微专题01 勾股定理与逆定理的有关计算问题10题型（专项训练）数学苏科版2024八年级上册

微专题01 勾股定理与逆定理的有关计算问题 （10种题型） 题型一 用勾股定理解三角形 1）适用的条件：只有在直角三角形中才能用勾股定理. 2）解决的问题：勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知两边长，可求第三边的长. 3）注意的问题：直角三角形中已知的两边没有明确是直角边还是斜边时，必须分类讨论，不能漏掉一种情况. 1．（24-25八年级下·广东韶关·期中）若一直角三角形的两边长分别是，，则第三边长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用及直角三角形边长的分类讨论，解题的关键是分“8为直角边”和“8为斜边”两种情况，结合勾股定理计算第三边长，避免漏解． 已知直角三角形两边长为6和8，需分两种情况：当6和8均为直角边时，用勾股定理求斜边；当8为斜边、6为直角边时，用勾股定理求另一直角边；两种情况的结果均为第三边可能的长度，据此判断选项． 【详解】解：设直角三角形第三边长为x，分两种情况讨论： ①当6和8均为直角边时，由勾股定理得： ，解得(边长为正，舍去负根)； ②当8为斜边、6为直角边时，由勾股定理得： ，解得(边长为正，舍去负根)． 故第三边长为或． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在锐角三角形中，△ABC的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为    【答案】12 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故答案为：12． 3．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键． 由勾股定理得，再由角平分线的性质得，设，然后由三角形面积关系得出方程，解方程即可． 【详解】解：在中，，，， ，， 如图，过作于点， 平分， ， 设， ， ， 即， 解得：， 即的长为， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，，，，，，取的中点，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，延长交于点，连接，由，得，根据证明，进而利用全等三角形的性质及勾股定理解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键是． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 勾股定理与无理数 5．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，用数轴上的点表示无理数，利用勾股定理求出，根据点表示的数是求出点表示的数即可． 【详解】解：由图可知，，， ， ， 点表示的数是． 故选： B． 6．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作数轴，个单位长度，以O为圆心，长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．利用勾股定理可得，进而即可求解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：∵数轴， ∴， ∵数轴上点O、A所表示的数分别是0，3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 7．（2025八年级上·山东·专题练习）如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A． (1)写出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数____________（填写“”或“”）； (3)在数轴上找出对应的点，（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可； （2）先求出，，根据，得出即可； （3）过点D作，在上截取，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点G，则点G即为所求作的点． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴点A所表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，点G表示的数为． ∵，，， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·山西运城·阶段练习）如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）． (1)阅读理解：图1中大正方形的边长为_______，图2中点表示的数为______； (2)迁移应用： 请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形． ①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图； ②利用①中的结论，在图4的数轴上标出表示数的点． 【答案】(1)， (2)①图见详解；②数轴见详解 【分析】（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的边长，即可解决问题； （2）①先根据图3的面积为5，可得所拼得的大正方形边长为，进而在图3中画出裁剪线和所拼得的正方形即可； ②先在数轴上找到表示数的点，然后向左移动3个单位即可． 【详解】（1）解：由图可得，点到原点的距离为：，点在原点左侧， ∴点表示的实数为， 故答案为：，； （2）解：①如图所示： ②点表示，如图所示： 题型三 勾股数问题 1）确定是三个正整数a，b，c； 2）确定最大的数c； 3）计算较小的两个数的平方是否等于. 9．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）下列几组数中，勾股数的是（    ） A．1，2， 3 B．0.6， 0.8， 1 C．3， 4， 5 D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的定义，解决本题的关键是根据勾股数的定义进行判断．解题时直接根据勾股数的定义进行计算即可． 【详解】A．∵，故不符合题意； B．∵和不是整数，故不符合题意； C．∵，故符合题意； D．∵，故不符合题意． 故选：C． 10．（22-23八年级下·江苏南通·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股定理求勾股数是解题的关键． 由题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵为正整数， ∴为偶数， 设其股是，则弦为， 由勾股定理得，， 解得， 弦是， 故选：A． 11．（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 【答案】(1)11，60，61 (2)和 【分析】此题考查了勾股数之间的关系，解题的关键是根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可． （1）分析所给四组的勾股数∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一组勾股数：11、60、61； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一． 【详解】（1）解：∵， ∴下一组勾股数为：11、60、61； 故答案为：11，60，61． （2）后两个数表示为和， ∵， ， ∴， 又∵，且为奇数， ∴由n，，三个数组成的数是勾股数． 故答案为：和． 题型四 根据已知条件判断能否构成三角形 判定：1）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2） 有两个角互余的三角形是直角三角形. 3）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4）勾股定理逆定理. 12．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）下列线段不能组成直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，掌握定理是解决问题的关键．根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可． 【详解】Ａ、，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； Ｂ、，∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意； Ｃ、，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； Ｄ、，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 13．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）的三边分边为a、b、c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可． 【详解】解：A、∵， ∴，，， ∴为直角三角形，故选项A符合题意； B、设a、b、c的边长分别为， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故选项B不符合题意； C.∵， ∴， 即 ∴是直角三角形，故选项C不符合题意； D. ∵， ∴， ∴是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：A． 14．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）若、、是的三边，且满足，则的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据题意及三角形的边长为正数，得出，再移项即可得出答案． 【详解】 ，a、b、c是的三边长 ， 的形状为直角三角形． 故答案为直角三角形 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知：在中，的对边分别是a，b，c，满足．试判断的形状． 【答案】直角三角形 【分析】此题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理．现对已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：， ， 原式可化为， ∴，，（a，b，c都是正的）， ∴符合勾股定理的逆定理， 故是直角三角形． 题型五 勾股定理的证明方法 16．（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 17．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，火柴盒的侧面为长方形，其中，，．把直立的火柴盒放倒，侧面旋转至长方形处（如图）．    (1)__________，__________，__________；（用、、有关代数式表示）__________；（用、有关代数式表示） (2)由（1）的结论证明勾股定理：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)证明见详解 (3)6 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练的利用面积法进行证明是解本题的关键. （1）根据三角形面积公式分别表示、、的面积，根据梯形面积公式表示梯形的面积计算即可； （2）根据，列出方程并整理可证． （3）根据公式求出，即可； 【详解】（1）解： ， ， 为直角三角形， ，； ； 故答案为：，，， （2）由图形可知， 则 ． 因此，． （3）∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 18．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．    (1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点A、E、D在同一条直线上，请利用图2证明勾股定理． (2)探究发现：如图3以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为，请猜想的等量关系，并证明你的结论． (3)拓展应用：如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查勾股定理的证明及运用； （1）通过三个直角三角形的面积等于大直角梯形的面积可以推导出勾股定理； （2）由题意得，可得； （3）分别交、于点、点，设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ， ； （2）解：，理由如下， 如图，   ， ∵， ∴； （3）解：如图，分别交、于点、点，    ∵，，均是等腰直角三角形， ∴，，， 设，，，，， ∵，，， 又∵， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 19．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）勾股定理神秘而美妙，它的证明方法多样，其巧妙各有不同．用4个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放（直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为）． (1)请用两种方法计算五边形的面积，验证勾股定理； (2)利用以上图形完成下列问题： ①若直角三角形的两直角边，，则图中空白部分的面积为______； ②若图中空白部分的面积是13，五边形的面积是37，则正方形的边长为______，五边形的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2)①109；②5；24 【分析】本题考查了勾股定理的证明、完全平方公式与图形面积、利用平方根解方程等知识，熟练掌握勾股定理和完全平方公式是解题关键． （1）方法1：五边形的面积等于两个正方形的面积（一个边长为，一个边长为）与两个直角三角形的面积之和；五边形的面积等于一个边长为的正方形的面积与两个直角三角形的面积之和，由此即可得； （2）①根据图中空白部分的面积等于五边形的面积减去四个直角三角形的面积即可得； ②先根据面积大小求出，再利用完全平方公式可得，利用平方根解方程可得，由此即可得． 【详解】（1）解：方法1：五边形的面积等于两个正方形的面积（一个边长为，一个边长为）与两个直角三角形的面积之和， 则五边形的面积为； 方法2：五边形的面积等于一个边长为的正方形的面积与两个直角三角形的面积之和， 则五边形的面积为； ∵两种方法求出的五边形的面积相等， ∴， ∴，即勾股定理成立． （2）解：①∵直角三角形的两直角边，， ∴五边形的面积为， ∵图中阴影部分的面积为， ∴图中空白部分的面积为， 故答案为：109． ②∵五边形的面积为，图中阴影部分的面积为， ∴图中空白部分的面积为， ∵图中空白部分的面积是13，五边形的面积是37， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， 由（1）可知，， ∴（负值已舍）， ∴正方形的边长为5， 五边形的周长为， 故答案为：5；24． 题型六 以直角三角形为边长的图形面积 勾股树每一层的正方形面积之和均等于底部正方形的面积 20．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）图中数字表示对应正方形的面积，则图中正方形中边长为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．勾股定理指的是在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．对于以直角三角形三边为边长的正方形，两个较小正方形的面积之和等于较大正方形的面积．我们可以通过正方形面积求出边长的平方，再根据勾股定理来判断每个选项中字母所代表正方形的边长是否为12即可． 【详解】解：A、由图可知两个正方形面积分别为和，根据正方形面积等于边长的平方，设字母A所代表正方形的面积为，由勾股定理可得： ， 那么A所代表正方形的边长为，故本选项不符合题意； B、由图可知两个正方形面积分别为和，设字母B所代表正方形的面积为．根据勾股定理得： ， B所代表正方形的边长为，故本选项不符合题意； C、由图可知两个正方形面积分别为和设字母C所代表正方形的面积为．由勾股定理可得： ， 因为，所以C所代表正方形的边长为，故本选项符合题意； D、由图可知两个正方形面积分别为和，设字母D所代表正方形的面积为．根据勾股定理得： ， D所代表正方形的边长为，故本选项不符合题意． 故选：C． 21．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（   ） A．18 B． C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以为直径的半圆的面积，之后再加上的面积， 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 的面积为：， ∴“希波克拉底月牙”的面积是：． 故选：C 22．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（   ）． A．36 B．42 C．48 D．52 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用、图形规律等知识点．根据勾股定理得到以直角三角形各边长为边长的正方形的面积之间的关系是解决本题的关键． 根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和，同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2次操作后所有正方形的面积和，...，所以每增加一次操作，面积就增加4，所以n次操作后，图中所有正方形的面积和为，那么可推断10次操作后所有正方形的面积和等于． 【详解】解：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y， ∴正方形A的面积为，正方形B的面积为． 由题意得：正方形C的边长为2，并且是直角三角形的斜边．则正方形C的面积为4． 根据勾股定理可得：． ∴正方形A的面积、正方形B的面积和为4； ∴图①中所有正方形的面积和． 同理可得：正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，正方形G的面积+正方形H的面积=正方形B的面积， ∴正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积+正方形H的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=4． ∴图2中所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12． 即一次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12． 同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4． ∴2次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加． 同理：3次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加； 4次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加； …… ∴每增加一次操作，面积就增加4， ∴n次操作后，图中所有正方形的面积和为 当时，图中所有正方形的面积和为． 故选C． 23．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解决本题的关键是连接，构造两个直角三角形，利用勾股定理找到四个正方形的面积之间的关系是，再根据，求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ，，，， ， ， ． 故答案为： 24．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，则由勾股定理不难证明 (1)如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请你确定、、之间的数量关系并加以证明； (2)如图3，分别以直角三角形的三边为斜边向外作三个等腰直角三角形，其面积分别用、、表示，请你确定、、之间的数量关系并加以证明； (3)如图4，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系． 【答案】(1)，证明过程见解析 (2)，证明过程见解析 (3) 【分析】本题考查勾股定理与图形的面积． （1）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （2）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （3）与的交点记为点，由勾股定理，结合正方形的面积，可得，，，，即可得、、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：， 证明：设，，， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 证明：设，，，则 ，，， ，，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， （3）解：与的交点记为点， ， ， ， ， ∴，， ∴． 题型七 利用勾股定理求（或证明）两条线段的平方关系 25．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则 ． 【答案】231 【分析】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在中，，，，，，，试说明：． (1)写出上述说理过程； (2)试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用． （1）根据勾股定理得到，根据三角形面积公式得到，进而代入计算即可； （2）由（1）可知，，根据完全平方公式得到，，可知，即可证明． 【详解】（1）解：在中，，，，，，， 所以，， 所以， 所以． （2）解：由（1）可知，， 所以． 因为都是正数， 所以， 所以． 27．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：延长到G使，连接证，推出，，求出，再根据勾股定理即可证明结论． 【详解】证明：如图：延长到G使，连接，， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．（2025八年级上·全国·专题练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【答案】(1)猜想：．理由见解析； (2)73 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、勾股定理、垂美四边形的定义等知识． （1）利用勾股定理求得即可证明； （2）连接，，只要证明四边形是垂美四边形，利用（1）中结论即可解决问题． 【详解】（1）解：猜想：．理由如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴； （2）连接，，如图： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 由（1）可知， ∵，， ∴由勾股定理，得，，， ∴． 题型八 以弦图为背景的计算题 29．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，、、在同一直线上，设，，则正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质，熟练应用勾股定理是解题的关键．设，则，根据全等的性质可得，利用线段之间的数量关系可表示出的长，进而列式用、表示出，从而表示出，，在中，利用勾股定理表示出 ，从而得解． 【详解】解：设，则， 四个直角三角形全等， ， ， ， ，， 在中， ， 正方形的面积为 ． 故选：B． 30．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　）    A．56 B．60 C．65 D．75 【答案】C 【分析】如解答图，易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，    由题意可知，， ∴， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， ∴阴影部分的面积为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，将图中阴影部分的面积分割成一个正方形的面积加上四个全等三角形的面积是解题关键． 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 【答案】675 【分析】根据题意，都由直角三角形和正方形的面积组成的，故设八个全等的直角三角形其中一个的面积为，正方形的面积为，建立等式代入即可；用、表示是解题的关键． 【详解】解：设八个全等的直角三角形其中一个的面积为，正方形的面积为， ， ， ， ，， ． 故答案为：675． 32．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 【答案】(1)6 (2)①证明见解析；②37 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，可得，可求，即可求解； （2）①由可证，可得； ②由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25， ∴， ∴， ∴每个朱实的面积， 故答案为：6； （2）①证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴阴影部分图形的面积， 故答案为：37． 题型九 利用勾股定理逆定理求解 1）先确定最长边，算出最长边的平方； 2）再计算另两边的平方和； 3）判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形. 33．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形中，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，连接，由勾股定理可得，再证明，得到，据此根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 34．（24-25八年级下·广西·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，证明是直角三角形是解题的关键。 （1）可证明，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到．设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ． ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，连接． 是的垂直平分线， ． 由（1）可得是直角三角形， 即． 设，则， 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 即的长为． 35．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积.此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式． (1)如图，若的三边长依次为，，．请利用以上公式（任选一个），求该三角形的面积； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的运算． （1）利用题干给出的海伦公式即可求解； （2）连接，先利用勾股定理求出，再结合题干的海伦公式计算即可作答． 【详解】（1）解：选择海伦提出的公式， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图 ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， 即：， ∴该四边形的面积． 36．（24-25八年级下·四川广元·期中）如图，在四边形中，，，，．求： (1)的度数． (2)连接，求的长． 【答案】(1)的度数是 (2)的长是 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）连接，根据勾股定理，求得，利用勾股定理的逆定理证得，根据即可求解； （2）作，交的延长线于点，连接，根据勾股定理求得，在根据勾股定理即可得到的长． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵在，， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴的度数是． （2）解：如图，作，交的延长线于点，连接， ∵由（1）得：， ∴， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴的长是． 题型十 勾股定理逆定理与网格问题 根据勾股定理求出三角形三边长，再根据勾股定理逆定理判断△ABC是否是直角三角形 37．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，单位长度为1的的正方形网格中，A、B、C、D四点都在小正方形的顶点上，连接，则所夹的锐角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识.取格点F，连接，设相交于点P，证明是等腰直角三角形，则，由即可得到所夹的锐角度数. 【详解】解：如图，取格点F，连接，设相交于点P， 则，， ∴， ∴是直角三角形且， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即所夹的锐角度数为. 故选：B 38．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，点A、B、C均落在边长为1的网格格点上，则等于 °． 【答案】/135度 【分析】延长交网格于格点D，连接，证明是等腰直角三角形，得到，即可得到的度数，此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交网格于格点D，连接， 则，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 39．（21-22八年级下·广东东莞·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．求：    (1)分别求出边AB、AC、BC的长度，并计算△ABC的周长； (2)判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理即可求出各边的长，再根据二次根式的加减即可计算周长； （2）由勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状． 【详解】（1）解：根据勾股定理得： ，，，        ∴△ABC的周长为：； （2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：                                   ∵BC2+AB2＝52+13＝65， AC2＝65， ∴BC2+AB2＝AC2                                   ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 40．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，若三角形的顶点均在格点上，则称之为“格点三角形”，点，均在格点上；只用无刻度的直尺、在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，（铅笔画图确认无误后，用中性笔描黑） (1)作格点，使为等腰直角三角形且； (2)作格点，使为等腰钝角三角形且； (3)在直线上找一点，连结，使平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用设计作图，勾股定理，勾股定理逆定理等，熟记等腰三角形性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形定义结合网格特点作图即可； （2）根据等腰三角形及钝角三角形结合网格作图即可； （3）根据等腰三角形三线合一性质作图即可． 【详解】（1）解：根据网格对角线可得，即为所求，如下图所示： ∵，， ∵， ∴，即为等腰直角三角形； （2）解：如下图所示，格点即为所求： （3）解：连接，即等腰三角形底边上的中线，则平分，如下图所示：点即为所求； 41．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，每个小正方形的边长为1．    (1)求四边形的面积和周长； (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)四边形的面积为，周长为 (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理；勾股定理逆定理，数形结合是解题的关键； （1）根据勾股定理直接求解及割补法求解即可得到答案； （2）根据勾股定理逆定理直接判断即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ，，，， 则四边形的周长为 由图形可得，   ； （2）解：是直角，理由如下， 由勾股定理得，   ， ∵， ∴是直角． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 勾股定理与逆定理的有关计算问题 （10种题型） 题型一 用勾股定理解三角形 1）适用的条件：只有在直角三角形中才能用勾股定理. 2）解决的问题：勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知两边长，可求第三边的长. 3）注意的问题：直角三角形中已知的两边没有明确是直角边还是斜边时，必须分类讨论，不能漏掉一种情况. 1．（24-25八年级下·广东韶关·期中）若一直角三角形的两边长分别是，，则第三边长为（    ） A． B． C．或 D． 2．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在锐角三角形中，△ABC的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为    3．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则的长是 ． 4．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，，，，，，取的中点，连接，则 ． 题型二 勾股定理与无理数 5．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作数轴，个单位长度，以O为圆心，长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是 ． 7．（2025八年级上·山东·专题练习）如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A． (1)写出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数____________（填写“”或“”）； (3)在数轴上找出对应的点，（保留作图痕迹） 8．（25-26八年级上·山西运城·阶段练习）如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）． (1)阅读理解：图1中大正方形的边长为_______，图2中点表示的数为______； (2)迁移应用： 请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形． ①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图； ②利用①中的结论，在图4的数轴上标出表示数的点． 题型三 勾股数问题 1）确定是三个正整数a，b，c； 2）确定最大的数c； 3）计算较小的两个数的平方是否等于. 9．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）下列几组数中，勾股数的是（    ） A．1，2， 3 B．0.6， 0.8， 1 C．3， 4， 5 D．，， 10．（22-23八年级下·江苏南通·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 题型四 根据已知条件判断能否构成三角形 判定：1）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2） 有两个角互余的三角形是直角三角形. 3）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4）勾股定理逆定理. 12．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）下列线段不能组成直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 13．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）的三边分边为a、b、c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）若、、是的三边，且满足，则的形状是 ． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知：在中，的对边分别是a，b，c，满足．试判断的形状． 题型五 勾股定理的证明方法 16．（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A．B．C． D． 17．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，火柴盒的侧面为长方形，其中，，．把直立的火柴盒放倒，侧面旋转至长方形处（如图）．    (1)__________，__________，__________；（用、、有关代数式表示）__________；（用、有关代数式表示） (2)由（1）的结论证明勾股定理：； (3)若，，求的值． 18．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．    (1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点A、E、D在同一条直线上，请利用图2证明勾股定理． (2)探究发现：如图3以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为，请猜想的等量关系，并证明你的结论． (3)拓展应用：如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 19．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）勾股定理神秘而美妙，它的证明方法多样，其巧妙各有不同．用4个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放（直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为）． (1)请用两种方法计算五边形的面积，验证勾股定理； (2)利用以上图形完成下列问题： ①若直角三角形的两直角边，，则图中空白部分的面积为______； ②若图中空白部分的面积是13，五边形的面积是37，则正方形的边长为______，五边形的周长为______． 题型六 以直角三角形为边长的图形面积 勾股树每一层的正方形面积之和均等于底部正方形的面积 20．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）图中数字表示对应正方形的面积，则图中正方形中边长为的是（ ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（   ） A．18 B． C．24 D．48 22．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（   ）． A．36 B．42 C．48 D．52 23．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为．若，，则 ． 24．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，则由勾股定理不难证明 (1)如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请你确定、、之间的数量关系并加以证明； (2)如图3，分别以直角三角形的三边为斜边向外作三个等腰直角三角形，其面积分别用、、表示，请你确定、、之间的数量关系并加以证明； (3)如图4，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系． 题型七 利用勾股定理求（或证明）两条线段的平方关系 25．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则 ． 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在中，，，，，，，试说明：． (1)写出上述说理过程； (2)试说明：． 27．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 28．（2025八年级上·全国·专题练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 题型八 以弦图为背景的计算题 29．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，、、在同一直线上，设，，则正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 30．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　）    A．56 B．60 C．65 D．75 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 32．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 题型九 利用勾股定理逆定理求解 1）先确定最长边，算出最长边的平方； 2）再计算另两边的平方和； 3）判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形. 33．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形中，，，求四边形的面积． 34．（24-25八年级下·广西·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 35．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积.此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式． (1)如图，若的三边长依次为，，．请利用以上公式（任选一个），求该三角形的面积； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 36．（24-25八年级下·四川广元·期中）如图，在四边形中，，，，．求： (1)的度数． (2)连接，求的长． 题型十 勾股定理逆定理与网格问题 根据勾股定理求出三角形三边长，再根据勾股定理逆定理判断△ABC是否是直角三角形 37．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，单位长度为1的的正方形网格中，A、B、C、D四点都在小正方形的顶点上，连接，则所夹的锐角度数为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，点A、B、C均落在边长为1的网格格点上，则等于 °． 39．（21-22八年级下·广东东莞·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．求：    (1)分别求出边AB、AC、BC的长度，并计算△ABC的周长； (2)判断△ABC的形状，并说明理由． 40．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，若三角形的顶点均在格点上，则称之为“格点三角形”，点，均在格点上；只用无刻度的直尺、在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，（铅笔画图确认无误后，用中性笔描黑） (1)作格点，使为等腰直角三角形且； (2)作格点，使为等腰钝角三角形且； (3)在直线上找一点，连结，使平分． 41．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，每个小正方形的边长为1． (1)求四边形的面积和周长； (2)是直角吗？请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $