专题1.1 认识三角形（9大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦“认识三角形”核心知识点，系统梳理三角形定义（不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结）、基本要素（边、角、顶点）、按边分类方法，以及“任意两边之和大于第三边”定理，构建从概念识别到分类再到定理应用的递进式学习支架。 资料以“即学即练+典例变式”分层设计为亮点，如通过沙堆距离估计题培养应用意识，结合绝对值化简综合题发展推理能力，题型涵盖识别、分类、三边关系应用等，课中助教师分层教学，课后学生可通过练习题查漏补缺，提升几何直观与逻辑推理核心素养。

专题1.1 认识三角形 教学目标 1. 理解三角形的定义，明确边、角、顶点等基本概念，能规范用符号语言表示三角形，并掌握按边分类的方法。 2. 探索并掌握“三角形任意两边之和大于第三边”的定理，能运用该定理判断三条线段能否构成三角形。 3. 初步学会运用三角形边角相关知识分析问题，培养几何直观与简单的逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）扎实掌握三角形的定义、基本要素、按边分类等基础概念，能准确识别三角形及其类型。 （2）深刻理解并熟练运用三角形三边关系定理，解决线段能否构成三角形等基础问题。 2.难点 （1）灵活运用三角形三边关系定理解决较为复杂的实际问题，尤其是在条件隐蔽时准确提取和应用知识。 （2）理解三边关系定理的本质，能结合绝对值化简等代数知识进行综合运算，实现几何与代数的初步结合。 知识点01 三角形的定义 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. 【即学即练】1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 3．（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________； （2）如图，的3个内角是________，三条边是________． 【答案】 ，，， ，， ，， 【详解】（1）解：由题意知，图中所有三角形为，，，； （2）的3个内角是，，，三条边是，，. 知识点02 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 【即学即练】4．下列长度的各组线段，能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； B、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； C、满足三角形任意两边之和大于第三边，能组成三角形； D、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形． 5．如图，为估计沙堆两侧点间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点，测得，那么两点之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∵， ∴，即， ∴两点之间的距离可能是． 6．已知、、是的三条边，其中，，请写出一个满足条件的的值______． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，在取值范围内任取一个值即可得到答案． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：， ∵，， ∴， ∴， 在范围内任取一个值即可，本题取． 题型01 三角形的识别及有关概念 【典例1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是__________．    【答案】/ 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形边角间的关系．利用三角形边、角间的关系可得答案． 【详解】解：在中，的对边是． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·全国·随堂练习）观察下图，回答下列问题： （1）是的________． （2）图中以线段为边的三角形有________________． （3）图中共有________个三角形，它们分别是________________． 【答案】 内角 ，， 6 ，，，，， 【分析】本题主要考查三角形的有关概念，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． （1）根据三角形角的定义结合图形解答即可； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）根据三角形的概念解答即可； 【详解】解：（1）是的内角． 故答案为：内角； （2）图中以线段为边的三角形有，，． 故答案为：，，； （3）图中共有6个三角形，它们分别是，，，，，． 故答案为：6；，，，，，． 题型02 三角形的分类 【典例1】（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】B 【分析】根据三角形的分类定义判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形． 【变式1】（25-26七年级下·广东广州·期中）下列条件：①；②；③；④，能确定是直角三角形的有（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据三角形内角和为，结合直角三角形的定义，逐一计算每个条件中三角形的最大角，即可判断是否为直角三角形． 【详解】解：任意三角形内角和为，直角三角形有一个内角为， ①若， 代入得，解得， 是直角三角形； ②若， 则， 是直角三角形； ③若，变形得， 代入内角和公式得， 解得， 是直角三角形； ④若，变形得， 则 ， 是直角三角形； 综上，①②③④都能确定是直角三角形． 【变式2】（25-26七年级下·福建泉州·期末）一个三角形的两个内角的度数分别为和，按角分类它是______三角形． 【答案】直角 【分析】根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：第三个内角的度数为 ， 因此该三角形是直角三角形． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）在下列条件中：①，②，③，能确定是直角三角形的条件有___________个． 【答案】 【详解】解：①由和三角形内角和为，得， 所以，故是直角三角形． ②设，，，则，解得， 所以，故是直角三角形． ③由，得，则，故是直角三角形． 因此，能确定是直角三角形有①②③共3个． 题型03 利用三边关系确定能否构成三角形或求第三边的取值 【典例1】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形； B、，，满足三角形的三边关系，能构成三角形； C、，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形； D、，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形． 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）若一个三角形的两条边的长分别是和，则它的第三边的长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，求出第三边长的取值范围，再对比选项得到正确结果． 【详解】解：设第三边的长为． ∵三角形的两条边长分别为和． ∴根据三角形三边关系可得 ． 即 ． 对比选项，只有在该范围内． 【变式2】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知等腰三角形的两边长分别为和，则第三边长为______． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．根据等腰三角形两腰相等的性质，分第三边长为和两种情况讨论，再结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行验证，进而确定第三边的长度． 【详解】解：若第三边长为，则三边分别为，，，，，，能构成三角形； 若第三边长为，则三边分别为，，，，，，能构成三角形． 故第三边长为或． 故答案为：或． 【变式3】（25-26七年级下·四川眉山·期末）已知的三边长分别为，，，其中，，的长度为奇数，则____________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合为奇数即可求出的值． 【详解】解：根据三角形三边关系得 即. 又因为的长度为奇数， 所以． 题型04 三角形三边关系的应用 【典例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，为估计池塘岸边、的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离不可能是（   ） A．23米 B．7米 C．10米 D．18米 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系即可判断结果． 【详解】根据三角形三边关系得：， 即：， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知三角形三边长分别为5，，8，若此三角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（     ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个 【答案】C 【分析】先根据三角形三边关系求出x的取值范围，再结合周长为奇数的条件判断x的奇偶性，统计符合条件的x的个数即可． 【详解】解：三角形三边长分别为，， 根据三角形三边关系得 ，即 ， 三角形周长为奇数，周长为 ，且是奇数， 必须为偶数，奇数加偶数结果为奇数， 边长为正整数， 符合条件的为，共个， 满足条件的三角形个数为个． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·期末）若a，b，c是的三条边长，则的化简结果为_______ 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系可得，再去绝对值 ，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴， ∴ ． 【变式3】（2026·河北张家口·二模）如图，甲、乙二人分别从地前往地，若A，B两地之间的距离为7千米，甲行走的路线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 【答案】8（答案不唯一） 【分析】设乙走的路程为x千米，根据题意，得，且x是整数，求解即可； 【详解】解：设乙走的路程为x千米，根据题意，得，且x是整数， 故乙走的路程是8千米或9千米或10千米； 题型05 与平行线有关的内角和问题 【典例1】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，某同学将一块含角的直角三角板叠放在直尺上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，从而可得，再结合对顶角相等即可得出结果． 【详解】解：如图，标记，及点． 由题意得， ． ，， ． 【变式1】（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据三角形的内角和为180度，即可解答． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线，则的度数是_______． 【答案】39° 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，求出是解题的关键. 【详解】解：， . 在中, , , , =. 故答案为： ． 【变式3】（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 题型06 与角平分线有关的内角和问题 【典例1】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义得出，最后代入计算即可． 【详解】解：在中，， ， ，， ，， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，点是的两条角平分线的交点．若，则的度数为________． 【答案】/124度 【分析】由题意易得，然后根据三角形内角和进行求解即可． 【详解】解：∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，平分，若，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】在中，求出，再利用角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理求得． 【详解】解：，， ， ， ， 平分， ， ． 题型07 与三角形的角平分线有关的计算问题 【典例1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】利用三角形角平分线的定义即可分析． 【详解】解：A、由，得是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； B、由得：是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； C、由得：，故本选项正确，不符合题意； D、由得：是的角平分线，故本选项错误，符合题意； 【变式1】（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中线的性质可判断A选项； 根据角平分线平分角、同角的余角相等，以及对顶角相等可判断B选项；利用等面积法可判断C选项；先说明，，即，即可判断D选项． 【详解】解：A．∵是的中线， ∴， ∴ (等底等高的两个三角形面积相等)，故A正确，不符合题意； B．∵是角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即B选项正确； C．∵， ∴，解得：，即C选项正确； D．∵， ∴， ∵， ∴，即，故D选项，错误，符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 【变式3】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，中，于点D，平分，交于点E，，，则_____． 【答案】/20度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，由角平分线的定义可得，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型08 与三角形的中线有关的计算问题 【典例1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：， ， ∵是中线， ． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，是中线，点是中点，F在上，且．若的面积是1，则的面积为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先求出，再求出，然后求出，由此即可得． 【详解】解：∵的面积是1，且， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∵在中，是中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 【答案】20 【分析】根据三角形的中线及周长公式可进行求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为18，， ∴，即， ∴， ∵， ∴的周长为． 【变式3】（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是20，则的面积是________． 【答案】5 【分析】利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分求解即可． 【详解】解：∵是的中线，的面积是20， ∴， ∵是的中线， ∴，即是的中线， ∴，即的面积是5． 题型09 与三角形的高线有关的计算问题 【典例1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，是的高线，，则的补角为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的度数，再根据补角的定义求解即可． 【详解】解：∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的补角为． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据中线平分三角形面积，结合题意得到，再根据三角形面积的计算求解即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∴， ∵是的高，， ∴， ∴ ． 【变式2】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，为的中线，其中．若的面积为60，，则中，边上的高是______． 【答案】8 【分析】设中，边上的高是h，根据三角形中线的性质可得的面积，再由，可得的面积，即可求解． 【详解】解：设中，边上的高是h， ∵的面积为60，为的中线， ∴的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴， 解得：， 即中，边上的高是8． 【变式3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，，与交于点，，，，则的长是______． 【答案】 【分析】以为底、为高表示面积，再以为底、为高表示面积，根据同一个三角形面积相等建立等式，代入已知线段长度，求出的长． 【详解】解：，即， 以为底时，的高为， ， ，即， 以为底时，的高为， ， ∴， ∴， 把，，代入得： ． 一、单选题 1．（10-11七年级下·辽宁辽阳·期末）下列各组线段能组成三角形的是（   ）． A．1厘米，2厘米，4厘米 B．8厘米，6厘米，4厘米 C．12厘米，6厘米，5厘米 D．2厘米，3厘米，6厘米 【答案】B 【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形． 根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形；不符合题意； B、，能组成三角形；符合题意； C、，不能够组成三角形；不符合题意； D、，不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，解题的关键是熟练记住定义. 根据三角形的定义进行判断即可. 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形， 所以选项C符合题意. 故选： C． 3．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）李师傅做了一个三角形工件，其中两边长分别为和，则第三边的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟知三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系求出第三边的取值范围即可判断得出解． 【详解】三角形的两边长分别为和，设第三边为x， 则,即， 所以第三边可能是， 故选B． 4．（25-26八年级上·云南昆明·阶段练习）图中直角三角形的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的定义：直角三角形的三个内角中一个角等于90度． 根据直角三角形的定义判断即可． 【详解】图中直角三角形的个数有共4个， 故选：C． 5．（25-26八年级上·陕西延安·阶段练习）下列选项能确定为钝角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类，三角形的三边关系，三角形内角和定理，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形三边关系和三角形内角和定理逐个判定即可． 【详解】解：A、根据三角形的三边关系可知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都满足，故不能确定为钝角三角形； B、根据三角形的三边关系可知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都满足，故不能确定为钝角三角形； C、由得，所以，则，而不一定是最大角，故不能确定为钝角三角形； D、由得，所以，则，所以为钝角三角形； 故选：D． 二、填空题 6．（2023七年级上·浙江绍兴·专题练习）一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形中，最小的角是 度，按角分这个三角形叫 三角形． 【答案】 40 钝角 【分析】本题主要考查三角形的内角和，首先根据按比例分配的方法，求出最小、最大内角的度数，再根据三角形按照角的大小分类情况，确定这个三角形是哪一种三角形． 【详解】解：， ， ， 的角是钝角， 所以，最小的角是40度，按角分类这个三角形是钝角三角形， 故答案为：40、钝角． 7．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．题目给出等腰三角形有两边长为4和8，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①为腰，为底，此时周长为； ②为底，为腰， ∵， ∴两边之和等于第三边无法构成三角形，故舍去． 综上所述：它的周长是． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·山东泰安·阶段练习）若a，b，c是的三边，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系的理解及运用，化简绝对值，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值进行计算即可． 【详解】解：a，b，c是的三边， ， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）若长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三条边的关系作答即可． 【详解】∵长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可． 本题主要考查了非负数的性质，三角形三边的关系，解二元一次方程组，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴， 解得， ∴，即， ∴， 又∵c为最长边， ∴ 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）在中，已知． (1)求m 的取值范围． (2)若是等腰三角形，求的周长． 【答案】(1) (2)36或30 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边即可解题． （1）根据三角形的三边关系列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； （2）分，两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵且， ∴， 解得：； （2）解：当时，， 解得：， 此时的周长为； 当时，， 解得：， 此时的周长为； 综上所述，的周长为36或30． 12．（25-26八年级上·吉林松原·阶段练习）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的边长为x． (1)求x的取值范围； (2)若x为整数，当x为何值时，组成的三角形周长最大?最大值是多少? 【答案】(1) (2)当时，组成的三角形周长最大，最大值是19 【分析】本题考查三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （1）根据三角形三边关系，已知三角形的两边长分别为4和6，即可确定x的取值范围； （2）在（1）所求的取值范围内，找到最大的整数即为所求，计算出周长即可． 【详解】（1）解：∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴， 即. 故答案为：. （2）解：由（1）得 ∵x为整数且要求周长最大， ∴， 此时周长． 故答案为：当时，组成的三角形周长最大，最大值是19． 13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形 【分析】本题考查了锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义； 根据是直角，，可得，，是锐角，是锐角，是钝角，然后进行分类即可． 【详解】解：∵是直角， ∴，，是锐角， ∵，点E在线段上， ∴是锐角，是钝角， ∴是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形． 14．（2025八年级上·内蒙古·专题练习）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边长是的等腰三角形吗？为什么？ 【答案】(1)，， (2)能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为， 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解一元一次方程等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）设底边长为，则腰长为，则，求解即可； （2）分已知当为底时，当为腰时，两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：设底边长为， 腰长是底边的2倍， 腰长为， ， 解得， ， 各边长为：，，． （2）解：①当为底时，腰长； ②当为腰时，底边， ， 不能构成三角形，故舍去； 能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为，． 15．（25-26八年级上·新疆和田·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且三角形的周长为偶数． ①求c的值；②判断的形状． 【答案】(1) (2)；等腰三角形 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用： （1）先根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号，最后合并同类项化简； （2）①根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合周长为偶数求出c的值；②通过比较三边长度判断三角形形状． 【详解】（1）解：根据三角形的三边关系可知， 原式 ； （2）解：①∵，， ∴， 故， 又∵，且三角形的周长为偶数， ∴； ②∵， ∴为等腰三角形． 16．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）已知，，是的三边． (1)若，．求第三边的取值范围； (2)若，，第三边为奇数，判断的形状； (3)化简． 【答案】(1) (2)为等腰三角形 (3) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （）根据三角形的三边关系即可求解； （）根据三角形的三边关系得，然后求出，最后通过等腰三角形定义即可求解； （）根据三角形的三边关系得，，，然后化简即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：由（）得，， ∵第三边为奇数， ∴， ∴三边为，，， ∴为等腰三角形； （3）解：∵，，， ∴ ． 一、单选题 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）已知三角形两边长分别为4和7，则该三角形第三边长不可能是（     ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系解题． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∴ ， 即 ， 而，故选项D符合题意． 2．（25-26七年级下·山东聊城·期末）如图，在三角形纸片中，，．将纸片的一角对折，使点C落在内，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理并结合折叠的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵在三角形纸片中，，， ∴， 如图： 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，若的面积为，则图中的面积等于（   ） A．60 B．80 C．90 D．120 【答案】C 【分析】用三角形中线平分面积的性质以及等高三角形面积比等于底边比的性质，分别求出和的面积，相加即可得到的面积． 【详解】解：， ， ，即， ， ． 4．（25-26七年级下·山东青岛·期末）一副三角板如图放置，直线，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两直线平行，内错角相等，得到的度数，再利用平角得到的度数，根据三角形内角和得到的度数，最后利用平角即可得出结果． 【详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）如图，，于点，点，，分别是，，上的点，连接，，．若平分，平分，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和角平分线定义，结合三角形内角和定理和垂线定义可以判断①②；根据，，得出，再根据三角形内角和定理，可以判断③；先根据，求出，再根据角平分线定义求出，然后根据平行线的性质求出，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ，故②正确； ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点F作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴，故④错误； 综上，正确的有①②③． 二、填空题 6．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）三角形的两边长是3和8，则第三边的长可以是________．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系定理，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，可求出第三边的取值范围，任取范围内一个数即可. 【详解】解：设第三边长为，由题意得：，化简得， 故第三边的长可以为6. 7．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先求出的面积，根据垂线段最短可得当时，有最小值，据此根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，为边上的高，， ∴； ∵为上一动点， ∴由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时有， ∵， ∴此时，即的最小值为． 8．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，是的中线，是的中线，，垂足为点F，若，，则_____________． 【答案】 4 【分析】先根据三角形中线的性质得，进而求出，再根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵是的中线， ∴． ∵， ∴， 解得． 9．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】先根据平角定义求出，再根据三角形内角和定理求出，然后根据平角定义解答． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴． 在中，， ∴． 10．（25-26八年级下·广东河源·期末）在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】根据，结合三角形面积公式可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 三、解答题 11．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是__________； (2)若的周长为30，求的周长． 【答案】(1) (2)27 【分析】（1）直接根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据的周长求出的长，进而得到的长，再根据三角形的周长公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵中，，， ∴，即； （2）解：∵的周长为30，， ∴， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∴， ∴的周长. 12．（25-26七年级下·山东滨州·期末）推理论证 已知：如图，，，分别平分和． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)平分， ， 又， ， ； (2)，， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ． 【分析】（1）根据角平分线得出相等的角，利用内错角相等得出平行线； （2）根据角平分线得出角之间的数量关系，根据平行线得出同旁内角互补，然后利用三角形内角和定理得出直角． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略． 13．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，平分，，． (1)请说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)∵平分， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义以及，可得，即可解答； （2）设，结合平行线的性质可得，，再根据，可得，从而得到，，进而得到，即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：设， ，平分， ，， ，即， ， ∵， ， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ． 14．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，平分，于点D，于点F，求的度数． 【答案】 【分析】在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可得出的度数，由，可得出，利用三角形内角和定理，可求出的度数，将其代入中，可求出的度数，由，可得出，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ． ， ， ， ． ， ， ． 15．（25-26七年级下·广东中山·期末）综合与实践 请根据以下素材完成任务． 主题：运用一副三角板探究角度的大小 素材 一副三角板与，其中，，，．    前提条件 将这副三角板放置在两条平行线，之间，点落在直线上，边与直线重合，点落在边上（不与点，重合）． 参考图    问题解决 (1)如1图，当边，在同一条直线上时，求的度数； (2)如2图，当边与边相交于点时，试问的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)如3图，当边与边不相交时，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是，； (3)解：.理由如下： 延长交直线于点，延长交直线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【分析】（1）延长交直线于点，证明，得到，再根据，即可得出结果； （2）作，易得，根据平行线的性质和角的和差关系即可得出结果； （3）延长交直线于点，延长交直线于点，根据平角的定义，平行线的性质以及三角形的内角和为180度，求出，再根据平角的定义结合三角形的内角和为180度，得到，即可得出结果. 【详解】（1）解：延长交直线于点， ∵边，在同一条直线上，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：是定值，如图，作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）略 16．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究． 【观察发现】 (1)如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）； 【初步探究】 (2)如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)； 证明：∵是的中线， ∴是的中线， ∴, 同理可得：,, 设，， ∴, ∵ ∴ ∴ 同理可知，， ∴ ∴,, ∴ (3)30 【分析】（1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等； （2）根据中线可知，根据面积转化即可求得，进而可判断相等； （3）连接，延长交于点，根据面积公式可知，，即可求解，进而可求解面积． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵和的高相等， 则两个三角形的面积相等； （2）略 （3）连接，延长交于点， 由（2）可知， ∵， ∴, 同理可知, ∵，， ∴,, ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 认识三角形 教学目标 1. 理解三角形的定义，明确边、角、顶点等基本概念，能规范用符号语言表示三角形，并掌握按边分类的方法。 2. 探索并掌握“三角形任意两边之和大于第三边”的定理，能运用该定理判断三条线段能否构成三角形。 3. 初步学会运用三角形边角相关知识分析问题，培养几何直观与简单的逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）扎实掌握三角形的定义、基本要素、按边分类等基础概念，能准确识别三角形及其类型。 （2）深刻理解并熟练运用三角形三边关系定理，解决线段能否构成三角形等基础问题。 2.难点 （1）灵活运用三角形三边关系定理解决较为复杂的实际问题，尤其是在条件隐蔽时准确提取和应用知识。 （2）理解三边关系定理的本质，能结合绝对值化简等代数知识进行综合运算，实现几何与代数的初步结合。 知识点01 三角形的定义 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. 【即学即练】1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 3．（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________； （2）如图，的3个内角是________，三条边是________． 知识点02 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 【即学即练】4．下列长度的各组线段，能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．如图，为估计沙堆两侧点间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点，测得，那么两点之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 6．已知、、是的三条边，其中，，请写出一个满足条件的的值______． 题型01 三角形的识别及有关概念 【典例1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是__________．    【变式3】（24-25八年级上·全国·随堂练习）观察下图，回答下列问题： （1）是的________． （2）图中以线段为边的三角形有________________． （3）图中共有________个三角形，它们分别是________________． 题型02 三角形的分类 【典例1】（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【变式1】（25-26七年级下·广东广州·期中）下列条件：①；②；③；④，能确定是直角三角形的有（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式2】（25-26七年级下·福建泉州·期末）一个三角形的两个内角的度数分别为和，按角分类它是______三角形． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）在下列条件中：①，②，③，能确定是直角三角形的条件有___________个． 题型03 利用三边关系确定能否构成三角形或求第三边的取值 【典例1】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）若一个三角形的两条边的长分别是和，则它的第三边的长可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知等腰三角形的两边长分别为和，则第三边长为______． 【变式3】（25-26七年级下·四川眉山·期末）已知的三边长分别为，，，其中，，的长度为奇数，则____________． 题型04 三角形三边关系的应用 【典例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，为估计池塘岸边、的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离不可能是（   ） A．23米 B．7米 C．10米 D．18米 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知三角形三边长分别为5，，8，若此三角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（     ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个 【变式2】（25-26七年级下·重庆·期末）若a，b，c是的三条边长，则的化简结果为_______ 【变式3】（2026·河北张家口·二模）如图，甲、乙二人分别从地前往地，若A，B两地之间的距离为7千米，甲行走的路线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 题型05 与平行线有关的内角和问题 【典例1】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，某同学将一块含角的直角三角板叠放在直尺上，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线，则的度数是_______． 【变式3】（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为_____． 题型06 与角平分线有关的内角和问题 【典例1】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，点是的两条角平分线的交点．若，则的度数为________． 【变式3】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，平分，若，，则的度数为______． 题型07 与三角形的角平分线有关的计算问题 【典例1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【变式1】（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【变式3】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，中，于点D，平分，交于点E，，，则_____． 题型08 与三角形的中线有关的计算问题 【典例1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，是中线，点是中点，F在上，且．若的面积是1，则的面积为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 【变式3】（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是20，则的面积是________． 题型09 与三角形的高线有关的计算问题 【典例1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，是的高线，，则的补角为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．12 【变式2】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，为的中线，其中．若的面积为60，，则中，边上的高是______． 【变式3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，，与交于点，，，，则的长是______． 一、单选题 1．（10-11七年级下·辽宁辽阳·期末）下列各组线段能组成三角形的是（   ）． A．1厘米，2厘米，4厘米 B．8厘米，6厘米，4厘米 C．12厘米，6厘米，5厘米 D．2厘米，3厘米，6厘米 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）李师傅做了一个三角形工件，其中两边长分别为和，则第三边的长度可能是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·云南昆明·阶段练习）图中直角三角形的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（25-26八年级上·陕西延安·阶段练习）下列选项能确定为钝角三角形的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2023七年级上·浙江绍兴·专题练习）一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形中，最小的角是 度，按角分这个三角形叫 三角形． 7．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是 ． 8．（25-26七年级上·山东泰安·阶段练习）若a，b，c是的三边，则 ． 9．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）若长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的取值范围是 ． 10．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）在中，已知． (1)求m 的取值范围． (2)若是等腰三角形，求的周长． 12．（25-26八年级上·吉林松原·阶段练习）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的边长为x． (1)求x的取值范围； (2)若x为整数，当x为何值时，组成的三角形周长最大?最大值是多少? 13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 14．（2025八年级上·内蒙古·专题练习）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边长是的等腰三角形吗？为什么？ 15．（25-26八年级上·新疆和田·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且三角形的周长为偶数． ①求c的值；②判断的形状． 16．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）已知，，是的三边． (1)若，．求第三边的取值范围； (2)若，，第三边为奇数，判断的形状； (3)化简． 一、单选题 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）已知三角形两边长分别为4和7，则该三角形第三边长不可能是（     ） A．5 B．8 C．10 D．12 2．（25-26七年级下·山东聊城·期末）如图，在三角形纸片中，，．将纸片的一角对折，使点C落在内，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，若的面积为，则图中的面积等于（   ） A．60 B．80 C．90 D．120 4．（25-26七年级下·山东青岛·期末）一副三角板如图放置，直线，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）如图，，于点，点，，分别是，，上的点，连接，，．若平分，平分，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 6．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）三角形的两边长是3和8，则第三边的长可以是________．（写一个即可） 7．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 8．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，是的中线，是的中线，，垂足为点F，若，，则_____________． 9．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，则的度数为_____________． 10．（25-26八年级下·广东河源·期末）在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 三、解答题 11．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是__________； (2)若的周长为30，求的周长． 12．（25-26七年级下·山东滨州·期末）推理论证 已知：如图，，，分别平分和． 求证： (1)； (2)． 13．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，平分，，． (1)请说明：； (2)若，，求的度数． 14．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，平分，于点D，于点F，求的度数． 15．（25-26七年级下·广东中山·期末）综合与实践 请根据以下素材完成任务． 主题：运用一副三角板探究角度的大小 素材 一副三角板与，其中，，，．    前提条件 将这副三角板放置在两条平行线，之间，点落在直线上，边与直线重合，点落在边上（不与点，重合）． 参考图    问题解决 (1)如1图，当边，在同一条直线上时，求的度数； (2)如2图，当边与边相交于点时，试问的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)如3图，当边与边不相交时，试探究与的数量关系，并说明理由． 16．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究． 【观察发现】 (1)如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）； 【初步探究】 (2)如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $