1.1　反比例函数的概念 课件 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例函数概念，通过面积为24的矩形操作活动导入，引导学生描点、填表发现x与y乘积为定值，从具体操作到概括反比例关系，再到函数定义，构建连贯的知识脉络与学习支架。 其亮点是以探究活动为载体，结合矩形边长、高速公路修建等实例，培养学生抽象能力（从实际问题抽象出xy=k关系）、推理意识（归纳函数共同特征）和模型意识（建立实际问题的函数模型）。采用操作尝试与例题辨析结合的教学方法，学生能提升数学眼光与应用能力，教师可借助完整流程和多样化练习优化教学。

反比例函数的概念 第一章　反比例函数 1.1 探究与应用 在如图1-1-1所示的平面直角坐标系中,有一组面积为24的矩形,矩形的一个顶点与原点O重合,另两个顶点分别落在x轴、y轴的正半轴上,第四个顶点位于第一象限内的某个格点上. 活动1　理解反比例关系 操作尝试 图1-1-1 (1)描出这组矩形的第四个顶点,并用一条平滑的曲线把这些点连接起来. 解:如图. (2)设这组矩形落在x轴上、y轴上的边的长分别为x,y,填写下表,用含x的式子表示y. 用含x的式子表示y为y=. 解:填表如下: x 1 2 3 4 … 24 y 24       …   x 1 2 3 4 … 24 y 24 12 8 6 … 1 (3)用铁丝围成一个面积为24 cm2的矩形,矩形相邻的两边长分别为a cm和b cm,当a,b变化时,它们满足怎样的规律? 解:这个矩形的相邻两边长的乘积是一个定值.当一边变大时,邻边变小;当一边变小时,邻边变大.无论边长怎样改变,一定有ab=24. 概括新知 反比例关系:一般地,如果两个变量x和y满足 　　　　　　　　　　,那么就说这两个变量具有反比例关系.  xy=k(k为常数,k≠0) 理解应用 判断下列问题中的两个变量是否具有反比例关系,并用一个变量表示另一个变量. 例 1 (1)计划修建一条长为500 km的高速公路,完成该项目的天数y(天)与平均工作效率x(km/天)之间的关系; 解:具有反比例关系,y=. (2)向容积为2500 m3的水池内注水,注满水池所需时间t(h)与注水平均速度v(m3/h)之间的关系; 解:具有反比例关系,t=. (3)两个实数m与n的乘积为-200,m与n之间的关系. 解:具有反比例关系,m=-. y=,t=,m=-具有怎样的共同特征? 活动2　准确理解反比例函数的概念 讨论交流 解:都有反比例关系,并且都可以写成y=(k为非零常数)的形式,其中y随x的变化而变化,每一个x(x≠0)的值都有唯一的y的值与它对应. 认识概念 反比例函数:一般地,形如　　　　　　　　　　的函数叫作反比例函数,其中　　　　是自变量,　　　　是　　　　的函数.  y=(k为常数,k≠0) x y x 记 关键 理解反比例函数的“两个关键” (1)形如y=或xy=k或y=kx-1; (2)自变量、因变量的乘积是非零常数. 理解概念 下列等式中的y是x的反比例函数吗?如果是,把它写成y=的形式,并指出k的值. (1)xy=10;　　　(2)y=-2x-1;　　　(3)=;　　　(4)y=+2. 解:(1)是反比例函数,y=,k=10. (2)是反比例函数,y=-,k=-2. (3)不是反比例函数. (4)不是反比例函数. 例 2 已知函数y=(a-3)x|a|-4是关于x的反比例函数,则a=　　　　.  -3 例 3 (教材典题改编)用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系,并判断它们是不是反比例函数. 活动3　根据条件确定反比例函数的关系 例 4 (1)体积为100 cm3的圆锥,高h(cm)随底面面积S(cm2)的变化而变化; 解:根据题意,得Sh=100,即h=,h是S的反比例函数. (2)体积为100 cm3的圆锥,高h(cm)随底面半径r(cm)的变化而变化; 解:根据题意,得πr2h=100,即h=. 因为h与r不具有反比例关系,所以h不是r的反比例函数. (3)面积为3 cm2的等腰三角形的底边长y(cm)随底边上的高x(cm)的变化而变化. 解:根据题意,得xy=3,即y=,y是x的反比例函数. 课堂总结与反思 |总结| 课堂练习 知识点1 判断反比例关系 1.下列关系中，两个变量之间为反比例关系的是( ) D A.长40米的绳子剪去米，还剩 米 B.买售价为3元/本的笔记本本，花了 元 C.正方形的面积为，边长为 D.菱形的面积为20，对角线的长分别为， 21 知识点2 反比例函数的相关概念 2.下列函数不是反比例函数的是( ) D A. B. C. D. 22 3.在反比例函数中，自变量 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 23 4.对于函数，当___时，是 的反比例函数，且比 例系数是3. 4 24 5.若函数是关于的反比例函数，则 _ _. 25 6.下列等式中的是的反比例函数吗？如果是，把它写成 的形式，并指出 的值. （1） ； 解：中的不是 的反比例函数. （2） ； 解：中的是的反比例函数., . 26 （3） ； 解：中的是的反比例函数.由可得 ， . （4） ； 解：中的不是 的反比例函数. 27 （5） ； 解：中的是的反比例函数.由可得， . （6） . 解：中的是 的反比例函数. , . 28 知识点3 建立反比例函数模型，确定反比例函数表达式 7.某长方体的体积为，长方体的高（单位： ）与底 面积（单位： ）之间的函数关系式为( ) B A. B. C. D. 29 8.（教材练习T1变式） 用函数表达式表示下列问题中两个变量 之间的关系，并判断它们是否为反比例函数. （1）计划修建铁路,铺轨天数 （天）随每日铺轨量 的变化而变化； 解：由题意,得， . 是 的反比例函数. 30 （2）在检修长的管道时，每天能完成 ,剩下的未检 修的管道长随检修天数 的变化而变化. 解：.不是 的反比例函数. 31 能力提升综合练 9.若是反比例函数，则 的值为( ) B A.2 B. C.1 D.0 32 10.如果三角形的底边长是，底边上对应的高是 ，那么三角形 的面积 .下列说法错误的是( ) C A.当为定长时，是 的一次函数 B.当为定长时，是 的一次函数 C.当确定时，是 的一次函数 D.当确定时，是 的反比例函数 33 11.[2024连云港] 杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力 动力臂”. 已知阻力和阻力臂分别为和，动力为 ，动力 臂为.则动力关于动力臂 的函数表达式为_ _______. 34 12.[2025徐州贾旺区月考] 下表中，若和成反比例，则 的值 是___. 4.5 3 6 9 35 13.有一个面积为30的梯形，其上底长是下底长的一半，设下底 长为，高为，求关于 的函数表达式.这个函数是反比例函数 吗？若是，请指出 的值；若不是，请判断函数类型. 解：由题意,得 ， 关于的函数表达式为 . 这个函数是反比例函数， 的值是40. 36 14.（教材习题 变式） 小王开着私家车到某市接朋友，每千 米的耗油量可以看作是车速 的反比例函数，数据 如下表. 车速 10 20 40 80 每千米耗油量 0.4 0.2 0.1 0.05 求出与 之间的函数关系式. 37 解：由表可知车速每千米耗油量 是定值，即 ， 与之间的函数关系式是 . 38 素养发展创新练 15. 抽象能力 已知函数 ，其中 是反比例函数，与 成正比例，函数的 自变量的取值范围是，且当时， . 39 （1）根据给定的条件，求该函数的表达式； 解： 是反比例函数， 且 ， 解得 ， . 设，则 . 40 当时， . ，解得 ， . （2）下表是与 的几组对应值： 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 则_ _， __； 42 （3）根据表中数据，在图1-1-1所示的平面直角坐标系中，描 点并画出该函数的图象； 43 图1-1-1 解：根据表中数据，在平面直角 坐标系中描点，画出图象如图. 44 （4）结合画出的函数图象，解决问题： 当时，的值约为____（精确到 ）. 4.6 45 $