2026年暑假提升讲义：第5讲 带电粒子在匀强电场中的运动（培优）

第5讲 带电粒子在匀强电场中的运动 一、带电粒子在电场中的直线运动 1.带电粒子的分类及受力特点 (1)电子、质子、α粒子、离子等基本粒子，一般都不考虑重力 . (2)质量较大的微粒，如带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力 . 2.分析带电粒子在静电力作用下加速运动问题的两个角度 动力学角度 功能关系角度 涉及知识 应用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式 功的公式及动能定理 选择条件 匀强电场，静电力是恒力 可以是匀强电场，也可以是非匀强电场，静电力可以是恒力，也可以是变力 3．带电粒子加速问题的处理方法： ①利用动能定理分析．：初速度为零的带电粒子，经过电势差为U的电场加速后，qU＝mv2，则v＝. ②在匀强电场中也可利用牛顿定律结合运动学公式分析． 【例题1】（24-25高二下·河南焦作·期中）如图所示，平行板电容器倾斜放置，与水平面夹角为。质量为m、电荷量为q的带正电微粒从上极板CD左侧C点进入电容器，沿水平直线运动到下极板的B点时速度恰好为0，重力加速度为g，极板长为L，极板间电场视为匀强电场，下列说法正确的是（　　） A．微粒在极板间做匀速运动 B．CD极板带正电荷 C．匀强电场的场强大小为 D．粒子进入电容器时的速度大小为 【答案】D 【详解】AB．对粒子受力分析如图所示，电场力和重力的合力与速度反向，所以粒子做匀减速运动，由于微粒带正电，所受电场力方向与场强方向相同，故CD板带负电，选项AB错误； C．由图可知 解得 C错误； D．粒子从C到B位移大小为 由牛顿第二定律 由运动学公式 解得 D正确。 故选D。 训练1．（24-25高二上·广东中山·阶段练习）如图所示，一平行板电容器两极板间距离为d，极板间电势差为U，一个电子从O点沿垂直于极板的方向射入两极板间，最远到达A点，然后返回。已知OA两点相距为h，电子质量为m，电荷量为，重力不计。下列说法正确的是（　　） A．电子在O点的电势能高于在A点的电势能 B．电子返回到O点时的速度与从O点射入两极板间时的速度相同 C．电子从O点射出时的速度 D．OA间的电势差 【答案】D 【详解】A．电子在A点的动能的最小，根据能量守恒，电子在A点的电势能的最大，故电子在O点的电势能低于在A点的电势能，故A错误； B．电子在运动过程中，只受到电场力，故电势能与动能之和不变，故返回到O点时的电势能与从O点射入两极板间时的电势能相同，故返回到O点时的速度大小与从O点射入两极板间时的速度大小相同，但是方向相反，故B错误； C．根据动能定理 解得电子从O点射出时的速度为 故C错误； D．OA间的电势差为 故D正确； 故选D。 训练2．(2022春·上海黄浦·高一格致中学校考期末)如图，水平放置的金属薄板A、B间有匀强电场，已知B板带正电、A板带负电。电场强度，间距d=1.25m。A板上有一小孔，M恰好在孔的正上方，距离h=1.25m。从M处每隔相等时间间隔由静止释放一个质量的带电小球。第1个带电小球的电量，第n个带电小球的电量。取。求：(小球落至B板后不影响两板间的电场强度且不考虑小球之间的静电力作用及空气阻力) (1)第1个带电小球从M下落至B板的速度； (2)第几个带电小球将不能抵达B板；    【答案】(1)；(2)5 【详解】(1)第1个带电小球从M下落至B板，根据动能定理 解得 (2)设第n带电小球恰能抵达B板，根据动能定理 解得 第4个带电小球恰能抵达B板，故第5个带电小球将不能抵达B板。 训练3．（25-26高二上·浙江）如图所示，长为l的绝缘细线一端悬于O点，另一端系一质量为m=80g带电荷q=-2×10-4C的小球。现将此装置放在水平向右的匀强电场中，小球静止在A点，此时细线与竖直方向成37°角。重力加速度g取，，求： (1)求该匀强电场的电场强度E的大小； (2)若将细线剪断，小球由静止释放，经过t=2s电势能变化了多少； (3)现撤去电场，小球由静止释放，运动最低点时重力的功率多大。 【答案】(1) (2)减小9J (3)0 【详解】（1）小球在 A 点静止，其受力情况如图所示 根据共点力平衡条件有     解得 （2）细线剪断，小球受到的合外力 ，由牛顿第二定律有 解得 根据 电场力做功为 所以电势能减少了 9J （3）由于重力的瞬时功率为 而vy=0，所以 二、带电粒子在匀强电场中的偏转 质量为m、带电量为q的基本粒子(忽略重力)，以初速度v0平行于两极板进入匀强电场，极板长为l，板间距离为d，板间电压为U. 1．运动性质 (1)沿初速度方向：速度为v0的匀速直线运动． (2)垂直v0的方向上：初速度为零，加速度为a＝的匀加速直线运动． 2．运动规律 (1)偏移距离：因为t＝，a＝，所以偏移距离y＝at2＝. (2)偏转角度：因为vy＝at＝，所以tan θ＝＝. 3. 推论 (1)tanθ =2tanα.。 (2)粒于从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于沿初速度方向分位移的中点，即粒子好像从该中点处沿直线飞离电场一样. (3)不同的带电粒子、电性相同，不计重力，由静止开始先在同一电场中加速，又在同一电场中偏转，射出电场时粒子的偏移量和偏转角相同，与粒子的带电荷量和质量无关，即运动轨迹相同。 (4)若粒子以相同的初动能Ek进入同一个偏转电场，只要电荷量相同，不论质量是否相同，偏转距离y和偏转角θ均相同. 【例题3】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）如图所示，A、B和C、D为两平行金属极板，A、B两极板间电势差为U，C、D始终和一直流稳定电源相接，测得其间的场强为E，B极板中心有一小孔F。一质量为m、电荷量为q的带电粒子（重力不计）由静止开始，从A极板上经A、B加速后穿过F经C、D发生偏转，最后打在荧光屏上，轨迹如图所示。已知C、D极板长均为x，A和B、C和D均对齐，FO与C、D极板平行且到两极板距离相等，荧光屏距C、D右端的距离为L，求： (1)粒子出加速电场F点时的速度大小； (2)粒子离开偏转电场时的竖直偏移量y； (3)粒子打在荧光屏上时的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从A、B间射出时的速度为v，则有，解得 （2）设粒子离开偏转电场时偏转距离为y，，在竖直方向有， 粒子加速度，解得 （3）由上述关系式得，此时速度为 所以粒子打在荧光屏上时的动能为 训练1．(2021·浙江杭州·高二期末)如图为一个示波管工作原理示意图，初速为零的电子(质量为m，电量为-e)经加速电压U1加速后以一定的速度垂直射入两平行板间的匀强电场(称为偏转电场)，两板间的距离是d，电压为U2，板长为L1.平行板右端到荧光屏的水平距离是L2，求 (1)电子射出加速电场时速度的大小； (2)电子离开偏转电场时竖直方向位移的大小； (3)如果定义平行板间单位电压使电子在荧光屏上产生的偏移量(即)为示波管的灵敏度，请推导出灵敏度的表示式。 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】 (1)粒子经过加速电场有解得 (2)粒子在电场力的作用下做类平抛运动，根据平抛运动的规律有 解得 (3)根据平抛运动的规律有 解得 所以 解得 训练2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图的装置放置在真空中，炽热的金属丝可以发射电子，金属丝和竖直金属板之间加以电压，发射出的电子被加速后，从金属板上的小孔S射出。装置右侧有两个相同的平行金属极板水平正对放置，板长为l，相距为d，两极板间加以电压的偏转电场。从小孔S射出的电子恰能沿平行于板面的方向由极板左端中间位置射入偏转电场。已知电子的电荷量e，质量为m，设电子刚离开金属丝时的速度为零，忽略金属极板边缘对电场的影响，不计电子受到的重力。求： (1)电子射入偏转电场时的动能； (2)电子射出偏转电场时在竖直方向上的侧移量y； (3)若要使电子能射出偏转电场，求大小的取值范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电荷量为e的电子从金属丝移动到金属板，两处的电势差为，电势能的减少量是，减少的电势能全部转化为电子的动能，所以 （2）电子在垂直于板面的方向受到静电力，由于电场不随时间改变，而且是匀强电场，所以整个运动过程中在垂直于板面的方向上加速度是不变的，做匀加速直线运动，加速度是 电子射出电场时，在垂直于板面方向偏移的距离为 其中t为飞行时间，由于电子在平行于板面的方向不受力，所以这个方向上做匀速运动，由 可求得 将a和t代入y的表达式中，得到   将代入得 （3）若要使电子能射出偏转电场，则电子射出偏转电场时在竖直方向上的侧移量即可，即   解得 训练3．(2023春·山东滨州·高一山东省北镇中学校联考阶段练习)如图所示，A为粒子源，能放出初速度为零、质量为m、电荷量为e的质子，经过电压为U1的A、B间的电场加速后沿图中水平虚线进入两水平放置的平行板C、D之间。C、D两板间的电压为U2，板间的距离为d，板长为L，右侧有一距CD板右端水平距离也为L为荧光屏竖直放置，与虚线交于O点。不计质子的重力，则下列说法正确的是(　　)    A．质子离开B板时的速度为 B．质子飞出C、D间电场时速度方向与水平方向夹角的正切值为 C．质子发送出C、D电场时在竖直方向上发生的位移为 D．质子打到荧光屏上的位置距荧光屏中心O的距离为 【答案】AC 【详解】A．根据 得 故A正确； B．质子在C、D间电场运动时水平方向上做匀速直线运动，运动时间 竖直方向上，加速度 速度 故B错误； C．质子发送出C、D电场时在竖直方向上发生的位移为故C正确； D．质子离开C、D间电场后打到荧光屏上时间 竖直方向上运动的距离 质子打到荧光屏上的位置距荧光屏中心O的距离为 故D错误。 故选AC。 四 、带电粒子的综合问题 【例题4】（2023春·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考期末）在“质子疗法”中，质子先被加速到具有较高的能量，然后被引向轰击肿瘤，杀死细胞。如图所示，质量为m、电荷量为q的质子从极板A处由静止加速，通过极板中间的小孔以射出，然后从坐标系中的B点（0，d）平行于x坐标轴进入区域，该区域充满沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为，OP与x轴夹角。质子在电场中偏转垂直击中边界OP的C点（图中未标出）。取质子比荷为，，不计重力作用。求： （1）极板间的加速电压U； （2）B、C两点电势差UBC； （3）电场强度E的大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）质子在极板间加速，由动能定理可得 解得极板间的加速电压 （2）质子在电场中偏转垂直击中边界OP的C点，如图 则质子到达C点时的速度 质子从B点到C点由动能定理得 解得B、C两点电势差 （3）质子在电场中运动到达OP上的C点时间为t，竖直方向速度为vy，水平位移为x，竖直位移为y，加速度为a。由运动学公式有 由几何关系得 解得 , 由，解得 训练1．(2023·辽宁沈阳·辽宁实验中学校考模拟预测)如图所示，两平行金属板A、B长，两板间距离，A板比B板电势高400V，一带正电的粒子电荷量，质量，沿两板中心线RO以初速度飞入平行金属板，粒子飞出平行板电场后经过界面MN、PS间的无电场区域后，进入固定在O点的点电荷Q形成的电场区域，(设界面PS右边点电荷的电场分布不受界面的影响)，已知两界面MN、PS相距为，D是中心线RO与界面PS的交点，粒子穿过界面PS后的运动过程中速率保持不变，最后打在放置于中心线上的荧光屏bc上E点。(E点未画出，静电力常数，粒子重力忽略不计) (1)求粒子到达PS界面时离D点多远？ (2)确定点电荷Q的电性并求其电荷量的大小。(结果保留三位有效数字) (3)求出粒子从进入平行板电场到E点运动的总时间。    【答案】(1)；(2)负电，；(3) 【详解】(1)粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离 水平方向有 联立代入数据得 带电粒子在进入无电场区后做匀速直线运动，其轨迹与PS线交于a，设a到D的距离为Y。由相似三角形得 解得 (2)由题意可知，该带电粒子在穿过界面PS后将绕点电荷Q做匀速圆周运动。所以Q带负电。带电粒子到达a处时，带电粒子的水平速度 竖直速度 合速度为 该带电粒子在穿过界面PS时速度与水平夹角为，则 由几何关系可得粒子圆周运动的半径 根据圆周运动 代入数据解得 (3)粒子在电场区运动时间 无电场区运动时间 在点电荷电场内运动时间 总时间 训练2．如图所示，xOy平面的第三象限内有水平放置的金属板M、N，板间为加速电场，两板间的电压为U，一电荷量为q、质量为m的带正电粒子从A点由静止开始加速，经B点进入第二象限内的辐向电场（大小未知，方向均指向O），沿着半径为R的圆弧虚线（等势线）运动，从C点进入第一象限。在第一象限区域内存在沿y轴负方向的匀强电场（大小未知），粒子从电场右边界离开电场后最终打在坐标为的D点，不同区域内的电场互不影响，不计粒子的重力。求： (1)粒子经过加速电场加速后到达B点时的速度大小； (2)圆弧虚线处电场强度的大小； (3)若，则该区域匀强电场场强大小为多大； (4)要使粒子打到D点，电场强度与宽度d之间应满足什么关系。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）带电粒子经加速电场加速后的速度为，由 得 （2）在偏转电场中，由粒子所受的电场力提供向心力 可知 （3）由题意可知，带电粒子在第一象限区域内做类平抛运动，设竖直方向上加速度为，运动时间为，第一象限电场强度为，带电粒子出电场时速度方向与水平方向的夹角为，水平方向上   竖直方向   则 且，则粒子从离开电场； 联立解得 （4）由于带电粒子从电场右边界离开电场 又 解得 训练3．(2021·浙江宁波·高二期末)如图所示，AC水平轨道上AB段光滑，BC段粗糙，且LBC=2m，CDF为竖直平面内半径为R=0.2m的光滑半圆轨道，两轨道相切于C点，CF右侧有电场强度E=1.5×103N/C的匀强电场，方向水平向右。一根轻质绝缘弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与带负电滑块P接触但不连接，弹簧原长时滑块在B点。现向左压缩弹簧后由静止释放，当滑块P运动到F点瞬间对轨道压力为2N。已知滑块P的质量为m=200g，电荷量为q=-1.0×10-3C，与轨道BC间的动摩擦因数为=0.2，忽略滑块P与轨道间电荷转移。 (1)求滑块从F点抛出后落点离C的距离： (2)求滑块到C点时对轨道的压力 (3)欲使滑块P沿光滑半圆轨道CDF运动时不脱离圆弧轨道，求弹簧释放弹性势能大小取值范围。 【答案】(1)；(2)；(3)， 【解析】 【分析】 【详解】 (1)C点时 得 根据 得 ， 得 (2)根据动能定理 得 求得 根据牛顿运动定律可知对轨道的压力为14N，方向竖直向下 (3)如图丙所示，由条件可得等效重力，设方向与竖直方向夹角为，则有： 可得： M、N两点分别为物理最高点和圆心等高点。 Ⅰ.要使小球P沿半圆轨道运动到M点时不与轨道分离，可得： 可得： 小球从压缩时到M点的过程中，由动能定理得： 联立可得： ⅠⅠ.小球在圆心等高点(N点)的最小速度为零，所以： 得 所以要使小球P沿光滑半圆轨道CDF运动时不脱离圆弧轨道 ， 课后作业 1.（多选）如图所示，一质量为m、电荷量为（）的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为，方向与电场方向的夹角为；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为，不计粒子重力。有关粒子从A点运动至B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．粒子的电势能先增加后减小 B．A、B两点间的电势差 C．A、B两点间的电势差 D．粒子在B点的动能是粒子在A点的动能的3倍 【答案】BD 【详解】A．粒子从A点运动至B点的过程中，电场力对粒子一直做正功，粒子的电势能一直减小，故A错误； BC．粒子在竖直方向做匀速直线运动，则有 解得粒子在B点的速度大小为 粒子从A点运动至B点的过程中，根据动能定理可得 解得A、B两点间的电势差为 故B正确，C错误； D．粒子在B点的动能与粒子在A点的动能之比为 故D正确。 故选BD。 2.（多选）如图所示，在真空中，水平面MN的下方存在竖直向下的匀强电场，质量为m的带电小球由MN上方的A点以一定初速度v0水平抛出，从B点进入电场，到达C点时速度方向恰好水平。已知A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2BC，重力加速度为g，则（　　） A．小球在电场中受到的电场力大小为3mg B．小球带负电 C．小球从A到B与从B到C的运动时间相等 D．小球从A到B与从B到C的速度变化量大小相等 【答案】ABD 【详解】C．从竖直方向上看，小球初速度为0，先匀加速后匀减速至速度再次为0，从水平方向上看，小球一直做匀速直线运动，因为AB=2BC，故小球在做平抛运动时的水平位移是小球在电场中运动时的水平位移的2倍，所以小球做平抛运动的时间是小球在电场中运动的时间的2倍，故C错误； A．小球在C点时速度方向恰好水平，根据公式v=at 知，小球在电场中的加速度大小是做平抛运动时的加速度大小的2倍，因为做平抛运动时的加速度大小为g，所以在电场中运动时的加速度大小为2g，方向竖直向上，所以有F电－mg=2mg 得电场力大小F电=3mg 故A正确； B．小球在竖直向下的电场中受向上的电场力，故小球带负电，故B正确； D．因为小球在A、C点的速度相同，所以小球从A到B与从B到C的速度变化量大小相等，方向相反，故D正确。 故选ABD。 3．(2022秋·江苏南京·高二南京市宁海中学校考期中)如图所示，在竖直放置的平行金属板A、B之间加有恒定电压U，A、B两板的中央留有小孔O1、O2，在B板的右侧有平行于极板的匀强电场E，电场范围足够大，足够大的感光板MN垂直于电场方向固定放置。第一次从小孔O1处由静止释放一个质子()，第二次从小孔O1处由静止释放一个α粒子()，关于这两个粒子的运动，下列判断正确的是(　　) A．一价氢离子和二价氦离子在O2处的速度大小之比为1∶2 B．一价氢离子和二价氦离子打到感光板上时的动能之比为1∶2 C．一价氢离子和二价氦离子在整个过程中运动的时间相等 D．一价氢离子和二价氦离子打到感光板上的位置不相同 【答案】B 【详解】A．设粒子在O2处的速度大小为v，对粒子在A、B之间的运动，根据动能定理有 解得 所以一价氢离子和二价氦离子在O2处的速度大小之比为 故A错误； B．根据动能定理可知，粒子打到感光板上的动能为 一价氢离子和二价氦离子在偏转电场中的竖直位移y相同，所以二者打到感光板上时的动能之比为 故B正确； C．粒子在加速电场中的加速度大小为 设A、B间距为d，则运动时间为 粒子在偏转电场中的加速度大小为 运动时间为 所以粒子在整个过程中运动的时间为 一价氢离子和二价氦离子在整个过程中运动的时间之比为 即运动时间不等，故C错误； D．粒子在偏转电场中的水平位移大小为 由上式可知x与粒子比荷无关，所以一价氢离子和二价氦离子打到感光板上的位置相同，故D错误。 故选B。 4．（多选）(2023春·陕西宝鸡·高一宝鸡中学校考阶段练习)1909年，美国物理学家密立根用如图所示的实验装置，通过研究平行金属板M、N间悬浮不动的带电油滴，比较准确地测定了电子的电荷量，因此获得1923年诺贝尔物理学奖．图中平行金属板M、N与输出电压恒为的电源两极相连，两金属板间的距离为，正对面积为S，现由显微镜观察发现，恰好有一质量为的带电油滴在两金属板正中央悬浮不动，已知静电力常量为，真空的介电常数，重力加速度为，则(  )    A．带电油滴的电荷量 B．金属板M所带电量 C．将金属板N突然下移，带电油滴获得向下的加速度 D．将金属板M突然下移，带电油滴的电势能增加为原来的倍 【答案】BC 【详解】A．带电油滴在平行板电容器中受重力和向上的电场力平衡，而匀强电场的方向向下，则油滴带负电，由平衡条件有 解得油滴的电荷量大小为 故A错误. B、平行板电容器的电量 而电容的大小 联立可得 而相对介电常数ε=1，则 故B正确. C．N板突然下移，电源一直接在电容器上，则电压U不变，电场力变小，为 则油滴的合外力向下，由牛顿第二定律 解得 方向向下，故C正确； D．电容器的M板接地为0V，设油滴的位置P点距离M板为，则 电势能为 则金属板M下移，P点的电势为 则 故D错误。 故选BC。 5．(2021·浙江·舟山中学高三阶段练习)如图所示，水平绝缘轨道和竖直放置半径为R的光滑绝缘半圆轨道在B点平滑连接，过半圆轨道圆心O的水平边界下方有场强为E的水平向左匀强电场，电场区域足够大。现有一质量为m、带正电的小滑块(可视为质点)从水平轨道上距离B点为的A点由静止释放，已知：滑块的电荷量，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)滑块从B点刚进入半圆轨道时的速度大小及滑块对轨道的压力大小； (2)滑块运动到D点时的速度大小； (3)滑块在轨道上运动的最大速度大小； (4)以B为原点，方向为正方向建立x坐标轴，滑块都从水平轨道上由静止释放，且不考虑滑块运动到D点之后的情况。要使滑块不脱离轨道，滑块释放的位置x应该满足什么条件？ 【答案】(1)，；(2)；(3)；(4)或 【解析】 【详解】 (1)设滑块从B点刚进入半圆轨道时的速度大小为vB，根据动能定理有    ① 解得      ② 设滑块在B点受到轨道的支持力大小为FN，根据牛顿第二定律有      ③ 联立②③解得      ④ 根据牛顿第三定律可知在B点滑块对轨道的压力大小为      ⑤ (2)设滑块运动到D点时的速度大小为vD，根据动能定理有      ⑥ 解得      ⑦ (3)滑块在电场力和重力的复合场中运动，设等效重力的方向与竖直方向的夹角为θ，则根据力的合成与分解有   ⑧ 解得 θ＝37°  ⑨ 当滑块运动到半圆轨道上的等效最低点P时速度达到最大值vm，易知PO与竖直方向的夹角为37°。对滑块从B到P的运动过程，根据动能定理有    ⑩ 解得  ⑪ (4)若滑块能够通过D点，则根据⑦式可知    ⑫ 说明滑块从A点释放后恰好能够通过D点，则滑块一定能通过D点所对应x的取值范围是    ⑬ 若滑块到达C点前速度减为零，则也不会脱离轨道。假设滑块到达C点时速度恰好为零，则    ⑭ 解得   ⑮ 所以滑块无法到达C点以上位置所对应x的取值范围是    ⑯ 综上所述，要使滑块不脱离轨道，滑块释放的位置x应该满足的条件是 或  ⑰ 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 带电粒子在匀强电场中的运动 一、带电粒子在电场中的直线运动 1.带电粒子的分类及受力特点 (1)电子、质子、α粒子、离子等基本粒子，一般都不考虑重力 . (2)质量较大的微粒，如带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力 . 2.分析带电粒子在静电力作用下加速运动问题的两个角度 动力学角度 功能关系角度 涉及知识 应用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式 功的公式及动能定理 选择条件 匀强电场，静电力是恒力 可以是匀强电场，也可以是非匀强电场，静电力可以是恒力，也可以是变力 3．带电粒子加速问题的处理方法： ①利用 分析．：初速度为零的带电粒子，经过电势差为U的电场加速后，qU＝mv2，则v＝. ②在匀强电场中也可利用牛顿定律结合运动学公式分析． 【例题1】如图所示，平行板电容器倾斜放置，与水平面夹角为。质量为m、电荷量为q的带正电微粒从上极板CD左侧C点进入电容器，沿水平直线运动到下极板的B点时速度恰好为0，重力加速度为g，极板长为L，极板间电场视为匀强电场，下列说法正确的是（　　） A．微粒在极板间做匀速运动 B．CD极板带正电荷 C．匀强电场的场强大小为 D．粒子进入电容器时的速度大小为 训练1．如图所示，一平行板电容器两极板间距离为d，极板间电势差为U，一个电子从O点沿垂直于极板的方向射入两极板间，最远到达A点，然后返回。已知OA两点相距为h，电子质量为m，电荷量为，重力不计。下列说法正确的是（　　） A．电子在O点的电势能高于在A点的电势能 B．电子返回到O点时的速度与从O点射入两极板间时的速度相同 C．电子从O点射出时的速度 D．OA间的电势差 训练2．如图，水平放置的金属薄板A、B间有匀强电场，已知B板带正电、A板带负电。电场强度，间距d=1.25m。A板上有一小孔，M恰好在孔的正上方，距离h=1.25m。从M处每隔相等时间间隔由静止释放一个质量的带电小球。第1个带电小球的电量，第n个带电小球的电量。取。求：(小球落至B板后不影响两板间的电场强度且不考虑小球之间的静电力作用及空气阻力) (1)第1个带电小球从M下落至B板的速度； (2)第几个带电小球将不能抵达B板；    训练3．如图所示，长为l的绝缘细线一端悬于O点，另一端系一质量为m=80g带电荷q=-2×10-4C的小球。现将此装置放在水平向右的匀强电场中，小球静止在A点，此时细线与竖直方向成37°角。重力加速度g取，，求： (1)求该匀强电场的电场强度E的大小； (2)若将细线剪断，小球由静止释放，经过t=2s电势能变化了多少； (3)现撤去电场，小球由静止释放，运动最低点时重力的功率多大。 二、带电粒子在匀强电场中的偏转 质量为m、带电量为q的基本粒子(忽略重力)，以初速度v0平行于两极板进入匀强电场，极板长为l，板间距离为d，板间电压为U. 1．运动性质 (1)沿初速度方向：速度为 的 运动． (2)垂直v0的方向上：初速度 ，加速度为a＝的匀加速直线运动． 2．运动规律 (1)偏移距离：因为t＝，a＝，所以偏移距离y＝at2＝. (2)偏转角度：因为vy＝at＝，所以tan θ＝＝. 3. 推论 (1)tanθ =2tanα.。 (2)粒于从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于沿初速度方向分位移的中点，即粒子好像从该中点处沿直线飞离电场一样. (3)不同的带电粒子、电性相同，不计重力，由静止开始先在同一电场中加速，又在同一电场中偏转，射出电场时粒子的偏移量和偏转角相同，与粒子的带电荷量和质量无关，即运动轨迹相同。 (4)若粒子以相同的初动能Ek进入同一个偏转电场，只要电荷量相同，不论质量是否相同，偏转距离y和偏转角θ均相同. 【例题3】如图所示，A、B和C、D为两平行金属极板，A、B两极板间电势差为U，C、D始终和一直流稳定电源相接，测得其间的场强为E，B极板中心有一小孔F。一质量为m、电荷量为q的带电粒子（重力不计）由静止开始，从A极板上经A、B加速后穿过F经C、D发生偏转，最后打在荧光屏上，轨迹如图所示。已知C、D极板长均为x，A和B、C和D均对齐，FO与C、D极板平行且到两极板距离相等，荧光屏距C、D右端的距离为L，求： (1)粒子出加速电场F点时的速度大小； (2)粒子离开偏转电场时的竖直偏移量y； (3)粒子打在荧光屏上时的动能。 训练1．如图为一个示波管工作原理示意图，初速为零的电子(质量为m，电量为-e)经加速电压U1加速后以一定的速度垂直射入两平行板间的匀强电场(称为偏转电场)，两板间的距离是d，电压为U2，板长为L1.平行板右端到荧光屏的水平距离是L2，求 (1)电子射出加速电场时速度的大小； (2)电子离开偏转电场时竖直方向位移的大小； (3)如果定义平行板间单位电压使电子在荧光屏上产生的偏移量(即)为示波管的灵敏度，请推导出灵敏度的表示式。 训练2．如图的装置放置在真空中，炽热的金属丝可以发射电子，金属丝和竖直金属板之间加以电压，发射出的电子被加速后，从金属板上的小孔S射出。装置右侧有两个相同的平行金属极板水平正对放置，板长为l，相距为d，两极板间加以电压的偏转电场。从小孔S射出的电子恰能沿平行于板面的方向由极板左端中间位置射入偏转电场。已知电子的电荷量e，质量为m，设电子刚离开金属丝时的速度为零，忽略金属极板边缘对电场的影响，不计电子受到的重力。求： (1)电子射入偏转电场时的动能； (2)电子射出偏转电场时在竖直方向上的侧移量y； (3)若要使电子能射出偏转电场，求大小的取值范围。 训练3．如图所示，A为粒子源，能放出初速度为零、质量为m、电荷量为e的质子，经过电压为U1的A、B间的电场加速后沿图中水平虚线进入两水平放置的平行板C、D之间。C、D两板间的电压为U2，板间的距离为d，板长为L，右侧有一距CD板右端水平距离也为L为荧光屏竖直放置，与虚线交于O点。不计质子的重力，则下列说法正确的是(　　) A．质子离开B板时的速度为 B．质子飞出C、D间电场时速度方向与水平方向夹角的正切值为 C．质子发送出C、D电场时在竖直方向上发生的位移为 D．质子打到荧光屏上的位置距荧光屏中心O的距离为 四 、带电粒子的综合问题 【例题4】在“质子疗法”中，质子先被加速到具有较高的能量，然后被引向轰击肿瘤，杀死细胞。如图所示，质量为m、电荷量为q的质子从极板A处由静止加速，通过极板中间的小孔以射出，然后从坐标系中的B点（0，d）平行于x坐标轴进入区域，该区域充满沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为，OP与x轴夹角。质子在电场中偏转垂直击中边界OP的C点（图中未标出）。取质子比荷为，，不计重力作用。求： （1）极板间的加速电压U； （2）B、C两点电势差UBC； （3）电场强度E的大小。 训练1．如图所示，两平行金属板A、B长，两板间距离，A板比B板电势高400V，一带正电的粒子电荷量，质量，沿两板中心线RO以初速度飞入平行金属板，粒子飞出平行板电场后经过界面MN、PS间的无电场区域后，进入固定在O点的点电荷Q形成的电场区域，(设界面PS右边点电荷的电场分布不受界面的影响)，已知两界面MN、PS相距为，D是中心线RO与界面PS的交点，粒子穿过界面PS后的运动过程中速率保持不变，最后打在放置于中心线上的荧光屏bc上E点。(E点未画出，静电力常数，粒子重力忽略不计) (1)求粒子到达PS界面时离D点多远？ (2)确定点电荷Q的电性并求其电荷量的大小。(结果保留三位有效数字) (3)求出粒子从进入平行板电场到E点运动的总时间。    训练2．如图所示，xOy平面的第三象限内有水平放置的金属板M、N，板间为加速电场，两板间的电压为U，一电荷量为q、质量为m的带正电粒子从A点由静止开始加速，经B点进入第二象限内的辐向电场（大小未知，方向均指向O），沿着半径为R的圆弧虚线（等势线）运动，从C点进入第一象限。在第一象限区域内存在沿y轴负方向的匀强电场（大小未知），粒子从电场右边界离开电场后最终打在坐标为的D点，不同区域内的电场互不影响，不计粒子的重力。求： (1)粒子经过加速电场加速后到达B点时的速度大小； (2)圆弧虚线处电场强度的大小； (3)若，则该区域匀强电场场强大小为多大； (4)要使粒子打到D点，电场强度与宽度d之间应满足什么关系。 训练3．如图所示，AC水平轨道上AB段光滑，BC段粗糙，且LBC=2m，CDF为竖直平面内半径为R=0.2m的光滑半圆轨道，两轨道相切于C点，CF右侧有电场强度E=1.5×103N/C的匀强电场，方向水平向右。一根轻质绝缘弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与带负电滑块P接触但不连接，弹簧原长时滑块在B点。现向左压缩弹簧后由静止释放，当滑块P运动到F点瞬间对轨道压力为2N。已知滑块P的质量为m=200g，电荷量为q=-1.0×10-3C，与轨道BC间的动摩擦因数为=0.2，忽略滑块P与轨道间电荷转移。 (1)求滑块从F点抛出后落点离C的距离： (2)求滑块到C点时对轨道的压力 (3)欲使滑块P沿光滑半圆轨道CDF运动时不脱离圆弧轨道，求弹簧释放弹性势能大小取值范围。 课后作业 1.（多选）如图所示，一质量为m、电荷量为（）的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为，方向与电场方向的夹角为；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为，不计粒子重力。有关粒子从A点运动至B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．粒子的电势能先增加后减小 B．A、B两点间的电势差 C．A、B两点间的电势差 D．粒子在B点的动能是粒子在A点的动能的3倍 2.（多选）如图所示，在真空中，水平面MN的下方存在竖直向下的匀强电场，质量为m的带电小球由MN上方的A点以一定初速度v0水平抛出，从B点进入电场，到达C点时速度方向恰好水平。已知A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2BC，重力加速度为g，则（　　） A．小球在电场中受到的电场力大小为3mg B．小球带负电 C．小球从A到B与从B到C的运动时间相等 D．小球从A到B与从B到C的速度变化量大小相等 3．如图所示，在竖直放置的平行金属板A、B之间加有恒定电压U，A、B两板的中央留有小孔O1、O2，在B板的右侧有平行于极板的匀强电场E，电场范围足够大，足够大的感光板MN垂直于电场方向固定放置。第一次从小孔O1处由静止释放一个质子()，第二次从小孔O1处由静止释放一个α粒子()，关于这两个粒子的运动，下列判断正确的是(　　) A．一价氢离子和二价氦离子在O2处的速度大小之比为1∶2 B．一价氢离子和二价氦离子打到感光板上时的动能之比为1∶2 C．一价氢离子和二价氦离子在整个过程中运动的时间相等 D．一价氢离子和二价氦离子打到感光板上的位置不相同 4．（多选）1909年，美国物理学家密立根用如图所示的实验装置，通过研究平行金属板M、N间悬浮不动的带电油滴，比较准确地测定了电子的电荷量，因此获得1923年诺贝尔物理学奖．图中平行金属板M、N与输出电压恒为的电源两极相连，两金属板间的距离为，正对面积为S，现由显微镜观察发现，恰好有一质量为的带电油滴在两金属板正中央悬浮不动，已知静电力常量为，真空的介电常数，重力加速度为，则(  ) A．带电油滴的电荷量 B．金属板M所带电量 C．将金属板N突然下移，带电油滴获得向下的加速度 D．将金属板M突然下移，带电油滴的电势能增加为原来的倍 5．如图所示，水平绝缘轨道和竖直放置半径为R的光滑绝缘半圆轨道在B点平滑连接，过半圆轨道圆心O的水平边界下方有场强为E的水平向左匀强电场，电场区域足够大。现有一质量为m、带正电的小滑块(可视为质点)从水平轨道上距离B点为的A点由静止释放，已知：滑块的电荷量，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)滑块从B点刚进入半圆轨道时的速度大小及滑块对轨道的压力大小； (2)滑块运动到D点时的速度大小； (3)滑块在轨道上运动的最大速度大小； (4)以B为原点，方向为正方向建立x坐标轴，滑块都从水平轨道上由静止释放，且不考虑滑块运动到D点之后的情况。要使滑块不脱离轨道，滑块释放的位置x应该满足什么条件？ 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $