专题04 整式方程（三大考点，61题）（广西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题04 整式方程（三大考点，61题） 考点01：一元一次方程 1．（2024·广西·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·广西·中考真题）方程3x＝2x＋7的解是（   ） A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7 3．（2021·广西梧州·中考真题）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（　　） A．32° B．36° C．40° D．128° 4．（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 5．（2021·广西百色·中考真题）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间． 某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长： 第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）； 第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）； 第三圈长：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）； …… 请问： （1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？ （2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？ （注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇） 6．（2021·广西桂林·中考真题）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积． （1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？ （2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？ 7．（2021·广西桂林·中考真题）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5． 8．（2021·广西梧州·中考真题）运用方程或方程组解决实际问题：若干学生分若干支铅笔，如果每人5支，那么多余3支；如果每人7支，那么缺5支．试问有多少名学生？共有多少支铅笔？ 考点02：二元一次方程组 9．（2021·广西·中考真题）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行．问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 11．（2024·广西·中考真题）解方程组： 12．（2022·广西柳州·中考真题）解方程组：． 13．（2022·广西桂林·中考真题）解二元一次方程组：． 14．（2021·广西贺州·中考真题）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为，缴纳水费51.4元． （1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？ （2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？ 考点03：一元二次方程 15．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 16．（2023·广西·中考真题）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 17．（2022·广西河池·中考真题）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为(   ) A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50 C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50 18．（2022·广西贵港·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（    ） A．0， B．0，0 C．， D．，0 19．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根的情况（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 20．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在等腰直角中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为，则EF的长度为（    ） A． B．2 C． D． 21．（2021·广西河池·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 22．（2021·广西桂林·中考真题）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A．16（1﹣x）2＝9 B．9（1+x）2＝16 C．16（1﹣2x）＝9 D．9（1+2x）＝16 23．（2021·广西贵港·中考真题）某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（    ） A． B． C． D． 24．（2021·广西贵港·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是（    ） A．－2 B．2 C．－1 D．1 25．（2021·广西玉林·中考真题）已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，，则（    ） A． B． C． D． 26．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根是 ． 27．（2021·辽宁丹东·中考真题）关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 一、单选题 28．（2025·广西南宁·二模）若是关于的方程的解，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 29．（2025·广西·三模）在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．借问贤能如何算，多少儿童多少杏？问：有几个牧童？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童？设有x个牧童，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 30．（2025·广西钦州·二模）若是关于x的方程的解，则a的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 31．（2025·广西梧州·一模）一元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 32．（2025·广西来宾·一模）古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图所示是一位妇女按满五进一的方法，从右到左在绳子上依次打结，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到43个野果，则第2根绳子上的打结个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．（2025·广西·一模）根据民间传统，腊月二十四被称为“扫尘日”，家家户户会进行大扫除．这一天小壮和爸爸妈妈一起进行了大扫除．如果一个人单独做完，小壮需，爸爸需，妈妈仅需．三人一起做后，爸爸去采购年货，剩下的打扫工作小壮和妈妈还需多少小时才能完成？设剩下的打扫工作小壮和妈妈还需才能完成，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 34．（2025·广西·二模）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马，多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，解得x，y的值分别是（   ） A． B． C． D． 35．（2025·广西钦州·二模）随着电影《哪吒2之魔童闹海》的热映，与之相关某漫画册的销量也急剧上升．某书店分两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，且两次进价都是40元/套．设该书店第一次购进套，第二次购进套，根据题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 36．（2025·广西南宁·一模）《九章算术盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十，盈六；人出九，不足十．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出钱，就多了钱；如果每人出钱，就少了钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 37．（2025·广西钦州·一模）有一列货运火车装运一批货物，如果每节车厢装65吨，则还剩20吨装不下；如果每节车厢装66吨，则还可多装40吨．设这列火车共有节车厢，这批货物共有吨，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 38．（2025·广西梧州·三模）已知实数，是关于的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ） A． B． C． D． 39．（2025·广西崇左·三模）若是方程 的两个根，则的值为（    ） A． B．1 C．6 D． 40．（2025·广西南宁·三模）阅读材料：方程（b，c为常数）的两实根为，，所以方程可表示为．将等号左边展开得，与原方程对比，得到，．根据材料解决问题：一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 41．（2025·广西南宁·三模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 42．（2025·广西南宁·模拟预测）毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 43．（2025·广西·三模）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．（2025·广西钦州·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 45．（2025·广西南宁·模拟预测）已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则（   ） A．3 B．2 C． D． 46．（2025·广西梧州·一模）一元二次方程的根的情况为（   ） A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 47．（2025·广西南宁·一模）广西六堡茶2022年的总产量约3万吨，2024年总产量的4.3万吨．设广西六堡茶总产量的年平均增长率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 48．（2025·广西贵港·一模）实数x、y满足，，，则 ． 49．（2025·广西·一模）如图是小美家的大门，它的长与宽（单位：米）恰好是方程的两个根，则小美家的大门面积是 平方米． 三、解答题 50．（2025·广西·二模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”． (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为．①王老师的水杯容量为________； ②若不计热损失，请求此时的值； (2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学接温水和开水的时间分别为多少？ 51．（2025·广西桂林·二模）根据以下素材，探索解决任务． 确定 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量 素材 1 小明与小聪为了测量 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量，准备了足够多的 元纸币、 元硬币和 角硬币（设同种类每张纸币的 质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器材有：一架天平和一个 克的砝码． 素材 2 小明： 天平左边放 枚 元硬币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 角硬币，天 平正好平衡．小聪：天平左边放 枚 元 硬币，天平右边放 枚 角硬币和 个 克的砝码，天平正好平衡． 素材 3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放 张 元纸币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 元硬币和 枚 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入 张 元纸币，天平 右边只放入若干枚 元和 角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务 1 确定硬币的质量 每枚 元硬币和每枚 角硬币的质量是多少克？ 任务 2 确定纸币的质量 每张 元纸币的质量是多少克？ 任务 3 问题解决的策略 天平左边放入 张 元纸币，天右边只放入若 干枚 元和 角的两种硬币，请求出能使天平正 好平衡的天平右边放法的所有方案． 52．（2025·广西桂林·三模）解方程组： 53．（2025·广西·三模）（1）计算：； （2）解方程组：． 54．（2025·广西南宁·模拟预测）2024年5月20日是第35个中国学生营养日，主题是“奶豆添营养，少油更健康”．初中生小丽的妈妈为她购买了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分如表所示．某天，小丽从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小丽这天喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小丽这天已经从其他食品中摄入脂肪，在她喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 食品种类 营养成分 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 55．（2025·广西梧州·二模）（1）计算； （2）解方程组：． 56．（2025·广西南宁·二模）（1）计算：； （2）解方程组：． 57．（2025·广西梧州·一模）解下列方程或方程组： (1) (2) 58．（2025·广西来宾·一模）（1）计算： （2）解方程组： 59．（2025·广西玉林·一模）近年来，在有关部门的领导下，融安县大力推进金桔产业发展，通过政策扶持，资金投入，技术创新等多措并举，不断提升融安县金桔的知名度和美誉度． 请你根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某果农合作社组织成员对融安县金桔进行采摘和销售，为满足不同客户需求，采用礼盒装和普通袋装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒10斤，每盒售价300元 每袋8斤，每袋售价210元 问题解决 任务一 在某次销售活动中，共卖出了1200斤融安县金桔，销售总收入为34500元，请问精包装和简包装各销售了多少份？ 任务二 现在需要对700斤融安县金桔进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这700斤金桔整盒（袋）分装完．每个精包装礼盒的成本为5元，每个简包装礼盒的成本为3元．若要将购买包装的成本控制在280元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 60．（2025·广西·一模）解方程组： (1) (2) 61．（2025·广西贵港·一模）某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 试卷第36页，共36页 试卷第35页，共36页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 整式方程（三大考点，61题） 考点01：一元一次方程 1．（2024·广西·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 2．（2022·广西·中考真题）方程3x＝2x＋7的解是（   ） A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7 【答案】C 【分析】先移项再合并同类项即可得结果； 【详解】解：3x＝2x＋7 移项得，3x-2x=7； 合并同类项得，x＝7； 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解步骤是解题的关键． 3．（2021·广西梧州·中考真题）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（　　） A．32° B．36° C．40° D．128° 【答案】A 【分析】直接根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ ，且∠A＝20°，∠B＝4∠C， ∴ ∴ ∴∠C=32° 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理的应用以及解一元一次方程，运用方程思想解答此类试题是常用的思想方法． 4．（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】先根据是关于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴ ． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键． 5．（2021·广西百色·中考真题）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间． 某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长： 第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）； 第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）； 第三圈长：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）； …… 请问： （1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？ （2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？ （注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇） 【答案】（1）第三圈弯道比第一圈弯道长15米，第八圈长453米；（2）小王的速度为，老师的速度为． 【分析】（1）根据题意，计算第三圈与第一圈的路程差即可解第一问，根据题中路程公式，可解得第八圈的路程； （2）分析两人在左边的直道上相遇，且两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛道长度的差，小王的速度为，则老师的速度为，列关于的一元一次方程，解方程即可解题． 【详解】解：（1）根据题意得，第三圈弯道比第一圈弯道长： （米）； 第八圈长：（米） 答：第三圈弯道比第一圈弯道长15米，第八圈长453米． （2）由于两人是第一次相遇，教练的速度更快，且是在直道上两人相遇， 那么两人一定在左边的直道上相遇， 两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛道长度的差： （米） 设小王的速度为，则老师的速度为 答：小王的速度为，老师的速度为． 【点睛】本题考查圆的计算、一元一次方程的应用等知识，理解相关路程公式的计算是解题关键． 6．（2021·广西桂林·中考真题）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积． （1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？ （2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？ 【答案】（1）甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米；（2）选择方案①完成施工费用最少 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，根据甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积，列出方程，求解即可； （2）利用施工费用=每天的施工费用×施工时间，即可求出选择各方案所需施工费用,再比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）米， 依题意得：x+x+200=800 解得：x=300， x+200=500 ∴甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米． （2）选择方案①甲队单独完成所需费用=（元）； 选择方案②乙队单独完成所需费用=（元）； 选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用=（元）； ∴选择方案①完成施工费用最少． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）利用总费用=每天支出的费用×工作时间，分别求出选择各方案所需费用． 7．（2021·广西桂林·中考真题）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5． 【答案】x =3． 【分析】先把方程化移项，合并同类项，系数化1法即可． 【详解】解：4 x﹣1＝2x+5， 移项得：4 x﹣2x＝5+1 合并同类项得：2 x=6， ∴系数化1得：x =3． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法移项、合并同类项、系数化1．掌握解一元一次方程常用的方法要根据方程的特点灵活选用合适的方法 8．（2021·广西梧州·中考真题）运用方程或方程组解决实际问题：若干学生分若干支铅笔，如果每人5支，那么多余3支；如果每人7支，那么缺5支．试问有多少名学生？共有多少支铅笔？ 【答案】学生有4人，铅笔23支 【分析】设学生有x人，则铅笔数表示为5x＋3或7x−5，由此利用铅笔数相等联立方程求得答案即可． 【详解】解：设学生有x人，由题意得5x＋3＝7x−5， 解得：x＝4， 经检验，符合题意 则6x＋3＝23． 答：学生有4人，铅笔23支． 【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，设出人数，表示出铅笔数是解决问题的关键． 考点02：二元一次方程组 9．（2021·广西·中考真题）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行．问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设有辆车，人数为，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有辆车，人数为人，依题意得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10．（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【答案】(1) (2)特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是元和元 【分析】本题考查了代数式、二元一次方程组： （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）此次行程高速费原价总共为：元 实际支付高速费用：元 （2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别元和元 解得： 故此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是元和元． 11．（2024·广西·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得： ， ∴方程组的解为：. 12．（2022·广西柳州·中考真题）解方程组：． 【答案】 【分析】用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：①+②得：3x＝9， ∴x＝3， 将x＝3代入②得：6+y＝7， ∴y＝1． ∴原方程组的解为：． 【点睛】本题考查解方程组，解二元一次方程组的常用方法：代入消元法和加减消元法，选择合适的方法是解题的关键． 13．（2022·广西桂林·中考真题）解二元一次方程组：． 【答案】 【分析】利用加减消元法可解答． 【详解】解： ①+②得：2x＝4， ∴x＝2， 把x＝2代入①得：2﹣y＝1， ∴y＝1， ∴原方程组的解为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 14．（2021·广西贺州·中考真题）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为，缴纳水费51.4元． （1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？ （2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？ 【答案】（1）一级水费的单价为3.2元/，二级水费的单价为6.5元/；（2） 【分析】（1）设该市一级水费的单价为元/，二级水费的单价为元/，根据题意，列出二元一次方程组，即可求解； （2）先判断水量超过，设用水量为，列出方程，即可求解. 【详解】（1）设该市一级水费的单价为元/，二级水费的单价为元/， 依题意得，解得， 答：该市一级水费的单价为3.2元/，二级水费的单价为6.5元/． （2）当水费为64.4元，则用水量超过， 设用水量为，得，， 解得：． 答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，找准等量关系，列出方程（组），是解题的关键. 考点03：一元二次方程 15．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 16．（2023·广西·中考真题）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 17．（2022·广西河池·中考真题）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为(   ) A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50 C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50 【答案】A 【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题． 18．（2022·广西贵港·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（    ） A．0， B．0，0 C．， D．，0 【答案】B 【分析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根． 【详解】解：根据题意， ∵是一元二次方程的一个根， 把代入，则 ， 解得：； ∴， ∴， ∴，， ∴方程的另一个根是； 故选：B 【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算． 19．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根的情况（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据判别式即可判断求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 20．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在等腰直角中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为，则EF的长度为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，设OE=OF=x，利用阴影部分面积列出等式，得出，然后由勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意可得：OE=OF，∠O=90°， 设OE=OF=x， ∴ ， 解得：， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查不规则图形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 21．（2021·广西河池·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【答案】A 【分析】先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解． 【详解】解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2， ∴， ∴方程有两个不相等实数根． 故选A. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键． 22．（2021·广西桂林·中考真题）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A．16（1﹣x）2＝9 B．9（1+x）2＝16 C．16（1﹣2x）＝9 D．9（1+2x）＝16 【答案】A 【分析】根据该药品得原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：16（1-x）2=9． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（2021·广西贵港·中考真题）某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据该种植基地2018年及2020年的蔬菜产量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（2021·广西贵港·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是（    ） A．－2 B．2 C．－1 D．1 【答案】D 【分析】利用根与系数的关系得出，，进而得出关于的一元二次方程求出即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， 整理得出：， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程，，，为常数）根与系数的关系：，． 25．（2021·广西玉林·中考真题）已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意及一元二次方程根的判别式可得，然后再根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，， ∴，解得：， ∴由韦达定理可得：， ∴只有D选项正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 26．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解． 【详解】解：由题意可知：或， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可． 27．（2021·辽宁丹东·中考真题）关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 【答案】＜且. 【分析】由一元二次方程的定义可得，再利用一元二次方程根的判别式列不等式＞再解不等式即可得到答案. 【详解】解： 关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， 且＞ 由＞ 可得＜ ＜ 综上：＜且， 故答案为：＜且. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义及一元二次方程根的判别式，掌握利用一元二次方程根的判别式求解字母系数的取值范围是解题的关键. 一、单选题 28．（2025·广西南宁·二模）若是关于的方程的解，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解，将代入中解得a的值即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 解得：， 故选：A． 29．（2025·广西·三模）在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．借问贤能如何算，多少儿童多少杏？问：有几个牧童？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童？设有x个牧童，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设该问题中的牧童有x个，根据“若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏”，结合这堆杏的个数不变，即可列出关于x的一元一次方程． 【详解】解：设该问题中的牧童有x个， 根据题意得：． 故选：D． 30．（2025·广西钦州·二模）若是关于x的方程的解，则a的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出a的值即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， 故选：A． 31．（2025·广西梧州·一模）一元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，先移项，再合并同类项即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 故选：． 32．（2025·广西来宾·一模）古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图所示是一位妇女按满五进一的方法，从右到左在绳子上依次打结，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到43个野果，则第2根绳子上的打结个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x，根据题意得：， 解得， 即在第2根绳子上的打结数是3， 故选：C． 33．（2025·广西·一模）根据民间传统，腊月二十四被称为“扫尘日”，家家户户会进行大扫除．这一天小壮和爸爸妈妈一起进行了大扫除．如果一个人单独做完，小壮需，爸爸需，妈妈仅需．三人一起做后，爸爸去采购年货，剩下的打扫工作小壮和妈妈还需多少小时才能完成？设剩下的打扫工作小壮和妈妈还需才能完成，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，能够读懂题意是解题关键； 先通过题意写出小壮、爸爸、妈妈三人打扫卫生的效率，然后再根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意可知：小壮打扫卫生的效率为，爸爸打扫卫生的效率为，妈妈打扫卫生的效率为， 设剩下的打扫工作小壮和妈妈还需才能完成， ∴， 故选：D． 34．（2025·广西·二模）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马，多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，解得x，y的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意可得等量关系：①大马数+小马数；②大马拉瓦数+小马拉瓦数，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得： ； 解得； 故选：D． 35．（2025·广西钦州·二模）随着电影《哪吒2之魔童闹海》的热映，与之相关某漫画册的销量也急剧上升．某书店分两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，且两次进价都是40元/套．设该书店第一次购进套，第二次购进套，根据题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用——购买问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，是解题的关键．该书店第一次购进x套，则第二次购进y套，根据两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，列方程组． 【详解】解：∵该书店第一次购进x套，第二次购进y套，两次购进该漫画册共3500套，两次进价都是40元/套．第二次的总价比第一次多20000元， ∴． 故选：C． 36．（2025·广西南宁·一模）《九章算术盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十，盈六；人出九，不足十．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出钱，就多了钱；如果每人出钱，就少了钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程组．根据如果每人出钱，就多了钱；如果每人出钱，就少了钱，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：设共有人，物品的价格为钱， ∴由题意可得，， 故选：A． 37．（2025·广西钦州·一模）有一列货运火车装运一批货物，如果每节车厢装65吨，则还剩20吨装不下；如果每节车厢装66吨，则还可多装40吨．设这列火车共有节车厢，这批货物共有吨，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键．每节车厢装65吨，则还剩20吨装不下，则；如果每节车厢装66吨，则还可多装40吨，则，即可建立方程组． 【详解】解：设这列火车共有节车厢，这批货物共有吨，则可列方程组为， 故选：C． 38．（2025·广西梧州·三模）已知实数，是关于的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系． 先将方程整理为标准形式，利用根与系数的关系求出根的和与积，再将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：原方程 移项得， 依题得 、是方程的两个实数根， ，， ， 原式． 故选：． 39．（2025·广西崇左·三模）若是方程 的两个根，则的值为（    ） A． B．1 C．6 D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 40．（2025·广西南宁·三模）阅读材料：方程（b，c为常数）的两实根为，，所以方程可表示为．将等号左边展开得，与原方程对比，得到，．根据材料解决问题：一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握题干中给出的方程的表示方法，是解题的关键，根据题意，将一元三次方程，表示为，然后将左边展开，进行判断即可． 【详解】解：∵一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，， ∴方程可表示为：， ∴， ∴， ∴，，；故选项C正确，选项B，D错误； ∵， ∴；故选项A错误； 故选C． 41．（2025·广西南宁·三模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），找到两根之积与方程系数的关系，进而求解的值．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握韦达定理中两根之积与方程系数的对应关系是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程，韦达定理指出两根、有． 在方程中，，，， ∴， 解得 ． 故选：B 42．（2025·广西南宁·模拟预测）毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个同学都要送其他名同学一张祝福卡，因此总赠送祝福卡数是张，再根据共赠祝福卡1560张列方程即可． 【详解】解：设九（1）班共有x名学生， 由题意得：， 故选：B． 43．（2025·广西·三模）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）>0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）<0方程没有实数根． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 故选：B． 44．（2025·广西钦州·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后解不等式求出的取值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ∴实数的取值范围是． 故选：A． 45．（2025·广西南宁·模拟预测）已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 根据一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别是和， ∴ 故选：D． 46．（2025·广西梧州·一模）一元二次方程的根的情况为（   ） A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键． 对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 47．（2025·广西南宁·一模）广西六堡茶2022年的总产量约3万吨，2024年总产量的4.3万吨．设广西六堡茶总产量的年平均增长率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用广西六堡茶2024年的总产量=广西六堡茶2022年的总产量广西六堡茶总产量的年平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 二、填空题 48．（2025·广西贵港·一模）实数x、y满足，，，则 ． 【答案】 【分析】先用两式相减计算，然后两式相加得到，再根据完全平方公式的变形得到，代入计算即可解题． 本题考查因式分解、解一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：∵实数x、y满足，，， ∴，即 ∵ ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 49．（2025·广西·一模）如图是小美家的大门，它的长与宽（单位：米）恰好是方程的两个根，则小美家的大门面积是 平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：设方程的两根为，， ∴， ∵小美家大门的长与宽恰好是方程的两个根， ∴小美家的大门面积是平方米． 故答案为：． 三、解答题 50．（2025·广西·二模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”． (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为．①王老师的水杯容量为________； ②若不计热损失，请求此时的值； (2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学接温水和开水的时间分别为多少？ 【答案】(1)①400；② (2)嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，列代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据水量等于水速乘时间列式计算，即可作答． ②根据“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” 列出方程，解方程，即可作答． （2）设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意： ， ∴王老师的水杯容量为． 故答案为： ②接入水杯的温水吸收的热量为： ， 热水放出的热量为：， 由题意： ， 解得：， 答：王老师的水杯容量为，水温约； （2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，根据题意得： ，    解得：， ∴嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为． 51．（2025·广西桂林·二模）根据以下素材，探索解决任务． 确定 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量 素材 1 小明与小聪为了测量 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量，准备了足够多的 元纸币、 元硬币和 角硬币（设同种类每张纸币的 质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器材有：一架天平和一个 克的砝码． 素材 2 小明： 天平左边放 枚 元硬币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 角硬币，天 平正好平衡．小聪：天平左边放 枚 元 硬币，天平右边放 枚 角硬币和 个 克的砝码，天平正好平衡． 素材 3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放 张 元纸币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 元硬币和 枚 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入 张 元纸币，天平 右边只放入若干枚 元和 角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务 1 确定硬币的质量 每枚 元硬币和每枚 角硬币的质量是多少克？ 任务 2 确定纸币的质量 每张 元纸币的质量是多少克？ 任务 3 问题解决的策略 天平左边放入 张 元纸币，天右边只放入若 干枚 元和 角的两种硬币，请求出能使天平正 好平衡的天平右边放法的所有方案． 【答案】任务：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； 任务：每张元纸币的质量是克； 任务：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、求一个二元一次方程的正整数解． 任务：设枚元硬币克，枚角硬币克，根据小明和小聪使天平平衡的放置方法，列二元一次方程组求解即可； 任务：设每张元纸币克，根据素材中使天平平衡的放置方法，列一元一次方程求解即可； 任务：设天平右边放入枚元和枚角硬币，可列二元一次方程，又因为、均为正整数，求出、的正整数解即可． 【详解】任务：解：设枚元硬币克，枚角硬币克， 由素材可得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解方程组可得：， 答：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； 任务：设每张元纸币克， 由素材可得：， 解得：， 答：每张元纸币的质量是克； 任务：设天平右边放入枚元和枚角硬币， 根据题意可得：， 整理得：， 、均为正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 52．（2025·广西桂林·三模）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； 原方程组直接利用代入消元法求解即可. 【详解】解：， 把①代入②，得：， 解得：， 把代入①，得， 所以原方程组的解是. 53．（2025·广西·三模）（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】； ． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、解二元一次方程组． 根据有理数的除法法则把除法转化为乘法，可得：原式，根据有理数的乘法法则和加法法则计算即可； 用加减消元法消去未知数，解得：，把代入方程得：，解方程求出的值即可． 【详解】解： ； 解：， 得：， 系数化为得：， 把代入方程得：， 解得：， 方程组的解是． 54．（2025·广西南宁·模拟预测）2024年5月20日是第35个中国学生营养日，主题是“奶豆添营养，少油更健康”．初中生小丽的妈妈为她购买了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分如表所示．某天，小丽从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小丽这天喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小丽这天已经从其他食品中摄入脂肪，在她喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 食品种类 营养成分 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 【答案】(1)小丽这天喝了牛奶2盒，豆浆1盒 (2)不超标，见解析 【分析】本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． （1）设牛奶x盒，豆浆y盒，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意，她喝完牛奶和豆浆，吸收的脂肪量为，总脂肪量为，符合标准，解答即可． 【详解】（1）解：设牛奶x盒，豆浆y盒， 根据题意，得， 解方程，得， 答：小丽这天喝了牛奶2盒，豆浆1盒． （2）解：根据题意，她喝完牛奶和豆浆，吸收的脂肪量为，总脂肪量为，符合标准， 故不超标． 55．（2025·广西梧州·二模）（1）计算； （2）解方程组：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）先开方，进行乘除运算，再进行加减运算，有括号的先算括号； （2）代入消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）原式； （2） 把①代入②，得：，解得：； 把代入①，得：； ∴方程组的解为：． 56．（2025·广西南宁·二模）（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查有理数混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握有理数混合运算法则和解二元一次方程组的方法：加减法是解题的关键． （1）先计算乘除，再计算加减即可； （2）运用加减法求解即可． 【详解】解：（1）原式． ； （2） 得，解得：． 把代入①得，，解得：． 所以二元一次方程组的解为． 57．（2025·广西梧州·一模）解下列方程或方程组： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法和二元一次方程组的解法． （1）先移项，再用因式分解法求解即可； （2）用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 或 ，； （2） 得：， 则， 把代入①得：，， 方程组的解为． 58．（2025·广西来宾·一模）（1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则和解二元一次方程组的方法是解题的关键． （）先算乘方和括号里的减法，然后算乘除，最后算加减即可； （）方程组利用加减消元法求出解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解：， 得：，解得：， 得：，解得：， ∴方程组的解为． 59．（2025·广西玉林·一模）近年来，在有关部门的领导下，融安县大力推进金桔产业发展，通过政策扶持，资金投入，技术创新等多措并举，不断提升融安县金桔的知名度和美誉度． 请你根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某果农合作社组织成员对融安县金桔进行采摘和销售，为满足不同客户需求，采用礼盒装和普通袋装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒10斤，每盒售价300元 每袋8斤，每袋售价210元 问题解决 任务一 在某次销售活动中，共卖出了1200斤融安县金桔，销售总收入为34500元，请问精包装和简包装各销售了多少份？ 任务二 现在需要对700斤融安县金桔进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这700斤金桔整盒（袋）分装完．每个精包装礼盒的成本为5元，每个简包装礼盒的成本为3元．若要将购买包装的成本控制在280元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】任务一：精包装销售了80盒，简包装销售了50盒．任务二：分装方案1：精包装14个，简包装70个；分装方案2：精包装10个，简包装75个；分装方案3：精包装6个，简包装80个；分装方案4：精包装2个，简包装85个；理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的应用； 任务一：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒，列二元一次方程组求解即可； 任务二：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）．依题意可列出，再结合m，n，为正整数，进一步解答即可． 【详解】任务一： 解：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒． ， 解这个方程组，得 答：精包装销售了80盒，简包装销售了50盒． 任务二： 解：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）． 依题意得： ， 由①得． 将代入②． 得， 解得：； ∵， ∴， ∴， ∵m，n，为正整数， ∴或或或； ∴，或，或，或，． 分装方案1：精包装14个，简包装70个； 分装方案2：精包装10个，简包装75个； 分装方案3：精包装6个，简包装80个； 分装方案4：精包装2个，简包装85个； 60．（2025·广西·一模）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是关键． （1）用加法消元法解方程组即可； （2）先整理方程组，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ①＋②得，解得． 把代入①得，解得， 则方程组的解是． （2）解： 方程组整理得 得，解得． 把代入①得，解得， 则方程组的解为． 61．（2025·广西贵港·一模）某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)通道的宽是2米 (2)40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出方程，解出的值，结合优惠大众选择较小的的值即可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是米， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是2米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元， 由题意得，， 解得：，， 又能优惠大众， ， 答：当每个车位的月租金上涨40元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元． 试卷第36页，共36页 试卷第35页，共36页 学科网（北京）股份有限公司 $$