专题01有理数（期末复习讲义）（知识点总结+1个易错警示+8大题型+巩固练习）2025-2026学年华东师大版七年级数学上学期

该初中数学有理数专题复习讲义通过核心考点表格与知识脉络图谱系统构建知识体系，梳理正负数、数轴、绝对值等10个核心考点，表格明确复习目标、考察形式、难度星级及高频易错点，图谱直观呈现概念内在联系，突出绝对值化简、混合运算等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计与素养导向练习，基础题型如数轴三要素辨析培养几何直观，培优题型如混合运算简便运算提升运算能力，压轴题型如数轴动点问题和最优购物方案设计发展模型意识与应用意识。易错点警示卷和方法技巧指导帮助不同层次学生突破难点，支持自主复习与教师精准教学。

专题01 有理数 核心考点 复习目标 考察形式 难度星级 高频易错点 1、正负数的意义 理解正负数表示相反意义的量，能在实际情境中辨析、运用 选择/填空/解答（情境描述） ★ 混淆相反意义的量（如“收入”与“支出”对应错误）；忽略0的中性属性 2、数轴三要素 掌握原点、正方向、单位长度三要素，能辨析数轴正误，会在数轴上标注点、读出点的坐标 选择/填空/解答（作图） ★★ 遗漏数轴三要素之一（尤其单位长度不统一）；数轴上负数标注顺序颠倒 3、相反数的概念与性质 理解相反数的定义（符号相反、绝对值相等），掌握相反数的几何意义，能求任意有理数的相反数 选择/填空/计算 ★ 求含负号的数的相反数时出错（如误认为的相反数是）；忽略0的相反数是0 4、绝对值的意义与化简 理解绝对值的几何意义（数轴上点到原点距离）和代数意义，能对具体数、含字母的式子进行绝对值化简，掌握绝对值的非负性 填空/解答/化简题 ★★★ 忽略绝对值的非负性（如的应用）；含字母绝对值化简时未分类讨论；混淆“绝对值相等”与“数相等” 5、有理数的分类 能按整数/分数、正有理数/0/负有理数进行分类，辨析无理数与有理数的区别 选择/填空 ★ 分类时重复或遗漏（如将0归为正数/负数）；误将有限小数、无限循环小数归为无理数 6、有理数的加减运算 掌握有理数加减法则（同号/异号相加、减法变加法），能进行含括号的加减运算，解决实际情境问题 填空/解答/情境计算 ★★ 加减运算时符号判断错误；去括号时未遵循“括号前是负号，括号内各项变号”法则 7、有理数的乘除运算 掌握有理数乘除法则（符号法则、绝对值法则），理解倒数的定义，能运用运算律简化计算 填空/解答/混合运算 ★★ 多个有理数相乘时符号判断错误（忽略负因数个数）；误将0的倒数认为是0；除法转化为乘法时未乘倒数 8、有理数的乘方 理解乘方的定义（求个相同因数的积），掌握乘方的符号法则，能计算有理数的乘方 选择/填空/混合运算 ★★ 混淆乘方与乘法（如与）；负数的乘方未加括号（如与计算错误）；0的非零次幂、1的任何次幂记忆混淆 9、科学记数法 理解科学记数法的形式（，，为整数），能将大数/小数转化为科学记数法，反之亦然 选择/填空 ★★ 指数的计算错误（忽略单位换算，如1万）；的取值范围错误（或）；还原科学记数法时小数点移动方向错误 10、近似数与有效数字 理解近似数的意义，能判断近似数的精度（精确到哪一位），掌握有效数字的定义（从左边第一个非0数字起） 选择/填空 ★★ 混淆“精确到哪一位”与“有几个有效数字”；对带单位的近似数精度判断错误（如万精确到千位而非个位）；取近似数时未遵循四舍五入法则 易错类型：科学记数法与近似数表示错误 易错警示： 转化大数为科学记数法时，指数计算错误（如误写为，忽略的取值范围）； 还原科学记数法时，小数点移动方向或位数错误（如误还原为）； 近似数的精度判断错误（如万误认为精确到个位，实际精确到百位）。 【题型1】科学记数法与近似数的综合应用 避错要点： 牢记科学记数法标准形式：（，为整数），原数整数位数（大数）或原数第一个非0数字前0的个数（小数）； 还原时：为正，小数点向右移位；为负，小数点向左移位，位数不足补0； 近似数精度判断：带单位的先还原成原数，再看最后一位数字对应的数位（如万，最后一位0在百位，故精确到百位）； 有效数字只看的部分，从左边第一个非0数字起，到末尾数字止（如的有效数字为3、0、5）。 【例题1】. （25-26八年级上·重庆·期末）今年，巫山脆李、涪陵榨菜、奉节脐橙的品牌价值均位居全国同品类前列，成为巴渝名优土特产的“金名片”．其中奉节脐橙的品牌价值38170000000元用科学记数法表示为 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【举一反三1-1】. （25-26七年级上·陕西榆林·期中）用四舍五入法将精确到，得到的近似数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求近似数． 精确到即保留三位小数，需看第四位小数，根据四舍五入规则作答即可． 【详解】解：精确到时，第四位小数是8，， 故第三位小数4进位为5， 因此近似数为． 故答案为：． 【举一反三1-2】. （25-26八年级上·江苏无锡·期末）年月日，第五轮“苏超”联赛在泰州举行，本场比赛观众人数为人，用四舍五入法将人精确到人，所得的近似数为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的近似数，将24986精确到1000人，即四舍五入到千位，需看百位数字．百位数字为9，，故向千位进1，再用科学记数法进行表示即可． 【详解】解：24986精确到1000人，即精确到千位．百位上的数字是9，，因此向千位进1，千位4变为5，后面各位变为0，故近似数为25000． ； 故答案为：． 【举一反三1-3】. （2025七年级上·全国·专题练习）我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是 亿公顷． 【答案】 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数还原，根据亿，再将科学记数法表示的数还原，转化单位即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵亿， ∴亿， 故答案为：． 【基础必考题型】 【题型2】数轴三要素辨析与点坐标标注 1.核心知识点: 数轴三要素（原点、正方向、单位长度）； 数轴上点与有理数的一一对应关系。 2.解题方法技巧: 辨析数轴正误时，逐一检查三要素是否齐全、规范（单位长度需统一）； 标注点坐标时，先确定原点位置，再根据正方向判断左右（右正左负），按单位长度数出对应刻度。 【例题2】. （25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）下列数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴的概念，熟练掌握数轴的定义是解题关键． 根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，据此判断即可． 【详解】解：A、该选项的数轴中的正负数标颠倒，不符合题意； B、该选项的数轴中的负数排列错误，应从原点向左依次排列，不符合题意； C、该选项的数轴没有原点，不符合题意； D、该选项的数轴是正确的数轴，符合题意． 故选：D． 【举一反三2-1】. （新疆维吾尔自治区喀什市2024-2025学年七年级上学期阶段性质量检测数学试卷）数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是 ． 【答案】 8 【分析】本题考查数轴上的点的距离，根据数轴上两点间的距离公式，距离等于两点所表示的数的差的绝对值直接求解即可． 【详解】解：数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是 ． 故答案为：8． 【举一反三2-2】. （25-26七年级上·全国·期末）如图所示，数轴上的点A，B，C，D，E表示连续的五个整数，若点A，E表示的数分别为x，y，且，则点C表示的数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查数轴的性质，掌握数轴上点的距离与对应数的关系是解题的关键． 结合点A，B，C，D，E表示连续的五个整数，可知，结合，可求出，故可推理出表示的数． 【详解】解：∵数轴上的点A，B，C，D，E表示连续的五个整数，点A，E表示的数分别为x，y， ∴，即，又∵， ∴， 解得：， ∴点A表示的数为， 则点C表示的数为：， 故选：B． 【举一反三2-3】. （25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）有下列各数，，0，4，，．请画出数轴，并用数轴上的点表示这些数且用“”按从小到大的顺序连接． 【答案】画图见详解， 【分析】此题主要考查了在数轴上表示各数，有理数的比较大小，根据数轴上表示的各数，用“”把它们连接起来即可． 【详解】解：如图 ∴ 【题型3】相反数与绝对值的基本计算 1.核心知识点: 相反数的定义（的相反数是）； 绝对值的代数意义与几何意义。 2.解题方法技巧: 求相反数时，直接在原数前加“”（多重负号化简：负负得正，奇数个负号为负，偶数个为正）； 求绝对值时，先判断原数正负，再根据法则化简（正数、0的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数）。 【例题3】. （2025七年级上·北京·专题练习）已知，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值的代数意义，理解绝对值的定义是解题关键． 依据“绝对值的定义：若（），则或”，分析绝对值等于3的数的两种可能情况． 【详解】解：根据绝对值的定义， 若，说明对应的点到原点的距离为， 在数轴上，到原点距离为的点对应的数有两个：和， 故的值为或． 答：或． 【举一反三3-1】. （24-25七年级上·山东济南·期末）5的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解决本题的关键． 根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，5的相反数是． 故答案为：． 【举一反三3-2】. （25-26七年级上·全国·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此作答即可． 【详解】∵相反数的定义：数的相反数为， ∴的相反数为， 故选：A． 【举一反三3-3】. （25-26七年级上·河南郑州·月考）用“”，“”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了新定义运算，绝对值与相反数，解题的关键是理解题意．根据新运算的定义，先计算括号内的运算，再根据规则逐步计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：2025． 【培优高频题型】 【题型4】有理数混合运算的简便运算（凑整、运算律应用） 1.核心知识点: 有理数乘方、乘除、加减运算法则； 加法交换律（）、结合律（），乘法交换律（）、结合律（）、分配律（）。 2.解题方法技巧: 观察式子特征，优先凑整（如、）、凑0（如）； 逆用分配律简化计算（如）； 带分数转化为假分数（如），小数转化为分数（或反之），统一形式后计算。 【例题4】. （25-26七年级上·陕西西安·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算律是简便解题的关键； （1）用乘法分配律进行计算即可； （2）用加减交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【举一反三4-1】. （25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律进行简便运算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的运算，掌握相关运算法则和运算律是解题的关键． （1）根据加法的交换律和结合律计算即可； （2）根据乘法的分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【举一反三4-2】. （25-26七年级上·河南南阳·期中）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第________步开始出现错误，本题运算的正确结果是________； (2)第①步的变形依据是________；（填选项） （依据：A．加法交换律；B．乘法交换律；C．加法结合律；D．乘法结合律；E．乘法分配律） (3)计算：． 【答案】(1)⑤， (2)A (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，乘法分配律的逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算即可求解； （2）运用运算律分析即可； （3）根据材料提示，运用乘法分配律的逆运算计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得第⑤步出现错误， ， 正确结果是， 故答案为：⑤，； （2）第①步的变形依据是A， 故答案为：A； （3） ． 【举一反三4-3】. （25-26七年级上·广东东莞·期中）在学习了有理数的乘法之后，张老师出了两道例题，下面是小明的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： (1)任务一：例，例都用到的运算律是 ； (2)任务二：请你参照上述例，例，用运算律简便计算下列式子：； (3)． 【答案】(1)分配律 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）根据题意，例，例都用到的运算律是乘法分配律； （1）把写成，利用乘法分配律进行计算； （2）逆用乘法分配律，提取999，进行简便计算即可． 【详解】（1）解：例，例都用到的运算律是乘法分配律； 故答案为：分配律； （2）解： ； （3）解： ． 【题型5】数轴上遮挡与整点个数 1.核心知识点： 整点定义（数轴上坐标为整数的点）； 数轴上两点间距离公式； 区间内整点个数的计算逻辑（含端点与不含端点的区别）。 2.解题方法技巧： 先确定目标区间（如），计算区间长度； 含端点时，整点个数；不含端点时，整点个数； 结合数轴直观标注区间，避免漏算或重复计算端点。 【例题5】. （24-25七年级上·全国·单元测试）如图，小明在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上．这时小明产生了两个猜想，对于猜想Ⅰ和猜想Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 猜想Ⅰ：墨水遮住了绝对值不大于3的所有整数； 猜想Ⅱ：墨水遮住的所有整数的绝对值的和为9． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对，Ⅱ不对 D．Ⅰ不对，Ⅱ对 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴以及绝对值的相关知识，需要先确定被墨水遮住的整数，再分别验证两个猜想． 【详解】解：由题意知，墨水遮住的整数有．没有遮住．故猜想Ⅰ错误； 墨水遮住的所有整数的绝对值的和为．故猜想Ⅱ正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴与绝对值的知识，解题关键是准确找出被墨水遮住的整数，再结合绝对值的定义进行分析判断． 【举一反三5-1】. （24-25六年级上·上海·期中）小明做作业的时候不小心在作业本上滴上了墨水（如图），现在知道点表示的数是，那么点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查数轴，解题关键是熟悉分数的意义．根据点表示的数是，可得从到分成了份，一份为，再由相隔份，即可得点表示的数． 【详解】 点表示的数是， 从到分成了份，一份为， 点表示的数是． 故答案为：． 【举一反三5-2】. （25-26七年级上·山东菏泽·月考）【数学应用】小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上（如图），根据图中的数据，可判断出被墨迹盖住的点表示整数的有 个，其中最大的负整数是 ，最小的负整数是 ，最大的正整数是 ． 【答案】 10 3 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．根据数轴可得，被墨迹盖住的点表示整数的有，则可知整数的个数为10个，再根据正整数和负整数的定义即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，被墨迹盖住的点表示整数的有，共10个； 其中最大的负整数是，最小的负整数是，最大的正整数是3． 故答案为：10；；；3． 【举一反三5-3】. （2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 【详解】解：当起点在整点时，盖住的整点个数为； 当起点不在整点时，设线段的区间为，其中a不是整数，则盖住的整点个数为． 线段盖住的整点个数为4或5． 故选：D． 【压轴创新题型】 【题型6】数轴动点问题的探究与计算（速度与方向） 1.核心知识点: 数轴上点的移动规律（向右移加，向左移减）； 有理数的加减运算与绝对值的几何意义； 方程思想的初步应用。 2.解题方法技巧: 设动点的初始坐标为，根据移动速度和时间表示出秒后的坐标（如向右移3个单位/秒，秒后坐标为）； 相遇问题：两动点坐标相等时列方程求解；距离问题：利用两点间距离公式列方程； 分类讨论动点的移动方向（向左/向右），避免漏解，结合数轴画图辅助分析。 【例题6】. （25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，在数轴上有A，B，C三点从左到右排列，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，已知：a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答问题： (1)请直接写出a、b、c的值．_________，_________，_________； (2)点为数轴上一动点，现以点为折点，将数轴向右对折．若对折后点A与点C重合，求此时点P代表的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，有理数的相关概念，求一个数的绝对值，两点之间的距离以及对折点表示的数，解题的关键是掌握相关的概念和数形结合的思想． （1）根据有理数的定义，相反数的定义和求一个数的绝对值进行求解即可； （2）根据对折的性质，求出折点表示的数即可． 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴； ∵b是a的相反数， ∴； ∵，且， ∴； 故答案为：； （2）解：根据对折的性质可得， 点P代表的数为． 【举一反三6-1】. （25-26七年级上·贵州安顺·期中）如图，在数轴上，点A表示的数是，若动点P从原点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以每秒6个单位长度的速度也向左运动，到达原点后立即返回，并以原来的速度向右运动．设运动的时间为t s． (1)当时，点Q表示的数为______；当时，点Q表示的数为_____； (2)当点Q运动到与原点的距离为6时，求点P此时表示的数． 【答案】(1)9，3 (2) 或 【分析】本题考查有理数和数轴，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）当时，动点Q从点A出发，以每秒6个单位长度的速度也向左运动，利用时间乘以速度等于路程即可求出；当时，点Q先向左运动秒到达原点，然后向右运动了 秒，据此即可求解题目； （2）点Q运动到与原点的距离为6时，分两种情况在原点左侧（表示数 ）或在原点右侧（表示数 ），由题意第一种情况不成立，第二种情况又分为Q向左运动到6，向左运动到原点再向右运动到，分别求解即可． 【详解】（1）解：点从出发，向左运动的速度是每秒个单位，到达原点的时间为秒， 到达原点后立即向右运动，速度仍为每秒个单位， 当时，还在向左运动，移动的距离为 ， ∴点表示的数为； 当 时，先向左运动秒到达原点，然后向右运动了 秒， 则向右移动的距离为 ， ∴点 表示的数为． 故答案为：9，3； （2）解：点 与原点距离为 ，有两种情况：在原点左侧（表示数 ）或在原点右侧（表示数 ）， 情况一： 在原点左侧（表示数 ）， ∵Q从点A出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，到达原点后立即返回，并以原来的速度向右运动． ∴ 不可能在原点左侧，此种情况舍去 情况二：在原点右侧（表示数 ）： ①向左运动到：移动距离为 ，时间 秒， 此时点移动的距离为 ，表示的数为； ②向左运动到原点再向右运动到：移动距离为，时间为 秒，此时点移动的距离为 ，表示的数为； 综上所述，点表示的数为或． 【举一反三6-2】. （24-25七年级上·山西临汾·期中）如图所示，已知在数轴上点A表示的数为3，点B表示的数为，点P为数轴上一个动点，点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)点和点之间的距离为________． (2)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离？此时，点P对应的数为多少？ (3)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍？此时，点P对应的数为多少？ 【答案】(1)10 (2)经过秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离，此时点P对应的数是 (3)经过或10秒后，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，此时点P对应的数分别是或13 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，有理数混合运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）根据两点间距离公式进行求解即可； （2）根据点P到点B的距离等于点P到点A的距离，结合两点间距离，求出点P运动的距离，再根据运动速度求出点P运动时间，最后求出点P表示的数即可； （3）分两种情况，当点P在点A左侧时，当点P在点A右侧时，分别列式求出结果即可． 【详解】（1）解：点和点之间的距离为； （2）解：，（秒）， 此时，点P对应的数为， 答：经过秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离，此时点P对应的数是； （3）解：当点P在点A的左边时， ， （秒）． 此时，点P对应的数为． 当点P在点A的右边时， ， （秒）． 此时，点P对应的数为， 综上：经过或10秒后，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，此时点P对应的数分别是或13． 【举一反三6-3】. （25-26七年级上·山东德州·期中）如图①点，，为数轴上三点，点在，之间且，那么我们就称点是的奇点；点在，之间且，我们就称点是的奇点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为5． (1)数____________所表示的点是的奇点；数____________所表示的点是的奇点； (2)现有一动点在数轴上运动，的最小值为____________． (3)如图③，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为30，现有一动点在数轴上运动，点运动到数轴上的什么位置时，点，，中恰有一个点为其余两点的奇点？ 【答案】(1)3； (2)8 (3)点运动到数轴上的或或或10或或270位置时，，和中恰有一个点为其余两点的奇点 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，有理数加减运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）根据奇点定义进行求解即可； （2）根据点E在M、N之间时，最小，求出结果即可； （3）分六种情况讨论：当点B为的奇点时，当点B为的奇点时，当点P为的奇点时，当点P为的奇点时，当点A为的奇点时，当点A为的奇点时，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， 设的奇点为P，则， ∴， ∴此时点P表示的数为：， 即数3所表示的点是的奇点； 设的奇点为Q，则， ∴， ∴此时点Q表示的数为：； （2）解：∵点是数轴上的一个动点， ∴当点E在M、N之间时，最小， ∴的最小值为； 故答案为：8； （3）解：∵点所表示的数为，点所表示的数为30， ∴； 当点B为的奇点时，， 此时点P表示的数为； 当点B为的奇点时，， ∴， 此时点P表示的数为； 当点P为的奇点时，， ∴， ∴此时点P表示的数为：； 当点P为的奇点时，， ∴， 此时点P表示的数为：； 当点A为的奇点时，， 此时点P表示的数为：； 当点A为的奇点时，， ∴， 此时点P表示的数为：； 综上，点运动到数轴上的或或或10或或270位置时，，，中恰有一个点为其余两点的奇点． 【题型7】素养导向的方案设计题（最优购物折扣计算） 1.核心知识点: 有理数的乘除运算（折扣原价折扣率）； 比较大小与最优方案选择。 2.解题方法技巧: 设商品原价为（），分别计算不同方案的最终价格（如方案一：打8折，价格为；方案二：满100减20，价格为（））； 分情况讨论（如、、），比较不同方案的价格高低（如时，方案一价格元，方案二价格元，选方案一）； 结合实际消费场景，选择性价比最高的方案，体现数学的实用价值。 【例题7】. （24-25七年级上·湖北荆州·期末）阅读下列材料，解决问题 双十一怎样发货更经济? 双十一期间一客户在小康家定了10箱砂糖桔，每箱以10千克为标准，超过的千克 数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表示： 与标准质量的差值(单位：千克) 箱数 2 4 4 素材1 素材2 某快递公司收费标准：首重1千克以内8元(含1千克),续重(超过1千克的部  分)2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克需要额外支付包装费30元。 素材3 据小康家常年的邮寄经验，包裹越大，砂糖桔受损率越高.一个包裹在20千克以 内，砂糖桔几乎无受损；一个包裹质量在80千克至120千克之间，砂糖桔的受损率 估计为5%,破损部分由小康家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金. 问题解决 任务1 计算这10箱砂糖桔的总质量. 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹；方案二：10箱打成一个大包裹邮寄.请通过 计算说明，选哪种方案邮寄，小康家支付的邮费更省?省多少钱? 任务3 今年砂糖桔的成本价为6元/千克，售价为12元/千克，结合任务2,邮寄10箱砂 糖桔哪种方案利润更高? 【答案】任务1：这10箱砂糖桔的总质量为千克；任务2：选方案二邮寄，小康家支付的邮费更省，省34元；任务3：方案一利润更高 【分析】本题主要考查了正负数的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，审清题意、正确列式是解题的关键． 任务1：根据表格中的数据以及正负数的应用列出算式求解即可； 任务2：根据方案一和方案二的计算方法分别求得邮费，然后再比较即可解答； 任务3：根据题意分别求出方案一和方案二利润，再比较、判断即可解答． 【详解】解：任务1：（千克）， ∴这10箱砂糖桔的总质量为千克； 任务2：由表格可得，，，， 箱砂糖桔中重量为的有2箱，重量为的有4箱，重量为的有4箱， 方案一：； 方案二：∵这10箱砂糖桔的总质量为千克， ， ，（元）， ∴选方案二邮寄，小康家支付的邮费更省，省34元； 任务3：方案一：邮寄10箱砂糖桔的利润为（元） 方案二：邮寄10箱砂糖桔的利润为（元），， ∴方案一利润更高． 【举一反三7-1】. （25-26七年级上·山东济南·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，如表是该外卖员一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖员本周日比本周一多送______单； (2)求该外卖员这一周共送餐多少单？ (3)外卖员每天的工资由底薪100元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．则本周该外卖员收入最多的一天比收入最少的一天多收入多少元？ 【答案】(1)15 (2)371 (3)80 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数的减法与乘法的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）由表格进行求解即可； （2）由50单加上超过或不足部分数据求解即可； （3）根据补贴规则计算每天的收入，找出收入最多和最少的一天，进行求差即可． 【详解】（1）解：由题意得，（单）， 故答案为：15； （2）解：由题意得， （单）； （3）解：先计算每天实际送餐量及收入（收入底薪100元送单补贴）： 周一（单）：补贴元，收入元； 周二（单）：补贴元，收入元； 周三（单）：补贴元，收入元； 周四（单）：补贴元，收入元； 周五（单）：补贴元，收入元； 周六（单）：补贴元，收入元； 周日（单）：补贴元，收入元． 收入最多的是周四（264元），最少的是周五（184元）， ∴差值为：元． 【举一反三7-2】. （25-26七年级上·江苏盐城·期中）综合实践：根据背景素材，探索解决问题． 爷爷的生日快到了，小丽打算先去几家店铺购买一些生日礼物，然后到饭店为爷爷庆生． 素材1 准备计划路线图：家→礼品店→蛋糕店→水果店→饮料店→饭店； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，她这天行车里程（单位：km）如下：，，，，； 素材3 出租车价目表： 起步价（不超过3km时）车费8元， 超过3km时，超过部分每千米收费2元． 问题解决 任务1 问饭店在小丽家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算打车从礼品店到蛋糕店所用的车费； 任务3 现在打车有优惠，实际付费满10元即将获赠一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能在以后打车时每次只能使用一张）．说说小丽在该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 【答案】任务1：饭店在小丽家的西边8.5km处；任务2：礼品店到蛋糕店所需费用14元；任务3：水果店到饮料店用8折券，饮料店到饭店用7折券,最低总车费为53.4元 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用．根据题意正确列式是解题的关键． 任务1：根据题意列出算式计算即可； 任务2：根据题意列出算式计算即可； 任务3：先求出水果店到饮料店的原价费用和饮料店到饭店的原价费用，再根据水果店到饮料店用8折券，饮料店到饭店用7折券进行计算即可． 【详解】解：任务1：由题意可得： ， 答：饭店在小丽家的西边处； 任务2：由题意可得：（元）， 答：礼品店到蛋糕店所需费用14元； 任务3：由题意可得：水果店到饮料店费用：元 饮料店到饭店费用：元 ∴总车费：元 答：水果店到饮料店用8折券，饮料店到饭店用7折券,最低总车费为53.4元 【举一反三7-3】. （25-26七年级上·广西贵港·期中） 怎样邮寄龙眼更经济？ 贵港龙眼是广西壮族自治区最具代表性的特色水果之一，贵港龙眼的核心品种就是石砄龙眼，被誉为“龙眼之王”，每年夏季是其盛产期．水果商贩小温家的石砄龙眼每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出． 素材1 一客户在小温家定了10箱石砄龙眼，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值（单位：千克） 0.3 0.1 箱数 2 2 4 2 素材2 据调查，某快递公司收费标准：首重1千克以内9元（含1千克），续重（超过1千克的部分）3元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克的需要额外支付包装费30元． 素材3 据小温家常年的邮寄经验，包裹越大，石砄龙眼受损率越高．一个包裹在20千克以内（包含20千克），石砄龙眼几乎无受损；一个包裹质量在80千克至120千克之间，石砄龙眼的受损率估计为，破损部分由小温家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金． 任务1 计算这10箱石砄龙眼的总质量． 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：10箱打成一个大包裹邮寄． 请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小温家支付的邮费更省？省多少钱？ 任务3 今年石砄龙眼的成本价为6元/千克，售价为12元/千克．结合任务2，邮寄10箱石砄龙眼哪种方案利润更高？ 任务4 通过任务3的计算，我们得到了邮寄10箱石砄龙眼的利润．这个利润是否是当前条件下邮寄方案里的最高利润？请先说出你的判断并说明理由；如果不是，请设计一个更高利润方案，并计算出这个方案的利润． 【答案】任务1：100千克；任务2：选方案二邮寄，小温家支付的邮费更省，省36元；任务3：方案一利润更高；任务4：不是，理由见解析，更高利润方案是分成5个包裹邮寄，利润为270元． 【分析】本题考查正负数的应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式是解题的关键： 任务1：根据表格数据，利用箱数乘以差值之和再加上10箱的标重，进行计算即可； 任务2：求出两种方案所需费用，进行比较即可； 任务3：求出两种方案的利润，进行比较即可； 任务4：根据一个包裹在20千克以内（包含20千克），龙眼几乎无受损，分成5个包裹邮寄，进行计算即可． 【详解】解：任务1：（千克）； 答：这10箱石砄龙眼的总质量为100千克； 任务2：由题意，有2箱10.3千克重，2箱10.1千克重，4箱9.9千克重，两箱9.8千克重， 按照方案一：（元）； 按照方案二：（元）； ∵， ∴按照方案二邮寄，更省钱，省（元）； 任务3：方案一：（元）； 方案二：（元）； 故方案一利润更高； 任务4：不是， 共100千克龙眼，平均分成5份，每份20千克，分5个包裹邮寄， 此时总利润为元． 【题型8】材料背景下有理数新定义运算探究 1.核心知识点： 新定义运算规则的阅读理解； 有理数加减、乘除、乘方的基本运算； 符号法则与运算顺序的迁移应用。 2.解题方法技巧： 先精读材料，提炼新定义的运算符号、优先级及公式； 代入已知数据时，严格遵循新规则，先定符号再算数值； 复杂问题分步拆解，验证运算结果是否符合定义逻辑。 【例题8】. （25-26七年级上·广西柳州·期中）阅读下列材料：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制、也就是说,“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个n进制数从右起，第一位上的数字为c，第二位上的数字为b,第三位上的数字为a．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数5678可用式子表示为： （当时,）．同理,二进制数转换为十进制数为： ．三进制数转换为十进制数为 根据上述材料，解答下列问题： (1)二进制数转换为十进制数为： ； (2)若一个三进制数转换为十进制数为m，一个四进制数转换为十进制数为n，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“友好数”，请判断与是否互为“友好数”，并说明理由． 【答案】(1) (2)与互为“友好数”，理由见解析 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算． （1）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可． （2）根据“友好数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：二进制数转换为十进制数为， 故答案为：； （2）解：与互为“友好数”，理由如下： 因为转换为十进制数为； 转换为十进制数为， ， 所以与互为“友好数”． 【举一反三8-1】. （25-26七年级上·江苏镇江·月考）【定义】定义一种新的运算“*”，规则如下： （1）同号两数运算，结果取正号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （2）异号两数运算，结果取负号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （3）0和任何数运算，结果等于另一个数的绝对值． 例：， 【计算】 ① ② ③ ④ 【探究一】是否存在两个有理数，使得？如果存在，请举出例子；如果不存在，请说明理由． 【探究二】小明在计算时，得到的结果是，求x的值． 【探究三】如果两个有理数的结果是负数，那么等式对任意非零有理数c是否成立，请说明理由． 【答案】【计算】①②③④【探究一】存在，【探究二】【探究三】成立，理由见解析 【分析】本题考查了定义新运算，有理数的加法以及绝对值的意义，理解新定义的运算法则是关键． 【计算】根据运算法则计算即可． 【探究一】按照运算法则确定． 【探究二】根据结果得正，两数同号，绝对值的和为15，由此利用和15减去另一加数得其x的绝对值，且x为负； 【探究三】根据题意a、b异号，，分情况求解即可． 【详解】解：【计算】①； ②； ③； ④； 【探究一】存在，当时，； 【探究二】∵在计算时，得到的结果是，根据定义可知：与同号，， ∴； 【探究三】成立， ∵两个有理数的结果是负数， ∴a、b异号，， ①当时，， 若，，， ∴； 设，，， ∴； ②当时，， 若，，， ∴； 设，，， ∴； 综上，等式对任意非零有理数c都成立． 【举一反三8-2】. （25-26七年级上·河南鹤壁·期中）【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点所表示的数依次为，点到点的距离等于点到点距离的2倍，此时点是点的“关联点”；点到点的距离等于点到点距离的2倍，点也是点的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，请判断点是否为点的“关联点”，并说明理由； 【拓展探索】 （2）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，为数轴上一个动点： ①当点在点的右侧，且点是点的“关联点”，求此时点所表示的数； ②当点在点的左侧，点中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点所表示的数． 【答案】（1）点A是点B，C的“关联点”，理由见解析；（2）①点P所表示的数为，0或4；②点P所表示的数为，或 【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴上两点之间的距离表示有理数，有理数的四则运算，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）根据“关联点”的定义进行判断即可； （2）①先求出两点之间的距离，分类讨论：第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，分别求解即可； ②分类讨论：第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时，点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴点A到点C的距离等于点A到点B距离的2倍，点A也是点B，C的“关联点”． （2）①由点A、B所表示的数可知， 点与点之间的距离为． 当点在点与点之间时： 第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为， 第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为； 第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，如图 ∴点与点之间的距离等于点P与点之间的距离，即点与点B之间的距离为3， ∴此时点表示的数为． 综上可知，点所表示的数为点P所表示的数为，0或4． ②第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时： ∵点在点的左侧， ∴点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍，如图 ∴点与点A之间的距离等于点与点之间的距离，即点与点之间的距离为3， ∴此时点所表示的数为； 当点为点P，B的“关联点”时：点在点A的左侧，点B在点A的右侧， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为； 第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为， 综上可知，点P所表示的数为，或． 【举一反三8-3】. （25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期中）【阅读材料】 在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门禁、密码认证等．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具． 有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘上的字母顺序排列，如…，这个字母依次对应…这个自然数（见表）．设明文的任一字母所对应的自然数为，通过某种规定的运算程序把转化为对应的自然数，对应的字母为密文． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 运算程序为： 例如：将明文转换成密文：（26被4除余2），即的密文为；将密文转换成明文，，即的明文为． 【解决问题】 (1)按照以上程序加密次，明文对应的密文为 ；明文对应的密文为 ； (2)按照以上程序加密次的密文为“新城加油”的首字母“”，则其对应的明文为 ； (3)加密可以重复进行，按照以上程序加密次，明文对应的密文为 ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据将明文转换成密文的方法计算即可求解； （2）根据将密文转换成明文的方法计算即可求解； （3）根据将明文转换成密文的方法计算出前几项，找到规律，根据规律即可求解． 【详解】（1）解：根据将明文转换成密文的方法计算可得： （16被4整除）， ， （20被4整除）， ， ， 明文对应的密文为；明文对应的密文为． 故答案为：；； （2）解：根据将密文转换成明文的方法计算可得： ， ， ， ， “”对应的明文为． 故答案为：； （3）解：根据将明文转换成密文的方法计算出前几项可得： ， （12被4整除）， （3被4除余3）， （8被4整除）， ．．．， 发现规律：密文以、、、、、、为一组重复出现， ……， 加密次，明文对应的密文为． 故答案为：． 重点 1.绝对值的意义（几何+代数）、分类化简及非负性应用（），是本章核心考点； 2.有理数混合运算的顺序、符号法则与运算律的灵活运用，是期末解答题的主力题型； 3.正负数、相反数、数轴的内在联系（如互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称），三者相互印证，是理解有理数概念的基础； 4.科学记数法（，）与近似数的准确表示，是实际情境题和统计类题的高频考点； 5.数轴的应用（点坐标标注、两点间距离、动点问题），是数形结合思想的初步体现。 难点 1.含字母的绝对值分类讨论化简（如根据的取值范围化简），需结合条件判断字母范围，容易遗漏情况； 2.数轴动点问题的动态分析，需用变量（如）表示坐标，结合方程思想和分类讨论，对逻辑思维要求较高； 3.有理数混合运算中运算律的灵活运用（如逆用分配律、凑整技巧），需观察式子特征，选择合适的方法简化计算，避免机械运算； 4.科学记数法中单位换算与指数的正确计算（如万转化为科学记数法为），容易因单位混淆或数错位数导致错误； 5.近似数的精度判断，尤其是带单位和科学记数法表示的近似数（如精确到万位），容易混淆“精确到哪一位”。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26七年级上·四川德阳·月考）在数轴上距离原点4个单位长度的点表示的数是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，数轴上点与原点的距离是该点所表示数的绝对值，由此可解． 【详解】解：设该点表示的数为x， 由题意知， 解得， 故选：C． 2．（25-26七年级上·河南周口·月考）的相反数是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：由题意得，的相反数是2． 故选：A． 3．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查乘法的意义，乘方的意义，熟练掌握乘法的意义和乘方的意义是解题的关键．将个相加转化为乘法，将个相乘转化为乘方，然后求和即可． 【详解】解： 个相加等于， 个相乘等于， 原式． 故选：A． 4．（25-26七年级上·四川德阳·月考）2025年11月25日15时50分，神舟二十二号飞船采用自主快速交会对接模式，成功对接于距地面约390000米的空间站天和核心舱前向端口，将390000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将390000写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 5．（25-26七年级上·四川德阳·月考）下列说法： 是负分数；3.6不是正数；非负有理数不包括零；正整数、负整数统称为整数；零是最小的有理数，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的分类． 根据有理数的定义和分类，逐一判断每个说法的正确性． 【详解】解： 是负分数，原说法正确； 3.6是正数，原说法错误； 非负有理数包括零，原说法错误； 整数包括正整数、零和负整数，原说法错误； 零不是最小的有理数，原说法错误； ∴正确的有1个． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）故宫博物院是世界上规模最大、保存最完整的木结构宫殿建筑群，是世界文化遗产，也是中华5000多年文明的重要历史见证．这里收藏着中华民族数千年来创造的件（套）国之瑰宝，蔚为大观．将数据用科学记数法表示为 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·山西晋中·期中）一个整数加，和小于0，则这个整数可能是 ．（写出一个整数即可） 【答案】12（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． 根据加法法则求解即可． 【详解】解：∵一个整数加，和小于0， ∴这个整数的绝对值小于13，可以是 12，此时，符合题意． 故答案为：12（答案不唯一）． 8．（25-26七年级上·河南周口·月考）在算式“”中的“”填入运算符号“”“”“”“”中的一种，若要使计算结果最小，则这个最小结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查含有乘方的有理数的混合运算：分别计算“”为“”、“”、“”、“”时的结果，比较得出最小值． 【详解】解：算式为，其中，因此简化为． 当“”为“”时：，； 当“”为“”时：，； 当“”为“”时：，； 当“”为“”时：，． 比较各结果：、、、，最小值为． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·河南商丘·月考）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行．例如：取，则…，其中第1次，第2次，…．若，则第2025次“F”运算的结果是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的混合运算和数字的规律探究．解题的关键在于理解新定义中的运算法则，掌握有理数混合运算的计算方法． 根据题意，写出前几次的运算结果，可推导规律，通过计算得出从第2次开始，结果就只有1、4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：由题意知，当时，第1次，， 第2次，， 第3次，， 第4次，， 第5次，， …… ∴从第2次开始，每两次运算为一个循环，结果分别为1，4， ∴第次“”运算的结果是4， 故答案为：4． 10．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是 ．（保留幂的形式） 【答案】 【分析】本题主要考查了用代数式表示图形的规律，乘方的应用， 先分别表示出，根据变化特点得出，再求出差即可． 【详解】解：由图可知，； ； ； ； ， ； ， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键； （1）先算乘方，然后再进行有理数的运算即可； （2）先算乘方，然后根据有理数的乘法分配律进行求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 12．（25-26七年级上·山东济南·期中）数学兴趣小组以“计算一卷空心卷筒纸展开的总长度”为主题，展开项目学习． 【探究提示】 1.计算要素：要估计一卷空心卷筒纸展开后的总长度，可通过测量其内外半径（内半径，外半径）、纸宽、一层纸的厚度并利用体积守恒原理计算． 2.计算公式：根据体积守恒原理：展开前后的体积（展开后可以看成长方体）不变．展开后长度与体积公式：． 3.注意事项：测量一层纸的实际厚度可能因纸张层数、压实程度等因素存在误差． 【实践操作】 步骤1：使用直尺测量卷筒纸的纸宽，中间空心硬纸轴的直径和外层的直径，测得空心卷筒纸的尺寸数据如图所示； 步骤2：多次测量纸张层数与厚度，计算平均值； 步骤3：利用体积守恒原理的公式计算． 【完成任务】 (1)根据测量数据，结合体积公式，求空心卷筒纸的体积是多少立方厘米？（取3） (2)若根据步骤2测得一层纸的厚度为，请计算这种规格的一卷空心卷筒纸展开后总长度是多少厘米；（取3） (3)若空心卷筒纸的尺寸（内径、外径、纸宽）不变，当一层纸张的厚度变为，空心卷筒纸展开的总长度会有何变化?（取3） 【答案】(1)空心卷筒纸的体积是882立方厘米 (2)计算这种规格的一卷空心卷筒纸展开后总长度是4500厘米 (3)空心卷筒纸展开的总长度减少 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，代数式求值，解题的关键是正确理解题意，根据计算公式求解． （1）先分别求出空心卷筒纸外半径和内半径，再代入求解即可； （2）根据求解即可； （3）先表示展开后体积，因为体积不变，所以，求出，再计算差值． 【详解】（1）解：空心卷筒纸外半径，内半径，           答：空心卷筒纸的体积是882立方厘米； （2）解：由（1）得           所以 所以     答：计算这种规格的一卷空心卷筒纸展开后总长度是4500厘米． （3）解：     因为体积不变， 所以 所以          答：空心卷筒纸展开的总长度减少． 13．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）小红家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，她将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为_____，“●”处的数为_____； (2)已知小红家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)， (2)行车电脑会发出充电提示 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，解题关键是理解题意，列出正确的算式． ()由题意可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，进行解答即可； ()先求出新能源纯电汽车天行驶的总路程，再求出20%电量对应的续航里程，然后进行比较即可判断． 【详解】（1）解：由题意可知：第三天行驶了，第六天行驶了， 以为标准， 第三天处的数为：，第六天处记录的数为：， “■”处的数为，“●”处的数为， 故答案为：； （2）根据题意得，七天行驶路程为：， 剩余路程为：， ， ， 该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会发出充电提示． 14．（25-26七年级上·甘肃天水·月考）小王记录了纽约商品期货交易所原油期货价格在本周交易日内每日收盘价格相比前一天的涨跌情况（周六、周日不交易）：（单位：美元） 星期 一 二 三 四 五 每桶涨（美元） (1)星期五收盘时纽约原油期货价格相对上周五收盘时是涨还是跌？涨跌多少？ (2)已知本周五收盘时纽约原油期货价格为每桶美元，求上周五收盘时每桶多少美元？ 【答案】(1)星期五收盘时纽约原油期货相对上周五收盘时跌了美元 (2)上周五收盘时每桶美元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加法运算，掌握相关知识是解题关键． （1）将表格内各数相加，结果为正则星期五收盘时纽约原油期货相对上周五收盘时上涨，结果为负则下跌； （2）根据本周五与上周五的涨跌情况及本周五价格，进行加减运算即可． 【详解】（1）解：（美元）， 答：星期五收盘时纽约原油期货价格相对上周五收盘时下跌，跌了美元； （2）解：（美元）， 答：上周五收盘时每桶美元． 15．（25-26七年级上·河南周口·月考）对于有理数a，b，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查定义新运算，有理数的混合运算； （1）根据定义的运算法则计算即可； （2）先根据定义的运算法则计算出括号里的部分，然后再根据定义的运算法则计算即可. 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数 核心考点 复习目标 考察形式 难度星级 高频易错点 1、正负数的意义 理解正负数表示相反意义的量，能在实际情境中辨析、运用 选择/填空/解答（情境描述） ★ 混淆相反意义的量（如“收入”与“支出”对应错误）；忽略0的中性属性 2、数轴三要素 掌握原点、正方向、单位长度三要素，能辨析数轴正误，会在数轴上标注点、读出点的坐标 选择/填空/解答（作图） ★★ 遗漏数轴三要素之一（尤其单位长度不统一）；数轴上负数标注顺序颠倒 3、相反数的概念与性质 理解相反数的定义（符号相反、绝对值相等），掌握相反数的几何意义，能求任意有理数的相反数 选择/填空/计算 ★ 求含负号的数的相反数时出错（如误认为的相反数是）；忽略0的相反数是0 4、绝对值的意义与化简 理解绝对值的几何意义（数轴上点到原点距离）和代数意义，能对具体数、含字母的式子进行绝对值化简，掌握绝对值的非负性 填空/解答/化简题 ★★★ 忽略绝对值的非负性（如的应用）；含字母绝对值化简时未分类讨论；混淆“绝对值相等”与“数相等” 5、有理数的分类 能按整数/分数、正有理数/0/负有理数进行分类，辨析无理数与有理数的区别 选择/填空 ★ 分类时重复或遗漏（如将0归为正数/负数）；误将有限小数、无限循环小数归为无理数 6、有理数的加减运算 掌握有理数加减法则（同号/异号相加、减法变加法），能进行含括号的加减运算，解决实际情境问题 填空/解答/情境计算 ★★ 加减运算时符号判断错误；去括号时未遵循“括号前是负号，括号内各项变号”法则 7、有理数的乘除运算 掌握有理数乘除法则（符号法则、绝对值法则），理解倒数的定义，能运用运算律简化计算 填空/解答/混合运算 ★★ 多个有理数相乘时符号判断错误（忽略负因数个数）；误将0的倒数认为是0；除法转化为乘法时未乘倒数 8、有理数的乘方 理解乘方的定义（求个相同因数的积），掌握乘方的符号法则，能计算有理数的乘方 选择/填空/混合运算 ★★ 混淆乘方与乘法（如与）；负数的乘方未加括号（如与计算错误）；0的非零次幂、1的任何次幂记忆混淆 9、科学记数法 理解科学记数法的形式（，，为整数），能将大数/小数转化为科学记数法，反之亦然 选择/填空 ★★ 指数的计算错误（忽略单位换算，如1万）；的取值范围错误（或）；还原科学记数法时小数点移动方向错误 10、近似数与有效数字 理解近似数的意义，能判断近似数的精度（精确到哪一位），掌握有效数字的定义（从左边第一个非0数字起） 选择/填空 ★★ 混淆“精确到哪一位”与“有几个有效数字”；对带单位的近似数精度判断错误（如万精确到千位而非个位）；取近似数时未遵循四舍五入法则 易错类型：科学记数法与近似数表示错误 易错警示： 转化大数为科学记数法时，指数计算错误（如误写为，忽略的取值范围）； 还原科学记数法时，小数点移动方向或位数错误（如误还原为）； 近似数的精度判断错误（如万误认为精确到个位，实际精确到百位）。 【题型1】科学记数法与近似数的综合应用 避错要点： 牢记科学记数法标准形式：（，为整数），原数整数位数（大数）或原数第一个非0数字前0的个数（小数）； 还原时：为正，小数点向右移位；为负，小数点向左移位，位数不足补0； 近似数精度判断：带单位的先还原成原数，再看最后一位数字对应的数位（如万，最后一位0在百位，故精确到百位）； 有效数字只看的部分，从左边第一个非0数字起，到末尾数字止（如的有效数字为3、0、5）。 【例题1】. （25-26八年级上·重庆·期末）今年，巫山脆李、涪陵榨菜、奉节脐橙的品牌价值均位居全国同品类前列，成为巴渝名优土特产的“金名片”．其中奉节脐橙的品牌价值38170000000元用科学记数法表示为 元． 【举一反三1-1】. （25-26七年级上·陕西榆林·期中）用四舍五入法将精确到，得到的近似数是 ． 【举一反三1-2】. （25-26八年级上·江苏无锡·期末）年月日，第五轮“苏超”联赛在泰州举行，本场比赛观众人数为人，用四舍五入法将人精确到人，所得的近似数为 ． 【举一反三1-3】. （2025七年级上·全国·专题练习）我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是 亿公顷． 【基础必考题型】 【题型2】数轴三要素辨析与点坐标标注 1.核心知识点: 数轴三要素（原点、正方向、单位长度）； 数轴上点与有理数的一一对应关系。 2.解题方法技巧: 辨析数轴正误时，逐一检查三要素是否齐全、规范（单位长度需统一）； 标注点坐标时，先确定原点位置，再根据正方向判断左右（右正左负），按单位长度数出对应刻度。 【例题2】. （25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）下列数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三2-1】. （新疆维吾尔自治区喀什市2024-2025学年七年级上学期阶段性质量检测数学试卷）数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是 ． 【举一反三2-2】. （25-26七年级上·全国·期末）如图所示，数轴上的点A，B，C，D，E表示连续的五个整数，若点A，E表示的数分别为x，y，且，则点C表示的数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【举一反三2-3】. （25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）有下列各数，，0，4，，．请画出数轴，并用数轴上的点表示这些数且用“”按从小到大的顺序连接． 【题型3】相反数与绝对值的基本计算 1.核心知识点: 相反数的定义（的相反数是）； 绝对值的代数意义与几何意义。 2.解题方法技巧: 求相反数时，直接在原数前加“”（多重负号化简：负负得正，奇数个负号为负，偶数个为正）； 求绝对值时，先判断原数正负，再根据法则化简（正数、0的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数）。 【例题3】. （2025七年级上·北京·专题练习）已知，求的值． 【举一反三3-1】. （24-25七年级上·山东济南·期末）5的相反数是 ． 【举一反三3-2】. （25-26七年级上·全国·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【举一反三3-3】. （25-26七年级上·河南郑州·月考）用“”，“”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 【培优高频题型】 【题型4】有理数混合运算的简便运算（凑整、运算律应用） 1.核心知识点: 有理数乘方、乘除、加减运算法则； 加法交换律（）、结合律（），乘法交换律（）、结合律（）、分配律（）。 2.解题方法技巧: 观察式子特征，优先凑整（如、）、凑0（如）； 逆用分配律简化计算（如）； 带分数转化为假分数（如），小数转化为分数（或反之），统一形式后计算。 【例题4】. （25-26七年级上·陕西西安·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【举一反三4-1】. （25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律进行简便运算． (1)； (2)． 【举一反三4-2】. （25-26七年级上·河南南阳·期中）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第________步开始出现错误，本题运算的正确结果是________； (2)第①步的变形依据是________；（填选项） （依据：A．加法交换律；B．乘法交换律；C．加法结合律；D．乘法结合律；E．乘法分配律） (3)计算：． 【举一反三4-3】. （25-26七年级上·广东东莞·期中）在学习了有理数的乘法之后，张老师出了两道例题，下面是小明的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： (1)任务一：例，例都用到的运算律是 ； (2)任务二：请你参照上述例，例，用运算律简便计算下列式子：； (3)． 【题型5】数轴上遮挡与整点个数 1.核心知识点： 整点定义（数轴上坐标为整数的点）； 数轴上两点间距离公式； 区间内整点个数的计算逻辑（含端点与不含端点的区别）。 2.解题方法技巧： 先确定目标区间（如），计算区间长度； 含端点时，整点个数；不含端点时，整点个数； 结合数轴直观标注区间，避免漏算或重复计算端点。 【例题5】. （24-25七年级上·全国·单元测试）如图，小明在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上．这时小明产生了两个猜想，对于猜想Ⅰ和猜想Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 猜想Ⅰ：墨水遮住了绝对值不大于3的所有整数； 猜想Ⅱ：墨水遮住的所有整数的绝对值的和为9． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对，Ⅱ不对 D．Ⅰ不对，Ⅱ对 【举一反三5-1】. （24-25六年级上·上海·期中）小明做作业的时候不小心在作业本上滴上了墨水（如图），现在知道点表示的数是，那么点表示的数是 ． 【举一反三5-2】. （25-26七年级上·山东菏泽·月考）【数学应用】小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上（如图），根据图中的数据，可判断出被墨迹盖住的点表示整数的有 个，其中最大的负整数是 ，最小的负整数是 ，最大的正整数是 ． 【举一反三5-3】. （2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【压轴创新题型】 【题型6】数轴动点问题的探究与计算（速度与方向） 1.核心知识点: 数轴上点的移动规律（向右移加，向左移减）； 有理数的加减运算与绝对值的几何意义； 方程思想的初步应用。 2.解题方法技巧: 设动点的初始坐标为，根据移动速度和时间表示出秒后的坐标（如向右移3个单位/秒，秒后坐标为）； 相遇问题：两动点坐标相等时列方程求解；距离问题：利用两点间距离公式列方程； 分类讨论动点的移动方向（向左/向右），避免漏解，结合数轴画图辅助分析。 【例题6】. （25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，在数轴上有A，B，C三点从左到右排列，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，已知：a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答问题： (1)请直接写出a、b、c的值．_________，_________，_________； (2)点为数轴上一动点，现以点为折点，将数轴向右对折．若对折后点A与点C重合，求此时点P代表的数． 【举一反三6-1】. （25-26七年级上·贵州安顺·期中）如图，在数轴上，点A表示的数是，若动点P从原点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以每秒6个单位长度的速度也向左运动，到达原点后立即返回，并以原来的速度向右运动．设运动的时间为t s． (1)当时，点Q表示的数为______；当时，点Q表示的数为_____； (2)当点Q运动到与原点的距离为6时，求点P此时表示的数． 【举一反三6-2】. （24-25七年级上·山西临汾·期中）如图所示，已知在数轴上点A表示的数为3，点B表示的数为，点P为数轴上一个动点，点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)点和点之间的距离为________． (2)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离？此时，点P对应的数为多少？ (3)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍？此时，点P对应的数为多少？ 【举一反三6-3】. （25-26七年级上·山东德州·期中）如图①点，，为数轴上三点，点在，之间且，那么我们就称点是的奇点；点在，之间且，我们就称点是的奇点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为5． (1)数____________所表示的点是的奇点；数____________所表示的点是的奇点； (2)现有一动点在数轴上运动，的最小值为____________． (3)如图③，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为30，现有一动点在数轴上运动，点运动到数轴上的什么位置时，点，，中恰有一个点为其余两点的奇点？ 【题型7】素养导向的方案设计题（最优购物折扣计算） 1.核心知识点: 有理数的乘除运算（折扣原价折扣率）； 比较大小与最优方案选择。 2.解题方法技巧: 设商品原价为（），分别计算不同方案的最终价格（如方案一：打8折，价格为；方案二：满100减20，价格为（））； 分情况讨论（如、、），比较不同方案的价格高低（如时，方案一价格元，方案二价格元，选方案一）； 结合实际消费场景，选择性价比最高的方案，体现数学的实用价值。 【例题7】. （24-25七年级上·湖北荆州·期末）阅读下列材料，解决问题 双十一怎样发货更经济? 双十一期间一客户在小康家定了10箱砂糖桔，每箱以10千克为标准，超过的千克 数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表示： 与标准质量的差值(单位：千克) 箱数 2 4 4 素材1 素材2 某快递公司收费标准：首重1千克以内8元(含1千克),续重(超过1千克的部  分)2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克需要额外支付包装费30元。 素材3 据小康家常年的邮寄经验，包裹越大，砂糖桔受损率越高.一个包裹在20千克以 内，砂糖桔几乎无受损；一个包裹质量在80千克至120千克之间，砂糖桔的受损率 估计为5%,破损部分由小康家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金. 问题解决 任务1 计算这10箱砂糖桔的总质量. 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹；方案二：10箱打成一个大包裹邮寄.请通过 计算说明，选哪种方案邮寄，小康家支付的邮费更省?省多少钱? 任务3 今年砂糖桔的成本价为6元/千克，售价为12元/千克，结合任务2,邮寄10箱砂 糖桔哪种方案利润更高? 【举一反三7-1】. （25-26七年级上·山东济南·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，如表是该外卖员一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖员本周日比本周一多送______单； (2)求该外卖员这一周共送餐多少单？ (3)外卖员每天的工资由底薪100元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．则本周该外卖员收入最多的一天比收入最少的一天多收入多少元？ 【举一反三7-2】. （25-26七年级上·江苏盐城·期中）综合实践：根据背景素材，探索解决问题． 爷爷的生日快到了，小丽打算先去几家店铺购买一些生日礼物，然后到饭店为爷爷庆生． 素材1 准备计划路线图：家→礼品店→蛋糕店→水果店→饮料店→饭店； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，她这天行车里程（单位：km）如下：，，，，； 素材3 出租车价目表： 起步价（不超过3km时）车费8元， 超过3km时，超过部分每千米收费2元． 问题解决 任务1 问饭店在小丽家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算打车从礼品店到蛋糕店所用的车费； 任务3 现在打车有优惠，实际付费满10元即将获赠一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能在以后打车时每次只能使用一张）．说说小丽在该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 【举一反三7-3】. （25-26七年级上·广西贵港·期中） 怎样邮寄龙眼更经济？ 贵港龙眼是广西壮族自治区最具代表性的特色水果之一，贵港龙眼的核心品种就是石砄龙眼，被誉为“龙眼之王”，每年夏季是其盛产期．水果商贩小温家的石砄龙眼每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出． 素材1 一客户在小温家定了10箱石砄龙眼，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值（单位：千克） 0.3 0.1 箱数 2 2 4 2 素材2 据调查，某快递公司收费标准：首重1千克以内9元（含1千克），续重（超过1千克的部分）3元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克的需要额外支付包装费30元． 素材3 据小温家常年的邮寄经验，包裹越大，石砄龙眼受损率越高．一个包裹在20千克以内（包含20千克），石砄龙眼几乎无受损；一个包裹质量在80千克至120千克之间，石砄龙眼的受损率估计为，破损部分由小温家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金． 任务1 计算这10箱石砄龙眼的总质量． 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：10箱打成一个大包裹邮寄． 请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小温家支付的邮费更省？省多少钱？ 任务3 今年石砄龙眼的成本价为6元/千克，售价为12元/千克．结合任务2，邮寄10箱石砄龙眼哪种方案利润更高？ 任务4 通过任务3的计算，我们得到了邮寄10箱石砄龙眼的利润．这个利润是否是当前条件下邮寄方案里的最高利润？请先说出你的判断并说明理由；如果不是，请设计一个更高利润方案，并计算出这个方案的利润． 【题型8】材料背景下有理数新定义运算探究 1.核心知识点： 新定义运算规则的阅读理解； 有理数加减、乘除、乘方的基本运算； 符号法则与运算顺序的迁移应用。 2.解题方法技巧： 先精读材料，提炼新定义的运算符号、优先级及公式； 代入已知数据时，严格遵循新规则，先定符号再算数值； 复杂问题分步拆解，验证运算结果是否符合定义逻辑。 【例题8】. （25-26七年级上·广西柳州·期中）阅读下列材料：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制、也就是说,“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个n进制数从右起，第一位上的数字为c，第二位上的数字为b,第三位上的数字为a．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数5678可用式子表示为： （当时,）．同理,二进制数转换为十进制数为： ．三进制数转换为十进制数为 根据上述材料，解答下列问题： (1)二进制数转换为十进制数为： ； (2)若一个三进制数转换为十进制数为m，一个四进制数转换为十进制数为n，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“友好数”，请判断与是否互为“友好数”，并说明理由． 【举一反三8-1】. （25-26七年级上·江苏镇江·月考）【定义】定义一种新的运算“*”，规则如下： （1）同号两数运算，结果取正号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （2）异号两数运算，结果取负号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （3）0和任何数运算，结果等于另一个数的绝对值． 例：， 【计算】 ① ② ③ ④ 【探究一】是否存在两个有理数，使得？如果存在，请举出例子；如果不存在，请说明理由． 【探究二】小明在计算时，得到的结果是，求x的值． 【探究三】如果两个有理数的结果是负数，那么等式对任意非零有理数c是否成立，请说明理由． 【举一反三8-2】. （25-26七年级上·河南鹤壁·期中）【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点所表示的数依次为，点到点的距离等于点到点距离的2倍，此时点是点的“关联点”；点到点的距离等于点到点距离的2倍，点也是点的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，请判断点是否为点的“关联点”，并说明理由； 【拓展探索】 （2）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，为数轴上一个动点： ①当点在点的右侧，且点是点的“关联点”，求此时点所表示的数； ②当点在点的左侧，点中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点所表示的数． 【举一反三8-3】. （25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期中）【阅读材料】 在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门禁、密码认证等．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具． 有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘上的字母顺序排列，如…，这个字母依次对应…这个自然数（见表）．设明文的任一字母所对应的自然数为，通过某种规定的运算程序把转化为对应的自然数，对应的字母为密文． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 运算程序为： 例如：将明文转换成密文：（26被4除余2），即的密文为；将密文转换成明文，，即的明文为． 【解决问题】 (1)按照以上程序加密次，明文对应的密文为 ；明文对应的密文为 ； (2)按照以上程序加密次的密文为“新城加油”的首字母“”，则其对应的明文为 ； (3)加密可以重复进行，按照以上程序加密次，明文对应的密文为 ． 重点 重点1：绝对值的意义（几何+代数）、分类化简及非负性应用（），是本章核心考点； 重点2：有理数混合运算的顺序、符号法则与运算律的灵活运用，是期末解答题的主力题型； 重点3：正负数、相反数、数轴的内在联系（如互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称），三者相互印证，是理解有理数概念的基础； 重点4：科学记数法（，）与近似数的准确表示，是实际情境题和统计类题的高频考点； 重点5：数轴的应用（点坐标标注、两点间距离、动点问题），是数形结合思想的初步体现。 难点 难点1：含字母的绝对值分类讨论化简（如根据的取值范围化简），需结合条件判断字母范围，容易遗漏情况； 难点2：2.数轴动点问题的动态分析，需用变量（如）表示坐标，结合方程思想和分类讨论，对逻辑思维要求较高； 难点3：有理数混合运算中运算律的灵活运用（如逆用分配律、凑整技巧），需观察式子特征，选择合适的方法简化计算，避免机械运算； 难点4：科学记数法中单位换算与指数的正确计算（如万转化为科学记数法为），容易因单位混淆或数错位数导致错误； 难点5：近似数的精度判断，尤其是带单位和科学记数法表示的近似数（如精确到万位），容易混淆“精确到哪一位”。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26七年级上·四川德阳·月考）在数轴上距离原点4个单位长度的点表示的数是（   ） A．4 B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南周口·月考）的相反数是（ ） A．2 B． C． D． 3．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·四川德阳·月考）2025年11月25日15时50分，神舟二十二号飞船采用自主快速交会对接模式，成功对接于距地面约390000米的空间站天和核心舱前向端口，将390000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·四川德阳·月考）下列说法： 是负分数；3.6不是正数；非负有理数不包括零；正整数、负整数统称为整数；零是最小的有理数，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）故宫博物院是世界上规模最大、保存最完整的木结构宫殿建筑群，是世界文化遗产，也是中华5000多年文明的重要历史见证．这里收藏着中华民族数千年来创造的件（套）国之瑰宝，蔚为大观．将数据用科学记数法表示为 7．（25-26七年级上·山西晋中·期中）一个整数加，和小于0，则这个整数可能是 ．（写出一个整数即可） 8．（25-26七年级上·河南周口·月考）在算式“”中的“”填入运算符号“”“”“”“”中的一种，若要使计算结果最小，则这个最小结果是 ． 9．（25-26七年级上·河南商丘·月考）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行．例如：取，则…，其中第1次，第2次，…．若，则第2025次“F”运算的结果是 ． 10．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是 ．（保留幂的形式） 三、解答题 11．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)． 12．（25-26七年级上·山东济南·期中）数学兴趣小组以“计算一卷空心卷筒纸展开的总长度”为主题，展开项目学习． 【探究提示】 1.计算要素：要估计一卷空心卷筒纸展开后的总长度，可通过测量其内外半径（内半径，外半径）、纸宽、一层纸的厚度并利用体积守恒原理计算． 2.计算公式：根据体积守恒原理：展开前后的体积（展开后可以看成长方体）不变．展开后长度与体积公式：． 3.注意事项：测量一层纸的实际厚度可能因纸张层数、压实程度等因素存在误差． 【实践操作】 步骤1：使用直尺测量卷筒纸的纸宽，中间空心硬纸轴的直径和外层的直径，测得空心卷筒纸的尺寸数据如图所示； 步骤2：多次测量纸张层数与厚度，计算平均值； 步骤3：利用体积守恒原理的公式计算． 【完成任务】 (1)根据测量数据，结合体积公式，求空心卷筒纸的体积是多少立方厘米？（取3） (2)若根据步骤2测得一层纸的厚度为，请计算这种规格的一卷空心卷筒纸展开后总长度是多少厘米；（取3） (3)若空心卷筒纸的尺寸（内径、外径、纸宽）不变，当一层纸张的厚度变为，空心卷筒纸展开的总长度会有何变化?（取3） 13．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）小红家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，她将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为_____，“●”处的数为_____； (2)已知小红家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 14．（25-26七年级上·甘肃天水·月考）小王记录了纽约商品期货交易所原油期货价格在本周交易日内每日收盘价格相比前一天的涨跌情况（周六、周日不交易）：（单位：美元） 星期 一 二 三 四 五 每桶涨（美元） (1)星期五收盘时纽约原油期货价格相对上周五收盘时是涨还是跌？涨跌多少？ (2)已知本周五收盘时纽约原油期货价格为每桶美元，求上周五收盘时每桶多少美元？ 15．（25-26七年级上·河南周口·月考）对于有理数a，b，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 学科网（北京）股份有限公司 $