专题：平行线题型练习 (拐点问题、折叠问题) 专项练习 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

专题：平行线题型练习(拐点问题、折叠问题) 考点1: 一个“拐点”在平行线内部 1. “猪蹄”模型(构成“M”型) 如图，AB∥CD，则∠AEC＝∠A＋∠C. 证法一：如图①，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD(已知)， ∴AB∥CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)， ∴∠A＝∠AEF，∠C＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)， 又∵∠AEC＝∠AEF＋∠FEC， ∴∠AEC＝∠A＋∠C(等量代换). 证法二：如图②，延长AE交CD于点G， ∵AB∥CD(已知)， ∴∠A＝∠EGC(两直线平行，内错角相等)， 又∵∠AEC＋∠CEG＝180°(平角的定义)， 且∠CEG＋∠EGC＋∠C＝180°(三角形内角和定理)， ∴∠AEC＝∠EGC＋∠C(等量代换)， ∴∠AEC＝∠A＋∠C(等量代换). 图① 图② 2. 铅笔模型 如图，AB∥CD，则∠A＋∠AEC＋∠C＝360° 证法一：如图③，过点E作EM∥AB. ∵AB∥CD(已知)， ∴AB∥EM∥CD (平行于同一条直线的两条直线平行)， ∴∠AEM＋∠A＝180°，∠MEC＋∠C＝180° (两直线平行，同旁内角互补)， ∴∠AEM＋∠A＋∠MEC＋∠C＝ ∠A＋∠C＋∠AEC＝360°(等式的性质). 证法二：如图④，延长AE，DC交于一点N， ∵AB∥CD(已知)， ∴∠A＋∠N＝180°(两直线平行，同旁内角互补). ∵∠ECD＋∠ECN＝180°，∠AEC＋∠CEN＝180°(平角的定义)， ∠CEN＋∠N＋∠ECN＝180°(三角形内角和定理)， ∴∠A＝∠CEN＋∠ECN，∠AEC＝∠N＋∠ECN， ∠ECD＝∠CEN＋∠N(等量代换)， ∴∠A＋∠AEC＋∠ECD ＝∠CEN＋∠ECN＋∠N＋∠ECN＋∠CEN＋∠N ＝2(∠CEN＋∠ECN＋∠N)＝2×180°＝360°(等式的性质). 图③ 图④ 考点2: “拐点”在平行线外部 如图， AB∥CD，则∠E＝∠C－∠A 证法一：如图⑤，过点E作ME∥AB， ∵AB∥BD(已知)， ∴AB∥CD∥ME(平行于同一条直线的两条直线平行)， ∴∠MEA＝∠A，∠C＝∠MEF (两直线平行，内错角相等)， ∴∠AEF＝∠MEF－∠MEA＝∠C－∠A(等量代换). 证法二：如图⑥ ∵∠E＋∠A＋∠AFE＝180°(三角形内角和定理)， ∠AFE＋∠EFB＝180°(平角的定义)， ∴∠E＋∠A＝∠EFB(等量代换)，即∠E＝∠EFB－∠A. 又∵AB∥CD(已知)， ∴∠EFB＝∠C(两直线平行，同位角相等)， ∴∠E＝∠C－∠A(等量代换). 图⑤ 图⑥ 考点3: 多个“拐点”在平行线内部 如图⑦，已知MA1∥NAn，∠A1、∠A2、……、∠An之间的关系为： ∠A1＋∠A2＋∠A3＋……＋∠An＝(n－1)×180° 图⑦ 如图⑧，已知MA1∥NAn，∠A1、∠A2、……、∠An，∠B1、∠B2、……、∠Bn－1之间的关为：∠A1＋∠A2＋……＋∠An＝∠B1＋∠B2＋……＋∠Bn－1 图⑧ · 通过点的位置变化探究平行线的“拐点”问题总结： 方法1：看到平行线及拐点，想到过拐点作平行线. 方法2：看到平行线及拐点，想到构造三角形，利用平行线＋三角形内角和定理求解. 考点4: 利用平行线的性质解决折叠问题 · 折叠问题中常用到以下几种方法求角度： ①折叠前后的对应角相等； ②折叠前后的对应边相等，通过边的等量关系推导，若存在等腰三角形，则其两底角相等； ③等宽纸条、长方形的折叠问题中，存在平行线，通过平行线可得同位角、内错角、同旁内角的数量关系； ④图形中隐含的其他的角的数量关系，如对顶角相等、邻补角互补、三角形的内角和是180°等. 巩固练习： 1. 某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知AB∥CD， ∠BAE＝77°，∠DCE＝131°，则∠E的度数是( B ). A．28° B．54° C．26° D．56° 2. 如图，OP∥QR∥ST，那么下列等式中正确的是( D ). A．∠1＋∠2－∠3＝90° B．∠1－∠2＋∠3＝90° C．∠1＋∠2＋∠3＝180° D．∠2＋∠3－∠1＝180° 3. 如图，AB∥CD，EP⊥FP，已知∠1＝30°，∠2＝20°，则∠F的度数为( D ). A．40° B．50° C．70° D．80° 4. 如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEF＝( A ). A.115° B.110° C.120° D.130° 5. 如图，一次数学活动中，检验两条纸带(1)(2)的上下边线是否平行，明明和小丽采用两种不同的方法：明明把纸带(1)沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝60°；小丽把纸带(2)沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合.下列判断正确的是( C ). A.纸带(1)的上下边线平行，纸带(2)的上下边线不平行 B.纸带(1)的上下边线不平行，纸带(2)的上下边线平行 C.纸带(1)(2)的上下边线都平行 D.纸带(1)(2)的上下边线都不平行 6. 如图，四边形ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将纸带ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A'，D'对应，若∠1＝2∠2,则∠AEF的度数为　72°　.  7. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°∠A＝30°，E，F分别是边AC，AB上的点，连接EF，将△AEF沿着EF折叠，得到△A'EF，当△A'EF的边A'F与△ABC的一边平行时，∠AEF的度数是＝　30°或75°或120°　. 8. 如图，AB∥CD，点E是平行线外一点，连接BE，DE，若∠ABE＝156°，∠E＝30°，则∠D的度数为　 126 　°. 9. 如图，AB∥CD，若∠A＝40°，∠C＝26°，则∠E＝___66°__． 10. 如图，若AB∥CD，则∠α＝130°，∠β＝70°，则∠γ＝___20°__． 11. 如图，AB∥EF，∠1＝113°，∠C＝35°，∠2＝105°，则∠D＝___73°__． 12. 如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝___540°__． 13. 如图，直线 l1∥l2，若∠1＝40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4＝___30°__． 14. 如图，AB∥CD∥EF，则∠1、∠2、∠3的关系为__∠1＋∠2＝∠3__． 15. 如图，某县积极推进“乡村振兴计划”，要对一段水渠进行扩建．如图，已知现有水渠从A地沿北偏东50°的方向到B地，又从B地沿北偏西20°的方向到C地．现要从C地出发修建一段新渠CD，使CD∥AB，则∠BCD的度数为__110°_度． 16. ①如图1，AB∥CD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠E＝∠A＋∠C； ③如图3，若AB∥EF，则∠x＝180°－∠α－∠γ＋∠β；④如图4，AB∥CD，则∠A＝∠C＋∠P． 以上结论正确的是__②③④__． 17. 两根木条和两根钉子E，F的位置如图所示，并绕过橡皮筋，若AE⊥EF，∠A＝60°，∠C＝160°，求∠EFC的度数. 解：如解图①，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB， ∵AB∥CD(已知)， ∴AB∥CD∥EM∥FN(平行于同一条直线的两条直线平行)， ∴∠A＝∠AEM＝60°(两直线平行，内错角相等)， ∵AE⊥EF(已知)， ∴∠AEF＝90°(垂直的定义)， ∴∠MEF＝∠AEF－∠AEM＝30°(等式的性质)， ∵EM∥FN， ∴∠EFN＝∠MEF＝30°(两直线平行，内错角相等)， ∵CD∥FN， ∴∠C＋∠NFC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∴∠NFC＝180°－∠C＝20°(等式的性质)， ∴∠EFC＝∠NFC＋∠EFN＝50°(等式的性质). 18. 变速箱托架是汽车维修人员常用的维修工具，如图是一个变速箱托架及其工作时某一时刻示意图，已知AB∥CD，AE∥FG，若∠ECD＝120°，∠A＝150°，求证：GF⊥EC. 证明：如解图，过点F作FM∥AB， ∵AE∥FG，∠A＝150°(已知)， ∴∠FGB＝∠A＝150°(两直线平行，同位角相等)， ∵FM∥AB，AB∥CD(已知)， ∴FM∥AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)， ∴∠ECD＋∠CFM＝180°，∠GFM＋∠FGB＝180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∵∠ECD＝120°(已知)， ∴∠CFM＝180°－∠ECD＝60°，∠GFM＝180°－∠FGB＝30°(等式的性质)， ∴∠GFC＝∠CFM＋∠GFM＝90°(等量代换)， ∴GF⊥EC(垂直的定义). 19. 如图，已知AB∥CD，M，N是AB，CD之间的点，分别连接AM，AN，CM，CN，若AM，CM分别平分∠BAN，∠DCN，∠AMC＝50°，求∠ANC的度数. 解：如解图①，过点N作NF∥AB， ∵AB∥CD，NF∥AB(已知)， ∴AB∥CD∥NF(平行于同一条直线的两条直线平行)， ∴∠BAN＝∠ANF，∠DCN＝∠CNF(两直线平行，内错角相等)， ∴∠BAN＋∠DCN＝∠ANF＋∠CNF＝∠ANC(等量代换)， 同理可得∠BAM＋∠DCM＝∠AMC(等量代换)， ∵AM，CM分别平分∠BAN，∠DCN(已知)， ∴∠BAN＝2∠BAM，∠DCN＝2∠DCM(角平分线的定义)， ∵∠AMC＝50°(已知)， ∴∠BAM＋∠DCM＝50°(等量代换)， ∴∠BAN＋∠DCN＝2(∠BAM＋∠DCM)＝100°(等量代换)， 即∠ANC＝100°. 20. 如图，AB∥CD，∠AEC＝100°，∠BAE的平分线AF与∠DCE的平分线CF交于点F，求∠AFC的度数． 解：如解图，分别过E，F两点作EG∥AB，FH∥AB， ∵AB∥CD，EG∥AB，∴AB∥EG∥CD， ∴∠BAE＋∠AEG＝180°，∠DCE＋∠CEG＝180°， ∴∠BAE＋∠AEG＋∠DCE＋∠CEG＝360°， 即∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°， ∴∠BAE＋∠DCE＝360°－100°＝260°， ∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE， ∴∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝ ∠DCE， ∴∠BAF＋∠DCF＝ (∠BAE＋∠DCE)＝130°， ∵AB∥CD，FH∥AB， ∴AB∥FH∥CD， ∴∠AFH＝∠BAF，∠CFH＝∠DCF， ∴∠AFC＝∠AFH＋∠CFH＝∠BAF＋∠DCF＝130°. 21. 已知直线l1∥l2，，l3和l1，l2分别交于C，D点，点A，B分别在线l1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合． (1)如图1，有一动点P在线段CD之间运动时，求证：∠APB＝∠1＋∠2； (2)如图2，当动点P在C点之上运动时，猜想∠APB、∠1、∠2有何数量关系，并说明理由． 解：(1) 证明：如图1，过点P作PE∥l1， ∵l1∥l2 ∴PE∥l2 ∴∠1＝∠APE，∠2＝∠BPE 又∵∠APB＝∠APE＋∠BPE ∴∠APB＝∠1＋∠2 (2) ∠2＝∠1＋∠APB；理由如下：如图2，过P作PE∥AC， ∵l1∥l2 ∴PE∥BD ∴∠2＝∠BPE，∠1＝∠APE ∵∠BPE＝∠APE＋∠APB ∴∠2＝∠1＋∠APB 4 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题：平行线题型练习(拐点问题、折叠问题) 考点1: 一个“拐点”在平行线内部 1. “猪蹄”模型(构成“M”型) 如图，AB∥CD，则∠AEC＝∠A＋∠C. 证法一：如图①，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD(已知)， ∴AB∥CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)， ∴∠A＝∠AEF，∠C＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)， 又∵∠AEC＝∠AEF＋∠FEC， ∴∠AEC＝∠A＋∠C(等量代换). 证法二：如图②，延长AE交CD于点G， ∵AB∥CD(已知)， ∴∠A＝∠EGC(两直线平行，内错角相等)， 又∵∠AEC＋∠CEG＝180°(平角的定义)， 且∠CEG＋∠EGC＋∠C＝180°(三角形内角和定理)， ∴∠AEC＝∠EGC＋∠C(等量代换)， ∴∠AEC＝∠A＋∠C(等量代换). 图① 图② 2. 铅笔模型 如图，AB∥CD，则∠A＋∠AEC＋∠C＝360° 证法一：如图③，过点E作EM∥AB. ∵AB∥CD(已知)， ∴AB∥EM∥CD (平行于同一条直线的两条直线平行)， ∴∠AEM＋∠A＝180°，∠MEC＋∠C＝180° (两直线平行，同旁内角互补)， ∴∠AEM＋∠A＋∠MEC＋∠C＝ ∠A＋∠C＋∠AEC＝360°(等式的性质). 证法二：如图④，延长AE，DC交于一点N， ∵AB∥CD(已知)， ∴∠A＋∠N＝180°(两直线平行，同旁内角互补). ∵∠ECD＋∠ECN＝180°，∠AEC＋∠CEN＝180°(平角的定义)， ∠CEN＋∠N＋∠ECN＝180°(三角形内角和定理)， ∴∠A＝∠CEN＋∠ECN，∠AEC＝∠N＋∠ECN， ∠ECD＝∠CEN＋∠N(等量代换)， ∴∠A＋∠AEC＋∠ECD ＝∠CEN＋∠ECN＋∠N＋∠ECN＋∠CEN＋∠N ＝2(∠CEN＋∠ECN＋∠N)＝2×180°＝360°(等式的性质). 图③ 图④ 考点2: “拐点”在平行线外部 如图， AB∥CD，则∠E＝∠C－∠A 证法一：如图⑤，过点E作ME∥AB， ∵AB∥BD(已知)， ∴AB∥CD∥ME(平行于同一条直线的两条直线平行)， ∴∠MEA＝∠A，∠C＝∠MEF (两直线平行，内错角相等)， ∴∠AEF＝∠MEF－∠MEA＝∠C－∠A(等量代换). 证法二：如图⑥ ∵∠E＋∠A＋∠AFE＝180°(三角形内角和定理)， ∠AFE＋∠EFB＝180°(平角的定义)， ∴∠E＋∠A＝∠EFB(等量代换)，即∠E＝∠EFB－∠A. 又∵AB∥CD(已知)， ∴∠EFB＝∠C(两直线平行，同位角相等)， ∴∠E＝∠C－∠A(等量代换). 图⑤ 图⑥ 考点3: 多个“拐点”在平行线内部 如图⑦，已知MA1∥NAn，∠A1、∠A2、……、∠An之间的关系为： ∠A1＋∠A2＋∠A3＋……＋∠An＝(n－1)×180° 图⑦ 如图⑧，已知MA1∥NAn，∠A1、∠A2、……、∠An，∠B1、∠B2、……、∠Bn－1之间的关为：∠A1＋∠A2＋……＋∠An＝∠B1＋∠B2＋……＋∠Bn－1 图⑧ · 通过点的位置变化探究平行线的“拐点”问题总结： 方法1：看到平行线及拐点，想到过拐点作平行线. 方法2：看到平行线及拐点，想到构造三角形，利用平行线＋三角形内角和定理求解. 考点4: 利用平行线的性质解决折叠问题 · 折叠问题中常用到以下几种方法求角度： ①折叠前后的对应角相等； ②折叠前后的对应边相等，通过边的等量关系推导，若存在等腰三角形，则其两底角相等； ③等宽纸条、长方形的折叠问题中，存在平行线，通过平行线可得同位角、内错角、同旁内角的数量关系； ④图形中隐含的其他的角的数量关系，如对顶角相等、邻补角互补、三角形的内角和是180°等. 巩固练习： 1. 某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知AB∥CD， ∠BAE＝77°，∠DCE＝131°，则∠E的度数是( ). A．28° B．54° C．26° D．56° 2. 如图，OP∥QR∥ST，那么下列等式中正确的是( ). A．∠1＋∠2－∠3＝90° B．∠1－∠2＋∠3＝90° C．∠1＋∠2＋∠3＝180° D．∠2＋∠3－∠1＝180° 3. 如图，AB∥CD，EP⊥FP，已知∠1＝30°，∠2＝20°，则∠F的度数为( ). A．40° B．50° C．70° D．80° 4. 如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEF＝( ). A.115° B.110° C.120° D.130° 5. 如图，一次数学活动中，检验两条纸带(1)(2)的上下边线是否平行，明明和小丽采用两种不同的方法：明明把纸带(1)沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝60°；小丽把纸带(2)沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合.下列判断正确的是( ). A.纸带(1)的上下边线平行，纸带(2)的上下边线不平行 B.纸带(1)的上下边线不平行，纸带(2)的上下边线平行 C.纸带(1)(2)的上下边线都平行 D.纸带(1)(2)的上下边线都不平行 6. 如图，四边形ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将纸带ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A'，D'对应，若∠1＝2∠2,则∠AEF的度数为 .  7. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°∠A＝30°，E，F分别是边AC，AB上的点，连接EF，将△AEF沿着EF折叠，得到△A'EF，当△A'EF的边A'F与△ABC的一边平行时，∠AEF的度数是＝ . 8. 如图，AB∥CD，点E是平行线外一点，连接BE，DE，若∠ABE＝156°，∠E＝30°，则∠D的度数为 °. 9. 如图，AB∥CD，若∠A＝40°，∠C＝26°，则∠E＝ ． 10. 如图，若AB∥CD，则∠α＝130°，∠β＝70°，则∠γ＝ ． 11. 如图，AB∥EF，∠1＝113°，∠C＝35°，∠2＝105°，则∠D＝ ． 12. 如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ ． 13. 如图，直线 l1∥l2，若∠1＝40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4＝ ． 14. 如图，AB∥CD∥EF，则∠1、∠2、∠3的关系为 ． 15. 如图，某县积极推进“乡村振兴计划”，要对一段水渠进行扩建．如图，已知现有水渠从A地沿北偏东50°的方向到B地，又从B地沿北偏西20°的方向到C地．现要从C地出发修建一段新渠CD，使CD∥AB，则∠BCD的度数为 度． 16. ①如图1，AB∥CD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠E＝∠A＋∠C； ③如图3，若AB∥EF，则∠x＝180°－∠α－∠γ＋∠β；④如图4，AB∥CD，则∠A＝∠C＋∠P． 以上结论正确的是 ． 17. 两根木条和两根钉子E，F的位置如图所示，并绕过橡皮筋，若AE⊥EF，∠A＝60°，∠C＝160°，求∠EFC的度数. 18. 变速箱托架是汽车维修人员常用的维修工具，如图是一个变速箱托架及其工作时某一时刻示意图，已知AB∥CD，AE∥FG，若∠ECD＝120°，∠A＝150°，求证：GF⊥EC. 19. 如图，已知AB∥CD，M，N是AB，CD之间的点，分别连接AM，AN，CM，CN，若AM，CM分别平分∠BAN，∠DCN，∠AMC＝50°，求∠ANC的度数. 20. 如图，AB∥CD，∠AEC＝100°，∠BAE的平分线AF与∠DCE的平分线CF交于点F，求∠AFC的度数． 21. 已知直线l1∥l2，，l3和l1，l2分别交于C，D点，点A，B分别在线l1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合． (1)如图1，有一动点P在线段CD之间运动时，求证：∠APB＝∠1＋∠2； (2)如图2，当动点P在C点之上运动时，猜想∠APB、∠1、∠2有何数量关系，并说明理由． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $