时，乙出发时间为或． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 使有意义的的取值范围是______________． 12. 课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：），数据如下：，则这组数据的下四分位数是_____． 13. 定义为一次函数的特征数，若点在特征数是的一次函数上，则的值是_________． 14. 一次函数与的图象如图所示，则的解集是______． 15. 如图，矩形中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接和，若，，①四边形是菱形；②；③；④若点是直线上的一个动点，则的最小值是9．其中一定正确的结论的序号为________________． 三、解答题：本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在平行四边形中，是边上的一点，点，点分别在，延长线上，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，求的长． 18. 某学校调查九年级学生对在2023年3月5日在北京召开的“第十四届全国人民代表大会第一次会议”知识的了解情况，从九年级两班各随机抽取了10名学生进行测试，两个班学生的成绩（百分制．测试成绩整理、描述和分析如下： （成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．） 九年级（1）班10名学生的成绩是：，，，，，，，，，． 九年级（2）班10名学生的成绩在组中的数据是：，，． 通过数据分析，列表如下： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 92 45 九年级（2）班 92 94 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述、、的值： ______，______，______； （2）这次测试中，哪班成绩更平衡，更稳定，根据表格中数据，说明理由？ （3）我校九年级（2）班共50人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（）的九年级（2）班学生人数是多少？ 19. 教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． （1）如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题： （2）如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 20. 学校开展“珍惜水资源，从点滴做起”的主题活动，八年级同学们积极响应，参与到一项关于水龙头滴水情况的实践调查中，旨在了解日常生活中被忽视的水资源浪费问题．同学们准备一个带有精确刻度、能显示水量的容器，放置在一个关闭不严、正在滴水的水龙头下方．以下是同学们记录的不同时间下容器内的水量数据． 时间 0 5 10 15 20 … 水量 0 10 20 30 40 … 【任务一】 （1）在平面直角坐标系中，横轴表示时间，纵轴表示水量，请描出表格中每组数据所对应的点，连接这些点，观察它们的分布规律． 【任务二】 （2）试写出漏水量关于时间的函数解析式． 【任务三】 （3）根据函数解析式，估算在这种状态下一天（）会浪费多少升水？ 【任务四】 （4）若在调查开始前，容器内已有的残留水，水龙头滴水速度不变，请写出此时容器内水量关于时间的函数解析式，并说明它是由（2）中的函数图象经过怎样的平移得到的？ 21. 2026年5月29日20时11分，神舟二十二号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟二十二号载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售．该店先花费6500元购进了30个“神舟”模型和20个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费8500元以同样的价格购进了40个“神舟”模型和25个“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的售价为180元，每个“天宫”模型的售价为150元． （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； （2）该店计划继续购进这两种模型共200个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的3倍，且航模店购进总金额不超过25000元．设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元．当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ 22. 如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点． （1）求点C的坐标及直线的表达式； （2）如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线轴，交直线于点F，交直线于点G，若点E的坐标是，求的面积； （3）在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，请直接写出点H的坐标． 23. 在矩形中，，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． （1）【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为____________； （2）【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． （3）【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度下学期学业质量检测试题 八年级数学 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断选项即可，最简二次根式需满足两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B、的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，满足条件，是最简二次根式； C、的被开方数含分母，不是最简二次根式； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式． 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的化简法则，加减法则，除法法则，逐一计算验证即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：∵ ，∴ A错误； 对于选项B：∵ 与不是同类二次根式，无法合并，∴ B错误； 对于选项C：∵ ，∴ C正确； 对于选项D：∵ ，∴ D错误． 3. 已知点，，都在直线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】运用一次函数的增减性：当k＜0时，y随x的增大而减小，即可比较大小． 【详解】解：∵，则y随x的增大而减小， 又， ∴y1＞y2． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的增减性，对于一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．本题还可以通过代值计算函数值，比较大小． 4. 已知中，，，分别是，，的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A选项，∵，三角形内角和为， ∴， ∴是直角三角形，A不符合题意； 对于B选项，∵， ∴，由勾股定理逆定理得是直角三角形，B不符合题意； 对于C选项，∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴是直角三角形，C不符合题意； 对于D选项，∵， ∴设，，（）， ∴，， ∴，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，D符合题意． 5. 正比例函数中y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正比例函数的性质可得，从而得出，进而得出一次函数的图象在第一、二、四象限，即可得出结果． 【详解】解：∵正比例函数中y随x的增大而增大， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，如图： 6. 在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①②③④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. ①处可填 B. ②处可填 C. ③处可填 D. ④处可填 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的判定关系，根据这些特殊平行四边形的判定定理，逐一分析每个选项所添加的条件是否能使图形按箭头方向进行正确的转化． 【详解】解：A项：一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴①处可填是正确的，故该选项不符合题意； B项：有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴②处可填是正确的，故该选项不符合题意； C项：有一个角是直角的菱形是正方形， ∴无法判定两角是否为直角，故该选项符合题意； D项：一组邻边相等的矩形是正方形， ∴④处可填是正确的，故该选项不符合题意， 故选：C． 7. 如图，将一个正五边形和一个正六边形的底边放在直线上，且为它们的公共顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出正五边形和正六边形的一个内角的度数和一个外角的度数，根据三角形的内角和定理以及周角的定义，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， ∴， ∴. 8. 如图，在中，，，，根据尺规作图的痕迹，长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知为的垂线，为的角平分线，先由勾股定理求出的长度，利用证得，得到的长度，再设，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由作图可知为的垂线，为的角平分线， 在中，，，， ∴， ∵为的垂线， ∴， ∵为的角平分线，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，利用勾股定理可得：， 解得． 9. 如图，的周长为36，对角线、相交于点，点是的中点，，则的周长为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：平行四边形的周长为36， ， ，， ∴，， ， ， ， 的周长为． 10. 甲骑电动车，乙骑自行车从郯国古城门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图②所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲的速度是，乙的速度是． B. 乙出发时，甲追上乙． C. 图②中，． D. 甲乙两人相距时，乙出发时间为或． 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度；设甲出发小时后，甲、乙相遇，由此可得，解之再加上乙先出发的时间即可；由题意可知，当乙行驶了小时后，乙到达终点，此时甲，乙两人相距；由图②可知，前，甲，乙不能相距，设乙出发时，根据甲、乙两人路程差为可列出方程，解方程即可． 【详解】解∶由图可得， 甲的速度为：， 乙的速度为：，故A正确，不符合题意； 设甲出发小时后，甲、乙相遇， 由题可得，，解得， （小时），即乙出发时，甲追上乙，故B正确，不符合题意； 由图可得， ，，故C正确，不符合题意； 由题意可得， 前，乙行驶的路程为：， 则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后， 设乙出发时，甲、乙两人路程差为， ， 解得，， ，得； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为．故D错误，符合题意． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 使有意义的的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：要使有意义，需同时满足二次根式有意义的条件和分式有意义的条件. 二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不能为，因此可得： 解不等式得： ． 12. 课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：），数据如下：，则这组数据的下四分位数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了下四分位数，先将数据从小到大排序，求出中位数，进而确定下半部分数据，再求出下半部分数据的中位数即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：数据排序后为：， ∵数据个数为偶数， ∴中位数为第和第个数据的平均值，即， ∴下半部分数据为：， ∵下半部分数据个数为， ∴中位数为第和第个数据的平均值，即， ∴下四分位数为， 故答案为：． 13. 定义为一次函数的特征数，若点在特征数是的一次函数上，则的值是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据特征数的定义得到对应一次函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，代入点的坐标计算得到的值． 【详解】解：由题意得，特征数对应的一次函数为， ∵点在该一次函数图象上， ∴将代入函数解析式得， 解得． 14. 一次函数与的图象如图所示，则的解集是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图象可知，的解集，即的解集为. 15. 如图，矩形中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接和，若，，①四边形是菱形；②；③；④若点是直线上的一个动点，则的最小值是9．其中一定正确的结论的序号为________________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，容易判断直线垂直平分，则，，进而证明，则，结合可得，从而得到，因此四边形是菱形；对于②，由勾股定理可得，再使用勾股定理可计算出；对于③，直接使用菱形的面积公式进行计算即可；对于④，由垂直平分线的性质可得，因此，当、、三点共线时，取得最小值． 【详解】解：由尺规作图可知，直线垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确； 在中，， ∵， ∴，， 在中，，故②正确； ∵， ∴③错误； ∵直线垂直平分， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 又∵， ∴的最小值为，故④正确； 综上，正确的结论为①②④． 三、解答题：本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 17. 如图，在平行四边形中，是边上的一点，点，点分别在，延长线上，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 又点在的延长线上 四边形是平行四边形 （2） 【解析】 【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）证明是中点，利用斜边中线等于斜边一半即可求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， ． 18. 某学校调查九年级学生对在2023年3月5日在北京召开的“第十四届全国人民代表大会第一次会议”知识的了解情况，从九年级两班各随机抽取了10名学生进行测试，两个班学生的成绩（百分制．测试成绩整理、描述和分析如下： （成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．） 九年级（1）班10名学生的成绩是：，，，，，，，，，． 九年级（2）班10名学生的成绩在组中的数据是：，，． 通过数据分析，列表如下： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 92 45 九年级（2）班 92 94 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述、、的值： ______，______，______； （2）这次测试中，哪班成绩更平衡，更稳定，根据表格中数据，说明理由？ （3）我校九年级（2）班共50人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（）的九年级（2）班学生人数是多少？ 【答案】（1）40，94，96 （2）九年级（1）班成绩更平衡，更稳定，理由见解析 （3）35人 【解析】 【分析】（1）将九年级（1）班10名学生的成绩按从小到大的顺序排列，再结合中位数和众数的定义，即可求出和的值；由题意可知九年级（2）班C组有3人，即可求出其所占百分比，进一步求出组所占百分比即可求出a的值； （2）直接比较两个班级的方差即可； （3）求出样本中九年级（2）班成绩大于或等于90分的人数，再利用样本的百分比估计总体即可得到答案． 【小问1详解】 解：将九年级（1）班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列为： ，，，，，，，，，， ，． 九年级（2）班C组有3人， ∴扇形统计图中C组所占百分比为， ∴扇形统计图中D组所占百分比为， 即． 【小问2详解】 解：九年级（2）班成绩更平衡，更稳定，理由如下： ∵九年级（1）班的方差为45，九年级（2）班的方差为，且， ∴九年级（1）班成绩更平衡，更稳定； 【小问3详解】 解：九年级（2）班D组的人数为（人）， ∴九年级（2）班10名学生的成绩为优秀的有（人）， （人）． 答：估计参加此次调查活动成绩优秀（）的九年级（2）班学生人数约是35人． 19. 教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． （1）如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题： （2）如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 【答案】（1）答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为． （2）解：叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．理由如下： 过点作于点， 由题意可得，，，， ∵叉车高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点． 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，，，根据勾股定理求出，根据梯子底端沿向外移动，则，根据勾股定理求出，即可求出； （2）过点作于点，由题意可得，，，，根据勾股定理求出；，根据，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得，，， ∴ ∵梯子底端沿向外移动， ∴， ∴， ∴． 答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为． 【小问2详解】 略 20. 学校开展“珍惜水资源，从点滴做起”的主题活动，八年级同学们积极响应，参与到一项关于水龙头滴水情况的实践调查中，旨在了解日常生活中被忽视的水资源浪费问题．同学们准备一个带有精确刻度、能显示水量的容器，放置在一个关闭不严、正在滴水的水龙头下方．以下是同学们记录的不同时间下容器内的水量数据． 时间 0 5 10 15 20 … 水量 0 10 20 30 40 … 【任务一】 （1）在平面直角坐标系中，横轴表示时间，纵轴表示水量，请描出表格中每组数据所对应的点，连接这些点，观察它们的分布规律． 【任务二】 （2）试写出漏水量关于时间的函数解析式． 【任务三】 （3）根据函数解析式，估算在这种状态下一天（）会浪费多少升水？ 【任务四】 （4）若在调查开始前，容器内已有的残留水，水龙头滴水速度不变，请写出此时容器内水量关于时间的函数解析式，并说明它是由（2）中的函数图象经过怎样的平移得到的？ 【答案】（1）如图： 由图象可知，这些点分布在同一条直线上． （2） （3）在这种状态下一天（）会浪费水 （4），它是由向上平移20个单位（或向左平移10个单位）得到的 【解析】 【分析】（1）描点并且连线，观察即可得出规律； （2）使用待定系数法求函数解析式即可； （3）将代入（2）中的函数解析式，求出，转化为升即可； （4）根据题意容易得到，结合一次函数的平移规律即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图象可知，表示水量与时间成正比例函数关系， 设关于的函数解析式为， 将坐标代入，得， 解得， ∴关于的函数解析式为； 【小问3详解】 解：， 将代入，得， ， 答：在这种状态下一天（）会浪费水． 【小问4详解】 解：∵水龙头滴水速度不变， ∴， 设， 将，代入，得， ∴， 由一次函数的平移规律可得，可由向上平移20个单位或向左平移10个单位得到的． 21. 2026年5月29日20时11分，神舟二十二号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟二十二号载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售．该店先花费6500元购进了30个“神舟”模型和20个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费8500元以同样的价格购进了40个“神舟”模型和25个“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的售价为180元，每个“天宫”模型的售价为150元． （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； （2）该店计划继续购进这两种模型共200个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的3倍，且航模店购进总金额不超过25000元．设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元．当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元 （2）购进“神舟”模型50个、“天宫”模型150个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是9000元 【解析】 【分析】（1）设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个，写出关于的函数关系式，求出的取值范围，根据一次函数的增减性解决问题． 【小问1详解】 解：设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元； 【小问2详解】 解：设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个， 根据题意得：， 解得：， ， 随的减小而增大， ， 当时值最大，最大， （个）， 答：购进“神舟”模型50个、“天宫”模型150个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是9000元； 22. 如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点． （1）求点C的坐标及直线的表达式； （2）如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线轴，交直线于点F，交直线于点G，若点E的坐标是，求的面积； （3）在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，请直接写出点H的坐标． 【答案】（1）； （2）6 （3）H的坐标为或或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，两点间距离等知识，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． （1）将点C的坐标代入直线的解析式即可得出a的值，即得C点坐标，再用待定系数法求直线的表达式即可； （2）由题易得，，进而根据面积公式求解即可； （3）根据题意在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，则分，为对角线；，为对角线；，为对角线；三种情况分别求出H点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ， 解得， ∴； 将，代入直线得，， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴，， ， ． 【小问3详解】 解：设， ∵直线的解析式为与y轴交于点B， ，， ∴， ∵在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形， ①当为对角线， ∴， 则 ∵，，， ∴ ， ∴； ②当为对角线， ∴， 则， ∵，，， ∴ ， ∴H； ③当为对角线， ∴， ∵，，， ∴ ， ∴； 综上：H的坐标为或或． 23. 在矩形中，，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． （1）【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为____________； （2）【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． （3）【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 【答案】（1）1 （2）①证明：四边形是矩形， ， 由翻折的性质知，、， ， 在和中， ， ， ； ② （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得、，利用折叠的性质可得，再运用勾股定理求解即可； （2）①由矩形的性质、折叠的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论；②设，则，进而得到、，再在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）分点Q在线段上和点Q在线段的延长线上两种情况，分别利用矩形的性质、折叠的性质、勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，，， 将沿直线翻折至的位置， ， 在中，， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②解：， ， 设，则， ， 、， 在中，， ， 解得：， ． 【小问3详解】 的长为1或9 解：分两种情况讨论： 情况1：当点在线段上时，如图所示： 由翻折的性质知，、、、， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； 情况2：当点在线段的延长线上时，如图所示： 由翻折的性质知，、、， ， 设，则、， ， 在中，， ，解得：，即， 综上，的长为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $