内蒙古准格尔部分中学2025-2026学年第二学期期末评估诊断高一数学试卷

准格尔中学2025~2026学年第二学期期末评估诊断 高一数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合M={x-2<x≤6}，N={-2,4,6,8},则M∩N= A.{-2,4,6}》 B.{4,6} C.{-2,6》 D.{4} 2.某羽毛球俱乐部有A队和B队，其中A队有80名学员，B队有60名学员，为了解俱乐部学员的羽毛 球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为m的样本，已知从B队中抽 取了15名学员，则m的值为 A.25 B.30 C.35 D.40 3.在△ABC中，点D满足AD=号AB,点E满足AE+C元=0，则D正 A.-}AB+2A0 BA店-2Ad C.-号A+2AC D.号a-号Ad 4.已知正方形ABCD的边长为4cm,则其水平放置的直观图的面积为 A.8 cm2 B.8√2cm C.4 cm2 D.4√2cm 5.已知&，3是两个不同的平面，m是一条直线，且mCa,则“m⊥3是“α⊥3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，P是CD,的中点，则异面直线AD1与CP D 所成角的余弦值为 B A J10 5 B.10 10 D.2/5 5 【高一期末评估诊断·数学试卷第1页（共4页）】 26-T-763A 7.一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次 性随机取出2个球，设事件A=“2个球颜色相同”，事件B=“2个球中至少有一个红球”，事件C= “2个球中至多有一个红球”，事件D=“2个都不是红球”，则 A.A与D互斥 B.B与C对立 C.A与B相互独立 D.C∩D=D 8.在△ABC中，内角A.B,C的对边分别为a.6c且5sin号+cas号-2c0sC,2b=6c.则cosC的值为 B罗 c 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.现有一组样本数据1,3,1,5,5,6,8,2,5，则这组数据的 A.众数为5 B.中位数为3 C.极差为7 D.70%分位数为5 10.已知复数之满足3十5=4i,则下列结论正确的是 A.|=1 B:的虚部为一 C.在复平面内乏对应的点位于第二象限 D.若复数满足1一=2，则之的最小值为1 11.如图，在正四棱台ABCD-A,B1CD1中，AB=2A,B,=2√3，AA,=√6，则下列说法正确的是 D 人该四棱台的商为39 B.二面角C-BD-C的大小为60 C若点P在四边形ABCD内AP=医则动点P的轨迹长度是要 8 D.若点M在△BDC,内部（含边界），则MA十MA,的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，则该圆柱一个底面的面积为 13.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小 于10的概率为 14在△ABC中，D是边AB上的一点，且满足∠ACD=∠CD=号，BD-空，AD-斗，则△ABC的面积为 若E是边AB的中点，则焉 【高一期末评估诊断·数学试卷第2页（共4页）】 26-T-763A 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机 抽取6次成绩（满分10分，8分及以上为优秀），如下表所示： 甲射击成绩 10 9 7 8 10 10 乙射击成绩 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计甲、乙两人射击成绩的优秀率； (2)分别求出6次射击成绩的平均数与方差，以此为依据，判断哪位运动员的射击成绩更好？ 16.(本小题满分15分) 已知向量a=(2,-1),b=(3,5). (1)求2a-b: (2)若向量c=(-1,m),且(a十c)∥b,求m的值； (3)求与a十b垂直的单位向量的坐标. 17.(本小题满分15分) 小张和小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张和小胡各回答一个问题，已知小张每轮 答对的概率为号，小胡每轮答对的概率为·在每轮比赛中，小张和小胡答对与否互不影响，各轮结果 也互不影响. (1)求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率； (2)求在两轮比赛中，小张和小胡答对题目的个数相等的概率 【高一期末评估诊断·数学试卷第3页（共4页）】 26-T-763A 18.(本小题满分17分)》 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，AD=2AB,M,N分别为PD, AD的中点，PN⊥平面ABCD (1)求证：PB∥平面ACM; (2)求证：平面PBN⊥平面PCN; (3)若AB=2,PN=√，求PA与平面PCD所成角的正弦值. 19.(本小题满分17分) “费马点”是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状.当△ABC的三 个内角均小于120时，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点；当△ABC有一个内 角大于或等于120时，最大内角的顶点为费马点.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, -asm(B+号）》 (1)求A; (2)若ad2=号c,求simB+sinC的值； (3)若△ABC的面积为4√，设点P为△ABC的费马点，求PB·PC的最小值 【高一期末评估诊断·数学试卷第4页（共4页）】 26-T-763A准格尔中学2025~2026学年第二学期期末评估诊断·高一数学试卷 参考答案、提示及评分细则 1.B因为集合M={x-2<x≤6}，N={-2,4,6,8},所以M∩N={4,6).故选B. 2C由题意知060品解得m=35故选C 3AD成-A范-A亦=2A心-}成.故选A 4D由斜二测画法规则可知，此水平放登的直观图是底为4，商为4X名×号-厄的平行四边形，所以直观图的面积为4 X√2=4√2cm2.故选D. 5.A若mL3,又mCa,所以a⊥B,所以“mL3”是“a⊥3”的充分条件.若a⊥B,则m与B可能平行，所以“mL3”不是“a⊥3 的必要条件.所以“mL3”是“aα⊥g”的充分不必要条件.故选A. 6.A如图，取AB的中点Q,连接PQ,CQ,则PQ∥AD,所以∠CPQ是异面直线AD,与CP所成 D 角或其补角.设AB=2,则PC=CQ=√5，PQ=22,在△CPQ中，由余弦定理得cos∠CPQ= 2后，成盛入 2×W5×2√2 7.D一次性任意取出2个球的所有情况有：“2个都为红球”“2个都为绿球”“2个都为蓝球”“1个 红球1个绿球”“1个红球1个蓝球”“1个绿球1个蓝球”.显然A与D不互斥，A错误；B与C不 A 对立，B错误：因为P(AB)=,P(A)=吉，P(B)=号，P(AB)≠P(A)P(B),A与B不相互独立，C错误：CnD =D,D正确.故选D. &D因为2cosC=2(cos号os晋+sn吾sin号)=2os(号-含)，即cosC=cos(号-），因为0<A<x,0<C< x,则0<号-令<吾，且余弦函数y广0s2在0，x)上单调递减，所以C-号-令，所以A+3C-,又A+3C==A +B+C,所以B=2C,又2b=√6c,所以2sinB=√6sinC=2sim2C=4 sin Ccos C,又0<Cπ，所以sinC≠0，所以cosC -E.故选D. 4 9.ACD将这组数据按从小到大的顺序排列为1,1,2,3,5,5,5,6,8，所以众数为5：中位数为5：极差为8一1=7：9×70% =6.3,所以70%分位数为5，A、C、D正确，B错误.故选ACD. 10ACD由生5=4机得3+5=4i,所以写子G特=一号寺=1，A正确的部为青，B -5 -5(3+4i) 错误=一号+专，在复平面内对应的点为（一号，号），位于第二象限，C正确：因为=一十：≥ ||名一|一||=1，D正确.故选ACD. 1.AB如图1，过点A作HLAC,垂是为H,则四棱台的商为AH,因为AC-5,AC=2后，所以AH,所以 AH=√AA-AF-3,A正确： 2 设O为四边形ABCD对角线的交点，则O为BD中点，CO⊥BD.由CD=CB,知CO⊥BD,所以二面角C-BD-C 的平面角为∠COC,又CC=AA,=CO=6,C0=2AC-6,所以△COC为正三角形，所以二面角C-BD-C的 大小为60°，故B正确： 【高一期末评估诊断·数学试卷参考答案第1页（共4页）】 26-T-763A D D D O(M 图1 图2 图3 由勾股定理得PH=VAP一AF-√(）'-（色要）-，放点P的轨迹为以H为圆心，以号为半径的圆 (在正方形ABCD内，易知点H到边AB,AD的距离都为)，所以动点P的轨迹长度是2x×号-5x,C错误； 2 由图1易得BD⊥AH,BD⊥AC,A,H∩AC=A,AH,ACC平面AAC,C,故BD⊥平面AA,CC,不妨设M落在图2的 M(在CO外)处，过M作M'M1∥BD,交CO于M,则MM⊥平面AACC,MAC平面AACC,故M'M⊥ M,A,故在Rt△AMM中，MA<MA(直角边小于斜边)；同理，MA<MA,所以MA+MA,<MA+MA1,故动 点M只有落在CO上，MA+MA才有可能取得最小值；再看图3，易知AC∥OC,AC=OC=CC=OC1=√6， △COC和△COA,都为正三角形，A,关于CO的对称点为C,可知MA+MA,=MA十MC≥AC=26,即M与O重 合时，MA+MA有最小值2√6，D错误.故选AB. 12.2因为圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，所以该圆柱的底面圆的周长为其侧面展开图正方形的边长2√2，该 圆柱底面圆半径为，故该同柱一个底面的面积S=x=x·()”-号 1号从分别写有1,2.3,45的5张卡片中不放回地随机辅取3张，样本室间包含12,3,1,24.12,5.1,34. (1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个，抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的基本事件 为14,5)，23,5,24,5)，(34,5，共4个，所以抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率P=音号 141B(3分)49(2分在△ACD中，由正弦定理得A成AD在△以中，功正弦定理得 AD 15 sim∠BDC-sin2BCD:又∠ACD=∠BCD=3,∠ADC+∠BDC=x,所以sin∠ACD=sin∠BCD,sin∠ADC BC BD 血∠BC,又BD-要AD头所以瓷部是在△AX中，由余孩定理可得A=AC+C-2AC,Xm1, 即142=AC+BC+AC·BC,解得BC=10,AC=6,所以△ABC的面积为S=号AC·BC·sin∠BCA=15J3.又S= -AC CDsin-号+2C:CDsin-哥，所以CD=5.因为C=令(Ci+C,所以C产=(C+2Ci.C+ C市)6+2x6X10x(-号)+10]=19，所uc=历.所以需=4 15.解：(1)从数据可知，在随机抽取的6次成绩中， 甲射击成绩的优秀次数为5，频率为号：乙射击成绩的优秀次数为5，频率为骨 …4分 以频率作为概率，甲，乙两人射击成绩的优秀率均为。， …5分 (2)甲随机抽取的6次射击成绩的平均数为10+9+7士8+10+10=9，… …6分 方差为5了=10-9)2+(9-9)2+(7-92+(8-9)2+(10-9P+10-9)2=4 6 …8分 乙随机抽取的6次射击成绩的平均数为10十6十10十10+9+9=9，… 6 …9分 方差为d=10-9》2+(6-9》产+10-9》+10-9》2+9-9+(9=9》2=2， 6 …11分 【高一期末评估诊断·数学试卷参考答案第2页（共4页）】 26-T-763A 因为号<，所以甲随机抽取的6次射击成绩比乙稳定，故甲运动员成绩更好. 13分 16.解：(1)因为a=(2,-1),b=(3,5),所以2a一b=2(2,-1)-(3,5)=(1,-7), …3分 所以|2a-b|=√+(-7)z=5√2. …5分 (2)因为c=(-1,m),所以a十c=(2,-1)十(-1，m)=(1,m-1), 又(a+c)∥b,所以3(m-1)-1×5=0,… 8分 8 解得m= 10分 5x+4y=0, (3)由题意知a十b=(5,4),设与a十b垂直的单位向量的坐标为(x,y),所以 …13分 x2+y2=1, 解得x5成= 41 即与a+6垂直的单位向量的坐标为（￥叠，5夏）成(4夏，5)， 41 4141 …15分 17.解：(1)记“小张在两轮比赛中至少答对1题”为事件M,所以PM=1-P(M=1-(1-号)×(1-号)=号， 即小张在两轮比赛中至少答对1题的概率为8。 …5分 (2)记“小张在两轮比赛中答对i题”为事件A,(i=0,1,2),“小胡在两轮比赛中答对i题”为事件B,(i=0,1,2),“在两 轮比赛中，小张和小胡答对题目的个数相等”为事件C, 所以PA,)=(1-号)x(1-号)寸PA)=号×(1-号)+(1-号)×号-吉，PA)=号×号告， PR)=(1-)×(1-合)=子，B)=x(1-含)+(1-含)X3=2,PR)=3×3-子，…1分 所以P(O=PA,B,)+PAB)+PAB)=号×}+告×3+手×-是 0 436 即在两轮比赛中，小张和小胡答对题目的个数相等的概率为器 ……15分 18.(1)证明：连接BD交AC于点O,连接OM. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是BD中点. 又M是PD中点，所以OM∥PB.… 1分 因为PB￠平面ACM,OMC平面ACM, 所以PB∥平面ACM. …3分 (2)证明：由题知，在△ABN中，AB=AN,∠BAD=120, 由余弦定理，得BN2=AB+AN2-2AB·ANcos120°=3AB,所以BN=5AB.…4分 在△CDN中，CD=ND,∠CDN=60°，所以△CDN是等边三角形，所以CN=CD=AB,…5分 所以BN2+CN2=4AB2=BC,即BN⊥NC. …6分 因为PN⊥平面ABCD,BNC平面ABCD,所以PN⊥BN. 又PN∩NC=N,PN,NC平面PCN,所以BN⊥平面PCN. 8分 因为BNC平面PBN,所以平面PBN⊥平面PCN.…。 …9分 (3)解：因为PN⊥平面ABCD,NC,NDC平面ABCD,所以PN⊥NC,PN⊥ND. 由(2)知NC=ND,所以PC=PD.…… …… 10分 设点A到平面PCD的距离为h. 因为AB=2,PN=√5，所以PA=PC=PD=√7， 等腰△PCD底边上的高为√PC2-(CD)=6,所以Sm=号X26=6,…12分 所以Vm=号Samh=号h. 13分 【高一期末评估诊断·数学试卷参考答案第3页（共4页）】 26-T-763A 又点C到AD的距离为5，所以SD=号×4X5=25, 所以VrMm=}Sam·PN=号X2BX5=号×6·h,解得h=6. 15分 记PA与平面D阿流角为用如9房得华， 7 所以PA与平面PCD所成角的正弦值为孚 …17分 19解：1)因为=um(B+吾)，由正弦定理得号mC=iin(B+晋)， 所以号mC=snA(分sinB+sB）,又nC=ncA+B)=si Acos B+. 整理得/月cos Asin B=sin Asin B,…3分 因为B∈(0，π)，所以sinB>0,可得3cosA=sinA,即tanA=√3， …4分 因为A∈(0，元)，所以A=受.… …5分 ()②因为a=是c,由正弦定理得sin Bin C-告mA=告×（停）广-子 …7分 由余弦定理得d=+2-26c0sA=6+2-c=是c,即公+2=bc, 由正孩定理得snB+rC=早nnC-昌， 所以(sinB+sin C)2=sir2B+simC+2 sin Bsin Ca=Z 4” 因为B,C为三角形的内角，则snB+sinC0,则sinB叶sinC-马 2 …10分 (3)因为∠BAC-音，所以△ABC的内角均小于号，所以点P在△ABC的内部，且∠APB=∠BPC=∠CPA- 31 由5a=2 besin A=45,得x=16. …11分 设∠BAP=0,0e(0,受)，则∠CAP-吾-0， 在△PAB中，由正弦定理得PB 時sinO=sin/APB,即PB二后csin a, …12分 在△PAC中，由正弦定理得PC a(停-o）snpi即n(停-. b …13分 所成.成-Pw:as警后mX号a(停-小x(-) =- 子e inin(受-o）=-号n0sin(受-o） =-号m(号s0）-号（停n29-1=g2） =-号（厚m20+s20-）=-9m(20+吾）+号， …15分 因为0e(o,受)，所以20+晋∈（吾，晋），所以sm(20+吾)(3,1]，所以-9m(20+吾)+号∈[-，0)， 所以p成.P心的最小值为一号 …17分 【高一期末评估诊断·数学试卷参考答案第4页（共4页）】 26-T-763A