精品解析： 山东省济南市商河县2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024－2025学年山东省济南市商河县七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. “池上无风有落晖，杨花晴后自飞飞．为将纤质凌清镜，湿却无穷不得归”这是韩愈描写柳絮的《池上絮》．每年的四五月份是我国北方柳絮纷飞的季节，据统计每枚柳絮的质量最轻只有．将数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. x2＋x2＝x4 B. （a－b）2＝a2－b2 C. （－a2）3＝－a6 D. 3a2·2a3＝6a6 【答案】C 【解析】 【详解】A、x2＋x2＝2x2，故此选项不符合题意； B、（a－b）2＝a2－2ab＋b2，故此选项不符合题意； C、（－a2）3＝－a6，此选项符合题意； D、3a2·2a3＝6a5，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠a=44°，则∠β的度数是（ ） A. 43° B. 44° C. 45° D. 46° 【答案】D 【解析】 【分析】过E作EM∥AB，则EM∥CD，根据平行线的性质可得∠α+∠β=90°，再由∠α可求解． 【详解】解：由题意知：AB∥CD，∠FEG=90°， 过E作EM∥AB，则EM∥CD， ∴∠FEM=∠α，∠GEM=∠β， ∵∠FEM+∠GEM=∠FEG=90°， ∴∠α+∠β=90°， ∵∠α=44°， ∴∠β=90°-44°=46°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是准确作出辅助线，掌握两直线平行，同位角相等定理的应用． 5. 某数学兴趣小组在做“频率的稳定性”试验时，根据试验结果绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一统计结果的试验最有可能是（ ） A. 一副扑克牌去掉大小王后，从中任抽一张牌是红桃 B. 任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上 C. 从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字 D. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，根据大量的实验后，事件发生的频率逐步稳定在一个固定值的附近，这个固定值大致约等于这个事件发生的概率，观察图象，找出四个选项中的概率为左右的符合条件，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、一副扑克牌去掉大小王后， 从中任抽一张牌是红桃的概率是，不符合题意； 、任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上的概率是，不符合题意； 、从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字的概率是，符合题意； 、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，不符合题意； 故选：． 6. 如果一个等腰三角形的两条边长分别为2和6，那么这个等腰三角形的周长是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，分腰长为2和底边长为2两种情况，结合构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为2时，则三边长为2，2，6， ∵， ∴此时不能构成三角形； 当底边长为2时，则三边长为2，6，6， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴这个等腰三角形的周长是， 故选：D． 7. 小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示,这现在的实际时间为（　　） A. 12:01 B. 10: 21 C. 15:10 D. 10:51 【答案】D 【解析】 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】根据镜面对称的性质，对称轴为竖直方向的直线，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为． 故选：D． 【点睛】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反． 8. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案． 【详解】解：从函数图象可以看出：OA段上升最慢，AB段上升较快，BC段上升最快，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢， ∴题中图象所表示的容器应是下面最粗，中间其次，上面最细； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 9. 如图，在中，的面积为，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，连接为的中点，为直线上任意一点．则长度的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，先根据两点之间线段最短，，找出最小值，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：连接，, 由作图得：是的垂直平分线， ， ， ，为的中点， ， 的面积为，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 10. 如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论： ；；；；． 其中正确的个数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，进而依据“”判定和全等得，，由此可对结论进行判断； 设与交于点，与交于点，根据三角形内角和定理得，由此可对结论进行判断； 根据，得，由此可对结论进行判断； 过点作交的延长线于点，证明和全等得，进而再证明和全等得；由此可对结论进行判断； 由和全等得，进而得，再由和全等得，由此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ，， 故结论正确； 设与交于点，与交于点，如图所示： 在中，， 在中，， ，，， ， ， 故结论正确； ， ， 在中，是边上的高， ， ， 故结论正确； 过点作交的延长线于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 故结论正确； ， ， ， ， ， ， ， 故结论正确， 综上所述：正确的结论是，共个， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何概率的求法“最终停留在黑色的砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值”，求解即可． 【详解】解：由图可知黑砖的面积（4块）占总面积（9块）的， ∴小球最终停留在黑砖上的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率，解题关键是掌握随机事件的几何概率=相应的面积与总面积之比． 13. 某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中，当时，的度数为______． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质. 根据题意，结合图形，得到的度数，再利用两直线平行，同旁内角互补，得到度数． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/min 40 60 80 100 120 140 160 180 若鸭的质量为3.2kg时，烤制时间为_____min． 【答案】148 【解析】 【分析】设鸭的质量为xkg时，烤制时间为t分钟，由表格数据可得t与x的关系式，将x＝3.2代入计算，即可得出答案． 【详解】解：设鸭的质量为xkg时，烤制时间为t分钟， 根据表格数据可得，鸭的质量x每增加0.5千克，烤制时间t增加20分钟， 可设t＝40+40（x﹣0.5）， ∴t＝40x+20， ∴鸭的质量为3.2kg，即x＝3，2时，t＝40×3.2+20＝148（min）． 故答案为：148． 【点睛】本题考查了函数表示方法，即表格法，从表格中转化出函数关系式是解题的关键． 15. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书之间竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧2本书籍的上方边沿，点、、、，在同一平面内．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，找出全等三角形是解题关键．根据题意证明出即可求解． 【详解】解：每本书长，厚度为， ，， 是等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ，， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：24． 16. 如图，为等边的高，M、N分别为线段，上的动点，且，当取得最小值时， ___________． 【答案】 【解析】 【分析】作，使，连接 交于点F，连接，则，可证，从而得证，于是，，当点N与点F重合时，取最小值； 【详解】解：作，使，连接 交于点F，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 当点N与点F重合时，，取最小值，则取最小值， 此时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形外角性质、两点之间线段最短，添加合适的辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据绝对值、有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算和求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、合并同类项法则、平方差公式、单项式乘多项式法则和多项式除以单项式法则． （1）根据完全平方公式和合并同类项法则进行计算即可； （2）根据平方差公式、单项式乘多项式法则和多项式除以单项式法则进行化简计算即可； 【详解】解：（1） ； （2）原式 ， 当，时， 原式 ． 19. 如图，在四边形中，点E为延长线上一点，点F为延长线上一点，连接，交于点G，交于点H，若，．求证：． 请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 证明：∵（ ），（已知）． ∴ ＝ （等量代换）． ∴（ ）． ∴（ ）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴ ∥ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴（ ）． 【答案】对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；；两直线平行，内错角相等． 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，对顶角性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 根据平行线的判定与性质证明即可． 【详解】证明：∵（对顶角相等），（已知）． ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 20. 如图所示，小安同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，即可求解； （2）根据全等三角形的性质可得，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 证明： 又 在与中 【小问2详解】 ， 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 21. 如图，的顶点都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）求的面积； （2）画出，使它与关于直线成轴对称； （3）在直线上找一点，使周长最小． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （）利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点即可； （）连接交于，利用，得到，则根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件； 本题考查了作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． 【小问1详解】 的面积； 【小问2详解】 如图，由网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点， ∴即为所求； 【小问3详解】 如上图，连接交于，利用，得到，则根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件； ∴点即为所求． 22. 在一个不透明的口袋里装有4个白球和6个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． （1）从中任意摸出一个球，摸到 球的概率大（填白或红）； （2）从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是 ； （3）从口袋里取走x个红球后，再放入x个白球，并充分摇匀，若随机摸出白球的概率是，求x的值． 【答案】（1）红 （2） （3）x的值为4 【解析】 【分析】（1）根据口袋中红球个数大于白球个数，因此摸到红球的概率大； （2）用白球的个数除以总球的个数即可； （3）根据概率公式列出算式，求出的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵口袋中装有4个白球和6个红球， ∴从口袋中随机摸出一个球是红球的概率大； 故答案为：红球； 【小问2详解】 解：∵口袋中装有4个白球和6个红球，共有10个球， ∴从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是； 故答案为：； 【小问3详解】 解：口袋中现在有白球个，红球 个，根据题意得： ， 解得： 答：取走了4个红球． 【点睛】本题考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，掌握概率的计算公式是解题的关键． 23. 【问题情境】 我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对儿童公园内的摩天轮进行实地调研．摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图像如图①． 图① 【问题研究】 请根据图①中信息回答： （1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； （2）摩天轮最高点距地面 （米），摩天轮最低点距地面 （米）； 【问题解决】 （3）如图②，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需5分钟，求出这个吊舱从点A顺时针旋转到点B所走的路径的长度．（结果保留π） 图② 【答案】（1）所用时间x，距地面的高度h；（2）103，3；（3）米 【解析】 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确识别函数图象中的信息是解题的关键． （1）根据自变量和因变量求解； （2）根据图象求解； （3）根据用圆的周长除以20分钟，得出每分钟走过的路径长，再乘以6分钟即可求解． 【详解】解：问题研究： （1）在这个变化过程中，吊舱距地面的高度随着所用的时间的变化而变化，所以，自变量是x，因变量是h； 故答案为：x，h； （2）由图象可知：摩天轮最高点距地面103米，摩天轮最低点距地面3米； 故答案为：103，3； 问题解决： （3）∵摩天轮最高点距地面103米，最低点距离地面3米，20分钟一周 ∴摩天轮的直径是100米， 顺时针旋转一周需要20分钟． ∴（米）， 答：所走的路径的长度是米． 24. 在一次综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线、和一块直角三角尺的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动． 【初步体验】 （1）如图，三角尺的角的顶点在上．，则的度数为______ ． 【基础巩固】 （2）如图，瑶瑶同学把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由． 【强化应用】 （3）如图，雅雅同学把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上若，，请写出与的数量关系（用含，的式子表示），并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理． （1）由平行线的性质求得，根据平角的性质列式计算即可求解； （2）过点作，利用平行线的性质即可求解； （3）由平行线的性质结合平角的性质，列式计算即可求解． 【详解】解：（1），，， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 如图，过点作， ，， ， ，， ， ； （3），理由如下： ， ， ，， ， ， ． 25. 【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）的面积为10；（4）和之间的数量关系为；证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键． （1）首先由角平分线得到，然后由垂直得到，然后证明出； （2）同（1）可得，，得到，然后根据结合三角形外角的性质得到，进而求解即可； （3）如图所示，延长交于点E，同（1）可得，，得到，，然后求出，然后得到，然后根据的面积为30得到，进而求解即可； （4）如图：延长交延长线于F，证明，推出，再证明，进而完成解答． 详解】解：（1）∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴； （2）同（1）可得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，延长交于点E 同（1）可得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵的面积为30 ∴ ∴ ∵ ∴的面积； （4），理由如下： 如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年山东省济南市商河县七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “池上无风有落晖，杨花晴后自飞飞．为将纤质凌清镜，湿却无穷不得归”这是韩愈描写柳絮的《池上絮》．每年的四五月份是我国北方柳絮纷飞的季节，据统计每枚柳絮的质量最轻只有．将数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. x2＋x2＝x4 B. （a－b）2＝a2－b2 C. （－a2）3＝－a6 D. 3a2·2a3＝6a6 4. 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠a=44°，则∠β的度数是（ ） A. 43° B. 44° C. 45° D. 46° 5. 某数学兴趣小组在做“频率的稳定性”试验时，根据试验结果绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一统计结果的试验最有可能是（ ） A. 一副扑克牌去掉大小王后，从中任抽一张牌是红桃 B. 任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上 C. 从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字 D. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 6. 如果一个等腰三角形的两条边长分别为2和6，那么这个等腰三角形的周长是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 7. 小明在镜中看到对面电子时钟示数如图所示,这现在的实际时间为（　　） A. 12:01 B. 10: 21 C. 15:10 D. 10:51 8. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，的面积为，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，连接为的中点，为直线上任意一点．则长度的最小值为( ) A. B. C. D. 10. 如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论： ；；；；． 其中正确的个数是（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：________． 12. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是___________． 13. 某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中，当时，的度数为______． 14. 某烤鸭店在确定烤鸭烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/min 40 60 80 100 120 140 160 180 若鸭质量为3.2kg时，烤制时间为_____min． 15. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书之间竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧2本书籍的上方边沿，点、、、，在同一平面内．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为________． 16. 如图，为等边的高，M、N分别为线段，上的动点，且，当取得最小值时， ___________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在四边形中，点E延长线上一点，点F为延长线上一点，连接，交于点G，交于点H，若，．求证：． 请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 证明：∵（ ），（已知）． ∴ ＝ （等量代换）． ∴（ ）． ∴（ ）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴ ∥ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴（ ）． 20. 如图所示，小安同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 如图，的顶点都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）求的面积； （2）画出，使它与关于直线成轴对称； （3）在直线上找一点，使周长最小． 22. 在一个不透明的口袋里装有4个白球和6个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． （1）从中任意摸出一个球，摸到 球的概率大（填白或红）； （2）从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是 ； （3）从口袋里取走x个红球后，再放入x个白球，并充分摇匀，若随机摸出白球的概率是，求x的值． 23. 【问题情境】 我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对儿童公园内的摩天轮进行实地调研．摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图像如图①． 图① 【问题研究】 请根据图①中信息回答： （1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； （2）摩天轮最高点距地面 （米），摩天轮最低点距地面 （米）； 【问题解决】 （3）如图②，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需5分钟，求出这个吊舱从点A顺时针旋转到点B所走的路径的长度．（结果保留π） 图② 24. 在一次综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线、和一块直角三角尺的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动． 【初步体验】 （1）如图，三角尺的角的顶点在上．，则的度数为______ ． 【基础巩固】 （2）如图，瑶瑶同学把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由． 【强化应用】 （3）如图，雅雅同学把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上若，，请写出与的数量关系（用含，的式子表示），并说明理由． 25. 【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $