3.3 勾股定理的简单应用同步练习-2026-2027学年八年级上册数学苏科版

**基本信息** 以勾股定理应用为核心，通过基础计算、情境转化、综合建模三层设计，实现从单一知识到实际问题解决的递进，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股定理直接计算|如梯子滑动、折断竹子等经典情境，强化运算能力| |能力提升|方程思想与空间转化|如圆柱吸管长度范围、坐标系橡皮筋拉伸，发展抽象能力| |综合应用|多步推理与实际建模|如台风影响范围、婴儿车安全标准证明，培养推理意识与应用能力|

3.3 勾股定理的简单应用 一．选择题（共8小题） 1．如图，一根竹子高1丈（1丈＝10尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．则竹子折断处离地面的高度为（　　） A．3尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺 2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（　　） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 3．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了（　　） A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 4．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13 5．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 6．如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 7．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　） A．x2﹣6＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2 C．x2+6＝（10﹣x）2 D．x2+62＝（10﹣x）2 8．如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个正方形的面积和为（　　） A．11 B．15 C．10 D．22 二．填空题（共6小题） 9．某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中AB∥CD，BD⊥DE于点D，AC⊥DE于点E，若∠BAC＝60°，AB＝4m，则CE＝　 　 m． 10．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 　 　 米． 11．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 　 　 cm． 12．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 　 　 米． 13．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少　 　 米． 14．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有　 　 cm． 三．解答题（共5小题） 15．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 16．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明； （2）求原来的路线AC的长． 17．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 18．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 19．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）求证：∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B A A C D B 一．选择题（共8小题） 1．【答案】B 【解答】解：根据题意，1丈＝10尺． ∴竹子的总高度为10尺． 竹子折断后，未折断竖直站立的部分、折断倒下的部分以及地面构成了一个直角三角形． 设竹子折断处离地面的高度为x尺， 即直角三角形的一条直角边长为x尺． 已知竹子顶端落在离竹子底端3尺处， 即直角三角形的另一条直角边长为3尺． 竹子的总高度为10尺， 折断倒下的部分（即直角三角形的斜边）长度等于总高度减去竖直站立的高度， 即（10﹣x）尺． 利用勾股定理列方程根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 列出方程：x2+32＝（10﹣x）2， 展开方程右边的完全平方公式：x2+9＝100﹣20x+x2， 方程两边同时减去x2， 得：9＝100﹣20x， 移项，将﹣20x移到方程左边， 变号为20x.20x＝100﹣9， 合并同类项：20x＝91， 系数化为1， 解得：x＝4.55， ∴竹子折断处离地面的高度为4.55尺． 故选：B． 2．【答案】C 【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米， ∴AB2＝0.72+2.42＝6.25． 在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2， ∴BD2+22＝6.25， ∴BD2＝2.25， ∵BD＞0， ∴BD＝1.5米， ∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）． 故选：C． 3．【答案】B 【解答】解：在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2＝2.52﹣1.52＝4， ∴AC＝2， ∵BD＝0.9， ∴CD＝2.4． 在Rt△ECD中，EC2＝ED2﹣CD2＝2.52﹣2.42＝0.49， ∴EC＝0.7， ∴AE＝AC﹣EC＝2﹣0.7＝1.3． 故选：B． 4．【答案】A 【解答】解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：13． 即a的取值范围是12≤a≤13． 故选：A． 5．【答案】A 【解答】解：Rt△ACD中，ACAB＝4cm，CD＝3cm； 根据勾股定理，得：AD5cm； ∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm； 故橡皮筋被拉长了2cm． 故选：A． 6．【答案】C 【解答】解：根据题意得出最短路程如图所示， 最短路程长为1＝21， 则从A点到B点的最短距离的走法共有3种， 故选：C． 7．【答案】D 【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10﹣x，BC＝6， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2． 故选：D． 8．【答案】B 【解答】解：利用勾股定理可得Sa＝S1+S2，Sb＝S2+S3，Sc＝S3+S4， ∴Sa+Sb+Sc＝Sa＝S1+S2+S2+S3+S3+S4＝7+4+4＝15． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．【答案】2． 【解答】解：∵BD⊥DE，AC⊥DE， ∴BD∥AC， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴CD＝AB＝4m， ∵AB∥CD， ∴∠DCE＝∠BAC＝60°， 在Rt△CDE中，∠CED＝90°，∠DCE＝60°， ∴， 故答案为：2． 10．【答案】9 【解答】解：在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB15（米）， ∵CD＝10（米）， ∴AD6（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米， 故答案为：9． 11．【答案】2 【解答】解：Rt△ACD中，ACAB＝4cm，CD＝3cm； 根据勾股定理，得：AD5cm； ∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm； 故橡皮筋被拉长了2cm． 12．【答案】24 【解答】解：因为AB＝9米，AC＝12米， 根据勾股定理得BC15米， 于是折断前树的高度是15+9＝24米． 故答案为：24． 13．【答案】5 【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长 ∵圆柱高4米，底面周长1米 x2＝（1×3）2+42＝9+16＝25 所以，花圈长至少是5m． 14．【答案】5 【解答】解：由题意可得： 杯子内的筷子长度为：15（cm）， 则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm）． 故答案为：5． 三．解答题（共5小题） 15．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得：AC＝25米，BC＝7米， AB24（米）， 答：这个梯子的顶端距地面有24米； （2）由题意得：BA′＝20米， BC′15（米）， 则：CC′＝15﹣7＝8（米）， 答：梯子的底端在水平方向滑动了8米． 16．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）是， 理由是：在△CHB中， ∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9 BC2＝9 ∴CH2+BH2＝BC2 ∴CH⊥AB， 所以CH是从村庄C到河边的最近路 （2）设AC＝x 在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4 由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2 ∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2 解这个方程，得x＝2.5， 答：原来的路线AC的长为2.5千米． 17．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400， 所以，CD＝20（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）， 答：风筝的高度CE为21.6米； （2）由题意得，CM＝12， ∴DM＝8， ∴BM（米）， ∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米）， ∴他应该往回收线8米． 18．【答案】见试题解答内容 【解答】解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， 在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD． 故该车符合安全标准． 19．【答案】（1）见解答； （2）海港C受到台风影响； （3）台风影响该海港持续的时间为3.5h． 【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响． 理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于D． ∵S△ABCAC•BCAB•CD， ∴CD240（km）， ∵250＞240， ∴海港C受到台风影响； （3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口． 在Rt△CED中，由勾股定理得 ED70（km）， ∴EF＝140km， ∵台风的速度为40km/h， ∴140÷40＝3.5（h）． ∴台风影响该海港持续的时间为3.5h． 学科网（北京）股份有限公司 $