精品解析：山东省泰安市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

高二年级考试 数学试题 2025.07 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则集合中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.7 3. 已知，则有（ ） A. 最大值0 B. 最小值0 C. 最大值 D. 最小值 4. 已知命题p：函数在上是单调函数，命题q：函数的定义域为R，若命题p与q有且只有一个为真命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C D. 5. 设A，B是两个事件，，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（ ） A 24 B. 16 C. 12 D. 10 7. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数m，n，p满足，，，则m，n，p大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 如果由一组样本数据，，…得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点，，…中的一个 B. 在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 C. 残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3 10. 已知的展开式中，第三项与第十一项的二项式系数相等，则下列选项正确的是（ ） A. B. 所有项系数的和为1 C. 二项式系数最大的项为第6项 D. 有理项共有3项 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若函数，则的定义域为 B. 函数值域为 C. 若直线与函数的图象有且只有4个公共点，则实数k的取值范围为 D. 函数的所有零点之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是定义在R上且周期为2的奇函数，当时，，则________. 13. 若随机变量，则当取最大值时，正整数k的值是________. 14. 已知对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年1月，一股来自东方的“神秘力量”——国产AI大模型DeepSeek引发硅谷震动，并迅速走红全球，它向全球用户免费开源，用卓越性能和较低的算力成本引起国内外关注，令许多海外网友直呼“实力惊人”.如今，DeepSeek在各行各业的应用越来越广泛，逐步成为我们解决问题的好参谋，好助手.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了100人，得到如下数据： 是否经常使用 学历 经常使用 不经常使用 合计 本科及以上 30 20 50 本科以下 25 25 50 合计 55 45 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为学历与DeepSeek的使用情况有关？ （2）为了进一步了解DeepSeek的使用情况，从经常使用的人群中用分层随机抽样的方法抽取11人，并从这11人中抽取3人进行座谈，求抽到的3人中本科及以上学历的人数X的分布列及数学期望. 附：， 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数在处有极值. （1）求实数a，b的值； （2）求在上的最值. 17. 已知函数为偶函数. （1）求实数m的值； （2）求方程的根； （3）若函数在上有零点，求实数a的取值范围. 18. 已知函数，. （1）若，求t的取值范围； （2）若，. （ⅰ）求在处的切线方程； （ⅱ）若方程有两个不同的实根，，且，，证明：. 19. 为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：①每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局；②总共进行奇数局比赛；③全部比完后，分数高者获胜.假设每局比赛甲队获胜的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响. （1）当时，若两队共进行3局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为X，现在规定：若，则甲队可额外获得一次特殊训练机会，求甲队获得一次特殊训练机会的概率； （2）若两人共进行局比赛，当且时，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”，事件B表示“甲最终获胜”，求，值； （3）若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，已知，试判断与的大小关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级考试 数学试题 2025.07 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则集合中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，利用列举法表示全集，进而可得，即可求解． 【详解】， ， 得，则集合中元素的个数为：3. 故选：B 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.7 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为，所以， 若，则，所以. 故选：A. 3. 已知，则有（ ） A. 最大值0 B. 最小值0 C. 最大值 D. 最小值 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】已知，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以已知，则有最大值. 故选：C. 4. 已知命题p：函数在上是单调函数，命题q：函数的定义域为R，若命题p与q有且只有一个为真命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得为真当且仅当或，为真当且仅当或，然后分两种情况讨论即可得解. 【详解】因为在上单调递减，在上单调递增， 所以为真当且仅当或， 函数的定义域为R， 当且仅当恒成立，即，解得或， 所以为真当且仅当或， 当为真为假时，的范围为与的交集，即， 当为假为真时，的范围为与的交集，即为空集， 综上所述，若命题p与q有且只有一个为真命题，则实数a的取值范围为. 故选：A. 5. 设A，B是两个事件，，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用条件概率公式及独立事件的概率关系，结合概率的性质判断各项的正误. 【详解】A：由，而，则，即时成立，否则不成立，排除； B：当A，B是两个相互独立的事件，有，否则不成立，排除； C：由且，故时成立，否则不成立，排除； D：由，而，则，符合； 故选：D 6. 小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】分两个2之间是8和不是8两大类讨论即可. 【详解】若两个2之间是8，则有282817；282871；728281；128287；172828；712828； 828217；828271；782821；182827；178282；718282，共12种 若两个2之间是1或7，则有272818；818272；212878； 878212，共4种； 则总共有16种， 故选：B. 7. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，因为，所以，得，求导，得到单调性，再由函数在上单调递减，得存在，使得， 进行判断． 【详解】由，得恒成立，故， 令，则， 得， 则， 由，得，由，得， 故函数上单调递增，在上单调递减， 由，得， 因为，所以， 则函数在上单调递减， 当时，得，且得，得， 得当时，得， 当时，得， 由函数在上单调递增，在上单调递减，及， 得存在，使得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 结合四个选项的函数单调性，只有B项满足． 故选：B 8. 已知正实数m，n，p满足，，，则m，n，p的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数单调性可得，再利用对数运算及对数函数单调性确定的范围，利用单调性确定的范围即可. 【详解】依题意，，则， 而函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 由，得，又 ，，，则，， 在上单调递增，，则， 所以m，n，p的大小关系为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 如果由一组样本数据，，…得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点，，…中的一个 B. 在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 C. 残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3 【答案】BCD 【解析】 【分析】ABC选项，根据线性回归方程，回归分析中决定系数，残差图的相关概念对选项一一判断；D选项，变形后对照系数，得到，，所以c，k的值分别是和0.3，D正确. 【详解】A选项，可能不经过点，，…中的任何一个，A错误； B选项，回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，B正确； C选项，残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中， 说明模型选择比较合适，而且带状区域宽度越窄，模型拟合的精度越高，C正确； D选项，中，两边取对数，设，得，所以，， 所以c，k的值分别是和0.3，D正确. 故选：BCD 10. 已知的展开式中，第三项与第十一项的二项式系数相等，则下列选项正确的是（ ） A. B. 所有项系数的和为1 C. 二项式系数最大的项为第6项 D. 有理项共有3项 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由得即可判断；对于B，令即可验算；对于C，由二项式系数的增减性即可判断；对于D，由二项式展开式即可判断. 【详解】对于A，由题意，所以，故A错误； 对于B，在中令，可得，即所有项系数的和为1，故B正确； 对于C，二项式系数最大的项为第7项，即为，故C错误； 对于D，的展开式通项为， 所以第项为有理项，当且仅当，故有理项共有3项，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若函数，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 若直线与函数的图象有且只有4个公共点，则实数k的取值范围为 D. 函数的所有零点之和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设得，结合指数函数的性质及周期性求值域判断A、B；画出函数大致图象，数形结合判断C；解指数方程，利用周期性确定零点，最后求和判断D. 【详解】A：由题设，则定义域为，对； B：当时，当时，即为周期函数，故值域也为，对； C：由解析式可得函数图象如下，则直线与图象有且只有4个公共点， 若过则，过则， 结合图知，且，错； D：令，可得，结合周期性及函数图象知， 在上的零点有、、， 所以，所有零点的和为，对. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是定义在R上且周期为2的奇函数，当时，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的周期和奇偶性即可求得答案. 【详解】因为函数的周期为2的奇函数， 所以. 故答案为： 13. 若随机变量，则当取最大值时，正整数k的值是________. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意得，然后根据解出即可. 【详解】由题意， 当取最大值时，， 即，其中， 化简得，解得， 所以取最大值时，. 故答案为：4. 14. 已知对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】变形得到对任意恒成立，设，则，根据单调性得到，参变分离得到，构造函数，求导得到单调性，求出最大值，从而得到，解得. 【详解】， 故对任意恒成立， 设，则， 因为在R上单调递增，所以， 故， 令，，， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，且最大值为， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年1月，一股来自东方的“神秘力量”——国产AI大模型DeepSeek引发硅谷震动，并迅速走红全球，它向全球用户免费开源，用卓越性能和较低的算力成本引起国内外关注，令许多海外网友直呼“实力惊人”.如今，DeepSeek在各行各业的应用越来越广泛，逐步成为我们解决问题的好参谋，好助手.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了100人，得到如下数据： 是否经常使用 学历 经常使用 不经常使用 合计 本科及以上 30 20 50 本科以下 25 25 50 合计 55 45 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为学历与DeepSeek的使用情况有关？ （2）为了进一步了解DeepSeek的使用情况，从经常使用的人群中用分层随机抽样的方法抽取11人，并从这11人中抽取3人进行座谈，求抽到的3人中本科及以上学历的人数X的分布列及数学期望. 附：， 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7879 10828 【答案】（1）学历与Deep Seek的使用情况无关； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）应用卡方公式求卡方值，再由独立性检验的基本思想得结论； （2）由分层抽样确定人员分布，法一：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，并求出对应概率，写出分布列，进而求期望；法二：应用超几何分布的期望公式求期望. 【小问1详解】 零假设为：“学历与Deep Seek的使用情况无关”， 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即学历与Deep Seek的使用情况无关； 【小问2详解】 由题意知，在抽取的11人中，本科及以上学历的有6人，本科以下学历的有5人 方法一：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， ，，，， X的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴； 方法二：X服从超几何分布，X分布列为，， ∴. 16. 已知函数在处有极值. （1）求实数a，b的值； （2）求在上的最值. 【答案】（1）， （2）最大值，最小值 【解析】 【分析】（1）由题意，解得并检验即可得解； （2）求导得函数在上的单调性，进一步比较极值与端点值即可得解. 【小问1详解】 ， ∵在处有极值， ∴， 即，解得， 经检验，符合题意，∴，. 【小问2详解】 由（1）可知，， 令，解得或， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x -1 1 3 + 0 - 单增 单减 2 ∴当时，有最大值，当时，有最小值. 17. 已知函数为偶函数. （1）求实数m的值； （2）求方程的根； （3）若函数在上有零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由偶函数的性质得，求参数即可； （2）应用对数的运算性质求解方程的根； （3）由题设在上有解，应用导数研究右侧的单调性，进而求值域，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题知，的定义域为R，且为偶函数， ∴，即， 整理得恒成立，可得； 【小问2详解】 由（1）可知，， 方程可化为， ∴，则，整理得， 令，则，不等式可化为，解得（舍）或， ∴，可得，故方程的根为； 【小问3详解】 在上有零点， ∴在上有解， 设，，则， ∴在上单调递减，， ∴. 18. 已知函数，. （1）若，求t的取值范围； （2）若，. （ⅰ）求在处的切线方程； （ⅱ）若方程有两个不同的实根，，且，，证明：. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题设恒成立，应用导数求右侧最小值，即可得范围； （2）（i）应用导数几何意义求切线方程；（ii）利用导数研究函数的根得、，且，，即可证. 【小问1详解】 由题设恒成立， 设，则， 设，，则，则在上单调递增， ∴，故， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， ∴，则； 【小问2详解】 （ⅰ）当时，， ∴，又，， ∴在处的切线方程为，即； （ⅱ）由（ⅰ）知，，则时，时， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∵有两个不同实根，，且， ∴， 设，，则， 令，解得，令，解得， ∴在上单调递减，在上单调递增，， ∴在上恒成立， 设与直线的交点横坐标为，则，即， ∵，， ∴在处的切线方程为， 设与直线的交点的横坐标为，同理可证： ∵， ∴ ∴. 19. 为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：①每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局；②总共进行奇数局比赛；③全部比完后，分数高者获胜.假设每局比赛甲队获胜的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响. （1）当时，若两队共进行3局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为X，现在规定：若，则甲队可额外获得一次特殊训练机会，求甲队获得一次特殊训练机会的概率； （2）若两人共进行局比赛，当且时，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”，事件B表示“甲最终获胜”，求，的值； （3）若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，已知，试判断与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）； （2），； （3），理由见解析. 【解析】 【分析】（1）应用独立重复试验的概率求法及互斥加法公式求概率； （2）由题设前局后剩余2局比赛，设前局甲队赢局，则剩余2局的赢局数，总分满足，应用二项分布的概率及对立事件概率求法求，； （3）由全概率公式得，即，再应用作商、基本不等式得，即可得结论. 【小问1详解】 ， ∴甲队获得一次特殊训练机会的概率为； 【小问2详解】 由题设，前局后剩余2局比赛，设前局甲队赢局， 则剩余2局的赢局数，总分满足， 所以对应，即，又，故， 对于对应，即，又，所以； 【小问3详解】 由全概率公式得 ， ∴， 当时，， ， ∵， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$