专题1.2 从立体图形到平面图形15大题型（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦立体图形与平面图形的转化，系统梳理图形的展开与折叠（含正方体11种展开图及相对面判断）、几何体的截面（如正方体截面形状）、三视图（主俯长、主左高、俯左宽关系），构建从立体到平面的转化逻辑支架。 通过分类枚举正方体展开图、截面形状探究、三视图画法等题型，结合即学即练与综合实践（如包装盒制作），培养几何直观与空间观念（数学眼光），提升推理能力（数学思维），强化应用意识（数学语言）。课中助力教师系统教学，课后便于学生查漏补缺。

专题1.2 从立体图形到平面图形 教学目标 1. 认识立体图形的截面与视图，理解立体图形可转化为平面图形的几何规律。 2. 能准确画出正方体、圆柱、圆锥等常见几何体的主视图、左视图与俯视图。 3. 通过观察与作图实践，提升几何直观能力与立体图形转化平面的空间思维。 4. 体会几何体与平面图形的联系，感受数形转化思想，提升数学探究素养。 教学重难点 1.重点 （1）掌握常见立体图形的三种视图画法 （2）理解立体图形与平面图形的转化关系 2.难点 （1）精准绘制复杂几何体的平面视图 （2）依托视图还原对应立体几何图形 知识点01 图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 【即学即练】 1．（25-26七年级上·山东青岛·期中）下列图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）如图是一个小立方块几何体的平面展开图，哪个不正确（   ） A． B． C． D． 知识点02 截一个几何体 1. 截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面. 2. 正方体常见的截面如图所示： 【即学即练】 3．（25-26六年级上·山东东营·期末）用一个平面去截一个正方体，得到的截面的形状可能是：____________．（填序号） ①三角形；②梯形；③圆；④五边形；⑤六边形；⑥七边形． 4．（25-26七年级上·河南·期末）按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后．剩下的几何体的面和棱的数量为（    ） A．7个，13个 B．6个，12个 C．7个，12个 D．6个，11个 知识点03 从不同方向看几何体 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 【即学即练】 5．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则小立方块的个数不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）一个由若干个边长为1的小立方块搭成的几何体，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)计算该几何体的表面积． 题型01 从不同方向看几何体 1．（2026·山东泰安·三模）如图所示的几何体从正面看到的平面图形是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图是由四个相同的小正方体搭成的一个几何体，从左面看到的平面图形是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26六年级上·山东泰安·期末）从正面看一个几何体得到的图形如图所示，这个几何体最少由 ________ 个小正方体组成． 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 题型02 几何体展开图的认识 5．（2026·河南新乡·一模）某个立体图形的展开图由两个相同的圆形和一个长方形组成，则该立体图形可能是（  ） A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．三棱柱 6．（2026·陕西·一模）把立体图形转化为平面图形的主要方法有截面、展开、从不同方向看．如图是小志将一个立体图形的表面展开后得到的平面图形，这个立体图形是（   ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．圆锥 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），设高为，则该长方体盒子的宽为_________，长为_________．（用含的代数式表示） 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）用代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．如图1是由中的两个图形组合而成的（组合用“&”表示）．如图2所示的组合图形中表示的是________． 题型03 由展开图计算几何体的表面积 9．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知一个直五棱柱的侧棱长为4，其中一个底面的周长为5，则这个直五棱柱的所有侧面的面积之和为（   ） A．80 B．60 C．20 D．15 10．（2024七年级·全国·竞赛）将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 12．（25-26七年级上·甘肃平凉·期末）如图，这是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：标有字母的面向外），请根据要求回答问题： (1)如果面B在长方体的上面，那么下面是面______． (2)如果从上面看是面E，从前面看是面C，那么从右面看是面______． (3)如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 题型04 由展开图计算几何体的体积 13．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 14．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒．这个纸盒的容积是 _______立方厘米． 15．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 16．（25-26七年级上·四川眉山·期末）(项目学习·探究包装盒的制作)根据材料，完成任务． 项目主题 设计经济适用的包装盒      项目背景 为了减少包装盒产生的垃圾，红红和她的数学兴趣小组想通过实验，设计出一款经济适用的包装盒，现有一个长，宽的长方形硬纸板．(纸板厚度忽略不计) 素材1 常规的设计方案如图1，在纸板上截去图中阴影部分，盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折叠成一个有盖的长方体包装盒． 素材2 从实用和减少包装材料的角度考虑；是否有增加包装盒容积或节省纸板材料的方法？红红提出可以设计成如图2，在纸板中截去图中阴影部分，然后沿虚线折叠成一个有盖的圆柱体包装盒． 任务1 计算长方体包装盒的容积？ 任务2 计算圆柱体包装盒的容积，判断红红的方案是否使包装盒的容积变大？(取3) 任务3 计算两种方案纸板的使用面积，判断红红的方案是否节省材料？(取3) 题型05 正方体几种展开图的识别 17．（25-26九年级下·广东深圳·期中）下面图形不能拆成正方体的是（     ） A． B． C． D． 18．（2026·河北保定·模拟预测）将如图1所示的正方体按如图2所示的方式展开，则在展开图中表示棱的线段可以是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． 20．（2025七年级上·全国·专题练习）活动课上，学生们设计制作正方体包装盒，老师发给每名学生一张长方形纸板，其长为4，宽为3，可以在纸板上画出设计图，将阴影部分剪下再折叠，三名学生的设计如图所示： 小张的设计小李的设计小王的设计其中剪下后不能折成正方体的设计有________（填小张、小李或小王）． 题型06 正方体相对两面上的字 21．（2026·河南周口·模拟预测）“桃红复含宿雨，柳绿更带朝烟”出自王维《田园乐》组诗，反映其山水田园诗风及隐逸情趣．将“柳、绿、更、带、朝、烟”六个字书写在某个正方体的表面展开图上，将该正方体复原后，与“柳”字所在面相对的面上的字是（   ） A．更 B．带 C．朝 D．烟 22．（2026九年级·吉林·专题练习）图（1）表示一个正方体，只有三个面上分别标有不同的点数，图（2）是这个正方体的表面展开图，则在图（2）中面“”是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 23．（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数字之和相等，则这六个数之和是_____________． 24．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期末）小丁帮爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面． (1)请你在图中添加一个正方形，使该展开图折叠后成为一个封闭的正方体包装盒．（只需画出一种方法） (2)在（1）画出的设计图中，把3，5，，，，这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒每组相对面上的两个数相加的和相等．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 题型07 含图案的正方体的展开图 25．（2026·河北沧州·一模）如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 26．（2025·山西忻州·三模）如图所示是一个正方体纸盒，在下面的四个图中只有一个是这个正方体纸盒的展开图，那么这个展开图是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级上·江苏南京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有______．（填序号） 28．（25-26七年级上·重庆·期中）如图所示，图1为一个棱长为3的正方体，图2为图1的表面展开图（每个面表示的数字写在外表面上），请根据要求回答问题： (1)如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x=　 　，y=　 　； (2)如果面“3”是上面，面“5”是后面，则右面是 　 　（填0或或x或y）； (3)图1中，点P为所在棱的中点，在图2中找到点P的位置，并直接写出图2中的面积． 题型08 求展开图上两点折叠后的距离 29．（2025·河南焦作·二模）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 30．（25-26七年级上·重庆合川·期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 31．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 32．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    题型09 补一个面使图形围成正方体 33．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 34．（2023·黑龙江大庆·一模）黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 35．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），若在图中只添加一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，这样的拼接方式有_____种． 36．（2025七年级上·全国·专题练习）综合与实践 【主题】展开与折叠 【素材】无盖的长方体盒子、剪刀 【实践操作】沿着图1中边沿线剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记好四个面； (1)写出盒子底面相邻两边的长分别为 、 ；（用含a的式子表示） (2)请在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖 （画出一种情况即可）． 题型10 截一个几何体 37．（2026·陕西西安·三模）如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A． B． C． D． 38．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）数学课上，研究正方体的截面特征时，以下说法正确的是（　　） ①用一个平面去截正方体，能得到三条边都相等的三角形截面； ②用一个平面去截正方体，当这个平面同时与正方体其中的四个面都相交时，所得截面一定是正方形； ③用一个平面去截正方体，可能截出七边形； ④用一个平面去截正方体，截面的边数最多有六条． A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 39．（25-26六年级上·山东烟台·期中）用一个平面分别截下列五个几何体：球、圆柱、圆锥、六棱柱、三棱锥，可以得到三角形截面的几何体有_______． 40．（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图所示的圆柱，它的底面半径为，高为． (1)该圆柱的截面有几种不同的形状？ (2)你能截出截面最大的长方形吗？如果能，请求出截得的最大的长方形的面积为多少？如果不能，请说明理由． 题型11 平面图形识别的识别 41．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）如图所示，图中正六边形有（    ）个． A．15 B．13 C．11 D．10 42．（练习12平面图-2020-2021学年【补习教材�寒假作业】七年级数学（华东师大版））如图是一个浅湖的平面图，图中所有曲线都表示湖与岸边的分界线，如果P点在岸上，那么A点和B点分别在（    ） A．点A在水中，点B在水中 B．点A在水中，点B在岸上 C．点A在岸上，点B在水中 D．点A在岸上，点B在岸上 43．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是_______． 44．（25-26七年级上·全国·课后作业）把图中的一个直角三角形和一个直角梯形拼在一起，可以拼成几种不同的常见平面图形？画出你所拼出的图形． 题型12 七巧板拼图形 45．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）（组合图形求面积）用边长为的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成 “小天鹅”图案（如图），其中阴影部分的面积为（    ） ． A． B． C． D． 46．（25-26七年级下·河南郑州·期末）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，它由如图所示的七块板组成，可以拼成许多图形，右边图形是用左边图形中的3块拼成的小船．若左边图形中正方形的面积为32，则右边图形中小船的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 47．（2025九年级·湖南·学业考试）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．如图，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，将其拼成了“小天鹅”的形状．已知阴影部分是由七巧板中的1个正方形组成，则图中阴影部分的面积为____ 48．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，小明用相同的七巧板拼成一个无缝隙的正方形（如图1）和一个中间留有空白的数字“0”（如图2），若图1正方形的面积是16，则图2中空白部分的面积是______． 题型13 展开图计算体积、表面积（压轴） 49．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）综合与实践 【问题情境】 在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） 【操作探究】 如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为 ； ②图3中的长方体纸盒的体积为 ． 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个无盖长方体纸盒，仿照图2的绘图方式，画出2种不同裁剪的设计图，并计算其体积． 50．（25-26七年级上·福建三明·期中）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是趣味数学社团课题学习内容，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，则剩下图形的外围周长为_____；（用题中所含字母的代数式表示） ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为____； 【问题进阶】（3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为7、5、2，它缺一个长为7，宽为5的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，求该长方体表面展开图的最大外围周长和最小外围周长？ 51．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 (1)如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1）为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒．回答下列问题：图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为多少？ (3)若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6、宽为4的长方体底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，请计算长方体表面展开图的最大外围周长？ 52．（24-25七年级上·广东深圳·期中）【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 题型14 最少需要多少块小正方体问题（压轴） 53．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． (3)若小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积为______． 54．（25-26六年级上·山东威海·期中）有一个由11个完全相同的小立方块搭成的几何体． (1)请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形． (2)小立方体的棱长为，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积． (3)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，可以有___________种添加方法，画出添加正方体后，从上面看这个组合体时看到的一种图形． 55．（25-26六年级上·全国·单元测试）一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ 56．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）用若干块相同的立方体小木块堆叠成一个几何体，从不同方向观察的样子如图．该几何体最少有几个立方体小木块？（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型15 三视图中小正方体有关的计算（压轴） 57．（25-26七年级上·四川成都·期中）把5个棱长为的小正方体木块在地面上堆成如图所示的立体图形． (1)请在网格中画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图． (2)若向该立体图形表面（含底面）喷漆，需要漆2，求共需要多少克漆？ 58．（24-25七年级上·河南平顶山·期中）综合实践： (1)小明所在的综合实践小组准备制作一些无盖儿纸盒用来收纳班级讲台上的粉笔．请问图1中的第 个图形经过折叠不能围成无盖正方体纸盒(填序号)； (2)小红所在的综合实践小组想把图1中第①个图形添上一个小正方形，然后通过折叠得到有盖儿的正方体纸盒，请问有 种添法； (3)小红所在的综合实践小组制作了9个有盖儿的正方体纸盒，摆成如图2所示的几何体，如果每个正方体纸盒的棱长都是，请计算出这个几何体的表面积． 59．（25-26七年级上·山东青岛·期中）用10个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体． (1)画出这个几何体从正面和左面看到的形状图； (2)将原几何体拿走一个小立方块后，使得从正面、左面和上面看到的三种形状图与原几何体的三种形状图保持一致，应该拿走哪一个？（请把拿走的小立方块用“○”标记） 60．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）综合与实践： 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是、、，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 (1)请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长 宽 高 表面积 图1 图2 图3 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是______所示的长方体．(填“图1”、“图2”、“图3”)． 【解决问题】 (2)现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是、、、且，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有______种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为______．(用含、、的代数式表示)．请简单说明理由． 【实践应用】 春节将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，商家准备将所有礼盒打成一个包裹寄走．下图是从三个方向看到的小张定制的礼盒的三个视图(阴影)，请帮忙计算打包用的包装纸最少要用多少平方米呢？(接头处忽略不计) 1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图所示的立体图形的从前面看的平面图形是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“成”字所在面相对的面上的字为（     ） A．有 B．志 C．者 D．事 3．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，是由五个相同的正方体组成的几何体，从上面看的形状图是（     ） A． B． C． D． 4．（2022·北京·模拟预测）图中是正方体的展开图的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（25-26九年级下·河南信阳·阶段检测）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的图形，小正方形上的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体从左面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·重庆·自主招生）如图是一个无盖的正方体纸盒的展开图．“”所在的位置是________面． 7．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）一个几何体由一些大小相同的小立方块搭成，从正面、上面、左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则这个几何体中小立方块的个数有_____个． 8．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”，若“七巧板”拼成的正方形边长为6，则图中阴影部分面积为__________． 9．（25-26七年级上·江西景德镇·期末）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，从上面、左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则搭建该几何体最多需要个小正方体，最少需要个小正方体，那么___________． 10．（25-26七年级上·江西萍乡·期末）一个正方体的六个面分别标有数字，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字2相对面的数字是______． 11．（25-26七年级上·陕西商洛·期末）如图所示，由个相同的小正方体组合成一个立体图形，请画出分别从正面、左面和上面看到这个几何体的形状图． 12．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图1是两个几何体的表面展开图，图2是一个正方体的表面展开图． (1)写出图1中对应几何体的名称：①__________，②__________； (2)将图2的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，求的值． 13．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，已知在直角三角形纸板中，，．将这个直角三角形绕边所在直线旋转一周得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是______，用一个平面去截这个几何体，截面的形状可能是______（写出一种即可）； (2)计算这个几何体的体积．（，，结果保留π） 14．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）如图，是用5个大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请你在方格内画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小正方体． 15．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）​用7个大小相同的小立方块搭成几何体，从上面看到的几何体的形状图如图1所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请在图2中画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)在小立方块数目不变的情况下，请你重新搭使得从正面和从左面看到的两个形状图相同，在图3中画出从上面看到的形状图，并仿照图1填上数字，表示该位置小立方块的个数． 16．（2026·河南平顶山·三模）把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级上·四川广元·开学考试）一个几何体，从正面看到，从右面看到的，摆成这样的几何体至少需要小正方体（要求小正方体之间有公共面）（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 18．（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个正方体的表面展开图如图所示．在这个正方体中，下列结论：①点与点重合；②与重合；③；④与的夹角是．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 19．（25-26七年级上·广东深圳·期末）用若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从左面和从上面．看到的几何体的形状图如图所示，设这个几何体最多要用个小立方块，最少要用个小立方块，则等于（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 20．（25-26六年级上·山东淄博·期末）“检查”的原理是通过扫描和计算，把人体从不同角度“切”成无数薄层，每一层就是一个截面图像，医生通过这些图像就能精准看到人体内部细节．已知一物体外形是正方体（如图①），为探明其内部构造，我们可以给这个物体做“检查”，即用一个竖直的平面截这个物体，截了七次，得到一组自左向右的截面（如图②），则这个正方体的内部构造可能是空了一个（   ）体． A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 21．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）长方形的长是20cm，宽是10cm．绕它的一边所在直线旋转所得的圆柱体的体积是_____．（结果保留π） 22．（25-26九年级下·江西景德镇·期中）七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是_____dm2． 23．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图1），该“骰子”的六个面分别写着1，2，3，4，5，6，小明用自己做的正方体“骰子”进行了3次投掷，他看到的情形如图2所示，那么“6”对面的数字是__________． 24．（25-26七年级上·福建三明·期中）有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为a，5的对面的数字为b，那么的值为_____． 25．（2025七年级上·全国·专题练习）有两个完全相同的长方体，长、宽、高分别是，把它们叠放在一起组成一个新的长方体，这个新的长方体的表面积是_________． 26．（25-26七年级上·河南焦作·期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 27．（25-26六年级上·山东烟台·期中）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从正面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示， (1)这个几何体至少需用多少个小正方体搭成的？至多需用多少个小正方体搭成的？ (2)并画出所有从左面看该几何体得到的形状图． 28．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图是用棱长为的小正方体组成的简单几何体． (1)在右面的网格中画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； (2)若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保证添加后得到的新几何体从正面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 29．（25-26七年级上·山西临汾·期末）综合与实践： 在数学实践课中，同学们围绕“用卡纸制作无盖纸盒”探究立体图形与平面图形的转化关系，老师提供了长方形和正方形卡纸，具体活动及任务如下： 活动一：用长、宽的长方形卡纸，按“图1展开图”样式裁剪（裁去阴影余料），沿虚线折成无盖长方体纸盒． 活动二：为了提高材料的利用率，在活动一的基础上，将图1中的阴影余料裁剪下来拼接在图2上，使其能再折成一个新无盖长方体纸盒． 任务1：计算活动一制作的无盖长方体纸盒的容积（容积底面积高）． 任务2：①在图2中补齐活动二拼接后的展开图； ②计算这个新无盖长方体纸盒的容积． 30．（25-26七年级上·福建莆田·期末）问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 从立体图形到平面图形 教学目标 1. 认识立体图形的截面与视图，理解立体图形可转化为平面图形的几何规律。 2. 能准确画出正方体、圆柱、圆锥等常见几何体的主视图、左视图与俯视图。 3. 通过观察与作图实践，提升几何直观能力与立体图形转化平面的空间思维。 4. 体会几何体与平面图形的联系，感受数形转化思想，提升数学探究素养。 教学重难点 1.重点 （1）掌握常见立体图形的三种视图画法 （2）理解立体图形与平面图形的转化关系 2.难点 （1）精准绘制复杂几何体的平面视图 （2）依托视图还原对应立体几何图形 知识点01 图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 【即学即练】 1．（25-26七年级上·山东青岛·期中）下列图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查正方体的平面展开图，根据正方体的表面展开图一一判断即可得出答案． 【详解】解：第一个图形可以围成无盖正方体， 第二个图形不能围成正方体， 第三个图形可以围成无盖正方体， 第四个图形可以围成有盖的正方体， 故第一个图形和第三个图形可以围成无盖正方体， 故选C 2．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）如图是一个小立方块几何体的平面展开图，哪个不正确（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面展开图．正方体的展开图有一四一型、二三一型、二二二型、三三型，据此逐项判断即可得． 【详解】解：A、符合一四一型，是正方体的表面展开图，则此项不符合题意； B、不符合正方体的展开图的几种模型图，不是正方体的表面展开图，则此项符合题意； C、符合二二二型，是正方体的表面展开图，则此项不符合题意； D、符合一四一型，是正方体的表面展开图，则此项不符合题意． 故选：B． 知识点02 截一个几何体 1. 截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面. 2. 正方体常见的截面如图所示： 【即学即练】 3．（25-26六年级上·山东东营·期末）用一个平面去截一个正方体，得到的截面的形状可能是：____________．（填序号） ①三角形；②梯形；③圆；④五边形；⑤六边形；⑥七边形． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了正方体的截面．正方体有六个面，平面截正方体最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，截面可能为三角形、四边形（包括梯形）、五边形、六边形，不能是圆或七边形． 【详解】解：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．截面可能为三角形、四边形（梯形，长方形，正方形）、五边形、六边形．即①②④⑤. 故答案为：①②④⑤． 4．（25-26七年级上·河南·期末）按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后．剩下的几何体的面和棱的数量为（    ） A．7个，13个 B．6个，12个 C．7个，12个 D．6个，11个 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的面和棱，熟练掌握一定的空间想象能力是解题关键．按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后，正方体增加1个面；棱减少3条，又增加3条，由此即可得． 【详解】解：正方体共有6个面，12条棱， 按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后，正方体增加1个面；棱减少3条，又增加3条， 所以剩下的几何体的面的数量为（个）；棱的数量为（条）， 故选：C． 知识点03 从不同方向看几何体 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 【即学即练】 5．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则小立方块的个数不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了从不同方向看几何体等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据题意，画出所有可能情况，再确定小立方块不可能的个数． 【详解】解：根据从上面和左面看到的图形，可画出所有可能情况，如图： 小立方块的个数有三种情况：最多为个，最少为个，还有可能为个， 所以不可能是个， 故选：A． 6．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）一个由若干个边长为1的小立方块搭成的几何体，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)计算该几何体的表面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，求几何体的表面积． （1）根据上面看到的几何体的形状即数字作图即可； （2）结合（1）计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，几何体共一排，有三行，从左到右第一行有一层，第二行有两层，第三行有一层， 则画图如下： （2）解：该几何体的表面积 ． 题型01 从不同方向看几何体 1．（2026·山东泰安·三模）如图所示的几何体从正面看到的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从正面看所得到的图形是主视图，根据图中正方体摆放的位置判定即可． 【详解】解：从正面看共有三列，左边列有两个正方形，中间列有一个正方形，右边列有一个正方形， 即为： ． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图是由四个相同的小正方体搭成的一个几何体，从左面看到的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从左面看，该几何体共有两列， ∵左边一列（对应几何体的后排）有2个正方形，右边一列（对应几何体的前排）有1个正方形， ∴从左面看到的平面图形是左边2个，右边1个，且下对齐．故C选项符合题意． 3．（25-26六年级上·山东泰安·期末）从正面看一个几何体得到的图形如图所示，这个几何体最少由 ________ 个小正方体组成． 【答案】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从正面看一个几何体得到的图形，然后确定小正方体的个数即可． 【详解】解：从正面看到2×2的正方形，说明这个几何体在正面方向上有4个位置需要放置小正方体． 要使几何体的小正方体个数最少，每个位置只放1个小正方体，所以最少需要4个小正方体． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【分析】根据从正面看，从左面看的画图要求，画图解答即可． 本题考查了几何体的从不同方向看，熟练掌握几何体的画法是解题的关键． 【详解】解：根据图中所示的小正方体的个数，如图所示： 题型02 几何体展开图的认识 5．（2026·河南新乡·一模）某个立体图形的展开图由两个相同的圆形和一个长方形组成，则该立体图形可能是（  ） A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．三棱柱 【答案】C 【分析】本题考查常见立体图形展开图的特征，根据题干给出的展开图组成，对应判断立体图形即可． 【详解】解：圆锥的展开图为1个扇形和1个圆形，不符合要求； 长方体的展开图为6个长方形，不符合要求； 圆柱的展开图为2个相同的圆形（上下底面）和1个长方形（侧面），符合题干描述； 三棱柱的展开图为2个三角形和3个长方形，不符合要求； ∴该立体图形是圆柱． 6．（2026·陕西·一模）把立体图形转化为平面图形的主要方法有截面、展开、从不同方向看．如图是小志将一个立体图形的表面展开后得到的平面图形，这个立体图形是（   ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．圆锥 【答案】B 【分析】根据展开图包含3个矩形，两个三角形即可判定这个立体图形的形状． 【详解】解：由展开图可知：展开图包含3个矩形，两个三角形，即这个立体图形是三棱柱． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），设高为，则该长方体盒子的宽为_________，长为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据图形直接列代数式即可求解，理解题意是解本题的关键． 【详解】解：从展开图的垂直方向看， 长方体宽与高的和，已知高为，因此宽为：． 从展开图的水平方向看，长方体的长和宽的和是． 所以长方体的长为：． 综上，宽为，长为 ． 故答案为：①；②． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）用代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．如图1是由中的两个图形组合而成的（组合用“&”表示）．如图2所示的组合图形中表示的是________． 【答案】② 【分析】本题主要考查几何图形的认识，图形的组合规律，理解图示中的图形名称，及组合规律是关键． 根据图示得到M是正方形，P是圆，N是正三角形，Q是线段，由此即可求解． 【详解】解：由题图可知，M是正方形，P是圆，N是正三角形，Q是线段， 所以组合图形中表示的是②． 故答案为：②． 题型03 由展开图计算几何体的表面积 9．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知一个直五棱柱的侧棱长为4，其中一个底面的周长为5，则这个直五棱柱的所有侧面的面积之和为（   ） A．80 B．60 C．20 D．15 【答案】C 【分析】本题考查直棱柱侧面积的计算，利用直棱柱侧面积之和等于侧棱长与底面周长的乘积即可求解． 【详解】解：∵直五棱柱的侧面均为长方形，且侧棱长为4，底面周长为5． ∴所有侧面的面积之和侧棱长底面周长 ． 故选：C． 10．（2024七年级·全国·竞赛）将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积为即可得到答案． 【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， ∴该几何体露在外面的面一共有60个， ∵小立方体的棱长为a， ∴这个几何体的表面积为， 故选：D． 11．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长， ∴长方体的侧面积是：， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·甘肃平凉·期末）如图，这是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：标有字母的面向外），请根据要求回答问题： (1)如果面B在长方体的上面，那么下面是面______． (2)如果从上面看是面E，从前面看是面C，那么从右面看是面______． (3)如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 【答案】(1)D (2)D (3) 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征，即“相间、Z形是对面”进行判断即可； （2）根据各个面之间的相邻、相对关系进行判断即可； （3）根据长方体表面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：由长方体表面展开图的“相间、Z形是对面”可知，“B”与“D”是对面，如果面B在长方体的上面，那么下面是D， 故答案为：D； （2）解：从上面看是面E，从前面看是C，那么右面是D； 故答案为：D； （3）解：由题意得，长方体的长为宽为，高为，所以这个长方体的表面积是， 答：这个长方体的表面积为． 题型04 由展开图计算几何体的体积 13．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 【答案】A 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，分别求得剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积即可得到结论． 【详解】解：当剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积从变为． 故长方体的纸盒容积变小了． 即长方体纸盒的容积减少了． 故选：A． 14．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒．这个纸盒的容积是 _______立方厘米． 【答案】 【分析】本题考查长方体的展开图．从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为厘米，宽为厘米，高为厘米．据此可得这个纸盒的容积． 【详解】解：从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后， 沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为厘米，宽为厘米，高为厘米， 故这个纸盒的容积是立方厘米． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 【答案】(1)12，7 (2)长方体的表面积为，长方体的体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开图、长方体体积计算等知识，熟练掌握长方体及其展开图的性质是解题关键． （1）根据长方体及其展开图的性质，即可获得答案； （2）结合题意确定长方体的长、宽和高，然后根据长方体的表面积公式和体积公式求解即可． 【详解】（1）解：长方体共有12条棱，观察图形，可知，还有5条棱没有剪开， ∴若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （2）解：∵该长方体的宽和高为：， ∴该长方体的长为， 表面积为， 体积为． 答：长方体的表面积为，长方体的体积为． 16．（25-26七年级上·四川眉山·期末）(项目学习·探究包装盒的制作)根据材料，完成任务． 项目主题 设计经济适用的包装盒      项目背景 为了减少包装盒产生的垃圾，红红和她的数学兴趣小组想通过实验，设计出一款经济适用的包装盒，现有一个长，宽的长方形硬纸板．(纸板厚度忽略不计) 素材1 常规的设计方案如图1，在纸板上截去图中阴影部分，盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折叠成一个有盖的长方体包装盒． 素材2 从实用和减少包装材料的角度考虑；是否有增加包装盒容积或节省纸板材料的方法？红红提出可以设计成如图2，在纸板中截去图中阴影部分，然后沿虚线折叠成一个有盖的圆柱体包装盒． 任务1 计算长方体包装盒的容积？ 任务2 计算圆柱体包装盒的容积，判断红红的方案是否使包装盒的容积变大？(取3) 任务3 计算两种方案纸板的使用面积，判断红红的方案是否节省材料？(取3) 【答案】任务1：长方体包装盒的容积为；任务2：容积变大；任务3：红红的方案节省材料 【分析】本题考查了长方体的体积，圆柱的体积． 任务1：根据长方体的体积公式求解； 任务2：先求出圆柱的底面圆的半径，再根据圆柱的体积公式求解； 任务3：计算纸板材料阴影部分的面积，比较大小，即可求解． 【详解】解：任务1，长方体包装盒的容积为， 任务2，容积变大； 理由：设半径为， ∴， ∴， ∴直径为， ∴高为， ∴圆柱形包装盒的容积为：， ∵， ∴容积变大． 任务3，图1中的阴影部分面积为， 则包装盒的表面积为：， 图2中的阴影部分面积为， 包装盒的表面积为：， ， ∴红红的方案节省材料． 题型05 正方体几种展开图的识别 17．（25-26九年级下·广东深圳·期中）下面图形不能拆成正方体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的特点逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D能折成正方体；选项C不能折成正方体． 【点睛】正方体展开图共有11种基本形态，分为“1-4-1”型、“2-3-1”型、“2-2-2”型和“3-3”型． 18．（2026·河北保定·模拟预测）将如图1所示的正方体按如图2所示的方式展开，则在展开图中表示棱的线段可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定棱在正方体中为含三角形面的顶面水平棱，将展开图折叠，验证各线段位置，确定与棱重合的线段． 【详解】解：将展开图折叠还原，棱为含三角形面的顶面水平棱，折叠后与棱重合，其余线段均不重合． 故选：A． 19．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，从图中找出相邻面是解题关键．根据展开图，先确定相对面，进而确定相邻面，即可得出重合顶点． 【详解】解：如图， 2与4是相对面； 1与5是相对面； 3与6是相对面． 可以得出A与I重合． 故答案为：． 20．（2025七年级上·全国·专题练习）活动课上，学生们设计制作正方体包装盒，老师发给每名学生一张长方形纸板，其长为4，宽为3，可以在纸板上画出设计图，将阴影部分剪下再折叠，三名学生的设计如图所示： 小张的设计小李的设计小王的设计其中剪下后不能折成正方体的设计有________（填小张、小李或小王）． 【答案】小张 【分析】本题考查正方体的展开图．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可． 【详解】解：小李和小王的设计经过折叠均能围成正方体，小张的设计经过折叠不能折成正方体． 故答案为：小张． 题型06 正方体相对两面上的字 21．（2026·河南周口·模拟预测）“桃红复含宿雨，柳绿更带朝烟”出自王维《田园乐》组诗，反映其山水田园诗风及隐逸情趣．将“柳、绿、更、带、朝、烟”六个字书写在某个正方体的表面展开图上，将该正方体复原后，与“柳”字所在面相对的面上的字是（   ） A．更 B．带 C．朝 D．烟 【答案】A 【分析】根据展开图中隔一相对的原则，得到解答即可． 【详解】解：根据题意，与“柳”字所在面相对的面上的字是“更”； 22．（2026九年级·吉林·专题练习）图（1）表示一个正方体，只有三个面上分别标有不同的点数，图（2）是这个正方体的表面展开图，则在图（2）中面“”是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，先观察正方体标有点数的面与标有点数和的面相邻，则可排除面①和面③；再根据标有点数的面中黑点的排列规律确定出标有点数中黑点的排列规律即可得到答案． 【详解】解：观察图可知，①与是相对面，③与是相对面，②与④是相对面，根据点数、、的面的对应关系，当标有的面中两个黑点竖着排列时，标有的面中黑点呈左下到右上的方向排列时，故面②符合题意，面④不符合题意． 故选：B． 23．（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数字之和相等，则这六个数之和是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，熟练掌握正方体表面展开图的特征判定相对的面是关键．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题，根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数，故六个整数可能为，，，，，或，，，，，，然后分析是否符合题意即可． 【详解】解：根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数， 故六个整数可能为，，，，，或，，，，，； 且每个相对面上的两个数之和相等， ，，（7与10相邻，不合题意，舍去） ，， 故可能为，，，，，，其和为． 故答案为：． 24．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期末）小丁帮爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面． (1)请你在图中添加一个正方形，使该展开图折叠后成为一个封闭的正方体包装盒．（只需画出一种方法） (2)在（1）画出的设计图中，把3，5，，，，这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒每组相对面上的两个数相加的和相等．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 【答案】(1)图见解析（答案不唯一） (2)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的11种展开图，是解题的关键： （1）利用1，4，1型，添加一个小正方形即可； （2）根据正方体的相对面必定相隔一个小正方形，结合题意，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：； 填写如下： 题型07 含图案的正方体的展开图 25．（2026·河北沧州·一模）如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立体图形可知，该正方体纸盒的顶面全黑，底面全白，四个侧面均为上半部分黑、下半部分白，在展开图中，全黑面应与侧面的黑色部分相邻，全白面应与侧面的白色部分相邻，且相邻侧面的公共边处颜色应一致． 【详解】解：根据题意得：立体图中顶面全黑，底面全白，侧面为上黑下白， 则展开图中应有一个全黑正方形，一个全白正方形，四个半黑半白正方形， 选项A：中间全黑正方形左右两侧分别为“左白右黑”和“左黑右白”正方形，黑色部分均与全黑面相邻，符合顶面与侧面关系，最左侧全白正方形与“左白右黑”正方形的白色部分相邻，符合底面与侧面关系，其余面折叠后黑色部分均能连通，符合题意， 故A选项正确； 选项B：中间全黑正方形左侧为“左白右黑”正方形，其下方连接“上黑下白”正方形， 由于“左白右黑”正方形的下边为“左白右黑”，而“上黑下白”正方形的上边为全黑， 则两者公共边颜色不匹配， 故B选项错误； 选项C、D：折叠后，都会出现其中一个半涂黑面的黑色位于下半部分，不符合题意， 故C、D 选项错误． 26．（2025·山西忻州·三模）如图所示是一个正方体纸盒，在下面的四个图中只有一个是这个正方体纸盒的展开图，那么这个展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图1可知，面展开后是四个相邻的面，确定展开图中与点的对应点的位置即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，中，按逆时针排列， 中，按逆时针排列， 中，按逆时针排列， 中，按逆时针排列， 故其展开图如图2所示， 27．（24-25七年级上·江苏南京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了正方体的展开图和截一个几何体，熟练掌握正方体的展开图，观察思考与动手操作结合是解决本题的关键．根据正方体的展开图和正六边形截面的特征，将题目中的展开图重新折叠，再与原来的正方体（含切割线）比较即可得到答案． 【详解】解：对于①，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于②，将展开图重新折叠不能得出原来的正方体（含切割线），不符合题意； 对于③，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于④，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意． 故答案为：①③④． 28．（25-26七年级上·重庆·期中）如图所示，图1为一个棱长为3的正方体，图2为图1的表面展开图（每个面表示的数字写在外表面上），请根据要求回答问题： (1)如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x=　 　，y=　 　； (2)如果面“3”是上面，面“5”是后面，则右面是 　 　（填0或或x或y）； (3)图1中，点P为所在棱的中点，在图2中找到点P的位置，并直接写出图2中的面积． 【答案】(1)6，2 (2) (3)图见解析， 【分析】（1 ）根据两个面相隔一个面是对面，对面的和是14，可得答案； （2 ）根据临面，对面的关系，可得答案； （3）根据展开图面与面的关系，可得P的位置，根据三角形的面积公式，可得答案． 【详解】（1）如果长方体相对面上的两个数字之和相等，则， 解得：； 故答案为：6，2； （2）面“3”是上面，面“5”是后面，则右面是“”． 故答案为：； （3）如图： ． ∴的面积为：． 【点睛】本题考查了正方体的相对两个面上的文字，三角形的面积，解题的关键是掌握正方体展开图中相隔一个面的两个面互为对面，相对的面不相邻以及三角形的面积公式． 题型08 求展开图上两点折叠后的距离 29．（2025·河南焦作·二模）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 30．（25-26七年级上·重庆合川·期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 31．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠； 根据展开图得到该正方体一个面的对角线长度为，再将展开图折叠为正方体可得A、B两点间的距离． 【详解】解：如图1，∵， ∴该正方体一个面的对角线长度为， 如图2，将展开图折叠为正方体后，A、B两点间的距离为该正方体一个面的对角线长度， 即A、B两点间的距离为4． 32．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求．    题型09 补一个面使图形围成正方体 33．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体．根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图解题． 【详解】将小正方形放在①②④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体， 放在③处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体． 故选：C． 34．（2023·黑龙江大庆·一模）黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 【答案】4 【分析】根据正方体的表面展开图的特征，即可解答． 【详解】解：将写有“庆”字的正方形分别放在“建”、“设”、“美”、“丽”的上方均可构成完整的正方体展开图， 所以，共有4种添加方式， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 35．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），若在图中只添加一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，这样的拼接方式有_____种． 【答案】3 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图可得共有3种， 如图： 【点睛】此题主要考查了正方体的平面展开图，应灵活掌握，不能死记硬背． 36．（2025七年级上·全国·专题练习）综合与实践 【主题】展开与折叠 【素材】无盖的长方体盒子、剪刀 【实践操作】沿着图1中边沿线剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记好四个面； (1)写出盒子底面相邻两边的长分别为 、 ；（用含a的式子表示） (2)请在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖 （画出一种情况即可）． 【答案】(1)， (2)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了长方体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征得出底面的边长与长、宽、高的关系即可； （2）根据正方体表面展开图的特征进行解答即可． 【详解】（1）解：这个盒子底面相邻两边的长分别为， 故答案为：； （2）在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖，如图所示． 题型10 截一个几何体 37．（2026·陕西西安·三模）如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三棱柱的特征，其表面全部由平面多边形组成，用平面去截该几何体，截面边界只能是线段，不可能出现曲线，据此判断即可． 【详解】 该几何体是三棱柱，其表面由个平面围成， 用一个平面去截该几何体，截面与各个面的交线均为线段， 截面形状只能是多边形（如三角形、四边形等），不可能是圆， 选项A、C、D均为多边形，选项B为圆， 截面形状不可能是B． 38．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）数学课上，研究正方体的截面特征时，以下说法正确的是（　　） ①用一个平面去截正方体，能得到三条边都相等的三角形截面； ②用一个平面去截正方体，当这个平面同时与正方体其中的四个面都相交时，所得截面一定是正方形； ③用一个平面去截正方体，可能截出七边形； ④用一个平面去截正方体，截面的边数最多有六条． A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了截一个几何体的应用，主要考查学生的观察图形的能力、空间想象能力和动手操作能力．根据用一个平面截正方体，从不同角度截取所得形状会不同，进而得出答案． 【详解】解：①用一个平面去截正方体，能得到三条边都相等的三角形截面，说法正确； ②用一个平面去截正方体，当这个平面同时与四个平面相交时，所得的截面不一定是正方形，原来的说法是错误的； ③正方体不可能截出七边形，原来的说法是错误的； ④用一个平面去截正方体，截面的边数最多有六条，说法正确． 故选：C． 39．（25-26六年级上·山东烟台·期中）用一个平面分别截下列五个几何体：球、圆柱、圆锥、六棱柱、三棱锥，可以得到三角形截面的几何体有_______． 【答案】圆锥、三棱锥、六棱柱 【分析】本题考查几何体的截面形状．根据各几何体的性质，判断哪些可以被平面截出三角形截面． 【详解】解：用一个平面截球，截面总是圆，不能得到三角形； 截圆柱，截面是圆、椭圆或矩形，不能得到三角形； 截圆锥，当平面通过顶点时，可以得到三角形截面； 截六棱柱，当平面通过三个顶点时，可以得到三角形截面； 截三棱锥，当平面截取一个角时，可以得到三角形截面． 故可以得到三角形截面的几何体有圆锥、六棱柱和三棱锥． 故答案为：圆锥、三棱锥、六棱柱． 40．（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图所示的圆柱，它的底面半径为，高为． (1)该圆柱的截面有几种不同的形状？ (2)你能截出截面最大的长方形吗？如果能，请求出截得的最大的长方形的面积为多少？如果不能，请说明理由． 【答案】(1)该圆柱的截面有以下4种不同的形状 (2)能，截得的最大的长方形的面积为 【分析】本题考查了几何体的截面，圆柱的特点，熟练掌握截面性质是解题的关键． （1）根据截几何体的方法解答即可； （2）以直径为宽，高为长截一个长方形即可． 【详解】（1）解：该圆柱的截面有以下4种不同的形状，如图①所示． （2）解：能．过两底面圆的直径的长方形截面的面积最大，如图②所示． 此时长方形的面积为， 故截得的最大的长方形的面积为． 题型11 平面图形识别的识别 41．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）如图所示，图中正六边形有（    ）个． A．15 B．13 C．11 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形，具备一定的空间想象能力是解题关键．结合图形，分别画出所有可能的正六边形，由此即可得． 【详解】解：①如图，这样的图形有6个． ②如图，这样的图形有3个． ③如图，这样的图形有1个． ④如图，这样的六边形有1个． 则一共有（个）， 故选：C． 42．（练习12平面图-2020-2021学年【补习教材�寒假作业】七年级数学（华东师大版））如图是一个浅湖的平面图，图中所有曲线都表示湖与岸边的分界线，如果P点在岸上，那么A点和B点分别在（    ） A．点A在水中，点B在水中 B．点A在水中，点B在岸上 C．点A在岸上，点B在水中 D．点A在岸上，点B在岸上 【答案】A 【分析】本题可据数的奇偶性进行分析，如图从点到点的空白处标上数字可发现，奇数都处于岸上，偶数都处于水中，点为6，是偶数，所以点处于水中，同理点B处于水中． 【详解】解：如图，由于点P处于岸上且为1，所以奇数都处于岸上，偶数都处于水中，A点为6，是偶数，所以A点处于水中．同理点B处于水中． 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的分析判断能力，通过数的奇偶性判断位置，能读懂题，分析题目是解题的关键． 43．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是_______． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查基本几何图形，分三种情况，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，分三种情况： 第一种情况剩下的角的个数是3个，第二种情况剩下的角的个数是4个，第三种情况剩下的角的个数是5个， 故答案为：3或4或5． 44．（25-26七年级上·全国·课后作业）把图中的一个直角三角形和一个直角梯形拼在一起，可以拼成几种不同的常见平面图形？画出你所拼出的图形． 【答案】见解析 【分析】本题要求将一个直角三角形和一个直角梯形通过相等的边拼接在一起，形成不同的平面图形，需要理解直角三角形和直角梯形的边长关系，并通过不同的拼接方式形成多种平面图形，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：直角三角形的较短直角边与直角梯形的上底拼接，形成一个直角三角形，如图： ； 直角三角形的较长直角边与直角梯形的高拼接，形成一个等腰梯形，如图： ； 直角三角形的较长直角边与直角梯形的高拼接，形成一个平行四边形，如图： 直角三角形的斜边与直角梯形的腰拼接，形成一个正方形，如图： ， 直角三角形的斜边与直角梯形的腰拼接，如图： ， 直角三角形的较长直角边与直角梯形的下底拼接，如图： ， 直角三角形的较长直角边与直角梯形的下底拼接，如图： ． 题型12 七巧板拼图形 45．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）（组合图形求面积）用边长为的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成 “小天鹅”图案（如图），其中阴影部分的面积为（    ） ． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查组合图形的面积，根据图示可知，“小天鹅”图案是由边长是分米的正方形切拼而成，所以“小天鹅”图案的面积等于这个正方形的面积．根据阴影部分的面积占整个正方形面积的分率求解即可． 【详解】如图： 答：阴影部分的面积为 故选： B． 46．（25-26七年级下·河南郑州·期末）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，它由如图所示的七块板组成，可以拼成许多图形，右边图形是用左边图形中的3块拼成的小船．若左边图形中正方形的面积为32，则右边图形中小船的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】本题考查了利用七巧板拼图形，由七巧板的规律可得，，，由此计算即可得出答案，熟练掌握七巧板的规律是解此题的关键． 【详解】解：由七巧板的规律可得： ，，， ∵左边图形中正方形的面积为32， ∴， 故选：A． 47．（2025九年级·湖南·学业考试）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．如图，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，将其拼成了“小天鹅”的形状．已知阴影部分是由七巧板中的1个正方形组成，则图中阴影部分的面积为____ 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质与面积计算，以及七巧板中各部分图形的面积关系．先求出大正方形的面积，再根据七巧板的组成及各部分面积关系，求出阴影部分正方形的面积． 【详解】解：∵ 大正方形边长为， ∴ 大正方形面积为． 七巧板中，阴影部分正方形的面积是大正方形面积的， ∴ 阴影部分面积为． 故答案为：． 48．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，小明用相同的七巧板拼成一个无缝隙的正方形（如图1）和一个中间留有空白的数字“0”（如图2），若图1正方形的面积是16，则图2中空白部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查七巧板，由题意得，图1中，大正方形的边长为4，图2中，根据“空白部分的面积等于矩形的面积减去正方形的面积的一半”求解即可． 【详解】解：由题意得，图1中，大正方形的边长为4， 图2中，， 故答案为：． 题型13 展开图计算体积、表面积（压轴） 49．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）综合与实践 【问题情境】 在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） 【操作探究】 如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为 ； ②图3中的长方体纸盒的体积为 ． 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个无盖长方体纸盒，仿照图2的绘图方式，画出2种不同裁剪的设计图，并计算其体积． 【答案】（1）①③；（2）①40；②294；（3）见解析，图3的体积为，图4的体积为： 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）①根据裁剪方法得出底面是边长为的正方形即可；②得出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积的计算方法进行计算即可； （3）根据棱柱的展开与折叠的方法进行解答即可． 【详解】解：（1）根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可得，是无盖正方体的表面展开图的是①③， 故答案为：①③； （2）①图2中的正方体的底面是边长为的正方形， 因此底面周长为， 故答案为：40； ②由折叠可知，图3中长方体纸盒的长为，宽为，高为， 所以体积为， 故答案为：294； （3）利用边长为的正方形纸板，按照图3的裁剪方法可制作一个有盖的长方体纸盒，利用图4的裁剪方法可制作一个无盖的长方体纸盒． 图3的体积为： ， 图4的体积为：． 50．（25-26七年级上·福建三明·期中）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是趣味数学社团课题学习内容，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，则剩下图形的外围周长为_____；（用题中所含字母的代数式表示） ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为____； 【问题进阶】（3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为7、5、2，它缺一个长为7，宽为5的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，求该长方体表面展开图的最大外围周长和最小外围周长？ 【答案】（1）②；（2）①，②216；（3）长方体表面展开图的最小外围周长为：，长方体表面展开图的最大外围周长为：． 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握正方体、长方体表面展开图的特征是正确解题的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）①根据图1列式计算即可；②分别求出所折成的长方体的长、宽、高，再根据长方体体积的计算方法进行计算即可； （3）根据“没有剪开的棱越短越多，展开图的周长越大”以及“没有剪开的棱越长越多，展开图的周长越小”，据此分画出相应的图形，再进行计算即可． 【详解】解：（1）根据正方体的表面展开图的特征可知，①③④可以折成无盖的正方体，②不可以折成无盖的正方体． 故答案为：②． （2）①如图1：剩下图形的外围周长为； 故答案为：． ②如图2：折成长方体的长为：；宽为：，高为b； 当，时，折成的长方体的长为：；宽为；高为； 所以该长方体的体积为：． 故答案为：216． （3）当长方体表面展开图如下图时：展开图的外围周长最小，最小周长为：； 当长方体表面展开图如下图时：展开图的外围周长最大，最大周长为． 51．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 (1)如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1）为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒．回答下列问题：图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为多少？ (3)若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6、宽为4的长方体底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，请计算长方体表面展开图的最大外围周长？ 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【分析】本题主要考查了正方体展开图的识别，长方体体积计算，长方体的展开图，熟知长方体和正方体的展开图是解题的关键． （1）根据正方体的11种展开图逐一判断即可； （2）长方体盒子底面的长为，宽为，高为，据此根据长方体体积计算公式求解即可； （3）要使外围的周长最大，那么让棱长为6的棱和棱长为4的棱尽量在外围，据此画出对应的示意图求解即可． 【详解】（1）解：图①符合“141型”，是无盖正方体的表面展开图； 图②不是无盖正方体的表面展开图； 图③符合“141型”或“132型”，是无盖正方体的表面展开图； 图④符合“141型”或“132型”，是无盖正方体的表面展开图； （2）解：， 答：该长方体纸盒的体积为； （3）解：如图所示，即为长方体表面展开图的最大外围周长的展开图， ∴长方体表面展开图的最大外围周长为． 52．（24-25七年级上·广东深圳·期中）【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【答案】（1）②（2）①②1000（3）见解析， 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可． 【详解】（1）解：②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：②； （2）①解：由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）解：由题意知：边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，如图， 所以该长方体表面展开图的最大外围周长为． 题型14 最少需要多少块小正方体问题（压轴） 53．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． (3)若小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积为______． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，求小立方块堆砌图形的表面积，熟练掌握及运用空间能力是做题的关键． （1）分别根据从正面和从左面所看到的这个几何体的形状，依次画出图形即可； （2）根据保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，在从上面看到的图中写出可以添加的小立方块的数字即可； （3）把从不同方向看到的面积相加即可． 【详解】（1）解：从正面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示： （2）解：保持这个几何体从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加个小立方块，如图所示： 故答案为：． （3）解：由图可得， 这个几何体的表面积为． 故答案为：． 54．（25-26六年级上·山东威海·期中）有一个由11个完全相同的小立方块搭成的几何体． (1)请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形． (2)小立方体的棱长为，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积． (3)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，可以有___________种添加方法，画出添加正方体后，从上面看这个组合体时看到的一种图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2，图见解析 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，简单组合体的表面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识． （1）根据从不同方向看几何体画出图形即可； （2）分别求出最上层，中间层和最下面一层需要涂色的面，即可求解； （3）根据再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：由题意可知，几何体的最上层一共有5个面需要涂色，中间一层一共有12个面需要涂色，最下面一层一共有18个面需要涂色， ∴一共有个面需要涂色， ∴涂上颜色部分的总面积 （3）解：如图所示，一共有2种添加方法： 55．（25-26六年级上·全国·单元测试）一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ 【答案】不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体 【分析】利用从上看的图形，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，可得结论． 【详解】结合左面看到的几何体，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，如图：    最多有：（个）， 最少有：（个）， 即可知：这样的几何体不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体． 【点睛】本题考查从不同角度观看几何体的知识，解题的关键是具有一定的空间想象力，属于中考常考题型． 56．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）用若干块相同的立方体小木块堆叠成一个几何体，从不同方向观察的样子如图．该几何体最少有几个立方体小木块？（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，较强的空间想象能力是解题的关键． 先根据从前面看到和从左边看到的，确定从上面看到的每一个正方形下最少正方体个数，然后求和即可． 【详解】解：根据确定从上面看到的每一个正方形下最少正方体个数如图： 所以该几何体最少立方体小木块块数为． 故选B． 题型15 三视图中小正方体有关的计算（压轴） 57．（25-26七年级上·四川成都·期中）把5个棱长为的小正方体木块在地面上堆成如图所示的立体图形． (1)请在网格中画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图． (2)若向该立体图形表面（含底面）喷漆，需要漆2，求共需要多少克漆？ 【答案】(1)见解析． (2)共需要克漆． 【分析】本题考查几何体的三视图绘制，立体图形的表面积计算，正确计算立体图形的外露面是解题关键． （1）从正、左、上方向观察，确定每层每列正方形数量，画出平面形状． （2）统计露出的面数，求总面积后结合用漆量计算总用量． 【详解】（1）三视图如图所示： （2）解：小正方体的棱长为， 正方体每个面的面积为， 由图可知，5个正方体共有个面， 其中被重叠遮挡的有个面， 外露面数为个， 需要漆的克数为克． 答：共需要克漆． 58．（24-25七年级上·河南平顶山·期中）综合实践： (1)小明所在的综合实践小组准备制作一些无盖儿纸盒用来收纳班级讲台上的粉笔．请问图1中的第 个图形经过折叠不能围成无盖正方体纸盒(填序号)； (2)小红所在的综合实践小组想把图1中第①个图形添上一个小正方形，然后通过折叠得到有盖儿的正方体纸盒，请问有 种添法； (3)小红所在的综合实践小组制作了9个有盖儿的正方体纸盒，摆成如图2所示的几何体，如果每个正方体纸盒的棱长都是，请计算出这个几何体的表面积． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题考查了正方体的展开图以及从不同方向看几何体，利用空间想象力解决问题是解题关键． （1）根据正方形的展开图逐一分析，即可得到答案； （2）在四个正方形的下方位置都可以添上一个小正方形，据此即可求解； （3）先求出正方体纸盒的单面面积，再由图形可知这个几何体露出的面数，据此即可求出表面积； 【详解】（1）解：根据正方体表面展开图的特征可知，①③④图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒， 第②个图形经过折叠不能围成无盖正方体纸盒， 故答案为：②； （2）如图 第①个图形添上一个小正方形，然后通过折叠得到有盖儿的正方体纸盒，共有种 故答案为：． （3）∵正方体纸盒的棱长为， ∴正方体纸盒的一个面的面积为， ∵这个几何体露出的面数为（个）， ∴这个几何体的表面积为， 59．（25-26七年级上·山东青岛·期中）用10个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体． (1)画出这个几何体从正面和左面看到的形状图； (2)将原几何体拿走一个小立方块后，使得从正面、左面和上面看到的三种形状图与原几何体的三种形状图保持一致，应该拿走哪一个？（请把拿走的小立方块用“○”标记） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查从不同方向看几何体所得到的形状图，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）画出它从正面和左面看到的形状图； （2）拿走从左往右数第三列的上面那个方块符合题意． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：拿走从左往右数第三列的上面那一个即可． 60．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）综合与实践： 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是、、，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 (1)请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长 宽 高 表面积 图1 图2 图3 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是______所示的长方体．(填“图1”、“图2”、“图3”)． 【解决问题】 (2)现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是、、、且，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有______种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为______．(用含、、的代数式表示)．请简单说明理由． 【实践应用】 春节将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，商家准备将所有礼盒打成一个包裹寄走．下图是从三个方向看到的小张定制的礼盒的三个视图(阴影)，请帮忙计算打包用的包装纸最少要用多少平方米呢？(接头处忽略不计) 【答案】（1）图1，表格见解析；（2）且或或或且，；（3）最少需要平方米包装纸． 【分析】本题考查了几何体的表面积，三视图，找出各种不同搭法是解题的关键． （1）根据长方体的表面积的计算方法分别计算即； （2）根据（2）的方法，分且找出各种搭法，进而可得出共有且或或或且种不同的方式，利用长方体的表面积计算公式，找出各种搭法的表面积，取其中的最小值即可得出结论； （3）要使包装的纸最少，应该把长方体最大的面重合在一起，即把的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是厘米，宽为厘米，高为厘米，根据长方体的表面积公式，求出包装后的长方体的表面积即可解答． 【详解】解：（1）图1中，长方体的高为4，表面积． 图2中，长为32，表面积． 图3中，宽为12，表面积． ∴图1的表面积最小． 长 宽 高 表面积 图1 图2 图3 （2）解：当且时，共有种搭法，可分为两类： 第一类有三种情况，表面积分别为，，； 第二类有三种情况，表面积分别为，，． 第三类：当时，表面积为；当时，表面积为． 第三类：当时，表面积为；当时，表面积为． 共有且或或或且种不同的方式． 又且 搭成的大长方体的表面积最小为． 故答案为：且或或或且，； （3）解：根据三视图可得礼盒的长宽高分别为，，，这要使包装的纸最少，应该把长方体最大的面重合在一起，即把的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是厘米，宽为厘米，高为(厘米)， 依题意，  (平方米) 答：最少需要平方米包装纸． 1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图所示的立体图形的从前面看的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从前面看到的图形解答即可． 【详解】解：从前面看，是上面小下面大的两个长方形，上面长方形中间有一条竖直的线段， ∴四个选项中，只有A选项符合题意． 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“成”字所在面相对的面上的字为（     ） A．有 B．志 C．者 D．事 【答案】B 【分析】利用正方体展开图的特点，相对的面之间一定相隔一个正方形，或者通过“Z”字形两端判断相对面． 【详解】解：“者”与“竟”相对，“有”与“事”相对，“志”与“成”相对． 3．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，是由五个相同的正方体组成的几何体，从上面看的形状图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：由图可知，从上面看的形状图是． 4．（2022·北京·模拟预测）图中是正方体的展开图的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】利用正方体展开图的模型逐个判断即可． 【详解】解：对于（1），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（2），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（3），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（4），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（5），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 对于（6），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（7），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 对于（8），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 综上，是正方体展开图的一共有5个． 5．（25-26九年级下·河南信阳·阶段检测）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的图形，小正方形上的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体从左面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应的位置的小正方体的个数，确定从左边看的图形的层数和列数，进而确定对应列的小正方形数即可得到答案． 【详解】解：从左面看，看到的图形分为上中下三层，共两列，左边一列上中下三层各有一个小正方形，右边一列下面一层有一个小正方形，即看到的图形如下： 6．（25-26七年级下·重庆·自主招生）如图是一个无盖的正方体纸盒的展开图．“”所在的位置是________面． 【答案】 后 【详解】解：正方体的表面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，或者呈现“”字型两端， 观察图形可知，第一行右侧的面与第三行的面是相对面，即“前”字所在的面与“☆”所在的面是相对面， 因为“前”字所在的面是前面， 所以“☆”所在的位置是后面． 7．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）一个几何体由一些大小相同的小立方块搭成，从正面、上面、左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则这个几何体中小立方块的个数有_____个． 【答案】5 【分析】本题考查从不同方面看立体几何图形的平面图形还原立体图形，发挥空间想象能力是解决问题的关键． 从上面看，最底层有4个，从正面看和左面看，第二层有1个，即可得到答案． 【详解】解：从上面看，最底层有4个， 从正面看和左面看，第二层有1个， ∴这个几何体中小立方块的个数有5个． 故答案为：5． 8．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”，若“七巧板”拼成的正方形边长为6，则图中阴影部分面积为__________． 【答案】 【分析】此题考查了“七巧板”的相关知识．根据题意得到图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的，据此进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，“七巧板”拼成的正方形的面积为， 根据“七巧板”的特征可知，图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的， ∴则图中阴影部分面积为， 故答案为： 9．（25-26七年级上·江西景德镇·期末）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，从上面、左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则搭建该几何体最多需要个小正方体，最少需要个小正方体，那么___________． 【答案】2 【分析】本题考查从不同角度观看几何体的知识，利用从上看的图形，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，可得结论． 【详解】解：如图：      最多有：（个）， 最少有：（个）， 故：， 故答案为：2． 10．（25-26七年级上·江西萍乡·期末）一个正方体的六个面分别标有数字，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字2相对面的数字是______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体相对面上的数字．根据正方体表面展开图的判断“邻面”和“对面”即可． 【详解】解：由第一个和第二个正方体可知，与数字1所在的面相邻的面上的数字是3、2、4、6， ∴与数字1所在的面相对的面上的数字是5， 又∵与数字4所在的面相邻的面上的数字是1、6、3、5， ∴与数字4所在的面相对的面上的数字是2，即与数字2所在的面相对的面上的数字是4， 故答案为：4． 11．（25-26七年级上·陕西商洛·期末）如图所示，由个相同的小正方体组合成一个立体图形，请画出分别从正面、左面和上面看到这个几何体的形状图． 【答案】图见解析 【分析】分别根据从正面、左面、上面看到该几何体的形状，依次画出图形． 【详解】解：如图所示： 12．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图1是两个几何体的表面展开图，图2是一个正方体的表面展开图． (1)写出图1中对应几何体的名称：①__________，②__________； (2)将图2的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，求的值． 【答案】(1)长方体（或四棱柱）； 三棱锥 (2)11 【分析】本题主要考查了几何体的展开图、正方体相对面的识别，熟练掌握常见几何体的展开图特征、正方体展开图中相对面的位置关系是解题的关键． （1）根据几何体表面展开图的特征，即可判断图①、图②对应的几何体； （2）先确定正方体展开图中相对的面，再根据相对面数字之和相等，求出、的值，进而计算． 【详解】（1）解：图1中对应几何体为：①长方体（或四棱柱），②三棱锥. （2）解：由题图可知与1，2与4，y与相对． ∵相对的两个面上的数字之和均相等，， ． ． ． 13．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，已知在直角三角形纸板中，，．将这个直角三角形绕边所在直线旋转一周得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是______，用一个平面去截这个几何体，截面的形状可能是______（写出一种即可）； (2)计算这个几何体的体积．（，，结果保留π） 【答案】(1)圆锥；圆（或三角形或椭圆，答案不唯一） (2)这个几何体的体积为． 【分析】本题主要考查了点、线、面、体和截几何体及圆锥的体积，解题的关键是掌握圆锥的特征． （1）旋转得到的几何体为圆锥；截面有圆，三角形，椭圆等形状； （2）以直角三角形绕边所在直线旋转一周得到的圆锥底面圆半径为，高为，然后根据圆锥的体积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：将这个直角三角形绕边所在直线旋转一周得到的几何体为圆锥；用一个平面去截圆锥，那么截面有圆、三角形、椭圆等形状； 故答案为：圆锥；圆（或三角形或椭圆，答案不唯一） （2）解：由题意得，得到的圆锥底面圆半径为，高为， ， 答：这个几何体的体积为． 14．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）如图，是用5个大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请你在方格内画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小正方体． 【答案】(1) 解：如图所示即为所求； ； (2)2 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，掌握从不同方向看几何体作图的方法是解题的关键，易错点是还原几何体时考虑不全导致错误． （1）根据从不同方向看几何体得到的形状图，在网格中画图即可； （2）在从上面看的图形中画出可添加的位置和数量，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：保持从上面看和从左面看到的形状图不变， 如图， 最多可以再添加2块小正方体． 故答案为：2． 15．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）​用7个大小相同的小立方块搭成几何体，从上面看到的几何体的形状图如图1所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请在图2中画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)在小立方块数目不变的情况下，请你重新搭使得从正面和从左面看到的两个形状图相同，在图3中画出从上面看到的形状图，并仿照图1填上数字，表示该位置小立方块的个数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，熟练掌握由从不同方向看到的形状图来画图的方法是解题的关键． （1）由题意可知：从正面看，这个几何体共有3列，每列小正方体的数目分别是3，2，1；从左面看，这个几何体共有2列，每列小正方体的数目分别是2，3； （2）由题意可知：从左面看是2列，则从正面看也要是2列；从正面看左边列小正方体的数目是3，则从左面看左边列小正方体的数目也要是3，由此把从正面看第3列的小正方体移到第2列的2个小正方体上面即可． 【详解】（1） 解： （2） 解： 16．（2026·河南平顶山·三模）把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正方体的展开图，先确定展开图中各个面的相对关系，首先判断带叶子图案、圆形图案、两个阴影三角形的面的相对面的图案即可． 【详解】解：根据展开图可知，阴影三角形所在的两个面为相邻面，且有公共边，“”和“”所在的两个面为相对的面，据此可排除A，B，D．所以只有符合题意，正确． 17．（25-26七年级上·四川广元·开学考试）一个几何体，从正面看到，从右面看到的，摆成这样的几何体至少需要小正方体（要求小正方体之间有公共面）（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】根据从正面、右面看到的情况，摆成这样的几何体最少需要小正方体分前、后两排，前排分上、下两层，前排下层3个，上层2个，右齐；后排1个，可与前排下层的任一个对齐． 【详解】解：根据题中从正面和从右面看到的图形，摆成这样的几何体至少需要6个小正方体（如图）： 18．（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个正方体的表面展开图如图所示．在这个正方体中，下列结论：①点与点重合；②与重合；③；④与的夹角是．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查几何体的展开图，将正方体的表面展开图还原成几何体即可解答本题． 【详解】解：将正方体的表面展开图还原成几何体，如图， ①点与点重合，结论正确； ②与垂直，不是重合，故结论错误； ③，结论正确； ④连接，则是等边三角形，所以，即与的夹角是，故结论正确． 所以，正确的结论为①③④． 故选：B． 19．（25-26七年级上·广东深圳·期末）用若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从左面和从上面．看到的几何体的形状图如图所示，设这个几何体最多要用个小立方块，最少要用个小立方块，则等于（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】本题考查从不同方向看，在得到图形的相应位置上标注所能摆放的最多和最少时，所需要的小正方体的个数即可． 【详解】解：如图，在得到图的相应位置上标注所摆放小正方体的个数（最少、最多）， 最多时， 最少时， 所以， 故选：A． 20．（25-26六年级上·山东淄博·期末）“检查”的原理是通过扫描和计算，把人体从不同角度“切”成无数薄层，每一层就是一个截面图像，医生通过这些图像就能精准看到人体内部细节．已知一物体外形是正方体（如图①），为探明其内部构造，我们可以给这个物体做“检查”，即用一个竖直的平面截这个物体，截了七次，得到一组自左向右的截面（如图②），则这个正方体的内部构造可能是空了一个（   ）体． A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题考查了截几何体．熟练掌握截几何体得到的一组图形的异同是解题的关键． 根据除图②中第四个图形外都是一条曲线，可以判断内部几何体是由曲面围成； 第四个图形内部是一个三角形，据此即可得出这个正方体的内部构造是空了一个圆锥体． 【详解】解：观察图形，除图②中第四个图形（从上向下，自左向右）外都是一条曲线， ∴几何体内部是由曲面围成的，而且上小下大， ∵第四个图形内部是一个三角形并且图形面积最大， ∴该几何体内部是圆锥． 故选：D． 21．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）长方形的长是20cm，宽是10cm．绕它的一边所在直线旋转所得的圆柱体的体积是_____．（结果保留π） 【答案】或 【分析】由于题目未说明是绕长方形的长还是宽旋转，所以需要分类讨论． 【详解】解：分两种情况讨论： 当绕长为 的边所在直线旋转时，所得圆柱体底面半径，高， 根据圆柱体积公式得： ； 当绕宽为 的边所在直线旋转时，所得圆柱体底面半径 ，高， 根据圆柱体积公式得： ， 因此所得圆柱体的体积为或． 22．（25-26九年级下·江西景德镇·期中）七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是_____dm2． 【答案】/ 【分析】阴影部分的面积等于边长为1的正方形面积减去一个直角边的长为1的等腰直角三角形的面积，再减去一个直角边的长为的等腰直角三角形的面积，据此列式求解即可 【详解】解：， ∴阴影部分的面积为． 23．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图1），该“骰子”的六个面分别写着1，2，3，4，5，6，小明用自己做的正方体“骰子”进行了3次投掷，他看到的情形如图2所示，那么“6”对面的数字是__________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了立体图形的展开图，准确分析判断是解题的关键．通过分析正方体骰子投掷时各面的相邻关系，来确定相对面的数字即可． 【详解】解：由题意可知：的相邻面有，，，；的相邻面有，，，， 的对面是；的对面是， 对面的数字是． 故答案为：． 24．（25-26七年级上·福建三明·期中）有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为a，5的对面的数字为b，那么的值为_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查正方体的特征；根据题意易得5的对面数字是1，6的对面数字是3，2的对面的数字是4，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：与相邻，与相邻， ∴5的对面数字是1，3的对面数字是6，2的对面的数字是4， ∵记2的对面的数字为a，5的对面的数字为b， ∴，， ∴； 故答案为：5． 25．（2025七年级上·全国·专题练习）有两个完全相同的长方体，长、宽、高分别是，把它们叠放在一起组成一个新的长方体，这个新的长方体的表面积是_________． 【答案】164或158或148 【分析】两个完全相同的长方体叠放成新长方体时，会有一个面重合，新长方体的表面积等于两个原长方体的表面积之和减去2 倍的重合面面积即可求解，但需分三种情况讨论：重合面为“长 × 宽”与“长 × 高”与“宽 × 高”的面三个面进行解答． 【详解】如图，两个完全相同的长方体的表面积的和是．将两个完全相同的长方体叠放在一起组成一个新的长方体，表面积有三种情况： ①当两个长方体右面重合时，新的长方体的表面积是； ②当两个长方体正面重合时，新的长方体的表面积是； ③当两个长方体上面重合时，新的长方体的表面积是． 综合所述：新长方形表面积为：或或 【点睛】本题考查了求长方表的表面积，理解新长方体的表面积等于两个原长方体的表面积之和减去2倍的重合面面积是解题的关键． 26．（25-26七年级上·河南焦作·期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】 【分析】根据从上面看组合体得到的形状图及相应数字可以想象该组合体的空间立体结构，进而得到从正面看与从左面看的形状图． 【详解】略 27．（25-26六年级上·山东烟台·期中）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从正面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示， (1)这个几何体至少需用多少个小正方体搭成的？至多需用多少个小正方体搭成的？ (2)并画出所有从左面看该几何体得到的形状图． 【答案】(1)7；9 (2)见解析 【分析】（1）根据从正面看和从上面看的形状图可确定几何体有两层，第一层有5个小正方体，然后再根据从正面看的形状图确定第二层小正方体的摆放情况即可解答； （2）根据第（1）题的第二层的小正方体的摆放情况，确定从左面看到的形状图即可． 【详解】（1）解：根据从正面看和从上面看的形状图可知，该几何体有两层，第一层有5个小正方体；总共三列，从左到右数的第三列只在第一层有1个小正方体； ∴如图所示，这个几何体至少需要用7个小正方体搭成（从上面看）， 或或或 至多需要用9个小正方体搭成（从上面看）， （2）解：如图所示，所有从左面看该几何体得到的形状图： 28．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图是用棱长为的小正方体组成的简单几何体． (1)在右面的网格中画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； (2)若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保证添加后得到的新几何体从正面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 【答案】(1)见详解； (2)． 【分析】（1）根据该几何体分别从左面看，从上面看，画出即可； （2）根据图中标注出应摆放的小正方体的个数即可解答． 【详解】（1）解：该几何体从左面看到的形状图如下： 从上面看到的形状图如下： （2）解：在备注数字的位置上加相应数量的小正方体即可，如从上面看到的形状图： ， 所以为保持从正面和上面看到的形状图不变，最多可以再添加块小正方体． 29．（25-26七年级上·山西临汾·期末）综合与实践： 在数学实践课中，同学们围绕“用卡纸制作无盖纸盒”探究立体图形与平面图形的转化关系，老师提供了长方形和正方形卡纸，具体活动及任务如下： 活动一：用长、宽的长方形卡纸，按“图1展开图”样式裁剪（裁去阴影余料），沿虚线折成无盖长方体纸盒． 活动二：为了提高材料的利用率，在活动一的基础上，将图1中的阴影余料裁剪下来拼接在图2上，使其能再折成一个新无盖长方体纸盒． 任务1：计算活动一制作的无盖长方体纸盒的容积（容积底面积高）． 任务2：①在图2中补齐活动二拼接后的展开图； ②计算这个新无盖长方体纸盒的容积． 【答案】任务1：；任务2：①见解析；② 【分析】本题考查长方体的容积，立体图形的展开图，掌握知识点是解题的关键． 任务1：根据长方体的容积公式计算即可； 任务2：①根据长方体的展开图解答即可； ②根据长方体的容积公式计算即可． 【详解】解：任务无盖长方体纸盒底面为正方形， 底面边长为，高为， 容积为， 答：无盖长方体纸盒的容积为． 任务2：①如图所示： ②新无盖长方体纸盒底面为正方形，边长为，高为， 容积为， 答：新无盖长方体纸盒的容积为． 30．（25-26七年级上·福建莆田·期末）问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 【答案】(1)④ (2)①平方厘米；②． 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠、长方体的底面积与容积计算，熟练掌握长方体展开图的特征及长方体容积公式是解题的关键． （1）根据长方体展开图的特征，判断四个图形能否折叠成长方体，找出不能折叠成长方体的图形序号． （2）①先根据剪去的小正方形边长，求出长方体纸盒底面的边长，再计算底面积．②分别根据甲、乙、丙三种方案，确定无盖长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式计算容积，最后比较大小． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠，①②③能折成长方体，④不能折成长方体， 故答案为：④； （2）解：①正方形纸板边长为厘米，剪去的小正方形边长为厘米， 底面边长厘米， 底面积平方厘米； ②甲方案：底面四边形是正方形，且， 底面边长厘米，高厘米， 立方厘米； 乙方案：∵底面四边形是正方形，且厘米， ∴底面边长厘米，高厘米， ∴立方厘米； 丙方案：，且， ， 解得厘米，厘米， 高厘米， 立方厘米， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $