精品解析：山东济南市商河县2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

七年级质量监测 数学 本试卷共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷指定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 人工智能改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一个小于1的正数用科学记数法表示，n为负数，其绝对值等于原数中第一个非零数字是小数点后第几位,确定a值，写成的形式即可． 【详解】解：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、单项式乘以单项式、积的乘方、同底数幂的除法进行计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 4. 下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（ ） A. 旭日东升 B. 瓜熟蒂落 C. 大海捞针 D. 十拿九稳 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般的必然事件的可能性大小为，不可能发生的可能性大小为，随机事件发生的可能性大小在至之间．旭日东升、瓜熟蒂落、瓮中捉鳖是必然事件；大海捞针是随机事件，可能性极小． 【详解】解：旭日东升、瓜熟蒂落是必然事件， 十拿九稳是随机事件，但发生的可能性比较大，不符合题意； 大海捞针是随机事件，可能性极小， 故选：C． 5. 如图，直线，直线分别与，相交于点，，交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由垂直的定义结合直角三角形的两锐角互余可得的度数，再由两直线平行，内错角相等即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 6. 一汽车油箱内剩余汽油的体积（升）与它行驶的路程（千米）之间的关系是，当汽车油箱内剩余汽油为升时，它行驶的路程是（ ） A. 300千米 B. 250千米 C. 200千米 D. 150千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是求自变量，理解函数关系式的含义是解本题的关键； 把代入函数解析式，可得答案． 【详解】解：把代入函数解析式， 可得：， 解得：， ∴当汽车油箱内剩余汽油为20升时，它行驶的路程是300千米． 故选：A． 7. 如图，点D，E分别在的边，上，把沿直线翻折后得．如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据邻补角定义求出  的度数，再根据折叠的性质得出 ，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵点 、、 在同一直线上，， ∴． 由折叠的性质可知，． ， ∴． 故选：B． 8. 将变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了运用平方差公式进行计算，熟练掌握平方差公式是解题关键．根据因式分解的定义对式子进行分解，再根据平方差公式变形即可． 【详解】解： 故选：A． 9. 如图，在中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（ ） A. B. C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得∶垂直平分，则，即可求解 【详解】解∶由题意可得∶ 垂直平分，则． 的周长． ， ． 10. 已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论： ①；②；③；④；⑤平分． 其中结论正确的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形，，全等三角形性质，等量关系，角平分线定义推导判断即可． 【详解】解：，，， 和是等腰直角三角形，，故④正确， ，， 在和中， ， ， ，，，故①正确， ，，故②正确， ，平分，故⑤正确， ，故③正确． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分． 11. 如果，那么_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，根据题意，把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：4 12. 在7张完全相同的卡片上分别写上数字1，1，2，2，3，4，5，从中任意抽出一张，抽出标有数字为奇数的卡片的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，即可求解． 【详解】解：一共有7张完全相同的卡片，其中数字为奇数的卡片为1，1，3，5，共4张， ∴抽出标有数字为奇数的卡片的概率为． 13. 若，则____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 14. 一支原长为20的蜡烛，点燃后，其剩余长度与燃烧时间的关系如下表： 烧烧时间／分 10 20 30 40 50 剩余长度/cm 19 18 17 16 15 当这支蜡烛的剩余长度为10时，这支蜡烛燃烧了_______分钟． 【答案】100 【解析】 【分析】根据表格中两个变量对应值的变化规律可得剩余长度与燃烧时间的函数关系式，根据关系式令求出相应的的值即可． 【详解】解：设燃烧时间为分钟，蜡烛剩余长度为， 由表格中两个变量对应值的变化规律可得， ， 当时，则， 解得：， 故答案为：100． 【点睛】本题考查函数关系式，根据表格中两个变量对应值的变化规律得出函数关系式是解决问题的关键． 15. 如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则____________． 【答案】4 【解析】 【分析】在上取一点E，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：在上取一点E，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题：本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，代数式的代入求值．先进行整式的混合运算，根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则去括号，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，将已知数值代入化简后的代数式计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 当，时，上式． 18. 如图，的顶点，，都在正方形的格点上，利用网格线按下列要求解答： （1）作图：关于直线的对称图形； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积； （3）在直线上求作一点，使点，点到它的距离之和最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）解：如图，即为所求： （2） （3）解：如图所示，点P即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的定义进行作图即可； （2）根据割补法求三角形的面积进行求解即可； （3）连接交直线l于点P，连接，此时，为最小值，则点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为． 【小问3详解】 略 19. 如图，点是的中点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：点是的中点， ． ， ． 又， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由点是的中点，可知，因为，根据平行线性质可得，结合条件，利用“边角边”证明全等即可； （2）由全等三角形对应角相等，再由平行线的性质即可求解题目． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：， ． ， ． 20. 某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． （1）他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； （2）求他得到100元购物券的概率是多少？ （3）若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查简单概率问题，涉及简单概率公式、事件分类等知识，读懂题意，熟练掌握一步概率问题的求法是解决问题的关键． （1）由题意，结合简单概率公式求解即可得到他能获得购物券的概率是，再由转盘上没有蓝色区域，即可得到甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； （2）如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，由简单概率公式求解即可得到答案； （3）如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，他得到50元购物券的概率是；若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 【小问1详解】 解：由题意可知，转盘被等分成20个扇形，如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，则转盘上红、绿或黄色区域共有11份， 他能获得购物券的概率是； 转盘上没有蓝色区域， 甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； 故答案为：，不可能事件； 【小问2详解】 解：如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，则他得到100元购物券的概率是； 【小问3详解】 解：如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，则他得到50元购物券的概率是； 若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 21. 如图，已知，，求证：． 证明：（①________________________）， （②__________________）． ③________________________（等量代换）， ④__________________（同位角相等，两直线平行）， （⑤____________________________________）， （已知）， ⑥__________________（等量代换）， （⑦____________________________________）， （⑧____________________________________）． 【答案】①对顶角相等；②已知；③；④；⑤两直线平行，同位角相等；⑥；⑦内错角相等，两直线平行；⑧两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质等；由平行线的判定方法得，根据平行线的性质得，再由内错角相等，两直线平行判定，即可得证． 【详解】略 22. 小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图象所表示的两个变量中，自变量是 ；因变量是 （2）小亮家到学校的距离是 米；本次上学途中，小亮一共骑行了 米； （3）点A的实际意义是什么？ （4）如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？ 【答案】（1）时间；离家距离 （2）； （3）点A的实际意义是“骑行6分钟时到A处，离家距离为米” （4）分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象、行程问题等知识点，利用函数图象获取正确信息是解题关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据图象，路程的最大值即为小亮家到学校的距离；分开始行解答； （3）根据题意可得点A的实际意义即可解答； （4）利用路程速度时间求解即可． 【小问1详解】 解：图象所表示的两个变量中，自变量是时间，因变量是离家距离． 故答案为：时间，离家距离． 【小问2详解】 解：小亮家到学校的距离是米； 本次上学途中，小亮一共骑行了：（米）． 故答案为：，． 【小问3详解】 解：点A的实际意义是骑行6分钟时到达A处，离家距离为米． 【小问4详解】 解：（米/分）， （分钟）， 所以小亮以往常的速度去学校，需要分钟． 23. 如图1，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同的方法表示图2中小正方形（阴影部分）的面积： 方法一：____________； 方法二：____________； （2），，这三个代数式之间的等量关系为____________； （3）应用（2）中发现的关系式解决问题：若，，求的值； （4）已知，求的值． 【答案】（1）；； （2）； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）直接利用面积公式和分割法求面积表示小正方形的面积即可； （2）根据（1）中的两个式子相等，即可得出结果； （3）利用（2）中的结论进行求解即可； （4）利用完全平方公式的变形进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知：方法一：； 方法二：； 【小问2详解】 解：由（1）可得：； 【小问3详解】 解：， ， ． 【小问4详解】 解：∵ ， ， 解得． 24. 【阅读理解】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，， 求证：． 证明：如图②，过点作 ， 即． 【类比应用】 （1）如图③，已知，，，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点，则______°． 【答案】（1）； （2）， 理由：如图④，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键． （1）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可求解； （2）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论； （3）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（2）中结论得到，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图③，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）略 （3）过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 25. 根据题目条件，解答下列各题： （1）观察理解：如图①，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，试说明：． （2）理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积____________； （3）类比探究：如图③，中，，，过点作于点，，连接，求的面积． 【答案】（1）证明：，，垂足分别为D，E， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ； （2）50 （3）32 【解析】 【分析】（1）先证明，，进而可依据“”判定； （2）同（1）证明，，得出，，，，再根据三角形的面积公式分别求出，，，，再求出，进而可求出梯形的面积为80，由此即可得出图中实线所围成的图形的面积S； （3）过点作于点H，先证明，进而依据“”判定得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）同理可得，， ，，，， ，， ，， ， ，，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 ； 【小问3详解】 解：过点作于点H，如图所示： ， 中，，， ， ， 于点A，， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级质量监测 数学 本试卷共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷指定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 人工智能改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（ ） A. 旭日东升 B. 瓜熟蒂落 C. 大海捞针 D. 十拿九稳 5. 如图，直线，直线分别与，相交于点，，交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 一汽车油箱内剩余汽油的体积（升）与它行驶的路程（千米）之间的关系是，当汽车油箱内剩余汽油为升时，它行驶的路程是（ ） A. 300千米 B. 250千米 C. 200千米 D. 150千米 7. 如图，点D，E分别在的边，上，把沿直线翻折后得．如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 将变形正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（ ） A. B. C. 7 D. 6 10. 已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论： ①；②；③；④；⑤平分． 其中结论正确的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分． 11. 如果，那么_________． 12. 在7张完全相同的卡片上分别写上数字1，1，2，2，3，4，5，从中任意抽出一张，抽出标有数字为奇数的卡片的概率为____________． 13. 若，则____________． 14. 一支原长为20的蜡烛，点燃后，其剩余长度与燃烧时间的关系如下表： 烧烧时间／分 10 20 30 40 50 剩余长度/cm 19 18 17 16 15 当这支蜡烛的剩余长度为10时，这支蜡烛燃烧了_______分钟． 15. 如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则____________． 三、解答题：本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，的顶点，，都在正方形的格点上，利用网格线按下列要求解答： （1）作图：关于直线的对称图形； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积； （3）在直线上求作一点，使点，点到它的距离之和最小（保留作图痕迹）． 19. 如图，点是的中点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． （1）他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； （2）求他得到100元购物券的概率是多少？ （3）若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 21. 如图，已知，，求证：． 证明：（①________________________）， （②__________________）． ③________________________（等量代换）， ④__________________（同位角相等，两直线平行）， （⑤____________________________________）， （已知）， ⑥__________________（等量代换）， （⑦____________________________________）， （⑧____________________________________）． 22. 小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图象所表示的两个变量中，自变量是 ；因变量是 （2）小亮家到学校的距离是 米；本次上学途中，小亮一共骑行了 米； （3）点A的实际意义是什么？ （4）如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？ 23. 如图1，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同的方法表示图2中小正方形（阴影部分）的面积： 方法一：____________； 方法二：____________； （2），，这三个代数式之间的等量关系为____________； （3）应用（2）中发现的关系式解决问题：若，，求的值； （4）已知，求的值． 24. 【阅读理解】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，， 求证：． 证明：如图②，过点作 ， 即． 【类比应用】 （1）如图③，已知，，，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点，则______°． 25. 根据题目条件，解答下列各题： （1）观察理解：如图①，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，试说明：． （2）理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积____________； （3）类比探究：如图③，中，，，过点作于点，，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $