山东省临沂第一中学2025-2026学年下学期期末学业水平质量调研数学试题

**基本信息** 2025-2026学年下学期期末数学试卷，以人体脂肪与年龄关系、疾病调查等真实情境为载体，通过线性回归、独立性检验、概率方案设计等问题，考查数学眼光、思维与语言，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、函数极值、正态分布等|第7题结合高考成绩正态分布，考查数据分析能力| |填空题|3题15分|二项式定理、概率方差|第13题篮球投篮问题，体现概率在生活中的应用| |解答题|5题77分|线性回归、函数零点、独立性检验、概率分布|15题人体脂肪数据回归分析（数据观念），19题血液检验方案设计（模型观念与运算能力）|

秘密★启用前 试卷类型：A 2025~2026学年度下学期期末学业水平质量调研试题 数学试题参考答案及评分标准 2026.7 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1.D2.B3.B4.C5.D6.B7.C8.A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.CD 10.ACD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.213.6.48(2分) 9(3分)4到 [127 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) (1)解： x=26+27+39+41+49+53+56+58+60+61=47, ········2分 10 y=il ········3分 -=27 10 1 ∑xy-10 13527.8-10×47×27 10 y-10 V23638-10×472×√7759.6-10×272 13527.8-12690 837.8 √23638-22090×V7759.6-7290 V1548×√469.6 837.8 ········6分 6V43×2117.4 837.8 ≈0.98， ········7分 12×71 由相关系数r≈0.98，推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强 ········8分 (2)解： 因为回归方程为y=1.56+bx, 即a=1.56, 所以6=y-a_27-1560.54: ········9分 47 所以y关于x的线性回归方程为y=0.54x+1.56, ········10分 将x=60代入线性回归方程得y=0.54×60+1.56=33.96, ······11分 年龄为60岁时的残差35.2-33.96=1.24 ········13分 数学参考答案第1页共6页 16.（15分) (1)解： 由于f(x)=log2(22+2+1)-ax=log2 22+2+1 是偶函数， 所以f(-x)=f(x)即log2 ········2分 2-at 即22+2+122+2+1（22+2+12222+2+1 2-ax 2 2m.22 化简，得2+2+1_2+2+1→20=2= ········4分 2-ax.22x 所以，(2-ax=ax→1-ax=0,要使等式恒成立，则a=1, ········5分 经检验，当a=1时，函数f(x)=log2(2+2+1)-ax是偶函数.········6分 (2)解： 由于f(x)=log2(22x+2+1)-x 故g(付)=2s2利+m-2=22+2*+1+m-2*=2+(m+1）-2+1······…7分 改，-2，则树=rom+u1由xE[Llog,到可得e[片3] 因为函数g(y)=2r+m2在x∈[-1，log3]上只有-个零点， 即g)mI在1[及3上只有-个零点 所以，关于的方P+0伽++1=0在：=3上只有一个实根。 得-(m+1)=t+三 ········10分 函数=在 上单调递减，在t∈[，3]上单调递增， ········11分 当t=时，y= 3:当1=1时，y=2;当1=3时，y= 3 ········12分 2 根据函数图象可知，要使关于t的方程P+(m+1)t+1=0在t∈ 3上只有一个实制 则-m-=2-(似-0号.即m=-3或号≤m号 .···14分 故实数u的取值范用为号儿(》 ········15分 17.（15分) (1)解： 2×2列联表如下： 数学参考答案第2页共6页 I型病 Ⅱ型病 合计 男 6 =-6 z 43 女 3 2z 3 3 合计 2 2 3: ··2分 要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关， 35×45x2 则，k2=63632 ········4分 35×32×2zx2 >10.828,解得z>16.242, 3 22 因为后e7,专=Z,所以：的最小整数值为18。 所以男性患者至少有18人； ········6分 (2)解： 设甲研发团队试验总花费为X,E(X)=-2p2+6m, .·······7分 设乙研发团队试验总花费为y元，则y的可能取值为3m,6m, ········8分 所以P(Y=3m)=C3q(1-q)+q3=-2q+3q2, ········9分 P(Y=6m)=1+2q3-3q2, ········10分 所以E()=3m-(-2q+3g2)+6-(1+2q-3q）=6g-9mg2+61,········11分 因为p=2q,所以E()-E(X)=6mq3-9mg2+6m+2np2-6m =6g3-9g2+2p2=6q3-q2=g(6q-1), ········12分 ①当0<q<君时，6g-1<0,因为m>0,所以mg(6g-1<0,所以E(X)>B(), 乙团队试验的平均花费较少，所以选择乙团队进行研发： .·.·····13分 ②当名q<时，g-10,因为m>0,所以两(g小0，所以E()<E, 甲团队试验的平均花费较少，所以选择甲团队进行研发； ········14分 ③当q=1时，mg2(6g-1)=0,所以E(x)=E(Y), 甲团队试验和乙团队试验的平均花费相同，二者均可. ······15分 18.(17分) (1)解： 由定义得，S6={x/(x)2f16}=og≥log16}年k≥16}.········2分 数学参考答案第3页共6页 （2)证明： 必要性：因为y=f(x)是偶函数，所以任意xeD,f(x)=f(-x),········3分 对任意t∈D,若x∈Sr阳，即f(x)≥f(t),则f(x)=f(x)≥f(t), 所以-x∈Sre,所以对任意teD,Sre是对称集 ········4分 充分性：若对任意t∈D,S,e是对称集， 因为对任意teD,teSt,所以-t∈Sre,即f(-t)≥f(t)①， ········5分 又-t∈S,所以t∈S,即f)≥(-)②. ········6分 由①②得，对任意teD,f(t)=f(-t), ·······7分 所以函数y=f(x)是偶函数 ········8分 综上，“函数y=(x)是偶函数”的充要条件是“对任意t∈D,Se是对称集”，得证 (3)解： 因为对于任意<屯∈D,都有S6)=S, 所以若x∈S6,则x∈S,即若f(x)≥f5),则f(x)≥fG), 所以f(6)之f(G),所以f(x)在x>0上单调不减， 所以f'(x)=g(x)=e2-e2x-4b(e-e)+(8b-4)x≥0恒成立. ··.···。·10分 所以g'(x)=2(e'+ex-2)(e+ex-2b+2) ········11分 当b≤2时，g'(x)≥0，等号仅当x=0时成立，所以g(x)单调递增， 而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0; ········13分 当b>2时，若x满足2<e+ex<2b-2, 即0<x<ln(b-1+Vb3-2b)时，g(x)<0,而g(0)=0, ········15分 因此当0<x≤血b-1+√B-2b)时，g()<0,不合题意 ········16分 综上，b的取值范围为(-∞，2] ········17分 19.(17分) (1)解： X的可能值为1和k+1, .·.·····1分 P(X=1)=1-p),P(X=k+1)=1-(1-p), ······2分 所以随机变量X的分布列为： X 1 k+1 1-p) 1-(1-p ·······3分 所以E(X)=1×Q-p)+k+1)×[1-1-py]=k+1-k1-p) ········4分 数学参考答案第4页共6页 （2)证明： 当tKX1时，t等价于前t次均未检测出阳性样本 ········5分 所以P(x>t)=(I-p ········6分 P(X>s+tx>5)= PXX--P(X>0 P(X>s) P(X>s)1-p)1 即P(X>k+mX>k)=P(X>m) ········8分 (或用P(x>t)=1-P(x≤t)计算证明也可) (3)(i)解： 设方案二的总费用的数学期望为E(Y),方案一总费用为Z, 所以方案二总费用的数学期望为： ECY)-aE(X)+3a-a[k+1-k(-p)*]+5a, 4 又k=10,所以0-a1-101-pP]a-10a0-pn+9。 0, ········9分 又方案一的总费用为Z=10a, 所uz-8=a[1o-p- ······10分 当0<p<1-802s时0<-p1. 0<10-p-}又a>0, 所以Z>E(),所以该单位选择方案二合理 ········11分 (iⅱ)解： 由(i)知方案二总费用的数学期望0们=()+a=a[k+1-k-pj门+a, 当p=1- ·······12分 又方案一的总费用为Z=ak, 令<z得：ak+号e <ak 所以ak+?-e<k,即e9 4 即ne>h},所以nk- 970 ········13分 4 改f=h-等-子e+o, 9 所以f=117- 二 ,x∈[2，+w）, ········14分 x 7 7x 数学参考答案第5页共6页 令f'(x)>0得2≤x<7,f'(x)<0得x>7, 所以f(x)在区间[2,7)上单调递增，在区间(7，+∞)上单调递减， f(x)m=f(7)=lh7-1-20n3-ln2)=0.1>0, ········15分 f图=3h2923-ln2-5h2-23913-g0. 7 7 10=2h3-号2咖3n2-2h2-号=14- >0, 7 f00-0-9203-h2）-151930, 7 f00=hn--x3-加=16-号0. f0到=ni2-号-20a3-h2=42-n3-号=17-号<0， ········16分 7 所以k的最大值为11. ········17分 (若只带入计算了f11)和f(12),也可得分) 数学参考答案第6页共6页秘密 启用前 试卷类型:A 2025~2026学年度下学期期末学业水平质量调研试题 数学 2026.7 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡的指定位置。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写 在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1命题“xeR.5<0”的香定是 A.VxgR,- 5 0 1 B.VxER,-1 0 -5 C.3eR,-1>0 r-5 D.ER,1 x-5 ≥0 2.设集合A 相e0-月 则AnB= A.{-1,1,2} B.1,2} C.0,23 D. 3.已知x=2是函数f(x)=(x-1(x-2)(x-a)的极值点,则f(w)的极大值为 A.0 B.4 7 c D.2 4.已知曲线C:y=1og2x,把C上各点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,相当于把C A.向下平移4个单位长度 B.向上平移4个单位长度 C.向下平移1个单位长度 D.向上平移1个单位长度 5.已知实数a<b,则“m>0”是“<a+”的 b btm A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某高中安排6名学生到3个志愿服务地点参加实践活动,每个地点至少1人,且学生A不能去 甲地,点,则不同的安排方案的方法种数是 A.540 B.360 C.240 D.180 数学试题第1页共5页 7.高考是全国统一考试,考生体量很大,高考成绩近似服从正态分布.一般正态分布可以转化为 标准正态分布,即若Z~N(4,o),Y=乙-业,则Y~N(O,1,且P(Z≤a)=PYsa-巴 知选考物理考生总分Z的全省平均分为460分,该次考试的标准差。为40,现在从选考物理的 考生中随机选取30名考生的成绩做进一步调研,若记t为这30名考生分数超过520分的人数, 则Pt≥1)=(参考数据:若Y~N(0,1),则P(Y≤1.5)=0.9332,0.93320≈0.1257) A.0.0668 B.0.1257 C.0.8743 D.0.9332 8.已知55<84,134<8,设a=log53,b=log35,c=log138,则 A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.b<a<c 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。每小题有多个选项符合题目要求,全部选对 的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.以y=aex+c(abc>0)去拟合一组数据,令==n(y-c),若线性回归方程为=1,32x+4.16, 则a=4.16,b=1.32 B.已知A,B是概率均不为0的随机事件,若P(B|A)=P(AB),则P(A)=P(B) C.若随机变量5~N(, ),且P(5≥-1)+P(5≥5)=1,则u=2 D.用决定系数R来比较两个不同模型对同一组数据的拟合效果时,R越大,表示残差平方和 越小,模型的拟合效果越好 10已知a,6为不相等的正实数,满足a+。b+方,则下列结论正确的是 A.a+b>2 B.b+1613 a b c.1++8 a6a+624W2 D, 8a2+b2 a2+1 ≥4 1l.已知函数y=f(x)的定义域为R,对于正实数a,定义集合M。={x|f(x+a)=f(x)},,则 A.若f(x)=sinx,则不是Mn中的元素 B若8)=,且fG-2x g(x+2)均为偶函数,则对于f(x),M,=R C若f的N500,M,≠o,则a27 D.若y=f(x)为偶函数,当x∈(0,1]时,f(x)=-x+1,且对任意a∈(0,2),均有M。三M2, 则对任意实数c,函数y=f(x)-c在[-2026,2026]上至多有6079个零点 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知(a-√)的展开式中x2的系数是280,则a的值为 数学试题第2页共5页 13.小鑫在一场篮球比赛中投了3个三分球,他的三分球命中率为0.4,且每球是否命中均相互独 立,设他的三分球得分为X,则X的方差是 在已知他至少命中1个的条件 下,他恰好命中1个的概率为 (注:第一空2分,第二空3分) 14.设曲线f(x)=-x-ex(e为自然对数的底数)上任意一点的切线为1,若对于任意的1,总存 在曲线g(x)=3ar+2cosx上某点处切线l,使得l⊥I,,则a的取值范围为 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中,获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据, 如下表: x(年龄/岁) 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 y(脂肪含量/%) 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 2=23638, 0 10 数据经初步处理得之y=13527.8, y=7759.6, y=270. 11 (1)计算样本相关系数r(精确到0.01),并说明该成对样本数据的线性相关程度; (2)若y关于x的线性回归方程为y=1.56+bx,求y关于x的线性回归方程(精确到0.01), 并计算当年龄为60岁时的残差, 附: 2k-0y-列 (1)参考公式:相关系数r 一组数据的回归直线)=a+bx的斜 22o-列 s-y-列 率和截距的最小二乘估计分别为b=司 a=y-bx -用 (2)参考数据:√43≈6.6,√117.4≈10.8 16.(15分) 已知函数f(x)=log2(22+2“+1)-ar是偶函数. (1)求a: (2)若函数g()=2*+m2在x∈[-1,lg,3]上只有一个零点,试求实数m的取值范围, 数学试题第3页共5页 17.(15分) 某种疾病可分为I、 两种类型,为了解该疾病类型与性别的关系,在某地区随机抽取了患该 疾病的病人进行调查,其中男性人数为:,女性人数为2:,男性患【型病的人数占男性病人的, 6 女性患【型病的人数占女性病人的号 (1)试完成2 2列联表,若在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“所患疾病类型” 与“性别”有关,求男性患者至少有多少人? I型病 型病 合计 男 女 合计 (2)某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物,两个团队各至多安 排2个接种周期进行试验.每人每次接种花费(m>0)元.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体 的概率为p,根据以往试验统计,甲团队平均花费为-2p2+6;乙团队研发的药物每次接种后产 生抗体的概率为4,每个周期必须完成3次接种,若一个周期内至少出现2次抗体,则该周期结束 后终止试验,否则进入第二个接种周期.假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独 立.若p=2q,从两个团队试验的平均花费考虑,该公司应选择哪个团队进行药品研发? 附:k2= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(k≥k) 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18.(17分) 已知函数y=f(x)的定义域是D.对于teD,定义集合So={xf()≥f)}. (1)若f(x)=log2x,求Sa6; (2)对于集合A,若对任意x∈A都有-x∈A,则称A是对称集.若D是对称集,证明:“函 数y=f(x)是偶函数”的充要条件是“对任意t∈D,S0是对称集”; >0,f)=1e2+e-4b(e+e)+(4b-2)x.试求b的取值范围,使 2 意t<t∈D,都有S二Sf 数学试题第4页共5页 19.(17分) 在某地区进行某种疾病调查,需要对该地区居民血液进行抽样化验,若结果呈阳性,则患有该 疾病;若结果为阴性,则未患有该疾病.现有k(k∈N,k≥2)份血液样本,有以下两种检验方案: 方案一:逐份检验,则需要检验k次; 方案二:混合检验,将k份血液样本分别取样混合在一起,进行一次检验,若检验结果为阴性, 则k份血液样本均为阴性,若检验结果为阳性,为了确定k份血液中的阳性血液样本,则对k份血 液样本再逐一检验, 假设在接受检验的血液样本中,每份样本是否为阳性是相互独立的,且据统计每份血液样本是 阳性的概率为p(0<p<1). (1)若k份血液样本采用混合检验方案,需要检验的总次数为X,求X的分布列及数学期望; (2)若采用逐份检验的方案,记第一次检测出阳性样本时共检测的次数为X,且5,t均为自 然数,当s+t<k-1时,求证:P(X>s+tX>s)=P(X>t); (3)若逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是 (a≥0)元,且k份血液样本混合检验一 次需要额外收 元的材料费和服务费. (i)若k=10,0<p<1-0.225,以检验总费用为决策依据,试分析说明该单位选择哪种方 案更为合理; )若卫L,采用方案二总费用的数学期望低于方案一,求k的最大值 参考数据:ln2≈0.7,ln3≈1.1,ln5≈1.6,ln11≈2.4. 数学试题第5页共5页 秘密★启用前 试卷类型：A 2025~2026学年度下学期期末学业水平质量调研试题 数 学2026.7 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡的指定位置。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．命题“”的否定是 A． B． C． D． 2．设集合，，则 A． B． C． D． 3．已知是函数的极值点，则的极大值为 A．0 B． C． D．2 4．已知曲线，把C上各点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，相当于把C A．向下平移4个单位长度 B．向上平移4个单位长度 C．向下平移1个单位长度 D．向上平移1个单位长度 5．已知实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．某高中安排6名学生到3个志愿服务地点参加实践活动，每个地点至少1人，且学生A不能去甲地点，则不同的安排方案的方法种数是 A．540 B．360 C．240 D．180 7．高考是全国统一考试，考生体量很大，高考成绩近似服从正态分布．一般正态分布可以转化为标准正态分布，即若，，则，且．已知选考物理考生总分Z的全省平均分为460分，该次考试的标准差为40，现在从选考物理的考生中随机选取30名考生的成绩做进一步调研，若记t为这30名考生分数超过520分的人数，则（参考数据：若，则，） A．0.0668 B．0.1257 C．0.8743 D．0.9332 8．已知，，设，，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是 A．以去拟合一组数据，令，若线性回归方程为，则， B．已知A，B是概率均不为0的随机事件，若，则 C．若随机变量，且，则 D．用决定系数来比较两个不同模型对同一组数据的拟合效果时，越大，表示残差平方和越小，模型的拟合效果越好 10．已知a，b为不相等的正实数，满足，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为R，对于正实数a，定义集合，则 A．若，则不是中的元素 B．若，且，均为偶函数，则对于， C．若，，则 D．若为偶函数，当时，，且对任意，均有，则对任意实数c，函数在上至多有6079个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的展开式中的系数是280，则a的值为 ． 13．小鑫在一场篮球比赛中投了3个三分球，他的三分球命中率为0.4，且每球是否命中均相互独立，设他的三分球得分为X，则X的方差是 ；在已知他至少命中1个的条件下，他恰好命中1个的概率为 ． （注：第一空2分，第二空3分） 14．设曲线（e为自然对数的底数）上任意一点的切线为，若对于任意的，总存在曲线上某点处切线，使得，则a的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分） 科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表： x（年龄/岁） 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 y（脂肪含量/%） 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 数据经初步处理得，，，． （1）计算样本相关系数r（精确到0.01），并说明该成对样本数据的线性相关程度； （2）若y关于x的线性回归方程为，求y关于x的线性回归方程（精确到0.01），并计算当年龄为60岁时的残差． 附： （1）参考公式：相关系数，一组数据的回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，； （2）参考数据：，． 16. （15分） 已知函数是偶函数． （1）求a； （2）若函数在上只有一个零点，试求实数m的取值范围． 17. （15分） 某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型，为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为z，女性人数为2z，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的． （1）试完成列联表，若在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？ Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计 男 女 合计 （2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队各至多安排2个接种周期进行试验．每人每次接种花费元．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p，根据以往试验统计，甲团队平均花费为；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期．假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．若，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？ 附：． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. （17分） 已知函数的定义域是D．对于，定义集合． （1）若，求； （2）对于集合A，若对任意都有，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； （3）若，．试求b的取值范围，使得对于任意，都有． 19. （17分） 在某地区进行某种疾病调查，需要对该地区居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病．现有份血液样本，有以下两种检验方案： 方案一：逐份检验，则需要检验k次； 方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起，进行一次检验，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验． 假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为． （1）若k份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X的分布列及数学期望； （2）若采用逐份检验的方案，记第一次检测出阳性样本时共检测的次数为X，且s，t均为自然数，当时，求证：； （3）若逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且k份血液样本混合检验一次需要额外收元的材料费和服务费． （i）若，，以检验总费用为决策依据，试分析说明该单位选择哪种方案更为合理； （ii）若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值． 参考数据：，，，． 数学试题 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $■ ■ ■ 2025一2026学年度下学期期末学业水平质量调研试题 数学答题卡 姓名： 座号： 贴条形码区 考生号： 由考生本人负责粘贴 注 1.答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，然后将本人姓名、考生号、座号填写在相应位 考生禁填 置，并在答题卡背面左上角填写姓名和座号。填写考生号和座号时，每个方框内只填写一个阿拉伯数字。 2答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上对应答案的标号，修改时，要用橡皮擦干净。 缺考标记口 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，要求字体工整，笔迹清晰，务必在题号所示的区域作答。 缺老老生由监考员负贵 并用黑色 4.保持答题卡清洁、完整。严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带。 项 5.若未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负。 标记。 选择题（请用2B铅笔填涂）】 填涂样例 正确填涂 ■ ■1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A1[BI[C][D] 7[A1[B][C][D ■ ■3[A][B][C[D] 8[A1[B][C][D] 4[A1[B][C][D] 9[A][B][C][D] ■ 5[A1[B][C1[DI 10[A][B][C][D] 非选择题（请用0.5毫米黑色签字笔书写） 三、 12. 13. 14. 四、 15. 请在各题目答题区域内作答，超出边框的答案无效 ■ ■ 数学答题卡第1页，共4页 ■ ■ ■ ■ 请在各题目答题区域内作答，超出边框的答案无效 四、 16. 四、 1 请在各题目答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目答题区域内作答，超出边框的答案无效 ■ ■ ■ ■ ■ ■ 数学答题卡第2页，共4页 考生 必填 姓名 座号 请在各题目答题区域内作答，超出边框的答案无效 1 请在各题目答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目答题区域内作答，超出边框的答案无效 口 ■ ■ ■ 数学答题卡第3页，共4页 ■ ■ ■ 请在各题目答题区域内作答，超出边框的答案无效 四、 19 请在各题目答题区域内作答，超出边框的答案无效 ■ ■ ■ ■ 数学答题卡第4页，共4页秘密 启用前 试卷类型:A 2025~2026学年度下学期期末学业水平质量调研试题 数学试题参考答案及评分标准2026.7 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1. D 2. B 3. B 4. C 5. D 6. B 7. C 8. A 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。每小题有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. CD 10. ACD 11. ABD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 2 13. 6.48(2分) (3分) 14. 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) (1)解: , 2分 3分 6分 , 7分 由相关系数,推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强. 8分 (2)解: 因为回归方程为, 即, 所以; 9分 所以y关于x的线性回归方程为, 10分 将代入线性回归方程得, 11分 年龄为60岁时的残差. 13分 16.(15分) (1)解: 由于是偶函数, 所以即, 2分 即 化简,得 4分 所以,,要使等式恒成立,则, 5分 经检验,当时,函数 是偶函数. 6分 (2)解: 由于 故 7分 设,则由可得 8分 因为函数在上只有一个零点, 即 上只有一个零点 所以,关于的方程在上只有一个实根, 得, 10分 由函数在上单调递减,在上单调递增, 11分 当时,;当时,;当时, 12分 根据函数图象可知,要使关于的方程在上只有一个实根, 则或,即或 14分 故实数m的取值范围为. 15分 17.(15分) (1)解: 列联表如下: 型病 型病 合计 男 女 合计 2分 要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关, 则,,解得, 4分 因为,,所以的最小整数值为18, 所以男性患者至少有18人; 6分 (2)解: 设甲研发团队试验总花费为,, 7分 设乙研发团队试验总花费为元,则的可能取值为,, 8分 所以, 9分 , 10分 所以, 11分 因为,所以 , 12分 ①当时,,因为,所以,所以, 乙团队试验的平均花费较少,所以选择乙团队进行研发; 13分 ②当时,,因为,所以,所以, 甲团队试验的平均花费较少,所以选择甲团队进行研发; 14分 ③当时,,所以, 甲团队试验和乙团队试验的平均花费相同,二者均可. 15分 18.(17分) (1)解: 由定义得,. 2分 (2)证明: 必要性:因为是偶函数,所以任意,, 3分 对任意,若,即,则, 所以,所以对任意,是对称集. 4分 充分性:若对任意,是对称集, 因为对任意,,所以,即①, 5分 又,所以,即②. 6分 由①②得,对任意,, 7分 所以函数是偶函数. 8分 综上,“函数是偶函数”的充要条件是“对任意,是对称集”,得证. (3)解: 因为对于任意,都有, 所以若,则,即若,则, 所以,所以在上单调不减, 所以恒成立. 10分 所以. 11分 当时,,等号仅当时成立,所以单调递增, 而,所以对任意,; 13分 当时,若满足, 即时,,而, 15分 因此当时,,不合题意 16分 综上,的取值范围为. 17分 19.(17分) (1)解: X的可能值为1和, 1分 , 2分 所以随机变量X的分布列为: X 1 P 3分 所以 4分 (2)证明: 当t<X-1时,X>t等价于前t次均未检测出阳性样本 5分 所以 6分 即. 8分 (或用计算证明也可) (3)(i)解: 设方案二的总费用的数学期望为,方案一总费用为Z, 所以方案二总费用的数学期望为: , 又,所以, 9分 又方案一的总费用为, 所以, 10分 当时., ,又, 所以,所以该单位选择方案二合理. 11分 (ii)解: 由(i)知方案二总费用的数学期望, 当时,, 12分 又方案一的总费用为, 令得:, 所以,即, 即,所以, 13分 设, 所以, 14分 令得得, 所以在区间上单调递增,在区间上单调递减, , 15分 , , , , , 16分 所以k的最大值为11. 17分 (若只带入计算了和,也可得分) 数学参考答案 第 1 页 共 4 页 学科网(北京)股份有限公司 $