精品解析：山东泰安市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

高二年级考试 数学试题 2026.07 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断两者之间的逻辑关系. 【详解】因为解得，所以， 又因是的真子集，故是的充分不必要条件. 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的性质即可. 【详解】因为， 所以， . 4. 已知实数，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】当时，满足，但，选项错误； 若，则，又，则，选项错误； 若，则，，但不能推出，选项错误； 由得，若，则，，选项正确. 5. 已知为奇函数且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，，，，故ABD错误； ，故C正确. 6. 已知变量，线性相关，其一组样本数据为，，，用最小二乘法得到的经验回归方程为，去掉一对样本数据后，得到新的经验回归方程为，则（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求出原数据均值，再求新数据平均数，代入新的经验回归方程即可求解. 【详解】由题，， 去掉后，新数据平均数分别为，， 把代入到新的经验回归方程得. 7. 已知函数定义域为，且，，若与的图象交点为，，则（ ） A. 20 B. 35 C. 40 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】易得函数与的图象都关于点对称，从而可得函数与的图象的交点关于点对称，即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以函数的图象关于点对称， 又因， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数与的图象的交点关于点对称， 因为交点为， ， 所以. 8. 4个不同小球放入5个不同的盒子，设有球的盒子个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式及排列组合知识结合条件可得X各个取值的概率，然后根据期望公式即得. 【详解】时，. 时，. 时，. 时，. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 变量与的样本相关系数的绝对值越接近1，变量和之间线性相关程度越强 B. 在比较回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 C. 已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为0.25 D. 用模型拟合一组数据，，其中，设，变换后的经验回归方程为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】使用线性相关系数的性质，线性回归方程的定义求解. 【详解】变量与的样本相关系数的绝对值越接近1，变量和之间线性相关程度越强，选项A正确； 在比较回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，说明模型对数据的拟合程度更高，即模型的拟合效果越好，选项B正确； 当时，，则样本点的残差为，选项C错误； 已知，两边取自然对数可得，设，则， 由变换后的经验回归方程为可知，，即， 所以 已知，则，选项D正确. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若正实数，满足，则 B. 若，则的最小值为3 C. 若正实数，满足，则的最大值为 D. 若正数，满足，且，则，均为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】使用基本不等式求解. 【详解】由得，当且仅当时取等号，选项A正确； 令，，则，当且仅当， 即时取等号，因为，故的最小值不是3，选项B错误； 由，得，则， 当时，取最大值为，选项C正确； 因为正数，满足，则， 当且仅当，即①时取等号， 因为，所以，即， 又因为，所以②， 由①②得，，即，均为定值，选项D正确. 11. 函数与被称为“函数中的双子座”，二者性质高度关联．下列选项正确的是（ ） A. B. 若且，，则必有 C. 若，则的最小值为 D. 若直线与函数交于点，，与函数交于点，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求导，得到的单调性，从而得到，推出；B选项，求导，得到两函数的单调性和极值，得到的草图，与的大小关系不确定，B错误；C选项，得到，所以，构造函数，求导，得到的单调性，得到的最小值，C正确；D选项，由草图可知， 变形得到，从而,同理可得，所以，，故，又由，得，即，D正确. 【详解】A选项：的定义域为，， 令得，令得， 所以在单调递增,在单调递减，故， 所以，即，，A正确； B选项，，令得，令得， 故在单调递增，在单调递减，， 其中，故的最大值相等， 故,有交点，， 的草图如下所示, 故与的大小关系不确定，B错误； C选项，，则， 由可得，所以. 因为在上单调递增，所以. 所以， 设，令，解得， 令得，令得， 故在单调递减，在单调递增. 于是在时有极小值也为最小值，C正确； D选项，由草图可知，且， 即，又，故， 因为，所以， 所以或， 因为，所以，所以舍去， 故， 同理，即，又，故， 即，又，故， 所以或， 因为，所以，故舍去， 所以，， 故. 又由，即，所以，即，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】， . 13. 已知，则______． 【答案】124 【解析】 【分析】通过观察可以看出其系数符合二项式展开，将其化简代入即可. 【详解】， 代入，所以. 14. 将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，向上的点数依次记为，，，则在满足的条件下，的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式“翻译”成有序三元组，列出满足条件的全部样本空间，求出总样本数；再将目标事件“”转化为“极差为3”，从样本空间中筛选极差为 3 的三元组，确定目标事件的样本数，利用古典概率计算公式求解即得. 【详解】，， ∴从 中任选出3个数值按从小到大排列后，它们必然等于， ∴有序三元组 为 共12个， ， 即， 满足该条件的有序三元组 为共有4个. 所以，所求概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校随机抽取120名学生开展调研，统计其一周内使用AI技术辅助学习的情况，将使用节次不少于4次记为喜欢使用AI技术，否则记为不喜欢使用AI技术，经统计得到如下列联表． 性别 是否喜欢使用AI技术 合计 是 否 男生 46 14 60 女生 32 28 60 合计 78 42 120 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该学校学生是否喜欢使用AI技术与性别有关； （2）将频率视为概率，现从所抽取的120名学生中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI技术的学生的条件下，求此学生为女生的概率． 附： 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）能认为该学校学生是否喜欢使用AI技术与性别有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）使用独立性检验求解； （2）使用条件概率公式求解. 【小问1详解】 零假设：该校学生是否喜欢使用AI技术与性别无关 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否喜欢使用AI技术与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01 【小问2详解】 设事件“抽中喜欢使用AI技术的学生”，事件“抽中女生”，根据题意得 . 16. 已知在的展开式中，第3项的系数为112． （1）求展开式中的常数项； （2）从展开式中的所有项中任取5项，取出5项中既有有理项也有无理项，共有多少种不同的取法？ 【答案】（1）1792 （2）120 【解析】 【小问1详解】 的展开式的通项（） 由题意得，得，则， 令，得，故常数项为； 【小问2详解】 令，得，则展开式中有理项有3项，无理项有6项， 从展开式9项中任取5项既有有理项也有无理项，包括三种情况： 1项有理项和4项无理项有种取法； 2项有理项和3项无理项有种取法； 3项有理项和2项无理项有种取法 则抽取5项中既有有理项也有无理项的取法共有种． 17. 已知函数在处有极小值． （1）求实数的值； （2）已知函数，，讨论函数的零点个数． 【答案】（1）2 （2）当时，的零点个数为3；当时，的零点个数为2 ；当时，的零点个数为1. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由在处有极值得，求得，再代入分析的单调性，验证函数的极值情况，即得实数的值； （2）求出函数的导数，研究函数的极值和单调性，根据最值的符号结合零点存在性定理，讨论在各个区间内的零点个数. 【小问1详解】 ， 在处有极小值， ， 此时， 当时，，单调递减；当时，，单调递增 在处有极小值，符合题意. 【小问2详解】 ，则 ，由解得或，其中. 当和时，，单调递增； 当时，，单调递减. ，， 在内存在一个零点， 且， 设， 则 在内为减函数，， 当时，，即， 时，， 在，上各有一个零点，此时的零点个数为3； 当时，，此时的零点个数为2； 当时，，即，在上无零点，此时的零点个数为1. 18. 在量子通信实验中，利用单光子探测器接收加密光子信号．现有两套独立工作的探测系统，，系统单次探测成功的概率为（），系统单次探测成功的概率为（）．现进行独立探测实验，每轮同时启动，两套系统进行探测． （1）每轮探测中，，各探测一次，，均探测失败判定为失效轮．已知，若连续两轮探测中，恰好出现1个失效轮的概率为，求的值； （2）探测规则升级：在每轮探测中，操作员甲操控系统独立探测2次，操作员乙操控系统独立探测2次．若甲，乙累计探测成功次数不小于3次，则本轮判定为胜利轮； （i）设一轮探测中甲，乙探测成功的总次数为，若，与（1）中数值相同，求的分布列及数学期望； （ii）若，每轮探测互不影响，设每轮为胜利轮的概率为，求的最小值以及此时，的值． 【答案】（1） （2）（i） 0 1 2 3 4 （ii）当，时，的最小值为 【解析】 【分析】(1)通过独立事件概率求解. (2)(i)对分类讨论求解概率并求期望. (ii)通过组合数表示出概率后求解最小值. 【小问1详解】 设单轮探测为失效轮的概率为， 则， 由题意得，， ，. 【小问2详解】 (i)的可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 的分布列如下 0 1 2 3 4 . (ii)由题意得 ， ， ， 令，， 则， 当时，， ， 解得， 当，时，的最小值为. 19. 已知函数． （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数有两个极值点，，且，证明：； （3）当时，函数与直线的图象有三个交点，横坐标分别为，1，，且，试判断与0的大小并说明理由． 【答案】（1） （2）, ， 由题意，有两个根，，且， 由韦达定理： ，， 要证， 即证， 即证， 即证， 设（）， ， 在上单调递减， ， 成立， 原不等式成立. （3），理由如下： 当时，， 即有三个不等实根，1，， 由（1）知且时，， ，， ，， ， 即比较与0大小等价于比较与2大小， 与为的两个不等实根， 设，则， ， 设， ， 在单调递增， ，在单调递减，在单调递增； 法一：设，， ， 设， ， 设， ， 在单调递减， ， 在单调递增， 即， ， ， 在上单调递增， 故，， 即； 法二：， ， ，， ， 又在单调递增， ，即， 故. 【解析】 【分析】（1）将恒成立转化为，使用导数分析函数的单调性及最值求解； （2）将有两个极值点转化为有两个变号零点求解； （3）比较与0的大小就是比较与2的大小，设，构造函数，使用导数分析函数单调性求解. 【小问1详解】 ， 且当时，恒成立， ，， 当且时，令， ， 在上单调递增， ， 在上单调递增，， 实数的取值范围为.. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级考试 数学试题 2026.07 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 4. 已知实数，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 5. 已知为奇函数且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知变量，线性相关，其一组样本数据为，，，用最小二乘法得到的经验回归方程为，去掉一对样本数据后，得到新的经验回归方程为，则（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数定义域为，且，，若与的图象交点为，，则（ ） A. 20 B. 35 C. 40 D. 70 8. 4个不同小球放入5个不同的盒子，设有球的盒子个数为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 变量与的样本相关系数的绝对值越接近1，变量和之间线性相关程度越强 B. 在比较回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 C. 已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为0.25 D. 用模型拟合一组数据，，其中，设，变换后的经验回归方程为，则 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若正实数，满足，则 B. 若，则的最小值为3 C. 若正实数，满足，则的最大值为 D. 若正数，满足，且，则，均为定值 11. 函数与被称为“函数中的双子座”，二者性质高度关联．下列选项正确的是（ ） A. B. 若且，，则必有 C. 若，则的最小值为 D. 若直线与函数交于点，，与函数交于点，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 13. 已知，则______． 14. 将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，向上的点数依次记为，，，则在满足的条件下，的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校随机抽取120名学生开展调研，统计其一周内使用AI技术辅助学习的情况，将使用节次不少于4次记为喜欢使用AI技术，否则记为不喜欢使用AI技术，经统计得到如下列联表． 性别 是否喜欢使用AI技术 合计 是 否 男生 46 14 60 女生 32 28 60 合计 78 42 120 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该学校学生是否喜欢使用AI技术与性别有关； （2）将频率视为概率，现从所抽取的120名学生中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI技术的学生的条件下，求此学生为女生的概率． 附： 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 已知在的展开式中，第3项的系数为112． （1）求展开式中的常数项； （2）从展开式中的所有项中任取5项，取出5项中既有有理项也有无理项，共有多少种不同的取法？ 17. 已知函数在处有极小值． （1）求实数的值； （2）已知函数，，讨论函数的零点个数． 18. 在量子通信实验中，利用单光子探测器接收加密光子信号．现有两套独立工作的探测系统，，系统单次探测成功的概率为（），系统单次探测成功的概率为（）．现进行独立探测实验，每轮同时启动，两套系统进行探测． （1）每轮探测中，，各探测一次，，均探测失败判定为失效轮．已知，若连续两轮探测中，恰好出现1个失效轮的概率为，求的值； （2）探测规则升级：在每轮探测中，操作员甲操控系统独立探测2次，操作员乙操控系统独立探测2次．若甲，乙累计探测成功次数不小于3次，则本轮判定为胜利轮； （i）设一轮探测中甲，乙探测成功的总次数为，若，与（1）中数值相同，求的分布列及数学期望； （ii）若，每轮探测互不影响，设每轮为胜利轮的概率为，求的最小值以及此时，的值． 19. 已知函数． （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数有两个极值点，，且，证明：； （3）当时，函数与直线的图象有三个交点，横坐标分别为，1，，且，试判断与0的大小并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $