内蒙古准格尔部分中学2025-2026学年第二学期期末评估诊断高二数学试卷

准格尔中学2025~2026学年第二学期期末评估诊断 高二数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A={x(x-1)(3-x)≥0}，B={-2,-1,1,2,4},则A∩B= A.{-2,-1,1,4》 B.{-2,-1,4》 C.{1,2} D.{2) 2.在复平面内，复数(2十3)(1一2i)对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.设e1,e2是两个不共线的向量，若向量m=一e1十ke2与n=e2一2e1共线，则k= A.2 R号 C.-2 D. 4.一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 A.27π B.24π C.18元 D.12π 5.某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制 个频率/组距 0.5 度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了8000位居 民，获得了他们某月的用水量（单位：立方米）数据（用水量均在03 [0.5,4.5]内)，将所得数据分成8组：[0.5,1)，[1,1.5)，0.2 [1.5,2),[2,2.5),2.5,3),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5],整理01 得到频率分布直方图如图所示，若该市有50万居民，估计全市居 00.511522.533.544.5用水量（立方米） 民中月均用水量不低于2.5立方米的人数为 A.15万 B.20万 C.25万 D.30万 6.已知A(2,0),若圆(x一1)2+(y一√3)2=r2(r>0)上存在点P,使得|PA=1,则r的取值范围为 A.[1,+o∞) B.(0,3] C.(0,1]U[3,+∞) D.[1,3] 【高二期末评估诊断·数学试卷第1页（共4页）】 26-T-763B 7.若函数f(x)=ln(x2一2x十a)的值域为R,则实数a的取值范围为 A.[1,+∞) B.(1,+o∞) C.(1,3) D.(-∞，1] 8.已知向量a=(sin wx,cosx)(w>0),b=(1,一1)，若函数f(x)=a·b在区间（π，2π）上无极值点，则 ω的取值范围是 A(o,]u[是号] &(o,g]U[,] c[7]u[] D.[]U[g,] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知双曲线C:号-y=xa<0),则C的 A.实轴长为定值 B.焦点在y轴上 C.离心率为定值 D.渐近线方程为y=士√2x 10.已知-受<0<受，且sin0+cos0=a,其中a∈(0,1)，则tan0的值不可能是 A.-π B元 C- e 11.若数列{a,》满足1一1=d(m∈N,d为常数)，则称数列{u,}为“调和数列”.已知各项均为正数的 「am+1an 数列{bn}满足bn一b+1=bn+1bn,则下列说法正确的是 A.数列{b}是“调和数列” B.数列{b.}是递增数列 C对任意的n∈N,都有b1b+2 2 D.若b=l,则[a·ln(i-1D]<””(n∈N) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线y=lnx在x=1处的切线方程为 18.在(x+名-y)的展开式中y项的系数为 14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A,B为C上的两个动点，且满足∠AFB=60°.过弦AB 的中点M作C的准线的垂线，垂足为N.则的最大值为 【高二期末评估诊断·数学试卷第2页（共4页）】 26-T-763B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2 acos C=bcos C-+ccos E. (1)求角C的大小： (2)若c=√13,3b=4a,求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) 为了考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，得到如下列联表： 疾病B 药物A 合计 未患病 患病 未服用 60 30 90 服用 100 30 130 合计 160 60 220 (1)依据小概率值α=0.10的独立性检验，分析药物A对预防疾病B的有效性； (2)从未患病的动物中按照是否服用药物A采用分层抽样随机抽取8只，再从这8只动物中随机抽取 4只进行进一步的观察，记随机变量X表示在4只动物中服用药物A的个数，求X的分布列和数 学期望 n(ad-bc)2 参考公式：x-a+b+a十c0(b+小n=a+b++d. a 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 17.(本小题满分15分) 如图，平行四边形ABCD中，AB=2,AD=E,∠BAD=平，AB的中点为M,现以DM为折痕把 △ADM折起，使点A到达点A,的位置 (1)若A,C的中点为N,证明：BN∥平面A,DM; (2)若∠A,AD=否，求A,C与平面A,DB所成角的正弦值. 【高二期末评估诊断·数学试卷第3页（共4页）】 26-T-763B 18.(本小题满分17分)》 已知椭圆C,若+芳-1(。>6>0)的长轴长是短轴长的/倍且过点D(一万.1). (1)求C的方程； A (2)设平行于OD的直线1与C交于A,B两点（如图所示）. ()线段AB的长度是否有最大值？并说明理由； (i)若直线DA,DB与x轴分别交于S(s,0),T(t,0),求证：s+t为 定值 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=2lnx+a.x(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若a=1,正实数x1,x2满足∫(x1)十x十f(x2)十x=4,证明：c1十x2≥2； (3)设g(x)=e1+号xf(x),若g(x)≥0对任意的x∈(0，+∞)恒成立，求a的取值范围。 【高二期末评估诊断·数学试卷第4页（共4页）】 26-T-763B准格尔中学2025~2026学年第二学期期末评估诊断·高二数学试卷 参考答案、提示及评分细则 1.C由(x-1)(3-x)≥0，得1≤≤3，所以A=[1,3,所以A∩B={1,2冫.故选C. 2.D由题意知(2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6=8-i,所以复数(2+3i)(1一2i)在复平面内对应的点为(8，-1)，位于 第四象限.故选D. 3.B由共线向量定理可知存在实数入，使得m=1,即-e十ke2=入(e2-2e)-e2-21,又g与e2是不共线向量，所 1 k -1=-2λ， 2’ 解得 k=入， 故选B. 入一2 4,A因为棱长为3的正方体的八个顶点都在同一个球面上，所以球的直径是正方体的体对角线，即球的半径，= 昼号区-2号，所以球的表面积为标×(3要)=27，故逃A 2 5.A由题意知月均用水量不低于2.5立方米的频率为(0.3十0.1+0.1十0.1)×0.5=0.3，所以估计全市居民中月均用 水量不低于2.5立方米的人数为50×0.3=15万.故选A. 6.D由|PA|=1知，P点的轨迹方程是(x一2)2+y2=1,因为圆(x一1)2+(y-√3)2=2(r>0)上存在点P,所以两圆存 在公共点，则|r-1|≤√(2-1)2+(0-√3)2≤r+1,解得1≤r≤3.故选D. 7.D由题意知△=(-2)2-4a≥0，解得a≤1，即a的取值范围为(-∞，1].故选D. 8Bf()=a·b=sin or-cos=2sin(ar-年），当x∈(，2x)时，r-年∈(om-,2wx年），由 得 k∈乙k=0时，0<w≤名论=1时，是<w≤名故选B 9以号-y=-入整理可得兰女=1K:<0,所以C的点在)箱上，且=一A<0》.不是定值故A错误，B正 确：=台√十吾=干-厅，为定值，放C正确：新近线的方程为号-，即y=士号，放D错误放选化 1a.ABD因为sm0叶cs0aa∈0,1D.两边平方整理得6ms0《<0,所以-多<0<0且oms0>-sn0. |cos0>sin0l,则-不<0<0，-1<tam0<0.故选ABD, 1.ACD因为各项均为正数的数列6)满足6，一众1=A,6,所以一左=1，所以数列认是洞和数列，放A正 确：若么=满足各项均为正数，且么一么1=6：6，但伍)是递诚数列，放B错误：由公}为等老数列，所以 所以 1 2 =26b2 2() 2 6n+b+2≤b,+b+e =么十b出2，当且仅当b,=b+时取等号，故C正确：若b= 2 bn 6n+2 1,所以亡-1十一1=所以么=升令)=一1-h,所以了)=1-士=会，所以)在0,1止单两递 减，在(1，+∞)上单调递增，则f(x)mm=f(1)=0,所以f(x)≥0，即x-1≥lnx在x>0时恒成立，所以nn2≤n2-1 (a∈N),即2hf-1,即nw2,即<"号，所以里ahi-D]=h1+号h2++h≤ 号十号++”号=”，放D正确放选ACD 2 4 12.x一y一1=0由题意知切点为(1,0)，由y=lnx,得y=子，所以切线的斜率为1，切线方程为x一3y一1=0， 13.1680 (+是-)广'表示有8个(+是-)相乘y项来源如下：有4个(+是-)提供-，有2个 【高二期末评估诊断·数学试卷参考答案第1页（共4页）】 26-T-763B (x+2-y)提供x,有2个(x+二-)提供号，所以项的系数为C(-DCC2-1680. 14.1设|AF1=a,|BF1=b,A,B在C的准线上的射影分别为Q,P,由抛物线定义，得 |AF1=|AQI,|BF=|BPL.在梯形ABPQ中，2MN|=|AQI+|BP|=a+b.由余弦 定理得，1AB2=a2+2-2 abcos60°=a2十2-ab=(a+b)2-3ab,又因为ab≤ (生)，所以a+62-3ab≥(a+6-是(a+b9=}(a+6,得到1AB≥ a+分.所以✉1，即器的最大值为1 15.解：(1)由2 acos C=bcos C+-ccos B及正弦定理可得2 sin Acos C=sin Bcos C+-sin Ccos B, …2分 所以2 sin Acos C=sin(B+C)=sin(x-A)=sinA, …3分 又A∈(0，)，所以snA>0,所以cosC=号… …5分 又C∈(0，x),所以C-子 …6分 (2)由余弦定理c2=a2+b-2 abeos C,即13=a2+2-ab …8分 a=3, 又3b=4a,解得 (负值舍去)，… …… 10分 1b=4, 所以Sa=号sinC-号×4X3×写-3V3.… 2 13分 16.解：(1)零假设为H:药物A对预防疾病B无效果.…1分 根据列联表的数据计算可得 x2=220X(60X30-100X30)2=28≈2.821>2.706.0 160×60×130×90 …4分 根据小概率值a=0.10的独立性检验，我们推断H。不成立，即药物A对预防疾病B有效果. …5分 60 100 (2)抽取8只，未服用药物A的个数为：8×601003，服用药物A的个数为：8×60十1005. …6分 X的所有可能取值为1,2,3,4， …7分 所以X=D=答-PX=2=答=号 C C Px-3)e=子，PX=0-- C X的分布列为： X 2 3 4 3 3 1 14 14 12分 所以E(X)=1×+2×号+3×号+4×=号 15分 17.解：(1)取AD中点S,连接SN,SM, 因为S,N分别为A,D,AC中点， 所以SN/DC,且SN=DC, …2分 又四边形ABCD是平行四边形，且M为AB中点， 所以MB∥DC,且MB=号DC, 所以MB∥SN,且MB=SN,所以四边形SNBM是平行四边形，…4分 所以BN∥SM,又BN在平面ADM,SMC平面ADM, 所以BN∥平面ADM… …6分 (2)在△ADM中，AD=E,AM=1,∠BAD=, 【高二期末评估诊断·数学试卷参考答案第2页（共4页）】 26-T-763B 所以DM=AM+AD-2AM:AD.os年=1+2-2X1X2×号-=1，所以DM=1, 因为Df十Af=AD,所以AM⊥DM.…7分 在△AAD中，AD=E,AD=E,∠AAD=于， 所以AD=AA+AD-2AA·AD·cos号，即2=AA+2-2AAX2X,解得AA=E. 因为A,P+AP=AA号，所以A,M⊥AM, …8分 又AM∩DM=M,AM,DMC平面ABCD, 所以AML平面ABCD.… …9分 以M为原点，分别以MD,MB,MA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,1),D(1,0,0),B(0,1,0),C(1,2,0),所以AC=(1,2,-1),AD= (1,0,-1),DB=(-1,1,0), n·AD=0,x-x=0, 设平面ADB的法向量为n=(x,y,x),则 即 n DB=0, (-x+y=0, 令x=1,则y=之 =1, 所以n=(1,1,1)是平面ADB的一个法向量， 12分 设直线A,C与平面A1DB所成角为0，则sin0= n·AC 1×1+1×2-1×1=2 …14分 ACI 5X√6 即直线AC与平面ADB所成角的正弦值是？ …15分 a=5b, 18.(1)解：由题意可得31」 1a=/6, 解得 (a2 1 b=√2， 所以C的方程为号+ -=1. …3分 (2(i)解：因为kD= 1-0 -5-0 号OD/,所以可设直线1的方程为y=一停十m… 由 可得2.z2-2√5mx+3m-6=0,由△=12m2-8(3m-6)>0,解得<4， y=- 3+m 设A(y),B(2),则x十0=5m,C,=3m-6 2 …5分 所以-√什(1小后a+西后成-4找四于-27分 2 2 因为m<4,所以当m=0时，AB1最大，此时直线1的方程为y= 3, 直线AB与直线OD重合，不满足与OD平行，所以线段AB的长度不存在最大值. …9分 ()证明：直线AD的方程为y-1=当号（十3），令y=0可得：s=士5-5， +5 1一y 直线BD的方程为义上十后)，令0可得：1号长月，心 1一y2 11分 十1=+E-5++5-=十B))+(十B)1-)-25 1一y1 1一y2 (1-y)(1-2) =-0边-2y十3十十+25-5（y十-25.… 1一(y+2)+y2 ……13分 由(i)知m+x2=3m,ny=3m2-6, 2 【高二期末评估诊断·数学试卷参考答案第3页（共4页）】 26-T-763B 3 =(-+m)(-+m)= m(a+)+m=吉×3m2-gXm+m=m22。 3 2 2 …15分 +a=(号a+m)+(-号十m）=29+m(+)=25×5+mXm=25, 2 16分 所以s+1=-25+5m+25,一Bm-25=0-25=-25, 1-m+m-2 2 所以s十t是定值-25.… …17分 19.(1)解：由题意知(x)=2+a=a2+2, …1分 当a≥0时，f(x)>0,所以f(x)在(0，十o∞)上单调递增；… 2分 当a<0时，令f()>0,解得0<<-吕，令了()<0，解得>-吕，所以f)在(0，-吕)上单调递指，在 a (一名，十o∞)上单调递减。… …4分 (2)证明：令h()=21nx+父+，则()=是+2+1>0，所以A(x)在0，十∞)上单调递增， 又h(1)=2, 因为f(x1)+x+f(2)+=4,所以h(x)+h(2)=4=2h(1), 若x,2都大于1，则h(x1)十h(2)>2h(1)=4,不合题意，同理，2都小于1也不满足，…6分 设0<≤1≤x2,欲证x+x2≥2，即证x2≥2一，即证h(2)≥h(2-),即证4-h(x1)≥h(2-),即证4≥ h(2-x1)十h().… …8分 令F(x)=h(2-x)+h(x),x∈(0,1]， 所以F()=2+2+1-[22+22-)+门 =是+22+红4=+4x-1D=4红-1[21 =4红-1)2z1=4x-1D3 x(x-2)x(t-2)≥0， …9分 所以F(x)在区间(0,1]上单调递增，所以F(x)≤F(1)=2h(1)=4,则原不等式得证. …… 10分 （3)解：若g(x)≥0对任意的x(0,十o∞)恒成立，则g(1）=1十7≥0，…】 2分 解得a≥-2.… 13分 下面证明：a≥一2时符合题意. 当a≥-2时，g(x）=e1+xhx十a≥e1+hx-2,… 14分 以下证明：e+hr一f0,令G(x)-会+hr- 则G()=1g1D+1-1=E(x-1)+x=x2=x-1)(g1-2) x 22 令H(x)=e1-x,则H'(.x)=e1-1,令H'(x)>0,解得x>1;令H(x)<0,解得0<x<1, 所以H(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以H(x)≥H(1)=0, 所以当0<x<1时，G'(x)<0,当x>1时，G(x)>0,所以G(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，所 以G(x)≥G(1)=0.… …16分 综上，Q的取值范围是[一2，十c∞).… …17分 【高二期末评估诊断·数学试卷参考答案第4页（共4页）】 26-T-763B