重难专题01 二次函数（高效培优专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数核心模块，以题型为载体构建“概念-性质-方法-应用”逻辑链，通过图像分析、系数关联、表达式求解及实际建模培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像和性质|12题|含顶点式图像判断、与一次函数图像综合、单调性分析|从图像直观到性质应用，强化数形结合| |图像与a,b,c关系|10题|系数符号判断、对称轴与图像位置关联、方程根的判定|深化系数对图像的决定作用，培养推理意识| |待定系数法求表达式|10题|顶点式/交点式转化、含参数表达式求解|巩固表达式三种形式的灵活应用，提升运算能力| |实际应用|13题|面积最值、运动轨迹、利润问题等建模|从数学模型到现实问题，发展应用意识与数据观念|

专题01 二次函数 题型一 二次函数的图像和性质 题型二 二次函数的图像与a、b、c的关系 题型三 待定系数法求函数表达式 题型四 二次函数的实际应用 题型一：二次函数的图像和性质 1．关于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+4，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣2 C．顶点坐标是（2，4） D．x＞2时，y随x增大而增大 【答案】C 【分析】根据二次函数y＝﹣（x﹣2）2+4和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2+4，∴该函数图象开口向下，故选项A错误； 对称轴是直线x＝2，故选项B错误； 顶点坐标为（2，4），故选项C正确； 当x＞2时，y随x的增大而减小，故选项D错误． 故选：C． 2．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题． 【解答】解：联立二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a， 消去y得，ax2+a＝0， ∴Δ＝﹣4a2＜0，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令ax2+bx＝0， 解得：x1＝0，， ∴二次函数y＝ax2+bx与x轴的交点坐标为（0，0）或，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＞0，b＜0，一次函数图象经过一、三、四象限，则b＞0，﹣a＜0，即a＞0，b＞0，矛盾，故不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＞0，b＜0，一次函数图象经过二、三、四象限，则b＜0，﹣a＜0，即a＞0，b＜0，故正确，符合题意． 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，函数y1＝x2+ax+1与函数y2＝x2+bx+2的图象如图所示，若b是a，c的比例中项，则函数y＝x2cx+1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质，求出a的值及b2的取值范围，据此得出函数y＝x2cx+1的大致图象即可． 【解答】解：由题知， 因为函数y1的图象与x轴有且只有一个交点且对称轴在y轴左侧， 所以且a2﹣4＝0， 所以a＝2． 由函数y2的图象可知， 且b2﹣4×1×2＜0， 所以0＜b2＜8． 因为b是a，c的比例中项， 所以b2＝ac， 则0＜2c＜8， 所以0＜c＜4． 由y＝x2cx+1得， 该抛物线的对称轴为直线x0，Δ． 因为0＜c＜4， 所以， 所以该抛物的对称轴在y轴左侧，开口向上且与x轴没有交点， 所以只有D选项符合题意． 故选：D． 4．函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0 【答案】D 【分析】根据所给函数图象，对a，b的正负进行判断即可． 【解答】解：由所给函数图象可知， 当x＞0且无限大时，的值趋向于0， 而函数图象向右下方无限延申， 所以ax＜0， 则a＜0． 当x＞0且无限小时，ax的值趋向于0， 而函数的图象向下无限延申， 所以0， 所以b＜0， 综上所述，a＜0，b＜0． 故选：D． 5．若抛物线y＝﹣x2+2x+m的顶点在x轴上，则m的值是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【答案】D 【分析】抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与x轴的交点只有一个，因此根的判别式Δ＝0，可据此求出m的值． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x+m的顶点在x轴上， ∴b2﹣4ac＝0， 即22﹣4×（﹣1）•m＝0， 解得m＝﹣1． 故选：D． 6．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数y＝cx2+bx+a的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】原二次函数 y＝ax2+bx+c 的系数符号，抛物线开口向下，可得出 a＜0，对称轴 x0（在 y轴左侧），结合 a＜0 可得 b＜0，抛物线与 y轴交于负半轴，可得c＜0，与x轴的0个交点，所以Δ＝b2﹣4ac＜0；据此判断y＝cx2+bx+a的图象性质即可． 【解答】解：根据以上推导，函数 y＝cx2+bx+a 的图象应满足：开口向下，对称轴在 y轴左侧，与 y轴交于负半轴，与 x轴有0交点，对照选项，选项 D 符合全部特征． 故选：D． 7．已知抛物线y＝﹣x2+bx经过A（m，y1），B（﹣1，y2），当﹣1≤m≤3时，总有y1≥y2，则b的值不可能为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据抛物线性质得到b的取值范围，再判断选项即可，解题用到开口向下的二次函数函数值与点到对称轴距离的关系． 【解答】解：由条件可知抛物线开口向下，点到对称轴距离越近，函数值越大，抛物线对称轴为直线 ， 当﹣1≤m≤3 时总有 y1≥y2，都有 ， 整理得 m2﹣bm﹣b﹣1≤0，即（m+1）（m﹣b﹣1）≤0（﹣1≤m≤3）， 当（m+1）（m﹣b﹣1）＝0时，m1＝﹣1，m2＝b+1， ∴根据抛物线的性质可知，﹣1≤m≤b+1， ∵﹣1≤m≤3， ∴b+1≥3， 解得 b≥2， ∵选项中只有 1＜2 不满足条件， ∴b的值不可能为1． 故选：A． 8．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列说法正确的是（　　） A．b＝2 B．当x＜3时，y随x的增大而增大 C．c＜﹣5 D．当c＝﹣4时，抛物线的顶点坐标为（2，﹣8） 【答案】D 【分析】由二次函数对称轴公式即可判断A选项，由二次函数的性质即可判断B选项，由图象可得当x＝﹣1时，y＞0，即可判断C选项，当c＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4，结合二次函数的性质即可判断D选项． 【解答】解：由题意可得：， ∴b＝4，故A选项错误； ∵二次函数y＝x2﹣bx+c的图象开口向上，且对称轴为直线x＝2， ∴当x＞2时，y随x的增大而增大，故B选项错误； 由图象可得当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+c＞0， ∴c＞﹣5，故C选项错误； 当c＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，此时抛物线的顶点坐标为（2，﹣8），故D选项正确． 故选：D． 9．已知y1与y2是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数y＝y1﹣y2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，可得二次函数y＝y1﹣y2的解析式，再根据二次函数性质逐项分析判断即可． 【解答】解：设， ∴， 由条件可知a1＞0，a2＜0，c1＜0，c2＞0， ∴a1﹣a2＞0，c1﹣c2＜0，据此逐项分析判断如下： 二次函数的图象开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知：x＝0时，y1＜﹣1，0＜y2＜1，y＝y1﹣y2＜﹣1，选项C，不符合题意； x＝1时，y1与y2相交，即y1＝y2， ∴x＝1时，y＝0，即与x轴交点是（1，0），选项B，不符合题意； 故选：A． 10．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数图象上，且x1＞0，x2＞0，x1≠x2，请探究下列问题： （1）若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1与y2的大小关系为y1　＜　 y2（填“＞”，“＜”或“＝”）； （2）若方程y＝t有3个不同的实数根时，则实数t的取值范围为　0＜t＜1　 ． 【答案】（1）＜； （2）0＜t＜1． 【分析】（1）根据所给二次函数的解析式，结合二次函数的性质即可解决问题； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 因为点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数图象上，且x1＞0，x2＞0， 所以点A和点B都在函数y＝﹣x2+2x的图象上． 因为y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1， 所以该抛物线的对称轴为直线x＝1且开口向下， 所以抛物线上的点离对称轴越远，其纵坐标越小． 因为|x1﹣1|＞|x2﹣1|， 所以y1＜y2． 故答案为：＜； （2）函数的图象如图所示， 因为方程y＝t有3个不同的实数根， 即函数的图象与y＝t有3个不同的交点， 所以0＜t＜1． 故答案为：0＜t＜1． 11．对于三个实数a、b、c，定义max{a，b，c}为a、b、c中最大的数，例如：max{1，2，﹣1}＝2，max{2，1，1}＝2，请回答以下问题： （1）max{a2+2a+2，4a2﹣a+3，1}＝　4a2﹣a+3　 ； （2）若a2﹣4a+13＜max{a2，a2+1，9}，则a的取值范围是a＞3　 ． 【答案】（1）4a2﹣a+3； （2）a＞3． 【分析】（1）根据所给定义进行计算即可； （2）根据题意，利用分类讨论的数学思想得出关于a的不等式，据此进行求解即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为a2+2a+2＝（a+1）2+1≥1，4a2﹣a+3﹣（a2+2a+2）＝3a2﹣3a+1＝3（）2， 所以4a2﹣a+3＞a2+2a+2≥1， 所以max{a2+2a+2，4a2﹣a+3，1}＝4a2﹣a+3． 故答案为：4a2﹣a+3； （2）由题知， a2+1＞a2， 则当a2+1﹣9≥0，即a或x时， a2﹣4a+13＜a2+1， 解得a＞3， 所以a＞3； 当a2+1﹣9＜0，及时， a2﹣4a+13＜9， （a﹣2）2＜0， 此不等式无解， 综上所述，a的取值范围是a＞3． 故答案为：a＞3． 12．已知二次函数y＝ax2+2ax+a2+2（a≠0），若a＝2，当t﹣1≤x≤t（t＞0）时，8≤y≤n，当x＝x0时，总有y≥n，则实数x0的取值范围是　或　 ． 【答案】或． 【分析】根据题意，确定二次函数图象的开口，对称轴直线，根据自变量取值范围得到对应函数值的取值范围，，即对应点的坐标为，根据y≥n，函数图象的对称性即可求解． 【解答】解：由题意，∵a＝2， ∴二次函数为y＝2x2+4x+6＝2（x+1）2+4， ∴函数图象开口向上，对称轴且直线为线x＝﹣1， ∵t＞0， ∴t﹣1＞﹣1， ∴当x在t﹣1≤x≤t范围时，y随x的增大而增大；当x＝t﹣1时，得：y＝2（t﹣1+1）2+4＝2t2+4；当x＝t时，得：y＝2（t+1）2+4＝2t2+4t+6， ∵当t﹣1≤x≤t（t＞0）时，8≤y≤n， ∴当y＝8时，得：2t2+4＝8， ∴（负值舍去）， ∴， ∵当x＝x0时，总有y≥n；当x≥t时，y随x的增大而增大， ∴x0≥t，即， ∵点关于对称轴线x＝﹣1的对称点为， ∴当时，y≥n， 综上所述，实数x0的取值范围为或． 故答案为：或． 题型二：二次函数的图像与a、b、c的关系 1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴的交点坐标是（0，m），且2＜m＜3．有下列结论： ①abc＜0； ②9a+3b+c＞0； ③； ④关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有两个不相等的实数根． 其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断a，b，c的符号即可判断①；当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，即可判断②；根据b＝﹣2a，2＜c＜3，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得a的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④，即可求解． 【解答】解：已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴的交点坐标是（0，m），且2＜m＜3． 根据函数图象可得抛物线开口向下，则a＜0，对称轴为直线x＝1，则， ∴b＝﹣2a＞0， 又∵抛物线与y轴交点坐标是（0，m），即c＝m， ∵2＜m＜3，即c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，故②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），对称轴为直线x＝1， ∴另一个交点坐标为（﹣2，0）， ∵（﹣2，0），（4，0）在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上， ∴4a﹣2b+c＝0， 又∵b＝﹣2a， ∴4a+4a+c＝0， ∴8a+c＝0，即c＝﹣8a， ∵2＜m＜3，即2＜c＜3， ∴2＜﹣8a＜3， ∴，即， 当x＝1时，y取得最大值，最大值为a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a， ∴ymax＝﹣9a， ∴，故③正确； ∵ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0，b＝﹣2a，c＝﹣8a， 即ax2+（﹣2a﹣1）x﹣8a﹣2＝0， ∵Δ＝（﹣2a﹣1）2+4a（8a+2）＝36a2+12a+1， 对称轴为直线，当时，Δ的值随a的增大而减小， 又∵2＜﹣8a＜3， ∴， ∴当时，， ∴当时，Δ＞0恒成立，即ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有两个不相等实根，故④正确； 故选：D． 2．已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，则下列说法正确的是（　　） A．ab＝2c2+1 B．当y＝ab+2c时，y的最小值为﹣3 C．ab＝2c2﹣1 D．当y＝ab+2c时，y的最小值为1 【答案】B 【分析】由已知条件推导出ab关于c的表达式，再将y整理为关于c的二次函数，结合实数平方的非负性确定c的取值范围，最后根据二次函数的性质求y的最小值，判断各选项． 【解答】解：由条件可知a+b＝﹣c，a2+b2＝4﹣c2， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴（﹣c）2＝（4﹣c2）+2ab， 整理得c2＝4﹣c2+2ab，解得ab＝c2﹣2，因此选项A、C错误，不符合题意； 将ab＝c2﹣2代入y＝ab+2c，得y＝c2+2c﹣2＝（c+1）2﹣3， ∵a，b为实数， ∴（a﹣b）2≥0， 即（a+b）2﹣4ab≥0， 代入a+b＝﹣c，ab＝c2﹣2，得c2﹣4（c2﹣2）≥0， 整理得3c2≤8，即， ∴c＝﹣1满足该不等式，在c的取值范围内， ∵二次函数y＝（c+1）2﹣3开口向上，在顶点处取最小值， ∴当c＝﹣1时，y取得最小值﹣3，因此选项B正确，符合题意，，D错误，不符合题意； 故选：B． 3．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：∵a＜0， ∴抛物线的开口方向向下， 故第三个选项错误； ∵c＜0， ∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上， 故第一个选项错误； ∵a＜0、b＞0，对称轴为x0， ∴对称轴在y轴右侧， 故第四个选项错误． 故选：B． 4．如图是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象，则b，c的值可能为（　　） A．b＝﹣3，c＝4 B．b＝﹣3，c＝﹣4 C．b＝3，c＝﹣4 D．b＝3，c＝4 【答案】D 【分析】由抛物线与y轴交点位置、对称轴位置得到b＞0，c＞0，逐项分析即可得到答案． 【解答】解：如图所示： 由图象可知c＞0， 满足条件的是AD； ∵抛物线的对称轴， ∴b＞0， 满足条件的是D； 故选：D． 5．在同一坐标系中画出，，的图象，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的与a的关系求解． 【解答】解：∵﹣2＜02， ∴y2开口向下，y1、y3开口向上，且y3的开口较大， 故选：B． 6．若a＞0，b＜0，c≠0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a＞0，b＜0得到二次函数的图象开口向上，二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，即对称轴在y轴的右侧，根据c≠0得到二次函数的图象与y轴交点（0，c）不是原点，即可作出判断，得到答案． 【解答】解：∵a＞0，b＜0， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴的右侧， ∵c≠0， ∴二次函数的图象与y轴交点（0，c）不是原点， 故选：D． 7．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．下列结论：①4a﹣2b+c＝0；②方程ax2+bx+c＝2有两个相等的实数根；③5a+2c＞0；④若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上两点，则当|x1﹣1|＞|x2﹣1|时，y1＞y2．其中正确的有（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】由二次函数图象与性质得到与x轴的交点情况判断①；由图象法确定一元二次方程根的情况判断②；由二次函数图象与性质确定不等式符号判断③；由二次函数图象与性质，结合二次函数比较函数值大小的方法判断④即可得到答案． 【解答】解：①抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴4a﹣2b+c＝0， 故①正确，符合题意； ②方程ax2+bx+c＝2根的情况可以看作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝2的交点个数，如图所示： 由图可知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝2有两个不同的交点， ∴方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根， 故②错误，不符合题意； ③由抛物线的对称轴是直线x＝1可得，则b＝﹣2a， 由抛物线开口向下可知a＜0， 由①知4a﹣2b+c＝0，将b＝﹣2a代入可得8a+c＝0，则c＝﹣8a， ∴5a+2c＝5a+2×（﹣8a）＝5a﹣16a＝﹣11a＞0， 故③正确，符合题意； ④由抛物线开口向下可知a＜0，则抛物线上的点到对称轴x＝1的距离越近，函数值y越大， ∵（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上两点，两点到对称轴x＝1的距离满足|x1﹣1|＞|x2﹣1|， ∴y1＜y2， 故④错误，不符合题意； 综上所述，题中结论正确的是①③， 故选：C． 8．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点（3，0），二次函数图象对称轴为直线x＝1，给出五个结论：①b＞0；②当x＜1时，y随着x的增大而增大；③a﹣b+c＜0；④4a﹣2b+c＞0；⑤am2+bm﹣a﹣b≤0．其中正确结论是（　　） A．①②⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．②③④ 【答案】A 【分析】先根据二次函数图象的开口向下可得a＜0，再根据对称轴可得b的符号，由此可判断①；根据二次函数的对称轴可判断②；根据x＝﹣1，x＝﹣2，x＝1时，结合图形分别判断③④⑤． 【解答】解：由图象可知a＜0， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴b＝﹣2a＞0，故结论①正确，符合题意； 由函数图象可知，当x＜1时，y随着x的增大而增大；故结论②正确，符合题意； 图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为直线x＝1， ∴抛物线经过（﹣1，0）， ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故结论③错误，不符合题意； ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故结论④错误，不符合题意； 二次函数图象对称轴为直线x＝1， ∴y＝a+b+c是最大值， ∴am2+bm+c≤a+b+c， ∴am2+bm﹣a﹣b≤0，故结论⑤正确，符合题意； 故选：A． 9．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的交点以及二次函数的图象和一次函数的性质判断即可． 【解答】解：当x＝1时，y＝ax+b＝a+b，y＝ax2+bx＝a+b， ∴一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的交点的横坐标为1， 当y＝0时， y＝ax+b＝0，解得x， y＝ax2+bx＝x（ax+b），解得x＝0或x， ∴一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx图象在x轴上交于同一点（，0）， ∴D选项不可能； A、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、三象限，所以A选项正确； B、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第一、三、四象限，且所以B选项正确； C、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项正确； 故选：D． 10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0， ∵对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①正确，符合题意． ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故②正确，符合题意． ③当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a+2（﹣2a）+c＝c＜0， 故③错误． ④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＞0， 即3a+c＞0，故④正确，符合题意． ⑤当x＝1时，y＝a+b+c为最小值， 当x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴am2+bm+c≥a+b+c， 整理得：a+b≤m（am+b）， 故⑤正确，符合题意． ⑥从图象看当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，正确，符合题意． 故选：C． 题型三：待定系数法求函数表达式 1．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 3 … y … ﹣1 3 5 3 … 下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：（1）由图表中数据可得出：x＝1时，y＝5，所以二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x＝0时，y＝3，所以c＝3＞0，所以ac＜0，故（1）正确； （2）∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝1.5，∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误； （3）∵x＝3时，y＝3，∴9a+3b+c＝3，∵c＝3，∴9a+3b+3＝3，∴9a+3b＝0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故（3）正确； （4）∵x＝﹣1时，ax2+bx+c＝﹣1，∴x＝﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，∵x＝3时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确． 故选：C． 2．把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 【答案】B 【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2． 故选：B． 3．将二次函数y＝2x2﹣4x+6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝2（x+1）2+8 B．y＝2（x+1）2+4 C．y＝2（x﹣1）2+8 D．y＝2（x﹣1）2+4 【答案】D 【分析】利用配方法整理即可得解． 【解答】解：y＝2x2﹣4x+6 ＝2（x2﹣2x+1）+4 ＝2（x﹣1）2+4， 即y＝2（x﹣1）2+4． 故选：D． 4．写出一个顶点坐标为（﹣1，3）的二次函数解析式：y＝（x+1）2+3（答案不唯一）　 ． 【答案】y＝（x+1）2+3（答案不唯一）． 【分析】利用二次函数的顶点式写出解析式即可． 【解答】解：根据二次函数的顶点式特征可知：抛物线的顶点坐标为 （﹣1，3）， ∴二次函数的解析式可以为y＝（x+1）2+3． 故答案为 y＝（x+1）2+3（答案不唯一）． 5．已知二次函数y＝x2﹣6x+m的图象经过点P（1，5）． （1）求m的值； （2）将y＝x2﹣6x+m化成y＝a（x+b）2+k的形式． 【答案】（1）m＝10； （2）y＝（x﹣3）2+1． 【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，把x＝1，y＝5代入二次函数解析式，计算即可； （2）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式． 【解答】解：（1）二次函数y＝x2﹣6x+m的图象经过点P（1，5）， 则12﹣6×1+m＝5， 解得：m＝10； （2）y＝x2﹣6x+10 ＝x2﹣6x+9+1 ＝（x﹣3）2+1． 6．二次函数y＝﹣x2+bx+c可以写成y＝﹣（x﹣x1）（x﹣1）的形式，也可以写成y＝﹣（x﹣2）2+k的形式，其中b，c，x1，k为常数． （1）分别求b，c，x1，k的值； （2）该函数图象上有三个点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（5，y3），比较y1，y2，y3的大小． 【答案】（1）b＝4，c＝﹣3，x1＝3，k＝1； （2）y2＞y1＝y3． 【分析】（1）利用二次函数的三种形式，把顶点式和交点式展开后，即可得到b＝﹣（x1+1）＝4，c＝x1＝﹣4+k，解得b＝4，c＝﹣3，x1＝3，k＝1； （2）求得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性判断即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c可以写成y＝﹣（x﹣x1）（x﹣1）的形式，也可以写成y＝﹣（x﹣2）2+k的形式， ∵y＝﹣x2+bx+c＝﹣x2+（x1+1）x﹣x1＝﹣x2+4x﹣4+k， ∴b＝x1+1＝4，c＝﹣x1＝﹣4+k， ∴b＝4，c＝﹣3，x1＝3，k＝1； （2）∵b＝4，c＝﹣3， ∴y＝﹣x2+4x﹣3， ∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1， ∴图象开口向下，对称轴为直线x＝2， ∴当x＞2时，y随x的增大而减小， ∵点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（5，y3）在函数y＝﹣x2+4x﹣3的图象上， ∴点A（﹣1，y1），C（5，y3）关于直线x＝2对称， ∴y2＞y1＝y3． 7．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣4）（m为常数），已知函数图象的对称轴为直线x＝1，点P（x1，y1），Q（x2，y2）都在函数图象上x1＜x2． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标． （2）当x1≤0，始终有y2＜y1，直接写出x2的取值范围． （3）若点M（x3，y3）在一次函数y＝﹣x﹣1的图象上，过点M的直线l平行于x轴，且与二次函数的图象交于点P，Q，若x1＜x3＜x2，求x1+x2+x3的取值范围． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；顶点为（1，﹣4）； （2）0＜x2＜2； （3）1＜x1+x2+x3＜4． 【分析】（1）依据题意，可得y＝（x﹣m）（x﹣m﹣4）＝x2﹣（2m+4）x+（m2+4m），从而对称轴为直线，结合对称轴为直线x＝1，则m+2＝1，故m＝﹣1，从而y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，即可得解； （2）依据题意，由函数为y＝（x﹣1）2﹣4，则开口向上，对称轴为直线x＝1，结合当x1≤0时，要使得对任意x1≤0都有y2＜y1，故y2小于y1的最小值，又当x≤1时，y随x的增大而减小，且x1≤0，则当x1＝0时，y1取最小值，最小值为﹣3，可得y2＜﹣3，从而2x2﹣3＜﹣3，即x2（x2﹣2）＜0，进而可以得解； （3）依据题意，设直线l：y＝y3与抛物线交于P（x1，y3）、Q（x2，y3），由对称性可得，x1+x2＝2，由点M（x3，y3）在y＝﹣x﹣1上，可得y3＝﹣x3﹣1，结合，从而，则，又x1＜x3＜x2且x1＜x2，由x2＝2﹣x1，进而列出关系式计算可以得解． 【解答】解：（1）y＝（x﹣m）（x﹣m﹣4）＝x2﹣（2m+4）x+（m2+4m）， ∴对称轴为直线， 又∵对称轴为直线x＝1， ∴m+2＝1，得m＝﹣1． ∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点为（1，﹣4）； （2）由题意，∵函数为y＝（x﹣1）2﹣4， ∴开口向上，对称轴为直线x＝1． 当x1≤0时，要使得对任意x1≤0都有y2＜y1， ∴y2小于y1的最小值， ∵当x≤1时，y随x的增大而减小，且x1≤0， ∴当x1＝0时，y1取最小值，最小值为﹣3． ∴y2＜﹣3， ∴2x2﹣3＜﹣3，即x2（x2﹣2）＜0． ∴0＜x2＜2； （3）根据题意，直线l的方程为y＝y3， ∵P（x1，y1），Q（x2，y2）在直线l上， ∴y1＝y2＝y3， ∴点P、Q关于直线x＝1对称， ∴x1+x2＝2， ∵M（x3，y3）在一次函数y＝﹣x﹣1的图象上， ∴y3＝﹣x3﹣1， 又∵， ∴， 则， ∵x1+x2＝2， ∴x2＝2﹣x1， ∵x1＜x2， ∴x1＜2﹣x1， ∴x1＜1， ∵x1＜x3＜x2， ∴x3＞x1，x3＜x2， ∴，即， 解得：﹣1＜x1＜2， ∵x3＜x2， ∴， 即， 解得：x1＜0或x1＞3， ∴﹣1＜x1＜0， ∵， ∴﹣1＜x3＜2， ∵x1+x2＝2， ∴x1+x2+x3＝2+x3， ∵﹣1＜xy＜2， ∴1＜2+x3＜4， 即1＜x1+x2+x3＜4． 8．初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该小组对函数y＝|x2﹣1|的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． （1）①列表：下表是x，y的几组对应值，其中m＝　　 ，n＝　　 ； x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 3 0 m 1 n 0 3 … ②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（，m），（，n）； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． （2）请你观察图象，直接写出当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？　﹣1＜x＜0或x＞1　 ． （3）除了上述增减性，请你再写出两条该函数的图象特征或性质：①　函数图象是轴对称图形　 ；②　函数值y都是非负数　 ． （4）点（m，a）与（n，b）在函数图象上，且|n|＜|m|＜1，则a与b的大小关系是a＜b ． 【答案】（1）①，； ②补充点如图： ③用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整如图： （2）﹣1＜x＜0或x＞1； （3）①函数图象是轴对称图形；②函数值y都是非负数； （4）a＜b． 【分析】（1）①把代入解析式可得m的值，同理可得n的值；②根据m，n的值描点即可；③用平滑的曲线顺次连接各点即可画出图象； （2）由函数的图象即可得出答案； （3）观察函数图象，即可得到两条该函数的图象特征或性质； （4）由|n|＜|m|＜1可得1＞|n2﹣1|＞|m2﹣1|＞0，即可得出答案． 【解答】解：（1）①∵y＝|x2﹣1|， ∴当时，； 当时，； 故答案为：，； ②补充点如图： ③用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整如图： （2）由图象可知：当﹣1＜x＜0或x＞1时，y随x的增大而增大． 故答案为：﹣1＜x＜0或x＞1． （3）由函数图象可知：①函数图象是轴对称图形；②函数值y都是非负数． 故答案为：①函数图象是轴对称图形；②函数值y都是非负数． （4）∵|n|＜|m|＜1， ∴0＜n2＜m2＜1， ∴﹣1＜n2﹣1＜m2﹣1＜0， ∴1＞|n2﹣1|＞|m2﹣1|＞0， ∵点（m，a）与（n，b）在函数图象上， ∴a＝|m2﹣1|，b＝|n2﹣1|， ∴a＜b． 故答案为：a＜b． 9．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0）． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）当0≤x≤3时，求y的最大值； （3）M为抛物线上一点，若S△MAB＝12，求此时点M的坐标． 【答案】（1）（1，﹣9）； （2）﹣9≤y≤﹣5； （3）M坐标为或或或． 【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（4，0）代入y＝x2+bx+c求出b、c的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出取值范围； （3）求出AB＝6，设P（x，y），则，即可求解． 【解答】解：（1）把A（﹣2，0）、B（4，0）代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，顶点坐标为（1，﹣9）； （2）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣9）， ∴当x＝1时，函数有最小值﹣9， 当x＝0时，y＝﹣8； 当x＝3时，y＝9﹣6﹣8＝﹣5； ∴当0≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣5； （3）∵B（4，0），A（﹣2，0）， ∴AB＝4﹣（﹣2）＝6， 设P（x，y）， 则， 即， 解得y＝±4， 当（x﹣1）2﹣9＝﹣4时，此时 ， 当（x﹣1）2﹣9＝4时，此时， ∴M坐标为或或或． 10．规定：在平面直角坐标系中，横纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． （1）若点（a2+1，﹣2a）是完美点，则a＝　1　 ； （2）已知某“完美函数”的顶点在直线y＝x﹣2上，且与y轴的交点为（0.2），求该“完美函数”的表达式． 【答案】（1）1； （2）该“完美函数”的表达式为y＝3x2﹣6x+2． 【分析】（1）由定义可得a2+1+（﹣2a）＝0，求出a的值即可； （2）根据该“完美函数”的顶点在直线y＝x﹣2上可求出顶点为（1，﹣1），然后可设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，令x＝0，则y＝a﹣1，再根据该函数与y轴的交点为（0，2）求出a的值即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点（a2+1，﹣2a）是“完美点”， ∴a2+1+（﹣2a）＝0，即（a﹣1）2＝0， 解得：a＝1， 故答案为：1； （2）∵某“完美函数”的顶点在直线y＝x﹣2上， ∴设函数的顶点为（x，x﹣2）， ∵该函数为“完美函数”， ∴x+x﹣2＝0，解得x＝1， ∴该函数的顶点为（1，﹣1）， 设该“完美函数”的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣1，令x＝0，则y＝a﹣1＝2，解得a＝3， ∴该“完美函数”的表达式为y＝3（x﹣1）2﹣1＝3x2﹣6x+2． 题型四：二次函数的实际应用 1．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．都一样 【答案】C 【分析】先分别算出各种方案中图形的面积，再比较大小求解． 【解答】解：设围成的图形的面积为ym2， 方案一：设与墙相邻的边长为x米，则另一边为（12﹣2x）米， 由题意得：y＝x（12﹣2x）＝﹣2（x﹣3）2+18， 当x＝3时，y有最大值为18； 方案二：∴等腰三角形的腰为6米， 当顶角为直角时，面积最大，为：6×6＝18； 方案三：设圆的半径为r米，则：πr＝12， 解得：r， ∴yπ（）223， ∵23＞18， 故选：C． 2．在第十五届全运会女子10米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹近似看成抛物线的一部分，其身体重心相对于水面的竖直高度y（单位：m）与时间x（单位：s）之间的关系如表所示，下列结论正确的是（　　） x/s 0 0.3 0.6 0.9 1.5 1.8 … y/m 10 10.75 11.15 11.45 11.45 11.15 … A．运动员的重心相对水面的最大高度是11.45m B．运动轨迹路线的对称轴是直线x＝1.3 C．当x≤1.2s时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高 D．当x＝2.4s时，运动员入水 【答案】C 【分析】根据所给表格，结合二次函数的图象与性质进行判断即可． 【解答】解：由所给表格可知， 当x＝0.9和1.5时，y的值都是11.45， 所以抛物线的对称轴为直线x， 则当x＝1.2时，y取得最大值且这个最大值大于11.45， 所以AB选项不符合题意； 因为抛物线开口向下， 所以当x≤1.2s时，y随x的增大而增大， 即运动员的重心相对于水面的高度持续升高， 所以C选项符合题意； 由得， 当x＝2.4时，y的值也是10， 所以此时运动员身体的重心离水面10m，并没有入水， 所以D选项不符合题意． 故选：C． 3．如图1所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF、GH的总长为a米，且隔断EF、GH分别与矩形的两条邻边平行，设BC的长为x米，矩形ABCD的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形ABCD的最大面积为8平方米； ②y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+4x； ③当x＝4时，矩形ABCD的面积最大； ④a的值为12． 其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】观察图2，得出当x＝2时，函数值y＝4最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【解答】解：由图2可知，函数图象最高点为P（2，4），经过原点， 设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+4， 代入（0，0）， 解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x， 由此判断：矩形ABCD最大面积是4平方米，故①错误； 二次函数解析式为y＝﹣x2+4x，故②正确； 矩形ABCD面积最大时，x＝2，故③错误； D．当x＝2时，矩形ABCD面积取最大值y＝4， ∴AB＝4÷2＝2， ∴a＝（AB+BC）×3＝（2+2）×3＝12，故④正确． 故选：B． 4．校园科技节的手工展上，小明设计了一款抛物线形的趣味投篮架．已知篮球架的轮廓抛物线表达式为：y＝x2﹣4mx+2m2+3m+2（其中x为水平距离，y为高度，单位：米）．根据比赛规则，投篮架的顶点（即抛物线最高点）必须落在直线y＝x+1上，才能确保投篮轨迹与得分线完美契合．求满足条件的m的值为（　　） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 【答案】C 【分析】先通过配方求出抛物线的顶点坐标，再根据顶点在直线y＝x+1上，将顶点坐标代入直线方程得到关于m的一元二次方程，求解即可得到结果． 【解答】解：对抛物线解析式配方可得：y＝x2﹣4mx+2m2+3m+2＝（x﹣2m）2﹣2m2+3m+2， ∴抛物线的顶点坐标为（2m，﹣2m2+3m+2）， ∵顶点落在直线y＝x+1上， ∴将顶点坐标代入直线方程得： ﹣2m2+3m+2＝2m+1， 整理得 2m2﹣m﹣1＝0， 因式分解得 （m﹣1）（2m+1）＝0， 解得 m＝1或． 故选：C． 5．某校园科技节上，人形机器人进行立定跳远展示．如图，以起跳点为原点O，水平向前为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．机器人起跳后，脚掌的飞行轨迹可以用二次函数y＝﹣0.8x2+bx刻画，其中x（米）为机器人脚掌离起跳点的水平距离，y（米）为机器人脚掌距离地面的高度．已知机器人起跳后，脚掌离起跳点的水平距离为1米时，脚掌距离地面的高度为1.2米．下列说法正确的是（　　） A．机器人此次跳远的成绩为2米 B．机器人脚掌离起跳点的水平距离大于1.2米时，脚掌距离地面的高度越来越低 C．若在起跳点前方1.5米处有一高1.3米的障碍物，机器人可以成功越过障碍物 D．机器人脚掌距离地面的高度为0.8米时，脚掌离起跳点的水平距离为0.5米或2米 【答案】D 【分析】根据已知条件求出函数解析式，再逐项判断． 【解答】解：根据题意，把（1，1.2）代入y＝﹣0.8x2+bx得： 1.2＝﹣0.8+b， 解得b＝2， ∴函数解析式为y＝﹣0.8x2+2x， 令y＝0，则﹣0.8x2+2x＝0， 解得x＝0或x＝2.5， ∴机器人此次跳远的成绩为2.5米，故A错误； y＝﹣0.8x2+2x＝﹣0.8（x﹣1.25）2+1.25， ∴抛物线对称轴为直线x＝1.25， ∵﹣0.8＜0， ∴当0＜x＜1.25时，y随x的增大而增大；当1.25＜x＜2.5时，y随x的增大而减小，故B错误； 当x＝1.5时，y＝﹣0.8×1.52+2×1.5＝﹣1.8+3＝1.2， ∵1.2＜1.3， ∴机器人不能越过障碍物，故C错误； 当y＝0.8时，﹣0.8x2+2x＝0.8， 解得x1＝0.5，x2＝2， ∴机器人脚掌距离地面的高度为0.8米时，脚掌离起跳点的水平距离为0.5米或2米，故D正确． 故选：D． 6．小明从离地面高度为1.5m的点A处向斜上方抛出弹力球，弹力球在点B处第一次着地后弹起，点C处是第二次着地点．分析弹力球从被抛出至第二次着地的过程，其运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，如图所示放置在平面直角坐标系中，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+2，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．有下列结论： ①a＝﹣1； ②在B处着地后弹起的最大高度为0.5m； ③弹力球第二次着地点C距第一次抛出点的水平距离OC是5m． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】把点A坐标代入y＝a（x﹣1）2+2即可求出a，从而判断①；根据①着地前抛物线的最大值可以求出在B处着地后弹起抛物线的最大值，从而判断②；求出点B坐标，再求出弹起后抛物线的解析式，再求出点C坐标即可判断③． 【解答】解：把点A（0，1.5）代入抛物线y＝a（x﹣1）2+2得：1.5＝a（0﹣1）2+2， 解得a＝﹣0.5，故①错误； 由抛物线解析式可知，第一次着地前抛物线最大高度为2m， ∵在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的， ∴在B处着地后弹起的最大高度为：20.5（m），故②正确； 由①知，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为y＝﹣0.5（x﹣1）2+2， 令y＝0，则﹣0.5（x﹣1）2+2＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1（舍去）， ∴B（3，0）， ∵在B处着地后弹起的抛物线与原抛物线形状相同，且最大高度为0.5， ∴设在B处着地后弹起的抛物线解析式为y＝﹣0.5（x﹣h）2+0.5， 把B（3，0）代入解析式得：﹣0.5（3﹣h）2+0.5＝0， 解得h＝4或h＝2（舍去，因为在点B右侧，h＞3）， ∴在B处着地后弹起的抛物线解析式为y＝﹣0.5（x﹣4）2+0.5， 令y＝0，则﹣0.5（x﹣4）2+0.5＝0， 解得x＝5或x＝3， ∴C（5，0）， ∴OC＝5m，故③正确； 故选：C． 7．赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度ym与到点O的水平距离xm近似满足函数关系y＝﹣0.01x2+0.6x．据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m．有下列结论： ①水面宽度OA＝60m； ②拱桥的最大高度是9m； ③若每条龙舟赛道宽度为9m，最多可设计龙舟赛道4条． 其中，正确结论的个数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】令y＝0，求出x的值，可判断①正确，把解析式化为顶点式，可判定②正确，令y＝5，求出x的值，可得水面的安全距离为40m，可得设计龙舟赛道数为，即可判定③正确；综上即可得答案． 【解答】解：由题意可得：当y＝0时，﹣0.01x2+0.6x＝0， 解得：x1＝0，x2＝60， ∴水面宽度OA＝60m，故①正确； ∵y＝﹣0.01x2+0.6x＝﹣0.01（x﹣30）2+9， ∴拱桥的最大高度是9m，故②正确； ∵龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m， ∴通过拱桥时龙舟最高处到水面至少5m， 当y＝5时，﹣0.01x2+0.6x＝5， 解得：x1＝10，x2＝50， ∴水面的安全距离为50﹣10＝40m， ∵每条龙舟赛道宽度为9m， ∴可设计龙舟赛道数为（个）， ∴最多可设计龙舟赛道4条，故③正确． 故选：D． 8．如图，小明的爸爸用一段长20m的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为12m）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为1m的门（由其他材料制成）．已知矩形的宽DC为x米，当矩形面积S最大时，则矩形的长BC为（　　） A．9.5m B．10m C．10.5m D．11m 【答案】C 【分析】设矩形场地垂直于墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（20﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式构建S关于x的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可． 【解答】解：小明的爸爸用一段长20m的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为12m）的矩形鸭舍， 设矩形场地垂直于墙一边长为xm， S＝x（20﹣2x+1） ＝﹣2x2+21x ＝﹣2（x﹣5.25）2+55.125， ∵﹣2＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x＝5.25时，S最大， 此时BC＝20﹣2×5.25+1＝10.5m． 故选：C． 9．用一根长为20cm的细绳围成一个长方形，这个长方形的一边的长为xcm，它的面积为ycm2． （1）写出y与x之间的关系式，并列表表示当x的值从1变到9时（每次增加1），y的相应值； （2）你认为怎样的围法，能得到面积最大的长方形？请说明你的理由； （3）估计一下，当围成的长方形的面积是20cm2时，x的值应介于哪两个相邻整数之间？ 【答案】（1）y＝10x﹣x2；x是自变量；0＜x＜10； x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 9 16 21 24 25 24 21 16 9 （2）x为5时，y的值最大，最大值为25cm2； （3）x的值应在2～3之间或7～8之间． 【分析】（1）根据周长的等量关系可得长方形的另一边为10﹣x，那么面积＝x•（10﹣x），自变量是x，取值范围是0＜x＜10；把相关x的值代入函数解析式求值即可； （2）根据表格可得x为5时，y的值最大； （3）观察表格16＜y＜21时，对应的x的取值范围即为所求． 【解答】解：（1）∵长方形的一边的长为xcm，∴长方形的另一边为（20÷2﹣x） cm， ∴y＝（20÷2﹣x）•x ＝（10﹣x）•x ＝10x﹣x2， ∴y＝10x﹣x2， x是自变量，0＜x＜10； 把x的值代入函数解析式可得， 当x从1变到9时（每次增加1），y的相应值列表如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 9 16 21 24 25 24 21 16 9 （2）从上面的表格中，可以看出的规律：①当x逐渐增大时，y的值先由小变大，后又由大变小；②y的值在由小变大的过程中，变大的速度越来越慢，反过来，y的值在由大变小的过程中，变小的速度越来越块；③当x取5等距离的两数时，得到的两个y值相等； ∴当长方形的长与宽相等即x为5时，y的值最大，最大值为25cm2； （3）由表格可知，当围成的长方形的面积是20cm2时， 10．投壶是古代宴饮游戏．如图，建立平面直角坐标系（单位长度1m），箭从点A（0，1.5）处抛出，飞行轨迹为抛物线的一部分，当箭达到最大高度2m时，水平距离为1m．壶口看作矩形DEFG，GF＝0.2m，EF＝0.72m． （1）求抛物线表达式． （2）若箭恰好从点G（壶口左上角）擦边进入壶中，求人离壶的水平距离OE． （3）在（2）条件下，若只改变抛出点的高度，要使得箭仍能投入壶中（仍从G点擦边），求OA的取值范围． 【答案】（1）yx2﹣x； （2）2.4米； （3）1.2m≤OA≤1.5m． 【分析】（1）由题可知抛物线的顶点为（﹣1，2），则y＝a（x+1）2+2，将点A（0，1.5）代入，即可求函数的解析式即可； （2）令x2﹣x0.72，求出x＝﹣2.6，则OE＝2.6﹣0.2＝2.4（米）； （3）设点A调整的高度为m米，则调整后的抛物线解析式为y＝﹣0.5x2﹣x+1.5+m，将点F和点G分别代入解析式，求出临界的m值，即可得解． 【解答】解：（1）∵箭的最大高度为2m时，距离投出点的水平距离为1m， ∴抛物线的顶点为（﹣1，2）， ∴y＝a（x+1）2+2， ∵抛物线经过点A（0，1.5）， ∴a+2＝1.5， 解得a， ∴抛物线表达式为y（x﹣1）2+2x2﹣x； （2）令x2﹣x0.72， 解得x＝﹣2.6或x＝0.6（舍）， ∴OE＝2.6﹣0.2＝2.4（米）， ∴人离壶的距离OE为2.4米； （3）设点A调整的高度为m米， 则调整后的抛物线解析式为y＝﹣0.5x2﹣x+1.5+m， 由（2）可知，G（﹣2.6，0.72），F（﹣2.4，0.72）， 当抛物线经过点F时，﹣0.5×（﹣2.4）2﹣（﹣2.4）+1.5+m＝0.72， 解得m＝﹣0.3，此时点A向下调整0.3米， 当抛物线经过点G时，﹣0.5×（﹣2.6）2﹣（﹣2.6）+1.5+m＝0.72， 解得m＝0，此时点A无需调整， ∵A（0，1.5）， ∴OA＝1.5米， ∴调整后的OA的取值范围1.2≤OA≤1.5． 44．重庆解放碑英利大融城举办自在碳水节，某烘焙摊位售卖黄油吐司与全麦贝果两种爆款碳水点心．据了解，3个黄油吐司与2个全麦贝果的售价总和为86元；2个黄油吐司与5个全麦贝果的售价总和为116元． （1）求一个黄油吐司和一个全麦贝果的售价分别是多少元？ （2）该摊位计划主推黄油吐司，黄油吐司的成本为12元/个，当以原售价销售时，每日可售180个．为了提高利润，决定涨价销售，经过市场调研发现，售价每上涨1元/个，每日销量就减少10个．设每个黄油吐司现售价为a元，该商家每日销售黄油吐司获得的利润为W元．当一个黄油吐司的现售价定为多少元时，商家每日销售黄油吐司获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）一个黄油吐司的售价是18元，一个全麦贝果的售价是16元； （2）：当一个黄油吐司的现售价定为24元时，商家每日销售黄油吐司获得的利润最大，最大利润是1440元． 【分析】（1）设一个黄油吐司的售价为x元，一个全麦贝果的售价为y元，根据“3个黄油吐司与2个全麦贝果的售价总和为86元；2个黄油吐司与5个全麦贝果的售价总和为116元”，列出方程组，解方程组即可； （2）根据总利润＝单个黄油吐司的利润×每日销量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【解答】解：（1）设一个黄油吐司的售价为x元，一个全麦贝果的售价为y元， 由题意，列方程组得， 解得， 答：一个黄油吐司的售价是18元，一个全麦贝果的售价是16元； （2）由题意得：W＝（a﹣12）[180﹣10（a﹣18）] ＝（a﹣12）（360﹣10a） ＝﹣10a2+480a﹣4320 ＝﹣10（a﹣24）2+1440， ∵a＝﹣10＜0， ∴二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值， ∴当a ＝24时，W有最大值，最大值为1440． 答：当一个黄油吐司的现售价定为24元时，商家每日销售黄油吐司获得的利润最大，最大利润是1440元． 45．综合与实践 【实践背景】某游乐园计划新建一个小型过山车项目．过山车的轨道由多段抛物线组成，保证车厢在重力作用下平稳运行．如图1，某段轨道的起点站台A和终点站台C等高，均垂直于地面基座BD，以点B为坐标原点，BD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系．经设计，该段轨道的纵向截面轮廓符合抛物线（0≤x≤8），其中y表示轨道上某点离地面基座的高度（单位：米）．数学实践小组围绕过山车的设计参数测算、轨道改造与安全优化开展探究活动，请你参与并完成下列任务． 【实践任务一】轨道最低点安全高度测算 过山车轨道的最低点不能过低，否则会影响下方通道的安全．请你求出该段轨道最低点离地面的距离，并验证其是否满足“轨道下方最低安全高度不低于1.8米”的设计要求． 【实践任务二】轨道分段改造设计 为增加过山车的趣味性，工程师决定在与起点站台AB相距3米的位置增设一根垂直于地面的支撑杆EF（如图2），将原轨道截断并重新连接，形成左右两段独立的抛物线轨道G1和G2．设计规范要求：左边抛物线轨道G1的最低点与支撑杆EF相距1米，且离地面高度为2米．请求出支撑杆EF的高度． 【实践任务三】轨道位置的调整与优化 为提升过山车的刺激程度，现将支撑杆EF的高度提升为4米，并调整其在基座上的水平位置．已知调整后右边抛物线轨道G2的二次项系数始终为，设EF与AB的距离为n米，为保证运行安全，要求抛物线轨道G2上所有点离地面的高度都不低于2米．求n的最小值． 【答案】【实践任务一】该段轨道最低点离地面的距离2m；该段轨道满足“轨道下方最低安全高度不低于1.8米”的设计要求； 【实践任务二】支撑杆EF的高度为2.5米； 【实践任务三】4． 【分析】【实践任务一】依据题意，由二次函数为，则，结合，可得抛物线开口向上，故当x＝4时，y取最小值为2，又2＞1.8，从而该段轨道满足“轨道下方最低安全高度不低于1.8米”的设计要求，即可得解； 【实践任务二】依据题意，得G1的顶点坐标为（2，2），设抛物线G1的表达式为y＝a（x﹣2）2+2，易得点A（0，4），将（0，4）代入，得4＝a（0﹣2）2+2，从而，则G1的表达式为，故当x＝3时，，进而可以得解； 【实践任务三】依据题意，得点E（n，4），C（8，4），又抛物线G2过点E，C，则G2的对称轴为直线，设G2的表达式为，结合抛物线开口向上，故要使G2上所有点离地面高度都不低于2米，只需k≥2，又将点C（8，4）代入，得，则，进而计算可以得解． 【解答】解：【实践任务一】由题意，∵二次函数为， ∴． ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当x＝4时，y取最小值为2． ∵2＞1.8， ∴该段轨道满足“轨道下方最低安全高度不低于1.8米”的设计要求； 【实践任务二】由题意，得G1的顶点坐标为（2，2）， 设抛物线G1的表达式为y＝a（x﹣2）2+2， 易得点A（0，4），将（0，4）代入，得4＝a（0﹣2）2+2， ∴， ∴G1的表达式为． 当x＝3时，， ∴支撑杆EF的高度为2.5米； 【实践任务三】由题意，得点E（n，4），C（8，4）， ∵抛物线G2过点E，C， ∴G2的对称轴为直线． 设G2的表达式为， ∵抛物线开口向上， ∴要使G2上所有点离地面高度都不低于2米，只需k≥2． 将点C（8，4）代入，得， ∴． ∴4≤n≤12． ∵0＜n＜8， ∴4≤n＜8， ∴n的最小值为4． 46．综合与实践 【问题情境】 小明热爱数学与建筑，梦想长大后成为一名建筑设计师．他想以抛物线为创作灵感，运用绘图软件设计一个造型别致又富有数学美感的创意建筑——山岚之眼（图1）．请你帮他一起设计，解决相关问题． 【建立模型】 整座建筑分为上下两部分，上部是一条抛物线的造型l1，其最高点A到水平地面的距离为6.8m，左右两端B，C两点到水平地面的距离均为1.8m，且两点相距20m． 如图2，以水平地面所在直线为x轴，垂直于水平地面且经过左端B点的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求建筑上部抛物线造型l1对应的函数表达式； 【问题解决】 （2）将建筑上部的抛物线造型l1沿直线BC折叠得到一条新的抛物线l2，其与水平地面交于D，E两点（点D在点E的左侧）．抛物线l2在水平地面之上的部分与线段DE共同组成了建筑的下部． ①求线段DE的长； ②小明带着这份设计方案虚心请教了相关老师，老师建议增设两根竖直的圆柱形装饰杆MN，GH（MN在GH的左侧），其中点M，G在建筑的上部，点N，H在建筑的下部．小明只记得两根装饰杆的高度均为1.9m，却忘记了它们的具体位置，请你直接写出点N，H的坐标． 【答案】（1）y＝﹣0.05x2+x+1.8（0≤x≤20）； （2）①线段DE的长为16m；②N（1，0.85），H（19，0.85）． 【分析】（1）待定系数法求出抛物线l1的解析式即可； （2）①先求出抛物线l2的解析式为：y＝0.05（x﹣10）2﹣3.2＝0.05x2﹣x+1.8，然后求出D（2，0），E（18，0），再求出DE的长度即可； ②先判断圆柱形装饰杆应该安装在点D的左边，点E的右侧，然后根据函数解析式得出﹣0.05x2+x+1.8﹣（0.05x2﹣x+1.8）＝1.9，求出x的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）最高点A到水平地面的距离为6.8m，左右两端B，C两点到水平地面的距离均为1.8m，且两点相距20m．则： 根据题意得：A（10，6.8），B（0，1.8），C（20，1.8）， 设抛物线l1的解析式为：y＝a（x﹣10）2+6.8，把B（0，1.8）代入得： 1.8＝a（0﹣10）2+6.8， 解得：a＝﹣0.05， ∴抛物线l1的解析式为： y＝﹣0.05（x﹣10）2+6.8＝﹣0.05x2+x+1.8（0≤x≤20）； （2）①根据题意得：抛物线l2的顶点坐标为：（10，﹣3.2）， 设抛物线l2的解析式为：y＝a′（x﹣10）2﹣3.2，把B（0，1.8）代入得： a′＝0.05， ∴抛物线l2的解析式为： y＝0.05（x﹣10）2﹣3.2＝0.05x2﹣x+1.8， 把y＝0代入得：0.05x2﹣x+1.8＝0， 解得：x1＝2，x2＝18， ∵点D在点E的左侧， ∴D（2，0），E（18，0）， ∴DE＝18﹣2＝16（m）； ②增设两根竖直的圆柱形装饰杆MN，GH（MN在GH的左侧），其中点M，G在建筑的上部，点N，H在建筑的下部． 把x＝2代入y＝﹣0.05x2+x+1.8得：y＝3.6， ∵3.6＞1.9， ∴圆柱形装饰杆应该安装在点D的左边，点E的右侧， ∴﹣0.05x2+x+1.8﹣（0.05x2﹣x+1.8）＝1.9， 解得：x1＝1，x2＝19， 把x＝1代入y＝0.05x2﹣x+1.8得：y＝0.85， 把x＝19代入y＝0.05x2﹣x+1.8得：y＝0.85， ∴N（1，0.85），H（19，0.85）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数 题型一 二次函数的图像和性质 题型二 二次函数的图像与a、b、c的关系 题型三 待定系数法求函数表达式 题型四 二次函数的实际应用 题型一：二次函数的图像和性质 1．关于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+4，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣2 C．顶点坐标是（2，4） D．x＞2时，y随x增大而增大 2．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，函数y1＝x2+ax+1与函数y2＝x2+bx+2的图象如图所示，若b是a，c的比例中项，则函数y＝x2cx+1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 4．函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0 5．若抛物线y＝﹣x2+2x+m的顶点在x轴上，则m的值是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 6．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数y＝cx2+bx+a的图象可能为（　　） A． B． C． D． 7．已知抛物线y＝﹣x2+bx经过A（m，y1），B（﹣1，y2），当﹣1≤m≤3时，总有y1≥y2，则b的值不可能为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列说法正确的是（　　） A．b＝2 B．当x＜3时，y随x的增大而增大 C．c＜﹣5 D．当c＝﹣4时，抛物线的顶点坐标为（2，﹣8） 9．已知y1与y2是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数y＝y1﹣y2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数图象上，且x1＞0，x2＞0，x1≠x2，请探究下列问题： （1）若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1与y2的大小关系为y1　 　 y2（填“＞”，“＜”或“＝”）； （2）若方程y＝t有3个不同的实数根时，则实数t的取值范围为　 　 ． 11．对于三个实数a、b、c，定义max{a，b，c}为a、b、c中最大的数，例如：max{1，2，﹣1}＝2，max{2，1，1}＝2，请回答以下问题： （1）max{a2+2a+2，4a2﹣a+3，1}＝　 　 ； （2）若a2﹣4a+13＜max{a2，a2+1，9}，则a的取值范围是　 　 ． 12．已知二次函数y＝ax2+2ax+a2+2（a≠0），若a＝2，当t﹣1≤x≤t（t＞0）时，8≤y≤n，当x＝x0时，总有y≥n，则实数x0的取值范围是　 　 ． 题型二：二次函数的图像与a、b、c的关系 1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴的交点坐标是（0，m），且2＜m＜3．有下列结论： ①abc＜0； ②9a+3b+c＞0； ③； ④关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有两个不相等的实数根． 其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，则下列说法正确的是（　　） A．ab＝2c2+1 B．当y＝ab+2c时，y的最小值为﹣3 C．ab＝2c2﹣1 D．当y＝ab+2c时，y的最小值为1 3．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 4．如图是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象，则b，c的值可能为（　　） A．b＝﹣3，c＝4 B．b＝﹣3，c＝﹣4 C．b＝3，c＝﹣4 D．b＝3，c＝4 5．在同一坐标系中画出，，的图象，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．若a＞0，b＜0，c≠0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．下列结论：①4a﹣2b+c＝0；②方程ax2+bx+c＝2有两个相等的实数根；③5a+2c＞0；④若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上两点，则当|x1﹣1|＞|x2﹣1|时，y1＞y2．其中正确的有（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 8．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点（3，0），二次函数图象对称轴为直线x＝1，给出五个结论：①b＞0；②当x＜1时，y随着x的增大而增大；③a﹣b+c＜0；④4a﹣2b+c＞0；⑤am2+bm﹣a﹣b≤0．其中正确结论是（　　） A．①②⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．②③④ 9．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象不可能是（　　） A． B． C． D． 10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 题型三：待定系数法求函数表达式 1．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 3 … y … ﹣1 3 5 3 … 下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 3．将二次函数y＝2x2﹣4x+6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝2（x+1）2+8 B．y＝2（x+1）2+4 C．y＝2（x﹣1）2+8 D．y＝2（x﹣1）2+4 4．写出一个顶点坐标为（﹣1，3）的二次函数解析式：　 　 ． 5．已知二次函数y＝x2﹣6x+m的图象经过点P（1，5）． （1）求m的值； （2）将y＝x2﹣6x+m化成y＝a（x+b）2+k的形式． 6．二次函数y＝﹣x2+bx+c可以写成y＝﹣（x﹣x1）（x﹣1）的形式，也可以写成y＝﹣（x﹣2）2+k的形式，其中b，c，x1，k为常数． （1）分别求b，c，x1，k的值； （2）该函数图象上有三个点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（5，y3），比较y1，y2，y3的大小． 7．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣4）（m为常数），已知函数图象的对称轴为直线x＝1，点P（x1，y1），Q（x2，y2）都在函数图象上x1＜x2． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标． （2）当x1≤0，始终有y2＜y1，直接写出x2的取值范围． （3）若点M（x3，y3）在一次函数y＝﹣x﹣1的图象上，过点M的直线l平行于x轴，且与二次函数的图象交于点P，Q，若x1＜x3＜x2，求x1+x2+x3的取值范围． 8．初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该小组对函数y＝|x2﹣1|的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． （1）①列表：下表是x，y的几组对应值，其中m＝　 　 ，n＝　 　 ； x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 3 0 m 1 n 0 3 … ②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（，m），（，n）； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． （2）请你观察图象，直接写出当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？　 　 ． （3）除了上述增减性，请你再写出两条该函数的图象特征或性质：①　 　 ；②　 　 ． （4）点（m，a）与（n，b）在函数图象上，且|n|＜|m|＜1，则a与b的大小关系是　 　 ． 9．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0）． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）当0≤x≤3时，求y的最大值； （3）M为抛物线上一点，若S△MAB＝12，求此时点M的坐标． 10．规定：在平面直角坐标系中，横纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． （1）若点（a2+1，﹣2a）是完美点，则a＝　 　 ； （2）已知某“完美函数”的顶点在直线y＝x﹣2上，且与y轴的交点为（0.2），求该“完美函数”的表达式． 题型四：二次函数的实际应用 1．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．都一样 2．在第十五届全运会女子10米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹近似看成抛物线的一部分，其身体重心相对于水面的竖直高度y（单位：m）与时间x（单位：s）之间的关系如表所示，下列结论正确的是（　　） x/s 0 0.3 0.6 0.9 1.5 1.8 … y/m 10 10.75 11.15 11.45 11.45 11.15 … A．运动员的重心相对水面的最大高度是11.45m B．运动轨迹路线的对称轴是直线x＝1.3 C．当x≤1.2s时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高 D．当x＝2.4s时，运动员入水 3．如图1所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF、GH的总长为a米，且隔断EF、GH分别与矩形的两条邻边平行，设BC的长为x米，矩形ABCD的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形ABCD的最大面积为8平方米； ②y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+4x； ③当x＝4时，矩形ABCD的面积最大； ④a的值为12． 其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．校园科技节的手工展上，小明设计了一款抛物线形的趣味投篮架．已知篮球架的轮廓抛物线表达式为：y＝x2﹣4mx+2m2+3m+2（其中x为水平距离，y为高度，单位：米）．根据比赛规则，投篮架的顶点（即抛物线最高点）必须落在直线y＝x+1上，才能确保投篮轨迹与得分线完美契合．求满足条件的m的值为（　　） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 5．某校园科技节上，人形机器人进行立定跳远展示．如图，以起跳点为原点O，水平向前为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．机器人起跳后，脚掌的飞行轨迹可以用二次函数y＝﹣0.8x2+bx刻画，其中x（米）为机器人脚掌离起跳点的水平距离，y（米）为机器人脚掌距离地面的高度．已知机器人起跳后，脚掌离起跳点的水平距离为1米时，脚掌距离地面的高度为1.2米．下列说法正确的是（　　） A．机器人此次跳远的成绩为2米 B．机器人脚掌离起跳点的水平距离大于1.2米时，脚掌距离地面的高度越来越低 C．若在起跳点前方1.5米处有一高1.3米的障碍物，机器人可以成功越过障碍物 D．机器人脚掌距离地面的高度为0.8米时，脚掌离起跳点的水平距离为0.5米或2米 6．小明从离地面高度为1.5m的点A处向斜上方抛出弹力球，弹力球在点B处第一次着地后弹起，点C处是第二次着地点．分析弹力球从被抛出至第二次着地的过程，其运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，如图所示放置在平面直角坐标系中，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+2，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．有下列结论： ①a＝﹣1； ②在B处着地后弹起的最大高度为0.5m； ③弹力球第二次着地点C距第一次抛出点的水平距离OC是5m． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度ym与到点O的水平距离xm近似满足函数关系y＝﹣0.01x2+0.6x．据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m．有下列结论： ①水面宽度OA＝60m； ②拱桥的最大高度是9m； ③若每条龙舟赛道宽度为9m，最多可设计龙舟赛道4条． 其中，正确结论的个数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图，小明的爸爸用一段长20m的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为12m）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为1m的门（由其他材料制成）．已知矩形的宽DC为x米，当矩形面积S最大时，则矩形的长BC为（　　） A．9.5m B．10m C．10.5m D．11m 9．用一根长为20cm的细绳围成一个长方形，这个长方形的一边的长为xcm，它的面积为ycm2． （1）写出y与x之间的关系式，并列表表示当x的值从1变到9时（每次增加1），y的相应值； （2）你认为怎样的围法，能得到面积最大的长方形？请说明你的理由； （3）估计一下，当围成的长方形的面积是20cm2时，x的值应介于哪两个相邻整数之间？ 10．投壶是古代宴饮游戏．如图，建立平面直角坐标系（单位长度1m），箭从点A（0，1.5）处抛出，飞行轨迹为抛物线的一部分，当箭达到最大高度2m时，水平距离为1m．壶口看作矩形DEFG，GF＝0.2m，EF＝0.72m． （1）求抛物线表达式． （2）若箭恰好从点G（壶口左上角）擦边进入壶中，求人离壶的水平距离OE． （3）在（2）条件下，若只改变抛出点的高度，要使得箭仍能投入壶中（仍从G点擦边），求OA的取值范围． 11．重庆解放碑英利大融城举办自在碳水节，某烘焙摊位售卖黄油吐司与全麦贝果两种爆款碳水点心．据了解，3个黄油吐司与2个全麦贝果的售价总和为86元；2个黄油吐司与5个全麦贝果的售价总和为116元． （1）求一个黄油吐司和一个全麦贝果的售价分别是多少元？ （2）该摊位计划主推黄油吐司，黄油吐司的成本为12元/个，当以原售价销售时，每日可售180个．为了提高利润，决定涨价销售，经过市场调研发现，售价每上涨1元/个，每日销量就减少10个．设每个黄油吐司现售价为a元，该商家每日销售黄油吐司获得的利润为W元．当一个黄油吐司的现售价定为多少元时，商家每日销售黄油吐司获得的利润最大？最大利润是多少？ 12．综合与实践 【实践背景】某游乐园计划新建一个小型过山车项目．过山车的轨道由多段抛物线组成，保证车厢在重力作用下平稳运行．如图1，某段轨道的起点站台A和终点站台C等高，均垂直于地面基座BD，以点B为坐标原点，BD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系．经设计，该段轨道的纵向截面轮廓符合抛物线（0≤x≤8），其中y表示轨道上某点离地面基座的高度（单位：米）．数学实践小组围绕过山车的设计参数测算、轨道改造与安全优化开展探究活动，请你参与并完成下列任务． 【实践任务一】轨道最低点安全高度测算 过山车轨道的最低点不能过低，否则会影响下方通道的安全．请你求出该段轨道最低点离地面的距离，并验证其是否满足“轨道下方最低安全高度不低于1.8米”的设计要求． 【实践任务二】轨道分段改造设计 为增加过山车的趣味性，工程师决定在与起点站台AB相距3米的位置增设一根垂直于地面的支撑杆EF（如图2），将原轨道截断并重新连接，形成左右两段独立的抛物线轨道G1和G2．设计规范要求：左边抛物线轨道G1的最低点与支撑杆EF相距1米，且离地面高度为2米．请求出支撑杆EF的高度． 【实践任务三】轨道位置的调整与优化 为提升过山车的刺激程度，现将支撑杆EF的高度提升为4米，并调整其在基座上的水平位置．已知调整后右边抛物线轨道G2的二次项系数始终为，设EF与AB的距离为n米，为保证运行安全，要求抛物线轨道G2上所有点离地面的高度都不低于2米．求n的最小值． 13．综合与实践 【问题情境】 小明热爱数学与建筑，梦想长大后成为一名建筑设计师．他想以抛物线为创作灵感，运用绘图软件设计一个造型别致又富有数学美感的创意建筑——山岚之眼（图1）．请你帮他一起设计，解决相关问题． 【建立模型】 整座建筑分为上下两部分，上部是一条抛物线的造型l1，其最高点A到水平地面的距离为6.8m，左右两端B，C两点到水平地面的距离均为1.8m，且两点相距20m． 如图2，以水平地面所在直线为x轴，垂直于水平地面且经过左端B点的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求建筑上部抛物线造型l1对应的函数表达式； 【问题解决】 （2）将建筑上部的抛物线造型l1沿直线BC折叠得到一条新的抛物线l2，其与水平地面交于D，E两点（点D在点E的左侧）．抛物线l2在水平地面之上的部分与线段DE共同组成了建筑的下部． ①求线段DE的长； ②小明带着这份设计方案虚心请教了相关老师，老师建议增设两根竖直的圆柱形装饰杆MN，GH（MN在GH的左侧），其中点M，G在建筑的上部，点N，H在建筑的下部．小明只记得两根装饰杆的高度均为1.9m，却忘记了它们的具体位置，请你直接写出点N，H的坐标． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数 题型一 二次函数的图像和性质 题型二 二次函数的图像与a、b、c的关系 题型三 待定系数法求函数表达式 题型四 二次函数的实际应用 题型一：二次函数的图像和性质 1．C 2．C 3．D 4．D 5．D 6．D 7．A 8．D 9．A 10.（1）＜； （2）0＜t＜1． 11.（1）4a2﹣a+3； （2）a＞3． 12.或． 题型二：二次函数的图像与a、b、c的关系 1．D 2．B 3．B 4．D 5．B 6．D 7．C 8．A 9. D 10. C 题型三：待定系数法求函数表达式 1．C 2．B 3．D 4．y＝（x+1）2+3（答案不唯一）． 5．【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，把x＝1，y＝5代入二次函数解析式，计算即可； （2）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式． 【解答】解：（1）二次函数y＝x2﹣6x+m的图象经过点P（1，5）， 则12﹣6×1+m＝5， 解得：m＝10； （2）y＝x2﹣6x+10 ＝x2﹣6x+9+1 ＝（x﹣3）2+1． 6．【分析】（1）利用二次函数的三种形式，把顶点式和交点式展开后，即可得到b＝﹣（x1+1）＝4，c＝x1＝﹣4+k，解得b＝4，c＝﹣3，x1＝3，k＝1； （2）求得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性判断即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c可以写成y＝﹣（x﹣x1）（x﹣1）的形式，也可以写成y＝﹣（x﹣2）2+k的形式， ∵y＝﹣x2+bx+c＝﹣x2+（x1+1）x﹣x1＝﹣x2+4x﹣4+k， ∴b＝x1+1＝4，c＝﹣x1＝﹣4+k， ∴b＝4，c＝﹣3，x1＝3，k＝1； （2）∵b＝4，c＝﹣3， ∴y＝﹣x2+4x﹣3， ∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1， ∴图象开口向下，对称轴为直线x＝2， ∴当x＞2时，y随x的增大而减小， ∵点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（5，y3）在函数y＝﹣x2+4x﹣3的图象上， ∴点A（﹣1，y1），C（5，y3）关于直线x＝2对称， ∴y2＞y1＝y3． 7．【分析】（1）依据题意，可得y＝（x﹣m）（x﹣m﹣4）＝x2﹣（2m+4）x+（m2+4m），从而对称轴为直线，结合对称轴为直线x＝1，则m+2＝1，故m＝﹣1，从而y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，即可得解； （2）依据题意，由函数为y＝（x﹣1）2﹣4，则开口向上，对称轴为直线x＝1，结合当x1≤0时，要使得对任意x1≤0都有y2＜y1，故y2小于y1的最小值，又当x≤1时，y随x的增大而减小，且x1≤0，则当x1＝0时，y1取最小值，最小值为﹣3，可得y2＜﹣3，从而2x2﹣3＜﹣3，即x2（x2﹣2）＜0，进而可以得解； （3）依据题意，设直线l：y＝y3与抛物线交于P（x1，y3）、Q（x2，y3），由对称性可得，x1+x2＝2，由点M（x3，y3）在y＝﹣x﹣1上，可得y3＝﹣x3﹣1，结合，从而，则，又x1＜x3＜x2且x1＜x2，由x2＝2﹣x1，进而列出关系式计算可以得解． 【解答】解：（1）y＝（x﹣m）（x﹣m﹣4）＝x2﹣（2m+4）x+（m2+4m）， ∴对称轴为直线， 又∵对称轴为直线x＝1， ∴m+2＝1，得m＝﹣1． ∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点为（1，﹣4）； （2）由题意，∵函数为y＝（x﹣1）2﹣4， ∴开口向上，对称轴为直线x＝1． 当x1≤0时，要使得对任意x1≤0都有y2＜y1， ∴y2小于y1的最小值， ∵当x≤1时，y随x的增大而减小，且x1≤0， ∴当x1＝0时，y1取最小值，最小值为﹣3． ∴y2＜﹣3， ∴2x2﹣3＜﹣3，即x2（x2﹣2）＜0． ∴0＜x2＜2； （3）根据题意，直线l的方程为y＝y3， ∵P（x1，y1），Q（x2，y2）在直线l上， ∴y1＝y2＝y3， ∴点P、Q关于直线x＝1对称， ∴x1+x2＝2， ∵M（x3，y3）在一次函数y＝﹣x﹣1的图象上， ∴y3＝﹣x3﹣1， 又∵， ∴， 则， ∵x1+x2＝2， ∴x2＝2﹣x1， ∵x1＜x2， ∴x1＜2﹣x1， ∴x1＜1， ∵x1＜x3＜x2， ∴x3＞x1，x3＜x2， ∴，即， 解得：﹣1＜x1＜2， ∵x3＜x2， ∴， 即， 解得：x1＜0或x1＞3， ∴﹣1＜x1＜0， ∵， ∴﹣1＜x3＜2， ∵x1+x2＝2， ∴x1+x2+x3＝2+x3， ∵﹣1＜xy＜2， ∴1＜2+x3＜4， 即1＜x1+x2+x3＜4． 8．【分析】（1）①把代入解析式可得m的值，同理可得n的值；②根据m，n的值描点即可；③用平滑的曲线顺次连接各点即可画出图象； （2）由函数的图象即可得出答案； （3）观察函数图象，即可得到两条该函数的图象特征或性质； （4）由|n|＜|m|＜1可得1＞|n2﹣1|＞|m2﹣1|＞0，即可得出答案． 【解答】解：（1）①∵y＝|x2﹣1|， ∴当时，； 当时，； 故答案为：，； ②补充点如图： ③用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整如图： （2）由图象可知：当﹣1＜x＜0或x＞1时，y随x的增大而增大． 故答案为：﹣1＜x＜0或x＞1． （3）由函数图象可知：①函数图象是轴对称图形；②函数值y都是非负数． 故答案为：①函数图象是轴对称图形；②函数值y都是非负数． （4）∵|n|＜|m|＜1， ∴0＜n2＜m2＜1， ∴﹣1＜n2﹣1＜m2﹣1＜0， ∴1＞|n2﹣1|＞|m2﹣1|＞0， ∵点（m，a）与（n，b）在函数图象上， ∴a＝|m2﹣1|，b＝|n2﹣1|， ∴a＜b． 故答案为：a＜b． 9．【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（4，0）代入y＝x2+bx+c求出b、c的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出取值范围； （3）求出AB＝6，设P（x，y），则，即可求解． 【解答】解：（1）把A（﹣2，0）、B（4，0）代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，顶点坐标为（1，﹣9）； （2）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣9）， ∴当x＝1时，函数有最小值﹣9， 当x＝0时，y＝﹣8； 当x＝3时，y＝9﹣6﹣8＝﹣5； ∴当0≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣5； （3）∵B（4，0），A（﹣2，0）， ∴AB＝4﹣（﹣2）＝6， 设P（x，y）， 则， 即， 解得y＝±4， 当（x﹣1）2﹣9＝﹣4时，此时 ， 当（x﹣1）2﹣9＝4时，此时， ∴M坐标为或或或． 10. 【分析】（1）由定义可得a2+1+（﹣2a）＝0，求出a的值即可； （2）根据该“完美函数”的顶点在直线y＝x﹣2上可求出顶点为（1，﹣1），然后可设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，令x＝0，则y＝a﹣1，再根据该函数与y轴的交点为（0，2）求出a的值即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点（a2+1，﹣2a）是“完美点”， ∴a2+1+（﹣2a）＝0，即（a﹣1）2＝0， 解得：a＝1， 故答案为：1； （2）∵某“完美函数”的顶点在直线y＝x﹣2上， ∴设函数的顶点为（x，x﹣2）， ∵该函数为“完美函数”， ∴x+x﹣2＝0，解得x＝1， ∴该函数的顶点为（1，﹣1）， 设该“完美函数”的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣1，令x＝0，则y＝a﹣1＝2，解得a＝3， ∴该“完美函数”的表达式为y＝3（x﹣1）2﹣1＝3x2﹣6x+2． 题型四：二次函数的实际应用 1．C 2．C 3．B 4．C 5．D 6．C 7．D 8. C 9．【分析】（1）根据周长的等量关系可得长方形的另一边为10﹣x，那么面积＝x•（10﹣x），自变量是x，取值范围是0＜x＜10；把相关x的值代入函数解析式求值即可； （2）根据表格可得x为5时，y的值最大； （3）观察表格16＜y＜21时，对应的x的取值范围即为所求． 【解答】解：（1）∵长方形的一边的长为xcm，∴长方形的另一边为（20÷2﹣x） cm， ∴y＝（20÷2﹣x）•x ＝（10﹣x）•x ＝10x﹣x2， ∴y＝10x﹣x2， x是自变量，0＜x＜10； 把x的值代入函数解析式可得， 当x从1变到9时（每次增加1），y的相应值列表如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 9 16 21 24 25 24 21 16 9 （2）从上面的表格中，可以看出的规律：①当x逐渐增大时，y的值先由小变大，后又由大变小；②y的值在由小变大的过程中，变大的速度越来越慢，反过来，y的值在由大变小的过程中，变小的速度越来越块；③当x取5等距离的两数时，得到的两个y值相等； ∴当长方形的长与宽相等即x为5时，y的值最大，最大值为25cm2； （3）由表格可知，当围成的长方形的面积是20cm2时， ． 10．【分析】（1）由题可知抛物线的顶点为（﹣1，2），则y＝a（x+1）2+2，将点A（0，1.5）代入，即可求函数的解析式即可； （2）令x2﹣x0.72，求出x＝﹣2.6，则OE＝2.6﹣0.2＝2.4（米）； （3）设点A调整的高度为m米，则调整后的抛物线解析式为y＝﹣0.5x2﹣x+1.5+m，将点F和点G分别代入解析式，求出临界的m值，即可得解． 【解答】解：（1）∵箭的最大高度为2m时，距离投出点的水平距离为1m， ∴抛物线的顶点为（﹣1，2）， ∴y＝a（x+1）2+2， ∵抛物线经过点A（0，1.5）， ∴a+2＝1.5， 解得a， ∴抛物线表达式为y（x﹣1）2+2x2﹣x； （2）令x2﹣x0.72， 解得x＝﹣2.6或x＝0.6（舍）， ∴OE＝2.6﹣0.2＝2.4（米）， ∴人离壶的距离OE为2.4米； （3）设点A调整的高度为m米， 则调整后的抛物线解析式为y＝﹣0.5x2﹣x+1.5+m， 由（2）可知，G（﹣2.6，0.72），F（﹣2.4，0.72）， 当抛物线经过点F时，﹣0.5×（﹣2.4）2﹣（﹣2.4）+1.5+m＝0.72， 解得m＝﹣0.3，此时点A向下调整0.3米， 当抛物线经过点G时，﹣0.5×（﹣2.6）2﹣（﹣2.6）+1.5+m＝0.72， 解得m＝0，此时点A无需调整， ∵A（0，1.5）， ∴OA＝1.5米， ∴调整后的OA的取值范围1.2≤OA≤1.5． 11．【分析】（1）设一个黄油吐司的售价为x元，一个全麦贝果的售价为y元，根据“3个黄油吐司与2个全麦贝果的售价总和为86元；2个黄油吐司与5个全麦贝果的售价总和为116元”，列出方程组，解方程组即可； （2）根据总利润＝单个黄油吐司的利润×每日销量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【解答】解：（1）设一个黄油吐司的售价为x元，一个全麦贝果的售价为y元， 由题意，列方程组得， 解得， 答：一个黄油吐司的售价是18元，一个全麦贝果的售价是16元； （2）由题意得：W＝（a﹣12）[180﹣10（a﹣18）] ＝（a﹣12）（360﹣10a） ＝﹣10a2+480a﹣4320 ＝﹣10（a﹣24）2+1440， ∵a＝﹣10＜0， ∴二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值， ∴当a ＝24时，W有最大值，最大值为1440． 答：当一个黄油吐司的现售价定为24元时，商家每日销售黄油吐司获得的利润最大，最大利润是1440元． 12．【分析】【实践任务一】依据题意，由二次函数为，则，结合，可得抛物线开口向上，故当x＝4时，y取最小值为2，又2＞1.8，从而该段轨道满足“轨道下方最低安全高度不低于1.8米”的设计要求，即可得解； 【实践任务二】依据题意，得G1的顶点坐标为（2，2），设抛物线G1的表达式为y＝a（x﹣2）2+2，易得点A（0，4），将（0，4）代入，得4＝a（0﹣2）2+2，从而，则G1的表达式为，故当x＝3时，，进而可以得解； 【实践任务三】依据题意，得点E（n，4），C（8，4），又抛物线G2过点E，C，则G2的对称轴为直线，设G2的表达式为，结合抛物线开口向上，故要使G2上所有点离地面高度都不低于2米，只需k≥2，又将点C（8，4）代入，得，则，进而计算可以得解． 【解答】解：【实践任务一】由题意，∵二次函数为， ∴． ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当x＝4时，y取最小值为2． ∵2＞1.8， ∴该段轨道满足“轨道下方最低安全高度不低于1.8米”的设计要求； 【实践任务二】由题意，得G1的顶点坐标为（2，2）， 设抛物线G1的表达式为y＝a（x﹣2）2+2， 易得点A（0，4），将（0，4）代入，得4＝a（0﹣2）2+2， ∴， ∴G1的表达式为． 当x＝3时，， ∴支撑杆EF的高度为2.5米； 【实践任务三】由题意，得点E（n，4），C（8，4）， ∵抛物线G2过点E，C， ∴G2的对称轴为直线． 设G2的表达式为， ∵抛物线开口向上， ∴要使G2上所有点离地面高度都不低于2米，只需k≥2． 将点C（8，4）代入，得， ∴． ∴4≤n≤12． ∵0＜n＜8， ∴4≤n＜8， ∴n的最小值为4． 13．【分析】（1）待定系数法求出抛物线l1的解析式即可； （2）①先求出抛物线l2的解析式为：y＝0.05（x﹣10）2﹣3.2＝0.05x2﹣x+1.8，然后求出D（2，0），E（18，0），再求出DE的长度即可； ②先判断圆柱形装饰杆应该安装在点D的左边，点E的右侧，然后根据函数解析式得出﹣0.05x2+x+1.8﹣（0.05x2﹣x+1.8）＝1.9，求出x的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）最高点A到水平地面的距离为6.8m，左右两端B，C两点到水平地面的距离均为1.8m，且两点相距20m．则： 根据题意得：A（10，6.8），B（0，1.8），C（20，1.8）， 设抛物线l1的解析式为：y＝a（x﹣10）2+6.8，把B（0，1.8）代入得： 1.8＝a（0﹣10）2+6.8， 解得：a＝﹣0.05， ∴抛物线l1的解析式为： y＝﹣0.05（x﹣10）2+6.8＝﹣0.05x2+x+1.8（0≤x≤20）； （2）①根据题意得：抛物线l2的顶点坐标为：（10，﹣3.2）， 设抛物线l2的解析式为：y＝a′（x﹣10）2﹣3.2，把B（0，1.8）代入得： a′＝0.05， ∴抛物线l2的解析式为： y＝0.05（x﹣10）2﹣3.2＝0.05x2﹣x+1.8， 把y＝0代入得：0.05x2﹣x+1.8＝0， 解得：x1＝2，x2＝18， ∵点D在点E的左侧， ∴D（2，0），E（18，0）， ∴DE＝18﹣2＝16（m）； ②增设两根竖直的圆柱形装饰杆MN，GH（MN在GH的左侧），其中点M，G在建筑的上部，点N，H在建筑的下部． 把x＝2代入y＝﹣0.05x2+x+1.8得：y＝3.6， ∵3.6＞1.9， ∴圆柱形装饰杆应该安装在点D的左边，点E的右侧， ∴﹣0.05x2+x+1.8﹣（0.05x2﹣x+1.8）＝1.9， 解得：x1＝1，x2＝19， 把x＝1代入y＝0.05x2﹣x+1.8得：y＝0.85， 把x＝19代入y＝0.05x2﹣x+1.8得：y＝0.85， ∴N（1，0.85），H（19，0.85）． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $