精品解析：湖北省荆门市2024-2025学年高二下学期期末学业水平检测数学试卷

荆门市2024—2025学年度下学期期末 高二年级学业水平检测 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 2. 设直线，圆，则与圆C（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上都有可能 3. 如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过（ ） A. 12亿元 B. 12.5亿元 C. 10亿元 D. 10.5亿元 4. 已知直线是曲线的切线，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 咸宁马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 360种 6. 已知，函数在内是单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，则移动6次后质点位于4的位置的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（ ） A. B. 或 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下结论正确的是（ ） A. 具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点； B. 相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强 C. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 D. 设服从正态分布，若，则 10. 已知袋子中有a个红球和b个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法正确的是（ ） A. 每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为 B. 每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为 C. 每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸n次后，摸到红球的次数X的方差为 D. 从中不放回摸n（）个球，摸到红球的个数的概率是 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足（，），则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则最小值为 B. 若平面，则， C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分．共15分． 12. 的展开式中，含x项的系数为________．（用数字作答） 13. 设A，B是两个相互独立事件，且，，则________． 14. 若函数存在极值点，则实数a的取值范围________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，且. （1）求； （2）求数列的前n项和. 16. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为6，求实数a； （2）若，求的极值； （3）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值． 17. 已知椭圆（）的离心率为，且经过，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设点，记直线，的斜率分别为，，证明为定值． 18. 已知函数，． （1）若有2个零点，求a的取值范围； （2）当时，证明：在上恒成立． 19. 在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为． （1）若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则． （注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率） （ⅰ）完成下表，并写出计算过程； 0 1 2 3 （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值． （2）把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆门市2024—2025学年度下学期期末 高二年级学业水平检测 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得. 【详解】解：因为，所以； 故选：A 2. 设直线，圆，则与圆C（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心C到直线l的距离， 故直线与圆C相离． 故选：C. 3. 如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过（ ） A. 12亿元 B. 12.5亿元 C. 10亿元 D. 10.5亿元 【答案】B 【解析】 【分析】写出回归方程，求出时的表达式，再利用不等式性质得解. 【详解】依题意，，而，则当时，， 所以年支出预计不会超过12.5亿元. 故选：B. 4. 已知直线是曲线的切线，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，根据切线方程求参数的值. 【详解】函数，求导得， 令直线与曲线相切的切点为， 于是. 所以． 故选：D 5. 咸宁马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 360种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先选后排可得答案. 【详解】将5名志愿者分配到4个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有种. 故选：C. 6. 已知，函数在内是单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据单调递增得出对恒成立，再结合导函数单调性计算求解. 【详解】∵单调递增， 由函数在内是单调递增函数，故对恒成立， 所以， 所以． 故选：A. 7. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，则移动6次后质点位于4的位置的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由质点位于4的位置可知质点向左移动1次，向右移动5次，根据古典概型的概率公式即可求解． 【详解】质点移动6次，可能的结果共有种情况， 质点位于4的位置则质点向左移动1次，向右移动5次，共种情况， 质点位于4的位置的概率为． 故选：A． 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据面积公式结合定义计算求解得出或，再联立方程结合判别式计算求解. 【详解】设直线与x轴的交点为M，则． 所以，． 因为，所以． 由得，即，，． 所以，解得或． 因为与C有两个交点，联立消y得， 则，解得．所以 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下结论正确的是（ ） A. 具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点； B. 相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强 C. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 D. 设服从正态分布，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据回归方程的性质可判断选项A，根据相关系数与相关性的强弱关系可判断选项B，根据二项分布的特征可判断选项C，根据正态分布的性质判断选项D. 【详解】对于A，由回归直线的特征可知：样本点不一定在回归直线上，故选项A错误； 对于B，相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强，故选项B正确； 对于C，因为随机变量服从二项分布，且，，则，解得：，故选项C正确； 对于D，若随机变量服从正态分布，则其图象关于轴对称，若，则，所以，故选项D正确. 故选：. 10. 已知袋子中有a个红球和b个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法正确的是（ ） A. 每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为 B. 每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为 C. 每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸n次后，摸到红球的次数X的方差为 D. 从中不放回摸n（）个球，摸到红球的个数的概率是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据全概率公式计算判断A，根据条件概率计算判断B，应用二项分布方差公式判断C，应用超几何分布计算判断D. 【详解】对于A选项，记事件：第一次摸红球，事件：第一次摸蓝球，事件B：第二次摸红球， 则，A对； 对于B选项，每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下， 第2次摸到红球的概率为，B对； 对于C选项，由题意可知，则，C错； 对于D选项，从中不放回摸n（）个球，摸到红球的个数的概率是，D对． 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足（，），则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则最小值为 B. 若平面，则， C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量法计算线面平行结合基本不等式计算判断A，应用线面垂直的向量表示计算判断B，根据点到平面距离公式计算求解判断C，应用线面角公式计算判断D. 【详解】如图，以点D为坐标原点，以、、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则有，，，，，，，，， 则，，， 对于A：，，． 设平面的一个法向量为，则有，令，则，故． 因为，平面， 所以，得，又因为，，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故A正确； 对于B：，则， 若平面，则有，即， 解得，，故B错误； 对于C：若，则，则到平面的距离为，故C正确； 对于D：，当，时，， 则， 当时，， 当时，， 当且仅当时，等号成立，故，即，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分．共15分． 12. 的展开式中，含x项的系数为________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据展开式通项公式计算项的系数即可. 【详解】的展开式中，含x项的项为，所以含x项的系数为. 故答案为：. 13. 设A，B是两个相互独立事件，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据独立事件的概率乘法公式求，再根据概率的加法公式求. 【详解】由题知，，，， ∴， ∴． 故答案为：. 14. 若函数存在极值点，则实数a的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】将题设条件等价转化为方程存在变号实根，对函数求导判断其单调性，得到在上单调递减；再判断函数，的单调性和图象趋势，得到恒成立，从而可得参数a的取值范围. 【详解】因存在极值点等价于存在变号零点，等价于存在变号实根. 令，则，令，则， 当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减， 所以，所以，所以在上单调递减. 令，，所以，当时，，故在上单调递减； 当时，，故在上单调递增， 故，即， 当时，，当时，， 依题意得，即． 故实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，且. （1）求； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系求通项公式即可； （2）裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 由① 所以当时，② ①②得：，整理得：， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以. 16. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为6，求实数a； （2）若，求的极值； （3）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值． 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数得出切线斜率计算求参即可； （2）应用导函数正负得出函数单调性进而得出极值即可求解； （3）根据导函数正负得出单调性进而得出最小值列式计算求参. 【小问1详解】 因为， 曲线在点处的切线的斜率， 依题意：，． 【小问2详解】 当时，，， x 3 - 0 + 0 - 单减 单增 单减 所以，的极大值为，的极小值为． 【小问3详解】 ，因为，∴， 令，得，， 在，上单调递减，在上单调递增， 当时，有，所以在上的最大值为， 而，（），故， 所以在上的最小值为， 解得：，， 故在上的最大值为． 17. 已知椭圆（）的离心率为，且经过，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设点，记直线，的斜率分别为，，证明为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率及点在椭圆上列式计算求参，即可得出椭圆的标准方程； （2）根据斜率为0及不为0设出方程联立得出韦达定理，再应用两点求斜率再代入计算求值. 【小问1详解】 由题意得：，又，故 又因为经过，将点带入椭圆方程：， ，，椭圆方程为：． 【小问2详解】 若直线的斜率为0，则， 当若直线的斜率不为0，设直线的方程为：，， 联立方程可得：， 则，由韦达定理可知：， ， 综上：故． 18. 已知函数，． （1）若有2个零点，求a的取值范围； （2）当时，证明：在上恒成立． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数的零点个数，列式构造函数求出导函数，根据导函数正负得出函数值域即可列式得出参数范围； （2）将代入构造函数，再根据导函数得出函数单调性进而得出最小值即可证明. 【小问1详解】 由有2个零点，故，令， 则与的图象有2个交点， ，时，，当时， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，且当时，， 当趋向于正无穷时，趋向于于0， 当时，与的图象有2个交点， 故的取值范围是． 【小问2详解】 当时，， 要证在上恒成立，即证在上恒成立 设，，，， 和在均单调递增，故在单调递增 ，， 故存在使得，且 在单调递减，在单调递增， ， 又因为，所以，所以在上恒成立． 19. 在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为． （1）若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则． （注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率） （ⅰ）完成下表，并写出计算过程； 0 1 2 3 （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值． （2）把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性． 【答案】（1）（ⅰ）当时，，， 当时，，， 表格如下 0 1 2 3 （ⅱ）； （2）， 由， 则， 令， 即， 故，即当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 即当时，取最大值，故， 因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，的值为或，根据二项公布的概率公式求解概率填入表格，由表中数据确定的值； （2）由参数的对数似然函数，利用导数研究单调性，求出最大似然估计，与频率估计的概率比较后下结论. 【小问1详解】 因为袋中这两种颜色球的个数之比为，且，所以的值为或； （ⅰ）略 （ⅱ）由上表可知． 当或1时，参数的概率最大；当或3时，参数的概率最大． 所以； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $