2026年高二物理暑假提升讲义：第6讲 带电粒子在交变电场与复合场中的运动（培优）

第6讲 带电粒子在交变电场与复合场中的运动 一、带电粒子在交变电场中的直线运动 1 .此类问题中，带电粒子进入电场时初速度为零，或初速度方向与电场方向平行，带电粒子在交变静电力的作用下，做加速、减速交替的直线运动 . 2 .该问题通常用动力学知识分析求解 .重点分析各段时间内的加速度、运动性质、每段时间与交变电场的周期T间的关系等 . 常用v－t图像法来处理此类问题，通过画出粒子的v－t图像，可将粒子复杂的运动过程形象、直观地反映出来，便于求解 【例题1】如图(a)所示，A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交变电压U，A板的电势φA＝0，B板的电势φB随时间的变化规律如图(b)所示 .现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区域，设电子的初速度和重力可忽略 (1)若电子是在t＝0时刻进入的，试问电子的运动情况。 (2)若电子是在t＝时刻进入的，试问电子的运动情况。 (3)若电子是在t＝T时刻进入的，试问电子的运动情况。 (4)若电子是在t＝时刻进入的，试问电子的运动情况。 训练1.如图甲所示，某多级直线加速器由n个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，各金属圆筒依序接在交变电源的两极M、N上，序号为C的金属圆板中央有一个质子源，质子逸出的速度不计，M、N两极加上如图乙所示的电压，一段时间后加速器稳定输出质子流。已知质子质量为m、电荷量为e，质子通过圆筒间隙的时间不计，且忽略相对论效应，则(　　) A．质子在各圆筒中做匀加速直线运动 B．质子进入第n个圆筒瞬间速度为 C．各金属筒的长度之比为1:：： D．质子在各圆筒中的运动时间之比为1:：： 二、带电粒子在交变电场中的曲线运动 带电粒子以一定的初速度垂直于电场方向进入交变电场，粒子做曲线运动 . (1)若带电粒子的初速度很大，粒子通过交变电场时所用时间极短，故可认为粒子所受静电力为恒力，粒子在电场中做类平抛运动 . (2)若粒子运动时间较长，在初速度方向做匀速直线运动，在垂直初速度方向利用vy－t图像进行分析： ①vy＝0时，速度方向沿v0方向 . ②y方向位移可用vy－t图像的面积进行求解 . 【例题2】(多选)如图甲所示，两平行金属板A、B的板长和板间距均为d，两板之间的电压随时间周期性变化规律如图乙所示。一不计重力的带电粒子以速度从O点沿板间中线射入极板之间，若时刻进入电场的带电粒子在时刻刚好沿A板右边缘射出电场，则（　　） A．时刻进入电场的粒子在时刻速度大小为 B．时刻进入电场的粒子在时刻速度大小为 C．时刻进入电场的粒子在两板间的最大偏移量为 D．时刻进入电场的粒子最终平行于极板射出电场 训练1.(多选)如图5甲所示，两平行金属板MN、PQ的板长和板间距离相等，板间存在如图乙所示的随时间周期性变化的电场，电场方向与两板垂直，不计重力的带电粒子沿板间中线且垂直于电场方向源源不断地射入电场，粒子射入电场时的初动能均为Ek0，已知t＝0时刻射入电场的粒子刚好沿上板右边缘垂直电场方向射出电场，不计粒子间的相互作用，则(　　) A.所有粒子都不会打到两极板上 B.所有粒子最终都垂直电场方向射出电场 C.运动过程中所有粒子的最大动能不可能超过2Ek0 D.只有t＝n(n＝0,1,2，…)时刻射入电场的粒子才能垂直电场方向射出电场 训练2.如图甲所示，水平放置的两平行金属板间距离为，板长为，两金属板间电势差变化如图乙所示(初始时上金属板带正电)，其中。一粒子源连续发射质量为、电荷量为的带电粒子(初速度，重力忽略不计)，该粒子源射出的带电粒子恰好从上金属板左端的下边缘水平进入两金属板间。 (1)若带电粒子在时刻进入两极板之间，飞出极板时粒子在竖直方向的偏移量是多少； (2)在哪些时刻进入两金属板间的带电粒子恰好从下金属板右端飞出； (3)在哪些时刻进入两金属板间的带电粒子恰好从上金属板右端飞出。 三、带电粒子在复合场中的直线运动 讨论带电粒子在复合场中做直线运动(加速或减速)的方法 (1)动力学方法——牛顿运动定律、运动学公式 . 当带电粒子所受合力为恒力，且与速度方向共线时，粒子做匀变速直线运动，若题目涉及运动时间，优先考虑牛顿运动定律、运动学公式 . 在重力场和电场叠加场中的匀变速直线运动，亦可以分解为重力方向上、静电力方向上的直线运动来处理 . (2)功、能量方法——动能定理、能量守恒定律 . 若题中已知量和所求量涉及功和能量，那么应优先考虑动能定理、能量守恒定律 . 【例题3】如图所示，匀强电场方向沿与水平方向夹角斜向右上方，电场强度大小为，一质量为的带负电的小球以某初速度开始运动，初速度方向与电场方向一致。小球所带电荷量为为重力加速度大小)。不计空气阻力，现添加一新的匀强电场满足小球做不同运动的需求。 (1)要使小球做匀速直线运动，求新加电场的电场强度的大小和方向； (2)原电场的方向不变，大小可以改变，要使小球做直线运动，求新加电场的电场强度最小值及其方向。 训练1.如图所示，在水平方向的匀强电场中有一表面光滑、与水平面成角的绝缘直杆，其下端(端)距地面高度。有一质量的带电小环套在直杆上，正以某一速度沿杆匀速下滑，小环离杆后正好通过端的正下方点处。(取)求： (1)小环离开直杆后的加速度大小和方向； (2)小环从运动到过程中的动能增量； (3)小环在直杆上匀速运动速度的大小。 四、带电粒子在复合场中匀变速曲线运动 带电粒子在电场中的匀变速曲线的处理方法： 1 .运动分解的方法：将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的匀加速直线运动，在这两个方向上分别列运动学方程或牛顿第二定律 . 2 .利用功能关系和动能定理分析： (1)功能关系：静电力做功等于电势能的减少量，W电＝Ep1－Ep2. (2)动能定理：合力做功等于动能的变化，W＝Ek2－Ek1. 【例题4】(多选)如图所示，有一足够大的水平向右的匀强电场，质量为、带电量为的带正电小球从点以速度斜向右上方射入匀强电场中，方向与水平方向成点（图中未画出）为小球运动轨迹的最高点，小球经过点时速度大小仍然为，空气阻力不计，重力加速度为，小球从运动到点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球的机械能增加 B．小球到达点的时间为 C．匀强电场的电场强度大小为 D．两点的电势差为 训练1．如图所示，一质量为、带正电的液滴，在水平向右的匀强电场中运动，运动轨迹在竖直平面内，A、B为其运动轨迹上的两点，已知该液滴在A点的速度大小为，方向与竖直方向的夹角为；它运动到B点时速度大小仍为，方向与竖直方向的夹角为，则液滴从A运动到B的过程（　　） A．合力做功为 B．重力势能增加 C．电势能减少 D．机械能减少 训练2．如图所示，abc是竖直面内的光滑绝缘固定轨道，ab水平，bc是与ab相切于b点且半径为R的圆弧，所在空间有方向平行于ab向右的匀强电场，电场强度大小为。在轨道上P点由静止释放一个质量为m，电荷量为q（q>0）的小球，小球飞出轨道后达到的最高点为Q（图中未画出）。若小球可视为质点，重力加速度大小为g，Q与c点的高度差为，则下列说法正确的是（　　） A．Q在c点的正上方 B．P点到b点的距离为 C．小球到达Q点的速度大小为零 D．从c到Q的过程中，小球的动能不变 五、带电粒子在重力场和电场中的圆周运动 等效重力场：物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就会变得复杂一些．此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”． 【例题5】在竖直平面内有水平向右、场强为E = 1 × 104 N/C的匀强电场。在场中有一根长L = 1 m的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系质量为1 kg的带电小球，它静止时细线与竖直方向成45°角。如图所示，给小球一个初速度让小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，取小球在静止时的位置为电势能和重力势能的零点，下列说法正确的是（g = 10 m/s2，取1.4）（　　） A．小球所带电量为q = 1.4 × 10−3 C B．小球在运动至圆周轨迹上的最高点时机械能最大 C．如果小球恰能做圆周运动，在运动过程中动能最小值是5 J D．如果小球恰能做圆周运动，在运动过程中电势能最大值为17 J 训练1.(多选)如图所示，倾角为（的斜面末端连接一段水平轨道后与竖直的光滑绝缘半圆轨道平滑连接，O为圆心，A、B为竖直直径的上、下两端点。现有一质量为、带电荷量为的小球（可视为质点），以大小为的初速度从斜面上某点以垂直斜面方向向上抛出，小球恰好从半圆轨道的最高点A无碰撞飞入半圆轨道。已知整个空间存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为，重力加速度g取10m/s²，，下列说法正确的是（　　） A．小球在A点的速度大小为2.25m/s B．小球从抛出到A点的运动是类平抛运动 C．小球第一次在半圆轨道上滑行过程中，可能会在某处脱离半圆轨道 D．小球第一次在半圆轨道上滑行过程中对轨道的最大压力大小为24N 训练2.在水平向右电场强度为E=104N/C的匀强电场中，有一光滑绝缘导轨，导轨由水平部分和与它连接的位于竖直平面的半圆轨道ABC构成，半圆轨道半径R=1m。现距环最低点A为L=4R的O处有一质量m=75g、带电荷量q=+10-4C的带正电的小球，小球放在水平轨道的O点，由静止释放后，在轨道的内侧运动，g=10m/s2，求： (1)运动到最高点C点时的动能EC； (2)运动到圆心等高处B点时对轨道的压力； (3)为了使带电小球在半圆轨道上运动不脱轨，小球在水平轨道上释放的位置到A点的距离应满足什么条件。    课后作业 1.如图所示，水平向右的匀强电场中，一根长的不可伸长的绝缘细线，一端连着一质量的带电小球，另一端固定于O点。把小球拉起至A点，此时细线水平，把小球从A点由静止释放，小球经最低点B后到达B的另一侧C点时速度为零，与夹角为，g取。则(　　) A．小球一定带负电 B．小球从A点经过B点再到C点的过程中，机械能先增加后减小 C．细线所受的最大拉力为 D．小球到达B点时的动能为 2.如图甲所示，真空中水平放置两块长度为2d的平行金属板P、Q，两板间距为d，两板间加上如图乙所示最大值为U0的周期性变化的电压，在两板左侧紧靠P板处有一粒子源A，自t＝0时刻开始连续释放初速度大小为v0，方向平行于金属板的相同带电粒子，t＝0时刻释放的粒子恰好从Q板右侧边缘离开电场，已知电场变化周期T＝，粒子质量为m，不计粒子重力及相互间的作用力，则(　　) A．在t＝0时刻进入的粒子离开电场时速度大小为v0 B．粒子的电荷量为 C．在t＝T时刻进入的粒子离开电场时电势能减少了 D．在t＝T时刻进入的粒子刚好从P板右侧边缘离开电场 3.如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度射出，速度方向与水平方向夹角均为。已知粒子的质量为m。电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求： (1) a运动到最高点的时间t； (2) a到达最高点时，a、b间的距离H。 4.如图4甲所示，极板A、B间的电压为U0，极板C、D间的间距为d，荧光屏到C、D板右端的距离等于C、D板的板长 .A板O处的放射源连续无初速度地释放质量为m、电荷量为＋q的粒子，经电场加速后，沿极板C、D的中心线射向荧光屏(荧光屏足够大且与中心线垂直)，当C、D板间未加电压时，粒子通过C、D板间的时间为t0；当C、D板间加上图乙所示电压(图中电压U1已知)时，粒子均能从C、D板间飞出，不计粒子的重力及粒子间的相互作用 .求： (1)C、D板的长度L； (2)粒子从C、D两极板间飞出时垂直于极板方向偏移的最大距离； (3)粒子打在荧光屏上区域的长度 . 5．如图所示，在竖直平面内有水平向右的匀强电场，长度为的绝缘细线一端固定在点，另一端系一质量为、电荷量为的带正电小球(可视为点电荷)，小球恰好能在点保持静止，此时细线与竖直方向的夹角重力加速度大小为，不计空气阻力。 (1)求匀强电场的电场强度大小； (2)将小球拉至最低点使细线竖直绷直后由静止释放小球，求小球通过与点等高的时细线对小球的拉力大小； (3)要使小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，求小球通过最低点时的最小速度。    学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 带电粒子在交变电场与复合场中的运动 一、带电粒子在交变电场中的直线运动 1 .此类问题中，带电粒子进入电场时初速度为零，或初速度方向与电场方向平行，带电粒子在交变静电力的作用下，做加速、减速交替的直线运动 . 2 .该问题通常用动力学知识分析求解 .重点分析各段时间内的加速度、运动性质、每段时间与交变电场的周期T间的关系等 . 常用v－t图像法来处理此类问题，通过画出粒子的v－t图像，可将粒子复杂的运动过程形象、直观地反映出来，便于求解 【例题1】如图(a)所示，A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交变电压U，A板的电势φA＝0，B板的电势φB随时间的变化规律如图(b)所示 .现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区域，设电子的初速度和重力可忽略 (1)若电子是在t＝0时刻进入的，试问电子的运动情况。 (2)若电子是在t＝时刻进入的，试问电子的运动情况。 (3)若电子是在t＝T时刻进入的，试问电子的运动情况。 (4)若电子是在t＝时刻进入的，试问电子的运动情况。 (1) 时刻进入电场 【详解】 (1)t=0时刻进入电场 运动分段 ①：电子从静止开始向 B 板匀加速 末速度 ，位移 ②：电场反向，加速度反向，电子向 B 板匀减速 经过，速度恰好减为 0，位移 一个周期总位移 ，速度回到 0。 (2) 时刻进入电场 分段分析 ①：加速时长 末速度 ，位移 ②：减速时长 前：速度减到 0，位移； 剩余减速时间，电子反向向 A 板匀加速，速度 ，位移 （向 A）。 ③：电场再次换向，加速度指向 B，反向匀减速，速度归零，向 A 位移再增加。 一个周期净位移 向 B 总位移：，整体缓慢向 B 板漂移，先向 B 加速、减速，小幅反向回弹，循环往复直至打 B 板。 (3) 时刻进入电场 分段分析 ①：加速时长 最大速度 ，向 B 位移 ②：减速阶段共 前：速度减为 0，向 B 位移； 剩余：反向向 A 匀加速，末速度，向 A 位移 ③：电场换向，向 A 匀减速，速度归零，再向 A 走。 一个周期净位移 净位移向 A： (4) 时刻进入电场 时，电场，电子受力。 ①：电子从静止向 A 板匀加速，时长，末速度，向 A 位移； ②：电场换向，加速度反向，向 A 匀减速，速度归零，再向 A 位移。 训练1.(2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)如图甲所示，某多级直线加速器由n个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，各金属圆筒依序接在交变电源的两极M、N上，序号为C的金属圆板中央有一个质子源，质子逸出的速度不计，M、N两极加上如图乙所示的电压，一段时间后加速器稳定输出质子流。已知质子质量为m、电荷量为e，质子通过圆筒间隙的时间不计，且忽略相对论效应，则(　　) A．质子在各圆筒中做匀加速直线运动 B．质子进入第n个圆筒瞬间速度为 C．各金属筒的长度之比为1:：： D．质子在各圆筒中的运动时间之比为1:：： 【答案】C 【详解】A．金属圆筒中电场为零，质子不受电场力，做匀速运动，故A错误； B．质子进入第n个圆筒时，经过n次加速，根据动能定理 解得 故B错误； D．只有质子在每个圆筒中匀速运动时间为时，才能保证每次在缝隙中被电场加速，故D错误； C．第n个圆筒长度 则各金属筒的长度之比为1:：：，故C正确。 故选C。 二、带电粒子在交变电场中的曲线运动 带电粒子以一定的初速度垂直于电场方向进入交变电场，粒子做曲线运动 . (1)若带电粒子的初速度很大，粒子通过交变电场时所用时间极短，故可认为粒子所受静电力为恒力，粒子在电场中做类平抛运动 . (2)若粒子运动时间较长，在初速度方向做匀速直线运动，在垂直初速度方向利用vy－t图像进行分析： ①vy＝0时，速度方向沿v0方向 . ②y方向位移可用vy－t图像的面积进行求解 . 【例题2】(多选)如图甲所示，两平行金属板A、B的板长和板间距均为d，两板之间的电压随时间周期性变化规律如图乙所示。一不计重力的带电粒子以速度从O点沿板间中线射入极板之间，若时刻进入电场的带电粒子在时刻刚好沿A板右边缘射出电场，则（　　） A．时刻进入电场的粒子在时刻速度大小为 B．时刻进入电场的粒子在时刻速度大小为 C．时刻进入电场的粒子在两板间的最大偏移量为 D．时刻进入电场的粒子最终平行于极板射出电场 【答案】AD 【详解】A．在时刻，粒子在水平方向上的分速度为，两平行金属板A、B的板长和板间距均为d，，则有 解得 则时刻，，根据平行四边形定则知，粒子的速度为 故A正确； C．当时刻射入电场的粒子，运动时间为电场变化周期的整数倍，则有水平方向 竖直方向每移动的位移都相同设为，则有 当该粒子在时刻以速度进入电场，则此时粒子竖直方向上在电场力的作用下，先做匀加速，再匀减速，接着再匀加速和匀减速后回到中线位置，由运动的对称性可知，竖直方向先匀加速后匀减速的位移为 故C错误； B．时刻进入电场的粒子在时刻，竖直方向速度为 根据平行四边形定则知，粒子的速度为 故B错误； D．由于水平方向做匀速直线运动，所以粒子无论什么时候进入电场，运动时间都是T，粒子在时刻以速度进入电场，竖直方向先向上加速再向下减速，再向上加速，竖直方向速度为零，粒子最终平行于极板射出电场，故D正确。 故选AD。 训练1.(多选)如图5甲所示，两平行金属板MN、PQ的板长和板间距离相等，板间存在如图乙所示的随时间周期性变化的电场，电场方向与两板垂直，不计重力的带电粒子沿板间中线且垂直于电场方向源源不断地射入电场，粒子射入电场时的初动能均为Ek0，已知t＝0时刻射入电场的粒子刚好沿上板右边缘垂直电场方向射出电场，不计粒子间的相互作用，则(　　) 图5 A.所有粒子都不会打到两极板上 B.所有粒子最终都垂直电场方向射出电场 C.运动过程中所有粒子的最大动能不可能超过2Ek0 D.只有t＝n(n＝0,1,2，…)时刻射入电场的粒子才能垂直电场方向射出电场 答案　ABC 解析　带电粒子在垂直于电场方向上做匀速直线运动，在沿电场方向上，做加速度大小不变、方向周期性变化的变速直线运动 .由t＝0时刻进入电场的粒子运动情况可知，粒子在平行金属板间运动的时间为周期性变化的电场的周期的整数倍 .在0～时间内带电粒子运动的加速度a＝，由匀变速直线运动规律得vy＝at＝t，同理可分析～T时间内的运动情况，所以带电粒子在沿电场方向的速度vy与E－t图线所围面积成正比(时间轴下方的面积取负值) .而经过整数个周期，E－t图像与坐标轴所围面积始终为零，故带电粒子离开电场时沿电场方向的速度总为零，B正确，D错误；在t＝0时刻入射的带电粒子，侧向位移最大，故其他粒子均不可能打到极板上，A正确；当粒子在t＝0时刻入射且经过时间T离开电场时，粒子在t＝时达到最大速度，此时竖直方向的位移与水平方向的位移之比为1∶2，即v0t＝2×at2，可得vy＝v0，故粒子的最大速度为v＝v0，因此最大动能为初动能的2倍，C正确 . 训练2.(2023秋·河南·高二校联考期末)如图甲所示，水平放置的两平行金属板间距离为，板长为，两金属板间电势差变化如图乙所示(初始时上金属板带正电)，其中。一粒子源连续发射质量为、电荷量为的带电粒子(初速度，重力忽略不计)，该粒子源射出的带电粒子恰好从上金属板左端的下边缘水平进入两金属板间。 (1)若带电粒子在时刻进入两极板之间，飞出极板时粒子在竖直方向的偏移量是多少； (2)在哪些时刻进入两金属板间的带电粒子恰好从下金属板右端飞出； (3)在哪些时刻进入两金属板间的带电粒子恰好从上金属板右端飞出。 【答案】(1)；(2)(其中，1，2，3…)；(3)(其中，1，2，3…) 【详解】(1)能从板间飞出的粒子，平行于板方向做匀速直线运动，在板间运动的时间 设带电粒子在两金属板间运动时的加速度大小为，则 带电粒子在时刻进入两极板之间，则它在竖直方向上先加速向下运动， 经过时间后电场反向，开始在竖直方向上减速向下，又经过时间，竖直分速度减为零 此时粒子飞出极板，其偏移量 (2)在第一个周期内，设带电粒子在时刻进入两金属板间，它在竖直方向上先加速向下，经过时间后电场反向，开始在竖直方向上减速向下，又经过时间，竖直分速度减为零，恰好从下金属板右端飞出，画出其运动轨迹，如图所示 可知 解得 所以 考虑到周期性，带电粒子恰好从下金属板右端飞出两金属板间的时刻满足 (其中，1，2，3…) (3)在第一个周期内，设带电粒子在时刻进入两金属板间，它在竖直方向上先加速向下，经过时间后电场反向，开始在竖直方向上减速向下，又经过时间，竖直分速度减为零，然后加速向上直到恰好从上金属板右端飞出，画出其运动轨迹，如图所示 可知 解得 ，(舍去) 所以 考虑到周期性，带电粒子恰好从上金属板右端飞出两金属板间的时刻满足 (其中，1，2，3…) 三、带电粒子在复合场中的直线运动 讨论带电粒子在复合场中做直线运动(加速或减速)的方法 (1)动力学方法——牛顿运动定律、运动学公式 . 当带电粒子所受合力为恒力，且与速度方向共线时，粒子做匀变速直线运动，若题目涉及运动时间，优先考虑牛顿运动定律、运动学公式 . 在重力场和电场叠加场中的匀变速直线运动，亦可以分解为重力方向上、静电力方向上的直线运动来处理 . (2)功、能量方法——动能定理、能量守恒定律 . 若题中已知量和所求量涉及功和能量，那么应优先考虑动能定理、能量守恒定律 . 【例题3】(2023春·山东临沂·高一沂水县第一中学校联考阶段练习)如图所示，匀强电场方向沿与水平方向夹角斜向右上方，电场强度大小为，一质量为的带负电的小球以某初速度开始运动，初速度方向与电场方向一致。小球所带电荷量为为重力加速度大小)。不计空气阻力，现添加一新的匀强电场满足小球做不同运动的需求。 (1)要使小球做匀速直线运动，求新加电场的电场强度的大小和方向； (2)原电场的方向不变，大小可以改变，要使小球做直线运动，求新加电场的电场强度最小值及其方向。    【答案】(1)，斜向左下方与水平方向成；(2)，斜向右下方水平方向成 【详解】(1)如图甲所示，欲使小球做匀速直线运动，应使其所受的合力为零，有 其中 解得    又小球带负电，电场强度方向与电场力方向相反，则电场强度的方向与水平方向的夹角为，斜向左下方。 (2)如图乙所示，小球要做直线运动，则小球受到的合力应与运动方向共线，当新的电场强度取最小值时，有 解得        同理电场强度的方向与电场力的方向相反，则电场强度的方向与水平方向的夹角为，斜向右下方。 训练1.(2022·浙江·高三专题练习)如图所示，在水平方向的匀强电场中有一表面光滑、与水平面成角的绝缘直杆，其下端(端)距地面高度。有一质量的带电小环套在直杆上，正以某一速度沿杆匀速下滑，小环离杆后正好通过端的正下方点处。(取)求： (1)小环离开直杆后的加速度大小和方向； (2)小环从运动到过程中的动能增量； (3)小环在直杆上匀速运动速度的大小。 【答案】(1)，加速度方向垂直杆向下；(2)4J；(3) 【解析】 (1)小环沿杆匀速下滑，受重力，电场力及支持力如图所示，由平衡条件可得 ， 小环离开直杆后，只受重力及电场力作用，小环的加速度为 解得， 加速度方向垂直杆向下 (2)小环从运动到过程中，由动能定理可得 解得 (3)小环从运动到过程中，做类平抛运动，如图所示有 代入数据联立解得 四、带电粒子在复合场中匀变速曲线运动 带电粒子在电场中的匀变速曲线的处理方法： 1 .运动分解的方法：将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的匀加速直线运动，在这两个方向上分别列运动学方程或牛顿第二定律 . 2 .利用功能关系和动能定理分析： (1)功能关系：静电力做功等于电势能的减少量，W电＝Ep1－Ep2. (2)动能定理：合力做功等于动能的变化，W＝Ek2－Ek1. 【例题4】(多选)如图所示，有一足够大的水平向右的匀强电场，质量为、带电量为的带正电小球从点以速度斜向右上方射入匀强电场中，方向与水平方向成点（图中未画出）为小球运动轨迹的最高点，小球经过点时速度大小仍然为，空气阻力不计，重力加速度为，小球从运动到点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球的机械能增加 B．小球到达点的时间为 C．匀强电场的电场强度大小为 D．两点的电势差为 【答案】AC 【详解】A．小球运动过程中，电场力做正功，电势能减少，机械能增加，故A正确； B．由题可知，将小球的运动分解成水平方向和竖直方向的运动，由受力可知，小球在竖直方向只受重力，故在竖直方向做竖直上抛运动，从点运动到最高点满足，故B错误； C．水平方向只受电场力，故水平方向做匀变速直线运动，水平方向的初速度为 由题可知，小球有 由 解得匀强电场的电场强度大小为，故C正确； D．由上分析可知 代入数据解得 故、两点的电势差为，故D错误。 故选AC 。 训练1．（2022秋·湖南株洲·高二校考期末）如图所示，一质量为、带正电的液滴，在水平向右的匀强电场中运动，运动轨迹在竖直平面内，A、B为其运动轨迹上的两点，已知该液滴在A点的速度大小为，方向与竖直方向的夹角为；它运动到B点时速度大小仍为，方向与竖直方向的夹角为，则液滴从A运动到B的过程（　　） A．合力做功为 B．重力势能增加 C．电势能减少 D．机械能减少 【答案】C 【详解】A．液滴的动能增加量为零，故合力做功为零，选项A错误； B．液滴重力势能增加量为 将液滴的运动分解，竖直方向做加速度为的匀减速运动，则 则 选项B错误； C．电场力对液滴做正功，电场力做的功 液滴在水平方向做匀加速直线运动 则电场力做功为 液滴的电势能减少，选项C正确； D．液滴的机械能增加量等于动能增加量和重力势能增加量之和，故增加了，选项D错误。 故选C。 训练2．（23-24高二上·河南·期中）如图所示，abc是竖直面内的光滑绝缘固定轨道，ab水平，bc是与ab相切于b点且半径为R的圆弧，所在空间有方向平行于ab向右的匀强电场，电场强度大小为。在轨道上P点由静止释放一个质量为m，电荷量为q（q>0）的小球，小球飞出轨道后达到的最高点为Q（图中未画出）。若小球可视为质点，重力加速度大小为g，Q与c点的高度差为，则下列说法正确的是（　　） A．Q在c点的正上方 B．P点到b点的距离为 C．小球到达Q点的速度大小为零 D．从c到Q的过程中，小球的动能不变 【答案】B 【详解】A．小球从c点飞出时速度方向竖直向上，离开c后，水平方向向右做初速度为零的匀加速运动，竖直方向做竖直上抛运动，竖直方向速度减为零时到达最高点Q，Q点在c点的右上方，故A错误； BC．从c到Q的过程中，竖直方向有 解得 从P到c过程，由动能定理得 解得 因 F电=qE=mg 故小球到达Q点的速度大小 故B正确，C错误； D．设小球所受合力方向与水平方向的夹角为θ，则 解得 θ=45° 小球从c到Q的过程中，小球的合力与运动轨迹如图所示 可知小球所受合力先做负功后做正功，则小球的动能先减小后增大，故D错误。 故选B。 五、带电粒子在重力场和电场中的圆周运动 等效重力场：物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就会变得复杂一些．此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”． 【例题5】在竖直平面内有水平向右、场强为E = 1 × 104 N/C的匀强电场。在场中有一根长L = 1 m的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系质量为1 kg的带电小球，它静止时细线与竖直方向成45°角。如图所示，给小球一个初速度让小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，取小球在静止时的位置为电势能和重力势能的零点，下列说法正确的是（g = 10 m/s2，取1.4）（　　） A．小球所带电量为q = 1.4 × 10−3 C B．小球在运动至圆周轨迹上的最高点时机械能最大 C．如果小球恰能做圆周运动，在运动过程中动能最小值是5 J D．如果小球恰能做圆周运动，在运动过程中电势能最大值为17 J 【答案】D 【详解】A．小球静止时有 解得 故A错误； B．根据能量守恒定律可知，小球在运动过程中机械能最大，则电势能最小，此位置应为与O点等高的直径的右端点，故B错误； C．小球在等效最高点速度最小，动能最小，则 联立解得 故C错误； D．如果小球恰能做圆周运动，则当运动到与O点等高的直径的左端时电势能最大，在运动过程中电势能最大值为 故D正确。 故选D。 训练1.(多选)如图所示，倾角为（的斜面末端连接一段水平轨道后与竖直的光滑绝缘半圆轨道平滑连接，O为圆心，A、B为竖直直径的上、下两端点。现有一质量为、带电荷量为的小球（可视为质点），以大小为的初速度从斜面上某点以垂直斜面方向向上抛出，小球恰好从半圆轨道的最高点A无碰撞飞入半圆轨道。已知整个空间存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为，重力加速度g取10m/s²，，下列说法正确的是（　　） A．小球在A点的速度大小为2.25m/s B．小球从抛出到A点的运动是类平抛运动 C．小球第一次在半圆轨道上滑行过程中，可能会在某处脱离半圆轨道 D．小球第一次在半圆轨道上滑行过程中对轨道的最大压力大小为24N 【答案】BD 【详解】AB．小球受重力和电场力的作用，则合力大小为 设F与水平方向夹角为，则 解得 即F与垂直，故小球做类平抛运动，有几何关系有 故A错误，B正确； C．如图所示 根据受力情况可知小球运动过程中的等效最低点为C点，小球到C点时对轨道的压力最大，因在A点小球恰好能无碰撞飞入半圆轨道，故小球在A点对轨道的压力为零，小球在从A到C的过程其小球对轨道的压力逐渐增加，所以小球第一次在半圆轨道上滑行过程中不会脱离半圆轨道，故C项错误； D．在A点，根据牛顿第二定律得 解得 从A到C，对小球由动能定理有 根据牛顿第二定律有 联立解得 根据牛顿第三定律得小球对轨道的最大压力大小为24N，故D项正确。 故选BD。 训练2.(2023春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考阶段练习)在水平向右电场强度为E=104N/C的匀强电场中，有一光滑绝缘导轨，导轨由水平部分和与它连接的位于竖直平面的半圆轨道ABC构成，半圆轨道半径R=1m。现距环最低点A为L=4R的O处有一质量m=75g、带电荷量q=+10-4C的带正电的小球，小球放在水平轨道的O点，由静止释放后，在轨道的内侧运动，g=10m/s2，求： (1)运动到最高点C点时的动能EC； (2)运动到圆心等高处B点时对轨道的压力； (3)为了使带电小球在半圆轨道上运动不脱轨，小球在水平轨道上释放的位置到A点的距离应满足什么条件。    【答案】(1)2.5J; (2)9.8N; (3) 【详解】(1)小球从O点到C点的过程根据动能定理得出 解得 (2)小球从O点到B点的过程中利用动能定理得出       在B点由受力分析的得 综上可得 根据牛顿第三定律得出运动到圆心等高处B点时对轨道的压力为。 (3)在C点小球恰好通过最高点时 从释放点O到C点的过程利用动能定理得出 综上可得小球恰好通过最高点时释放点O到C点的距离至少为 为了使带电小球在半圆轨道上运动不脱轨，小球在水平轨道上释放的位置到A点的距离应满足的条件是 课后作业 1.(2023·新疆·统考二模)如图所示，水平向右的匀强电场中，一根长的不可伸长的绝缘细线，一端连着一质量的带电小球，另一端固定于O点。把小球拉起至A点，此时细线水平，把小球从A点由静止释放，小球经最低点B后到达B的另一侧C点时速度为零，与夹角为，g取。则(　　) A．小球一定带负电 B．小球从A点经过B点再到C点的过程中，机械能先增加后减小 C．细线所受的最大拉力为 D．小球到达B点时的动能为 【答案】D 【详解】A．对全过程，重力做正功，可知电场力做负功，可知电场力方向向右，则小球带正电，A 错误； B．小球从A点经过B点再到C点的过程中，电场力一直做负功，可知小球的机械能一直减小，B错误； C．对全过程根据动能定理可得 解得 重力和电场力的合力 与水平方向夹角的正切值 可得 如图所示 此时合力方向与圆弧的焦点为等效最低点，此时绳子的拉力最大，根据动能定理 在等效最低点，根据牛顿第二定律 联立解得细线所受的最大拉力 C错误； D．从A到B根据动能定理可得 D正确。 故选D。 2.(2021·浙江·高二期末)如图甲所示，真空中水平放置两块长度为2d的平行金属板P、Q，两板间距为d，两板间加上如图乙所示最大值为U0的周期性变化的电压，在两板左侧紧靠P板处有一粒子源A，自t＝0时刻开始连续释放初速度大小为v0，方向平行于金属板的相同带电粒子，t＝0时刻释放的粒子恰好从Q板右侧边缘离开电场，已知电场变化周期T＝，粒子质量为m，不计粒子重力及相互间的作用力，则(　　) A．在t＝0时刻进入的粒子离开电场时速度大小为v0 B．粒子的电荷量为 C．在t＝T时刻进入的粒子离开电场时电势能减少了 D．在t＝T时刻进入的粒子刚好从P板右侧边缘离开电场 【答案】D 【解析】粒子进入电场后，水平方向做匀速运动，得 解得 故粒子在电场中运动的时间为TA．t=0时刻进入的粒子，粒子在竖直方向先向下加速运动 ，再向下减速运动，经过一个周期，竖直方向速度为0，故粒子离开电场时的速度大小等于水平速度v0，A错误； B．粒子在竖直方向，在时间内的位移为 ，则 解得 B错误； C．时刻进入电场的粒子，离开电场时在竖直方向上的位移为 进场的位置到出场的位置的电势差 电势能变化量 可知电势能减少，C错误； D． 时刻进入的粒子，在竖直方向先向下加速运动 ，然后向下减速运动，再向上加速，向上减速，然后离开电场，由运动过程对称可知，此时竖直方向位移为0，故粒子刚好从P板右侧边缘离开电场，D正确。故选D。 3.如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度射出，速度方向与水平方向夹角均为。已知粒子的质量为m。电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求： (1) a运动到最高点的时间t； (2) a到达最高点时，a、b间的距离H。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，不计重力及粒子间相互作用，则竖直方向上，由对球，根据牛顿第二定律有 a运动到最高点的时间，由运动学公式有 联立解得 （2）方法一、根据题意可知，两个小球均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初速度均为，则两小球一直在同一竖直线上，斜上抛的小球竖直方向上运动的位移为 斜下抛的小球竖直方向上运动位移为 则小球a到达最高点时与小球b之间的距离 方法二、两个小球均受到相同电场力，以a球为参考系，球以的速度向下做匀速直线运动，则a到达最高点时，a、b间的距离 4.如图4甲所示，极板A、B间的电压为U0，极板C、D间的间距为d，荧光屏到C、D板右端的距离等于C、D板的板长 .A板O处的放射源连续无初速度地释放质量为m、电荷量为＋q的粒子，经电场加速后，沿极板C、D的中心线射向荧光屏(荧光屏足够大且与中心线垂直)，当C、D板间未加电压时，粒子通过C、D板间的时间为t0；当C、D板间加上图乙所示电压(图中电压U1已知)时，粒子均能从C、D板间飞出，不计粒子的重力及粒子间的相互作用 .求： (1)C、D板的长度L； (2)粒子从C、D两极板间飞出时垂直于极板方向偏移的最大距离； (3)粒子打在荧光屏上区域的长度 . 答案　(1)t0　(2)　(3) 解析　(1)粒子在A、B板间，有qU0＝mv02，在C、D板间有L＝v0t0， 解得L＝t0. (2)粒子从nt0(n＝0,2,4…)时刻进入C、D间，偏移距离最大，粒子做类平抛运动，偏移距离y＝at02， 加速度a＝， 解得y＝. (3)粒子在C、D间偏转距离最大时打在荧光屏上的位置距中心线最远，从C、D板飞出的偏转角tan θ＝， vy＝at0， 打在荧光屏上的位置距中心线的最远距离s＝y＋Ltan θ， 粒子打在荧光屏上的区域长度Δs＝s＝. 5．(2023春·河南洛阳·高一洛宁县第一高级中学校联考阶段练习)如图所示，在竖直平面内有水平向右的匀强电场，长度为的绝缘细线一端固定在点，另一端系一质量为、电荷量为的带正电小球(可视为点电荷)，小球恰好能在点保持静止，此时细线与竖直方向的夹角重力加速度大小为，不计空气阻力。 (1)求匀强电场的电场强度大小； (2)将小球拉至最低点使细线竖直绷直后由静止释放小球，求小球通过与点等高的时细线对小球的拉力大小； (3)要使小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，求小球通过最低点时的最小速度。    【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】(1)根据题意，对小球受力分析，如图所示    由几何关系可得 解得 (2)根据题意，小球由C点运动到A点，由动能定理有 小球运动到A点时，由细线拉力和电场力的合力提供向心力，有 解得 (3)对小球受力分析可知，小球运动过程中始终受到电场力和重力，两者的合力大小 方向与竖直方向的夹角为，将其等效为重力，可知，点为等效最低点，则要使小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，应确保小球能够通过圆周上的点关于点对称的等效最高点，应有 小球从C点运动到等效最高点，由动能定理有 解得 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $