1.1 有理数的引入 暑假预习讲义 2026-2027学年华东师大版七年级数学上册

1.1 有理数的引入讲义 【预习目标】 1. 理解正数、负数的概念,会用正数、负数表示具体情境中具有相反意义的量. 2. 理解有理数的有关概念及其分类,了解集合的概念. 【知识点梳理】知识点一 正数和负数 正数 像3、30%、、0.618这样的数是正数.正数前面有时也可放上一个“+”（读作“正”）号,例如,3也可表示为+3（读作: 正3）. 一般情况下,正数前面的“+”可以省略不写. 负数 像,这样的数是负数（读作: 负3）. 0 0既不是正数,也不是负数.0是正数和负数的分界. 0的意义不仅可以表示“没有”,还可以表示特定的意义或某些量的基准. 例如,0℃就不是“没有温度”的意思,它表示在标准大气压下水刚好结冰时的温度. 知识点二 用正数和负数表示具有相反意义的量 在日常生活中,我们会遇到很多具有相反意义的量,如收入与支出、盈利与亏损、上升与下降、增加与减少、前进与后退等. 为了区别具有相反意义的量,用正数和负数分别表示具有相反意义的量,规定其中一个量为正（可以任意选择）,则它的相反意义的量为负. 习惯上,把前进、上升、上涨、盈利、增加等量规定为正（用正数表示）,把后退、下降、亏损、减少等量不是为负（用负数表示）. 注意具有相反意义的量的单位. 用正数、负数表示具有相反意义的量的三个特性: （1）任意性 哪种意义的量为正,可以任意选择. （2）成对性 具有相反意义的量是成对出现的. （3）不等性 具有相反意义的两个量,其数据可以不相等. 知识点三 有理数的概念 数的分类如下: （1）正整数: 既是正数又是整数的数,如1 , 2 , 3…. （2）0: 既不是正数,也不是负数. （3）负整数: 既是负数又是整数的数,如. （4）分数: 有百分数、小数和分数三种形式,如30% , ,等.分数分为正分数和负分数两种. 分数中的小数是有限小数或无限循环小数.无限不循环小数不是分数,如. 有理数的概念 整数和分数统称为有理数. 知识点四 有理数的分类 或按正、负分类为: （1）非负数 指的是0和正数,是大于或等于0的数. （2）非正数 指的是0和负数,是小于或等于0的数. （3）非负整数 指的是0和正整数,也叫自然数. （4）非正整数 指的是0和负整数. 知识点五 数的集合 名称 定义 数集 把一些数放在一起,就组成一个集合,简称数集. 有理数集 所有有理数的组成的数集叫做有理数集. 整数集 所有整数组成的数集叫做整数集. 正数集 所有正数组成的数集叫做正数集. 非负整数集 （自然数集） 所有正整数和0组成的数集叫做非负整数集（即自然数集）. （1）数集常用的表示方法有两种:用椭圆或大括号“{}”表示.如非负整数集既可以表示为如图所示的形式,也可以表示为. （2）如果一个数集内的数有无限多个,不能全部写出,要加“…”.如上面非负整数集的表示. （3）同一个数集内不能有重复的数,即一个数只能在一个数集中出现1次. 【例题讲解】 题型一 用正数、负数表示具有相反意义的量 例1. 下列选项中,具有相反意义的量的是 【 】 （A）收入25元与支出30元 （B）上升7米和后退9米 （C）卖出12千克与盈利50元 （D）向东走14米和向北走20米 【分析】（A）中,收入与支出是具有相反意义的量,符合题意; （B）中,上升的相反意义是下降,后退的相反意义是前进,不符合题意; （C）中,卖出的相反意义是买进,盈利的相反意义是亏损,不符合题意; （D）中,向东走的相反意义是向西走,向北走的相反意义是向南走,不符合题意. 解: A. 例2. 某项科学研究中,以1小时为1个时间单位,并记每天上午10:00为0,10:00以前记为负,10:00以后记为正,如上午9:00记作,上午11:00记作+1.依此类推,上午7:00应记作 【 】 （A）+3 （B） （C） （D） 【分析】从7:00到10:00是3小时,即3个时间单位.由于7:00在10:00之前,所以上午7:00应记作. 解: B. 例3. 若收入100元记作+100元,则支出60元应记作__________. 【分析】在用正、负数表示具有相反意义的量时,如果有单位,则应带上单位. 解: 元（写成不正确）. 例4. 一袋面粉的质量标识为“kg”,则下面面粉质量中合格的是【 】 （A）100.30 kg （B）99.51 kg （C）99.80 kg （D）100.70 kg 【分析】本题考查利用正、负数表示误差范围.一袋面粉的最大质量为100.25 kg,最小质量为99.75 kg,所以一袋面粉的质量范围为99.75 kg～100.25 kg,在这个范围的是合格的. 解: C. 题型二 有理数的分类及数集的应用 例5. 给出下列各数:4. 439 439 , 0 , , 3.14159 , , ,其中,非负数的个数为 【 】 （A）6 （B）5 （C）4 （D）3 【分析】本题主要考查非负数的概念: 非负数指的是0和正数. 其中的非负数为4. 439 439 , 0 , 3.14159 , ,共4个. 解: C. 例6. 在下列各数:, 2. 1 , , 3 , 0 , ,其中非负有理数有 【 】 （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个 【分析】非负有理数指的是0和正有理数.其中非负有理数为2. 1 , , 3 , 0 ,共4个. 解: C. 例7. 在有理数 , 0 , , , , 6中,整数有_________个,负分数有_________个. 【分析】本题考查整数和负分数的概念. 整数包括负整数、0和正整数,分数有小数、百分数和分数三种形式. 整数有0 , , 6,共3个,负分数有 , ,共2个. 解: 3 2. 例8. 若有6个数: 5 , 0 , , , , ,其中分数有个,非负整数有个,有理数有个,则_________. 【分析】本题考查分数、非负整数和有理数的概念. 负数包括小数、百分数和分数三种形式,非负整数包括0和正整数.整数和分数统称为有理数. 分数中的小数,包括有限小数和无限循环小数. 是无限不循环小数,它不是有理数. 其中,分数有 , , ,共3个,所以;非负整数有5 , 0 ,共2个,所以;有理数有5 , 0 , , , ,共5个,所以. 所以. 解: 0. 例9. 把下列各数填入相应的数集中. , , , , 168 , 0 , 1. 8. 正分数集: {____________________…}. 负分数集: {____________________…}. 非负整数集: {____________________…}. 整数集: {____________________…}. 【分析】在进行数的分类时,每个数在一个数集中只能出现一次.为了避免重复或遗漏某个数,应按照从左到右的顺序,对每个数进行分类,并填入相应的数集中.特别注意,小数点和逗号要分清. 解: 正分数集:. 负分数集:. 非负整数集:. 整数集: . 题型三 正数和负数的实际应用 例10. 某次数学考试,成绩80分以上为优秀,老师将某一小组五名同学的成绩简记为（以80分为标准）,请你解释一下这几个数分别表示什么,并回答这五名同学的实际成绩为多少. 【分析】本题主要考查用正数和负数表示具有相反意义的量.一般高于标准的量用正数表示,低于标准的量用负数表示. 解: 表示比80分高了12分,表示比80分低了5分,0表示恰好为80分, 表示比80分高了7分,表示比80分低了2分.这五名同学的实际成绩依次为92分、75分、80分、87分、78分. 题型四 正数和负数的规律探究题 探究一组数的排列规律时,应全面分析题中所给的所有数据,要从符号和数字两个方面进行观察. 例11. 观察下面按次序排列的两组数,探究它们各自的变化规律,完成填空并分别写出第2026个数. （1）3 , , 9 , , 15 , , 21 , , _________ , _________ , …; （2）1 , , 3 , , 5 , , 7 , , _________ , _________ , …. 【分析】一般规律是数的符号和数字都与数所处的位置（顺序）有关. 解:（1）根据所给数的规律发现,第（为正整数）个数,当为奇数时,数为;当为偶数时,数为. 27 , 第2026个数为; （2）根据所给数的规律发现,第（为正整数）个数,当为奇数时,数为;当为偶数时,数为. 9 , , 第2026个数为. 例12. 如图,下面两个圈分别表示负数集合和分数集合. （1）请把下列各数填入它属于的集合圈内. ,,,,,,,,. 负数集合 分数集合 （2）图中这两个圈的重叠部分表示_________集. 【分析】本题主要考查有理数的分类.既是负数,又是分数的数,指的是负分数.分数有三种形式:百分数、小数和分数. 解:（1）如图所示; （2）负分数. 【同步练习】 1. 下列关于0的说法:①0是整数,但不是自然数;②0既不是正数,也不是负数;③0不是整数,是自然数;④0没有实际意义.其中正确有 【 】 （A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个 2. 有下列说法:①5. 56既是正数、分数,也是有理数;②正整数和负整数统称为整数;③是负分数;④既是负数,也是整数,但不是有理数;⑤自然数是整数.其中正确的有 【 】 （A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个 3. 下列各数:,,,,,,,,其中负数有________个. 4. 把下列各数填入相应的数集中. ,,,,,, 正分数集:｛________________________…｝, 负分数集:｛________________________…｝, 非负整数集:｛________________________…｝, 整数集:｛________________________…｝. 5. 请写出一个既是分数又是负数的数:_________. 6. 在有理数,,,,,4中,整数是____________,负分数是_________,非负数是_____________. 7. 生活中常用正负数表示范围的情形,例如某种食品的说明书上标明保存的温度是（）℃,请你写出一个适合该食品保存的温度:________℃. 8. 观察下面依次排列的一些数:按你猜测的规律,第2025个数是_________. 9. 最小的正整数是_______,最大的负整数是_______,最小的非负整数是_______,最大的非正整数是_______. 10. 把下列各数填入相应的集合中: , 73 , , , 3. 14 , , , 0 . 正分数集:｛________________________…｝, 负分数集:｛________________________…｝, 非负整数集:｛________________________…｝, 非正整数集:｛________________________…｝. 11. 把下列各数填入表示它所在的数集的大括号里: , 3 , , 0 , 0. 02 , , , 30% , 2026 , , . 正数集:｛___________________________…｝, 负数集:｛___________________________…｝, 非负整数集:｛___________________________…｝, 正分数集:｛___________________________…｝; 有理数集:｛______________________________…｝. 【同步练习答案】 1. D 2. B 3. 3 4. 解: 正分数集: . 负分数集: . 非负整数集: . 整数集: . 5. 如（或、） 6. 0 , , 4 0 , , 4 7. 如26（在23～27范围内的数都可以） 8. 9. 1 , , 0 , 0 10. 解: 正分数集: . 负分数集: . 非负整数集: . 非正整数集: . 11. 解: 正数集: . 负数集: . 非负整数集: . 正分数集: . 有理数集: . 第9页 学科网（北京）股份有限公司 $