专题1.4 三角形全等的判定（高效培优讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题1.4 三角形全等的判定 教学目标 1.学生能够理解并掌握全等三角形的判定方法，包括边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）。​ 2.能准确运用这些判定方法判断两个三角形是否全等，明确判定两个三角形全等所需的条件组合。​ 3.学会利用全等三角形的判定解决简单的几何问题和实际应用题，提升逻辑推理能力和几何语言表达能力。 教学重难点 1.重点 （1）全等三角形判定方法的理解和掌握，即 SSS、SAS、ASA、AAS 的条件及其应用。​ （2）能够根据已知条件选择合适的判定方法来判定两个三角形全等 2.难点 （1）探究全等三角形判定条件的过程，尤其是通过实验操作、归纳总结得出判定方法的逻辑推理过程。 （2）判定方法的灵活应用，例如在复杂图形中准确找出全等三角形的对应边和对应角，以及在开放型问题中合理添加辅助线构造全等三角形。 （3）区分容易混淆的判定条件，如 SAS 与 SSA（边边角）的区别，明确 SSA 不能判定一般三角形全等的原因 知识点01 全等三角形的判定 1.（1）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 （2）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 2.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 【即学即练】 1．如图，已知，则甲、乙、丙三个三角形中与全等的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理求解即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：甲：不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 综上分析可知：和全等的图形是乙和丙． 故选：B． 2．如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，已知，，再根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故D符合题意； 故选：D． 3．如图，已知为小明根据所作的图形，若，则他作图的根据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，读懂图形的信息是解题的关键，根据判定三角形全等即可． 【详解】解∶由作图知∶，，， ∴， 故选：D． 4．已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等边对等角，根据题意可证明，，再结合全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 添加条件，则，即，则可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，则可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，不可以利用证明，故C符合题意； 添加条件，则可利用证明，故D不符合题意； 故选：C． 题型01 三角形全等的判定-SSS 【典例1】如图，点D、C在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合，得，证明，即可作答． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 【变式1】如图所示，，与交于点O．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质．连接，利用证明，即可求证． 【详解】解：连接．如图． 在和中． ， ∴ ∴．（全等三角形对应角相等）． 【变式2】如图，四点共线，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形判定即可证明． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 【变式3】如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再运用SSS证明； （2）根据三角形内角和定理可求，由（1）知，从而可得结论． 【详解】（1） 在与中 （2） 题型02 三角形全等的判定-SAS 【典例2】如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据，可得，再由，可得，再由边角边可证得，即可求解． 【详解】证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 【变式1】如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．    【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据，得，结合，，证明，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵，， ∴． 【变式2】如图，点，在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定．由线段间的数量关系得出，利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴即， 在和中， ， ∴． 【变式3】如图，已知，，，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由垂线的定义得到，则可证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 题型03 三角形全等的判定-ASA 【典例3】如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．利用两直线平行同位角相等得到，由此根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 【变式1】如图，点D是的边延长线上一点，且，过D作，且，连接交于点F，若，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用即可证明． 【详解】证明：，， ，即． 在和中， ， ． 【变式3】如图，在四边形中，是边上一点，连接，，平分，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判断，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由题得，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论． 【详解】证明：， ． ． ， ． 平分， ． ． 在和中，， ． 题型04 三角形全等的判定-AAS 【典例4】如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据平行线的性质得到，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ， 在和中，， ． 【变式1】如图，，点在边上，和相交于点． (1)若，则_____°； (2)若，求证：． 【答案】(1)36 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握上述基础知识是解题的关键； （1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）先根据三角形的外角性质得到，然后即可证明． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）证明：，即， 而， ， 在和中， ， ． 【变式2】如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．由题意可求得，利用即可判定． 【详解】证明：， ， ． 在与中， ， ． 【变式3】如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且．与全等吗？请说明你的理由； 【答案】与全等，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质、三角形的中线，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键．先根据三角形的中线可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据定理即可得证． 【详解】解：与全等，理由如下： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴． 题型05 利用全等图形求正方形网格中角度之和 【典例5】如图所示是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质．如图，利用网格得出，则，即可求出答案． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ， 故答案为：． 【变式1】如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则 ． 【答案】/45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的性质，首先证明出，得到，进而求解即可．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等全等三角形的判定定理：，，，，． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【变式2】如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，C，D，E五点均在格点上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，准确识别图形，找出证明全等所需的条件是解题关键． 由图可知：，证明，得，进而得出结果． 【详解】解：由图可知：， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则 ． 【答案】225°/225度 【分析】首先利用全等三角形的判定和性质得出的值，即可得出答案． 【详解】解：如图所示：   ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，得出的值是解题关键． 题型06 添加条件使三角形全等 【典例6】如图，已知，，欲证，需补充的条件是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 本题可根据三角形全等的判定定理，结合已知条件分析补充条件，逐项判断即可． 【详解】解:A．，结合，，是“”，不能判定全等，故本选项不符合题意； B．，结合，，是“”，不能判定全等，故本选项不符合题意； C．，则，即，结合，，用“”可判定，故本选项符合题意； D．，这是同一个角，无法补充有效条件判定全等，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（或或） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴即 又∵ 当时， 当时， 当时， 故答案为：或或． 【变式2】如图，已知，在不添加任何辅助线的前提下，请你添加一个条件 ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，和中，，，满足两组对角相等，根据全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：和中，，， 添加或，利用即可得到两三角形全等， 添加，利用即可得到两三角形全等， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】如图所示，已知，若添加一个条件使，则可添加 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 题型07 灵活选用判定方法证全等 【典例7】如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择个作为题设，余下的个作为结论，写一个真命题，并加以证明． ， ， ， ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，本题是一道开放性试题，需要把所有可能出现的情况都考虑到，证明全等三角形的方法有：、、、，本题共有四种情况，、、、均可以作为命题的结论，当或作结论时，其余三个条件的位置关系是不能证明三角形全等，所以不能得到真命题，只有把、作为结论时，得到的是真命题． 【详解】情况一、当取作为题设，作为结论时， 即如果，，，那么， 已知：，，，求证：， 证明：， ， ， 在和中，， ， ； 情况二、当取作为题设，作为结论时， 即如果，，，那么， 已知：，，，求证：， 证明：， ， ， 在和中，， ， ． 【变式1】如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 【答案】(1)①或②或③ (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质， （1）添加①或②或③均可证明全等； （2）由平行线的性质可得，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择②用角边角证明三角形全等，如果选择③角角边证明三角形全等． 【详解】（1）解：选择①或②或③ （2）选择①，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择②，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择③，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 【变式2】如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：①根据题意可得已知：，，，求证； ②根据题意可得已知：，，，求证； （2）解：选择①②③，证明④ ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 选择①②④，证明③ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即。 【变式3】如图，已知， (1)现要从如下条件中再添加一个①；②；③；④得到．你添加的条件是：________．（填序号） (2)选择（1）中的一种情况进行证明． 【答案】(1)②或③（任选一个填即可） (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定；分析条件，可得一边与一角对应相等，若用判定，则选择②；若用判定，则选择③，从而可完成两问的解答． 【详解】（1）解：②或③（任选一个填即可） （2）选择② 证明：， ， ， ， ， 在和中，， ； 选择③ 证明：， ， ， ， ， 在和中，， ； 题型08 结合尺规作图的全等问题 【典例8】已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( ) A．， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据证明三角形全等即可． 本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 【详解】解：由作图可知，，，， 在和中， ， 故选：D． 【变式1】用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查复杂作图，根据作图的痕迹进行判断即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作图是解题的关键． 【详解】解：由作图得：，， 在和中， ， ∴， ∴能得到的依据是． 故选：C． 【变式2】如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得：的根据是（    ）    A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【分析】根据题意和全等三角形判定的方法可以得到ABC≌△CDA的根据，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， AD=BC，AB=CD， 在△ADC和△CBA中， ， ∴△ADC≌△CBA（SSS）， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答． 【变式3】如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC并延长到点D，使，连接BC并延长到点E，使，连接DE并且测出DE的长即为A，B间的距离，这样实际上可以得到，理由是（    ） A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS 【答案】D 【分析】根据对顶角相等，结合已知条件即可证明 【详解】在与中， 故选：D 【点睛】本题考查全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 题型09 全等三角形的判定和性质综合 【典例9】如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）运用角角边即可求证； （2）根据直角三角形两锐角互余得到，根据全等的性质，三角形外角的定义即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴的度数是． 【变式1】【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述： 活动2  用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____． 【应用拓展】 （4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；；（4） 【分析】本题主要考查筝形四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边四边形的定义进行画图即可； （2）根据证明即可得到结论； （3）证明，即可得到与的数量关系，再由得到位置关系； （4）根据进行计算即可． 【详解】（1）解：在正方形网格中，如图1，四边形即为所求； （2）证明：如图2，连接，在与中， ， ； （3）；； 由（2）可得， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （4）四边形是筝形， ， ． 【变式2】在和中，与交于点E，且． (1)请说明：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． （1）先证明，推出，再利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，结合三角形的外角，求解即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， ，即， 在和中， ， ； （2） ∴， ． 【变式3】如图，点在一条直线上， (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，结合题意，运用角角边即可求证； （2）根据全等三角形的性质得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 一、单选题 1．根据下列已知条件，画出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A、根据，，，能画出唯一三角形，故本选项不合题意； B、，，，能画出唯一，故此选项不符合题意； C、，，，能画出唯一三角形，故本选项不合题意； D、，，，不能画出唯一三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 2．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定定理及三角形的三边关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A、已知一角和一边，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； B、已知两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； C、因为，所以三条线段不能构成三角形，故该选项不能画出唯一，不合题意； D、已知两角及夹边相等，由能判定三角形全等，故该选项能画出唯一，符合题意； 故选：D． 3．如图，点在一条直线上，，要说明，则添加的条件不能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 运用边边边，边角边，角边角，角角边的方法进行判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴，且， A、添加，不能运用边边角证明三角形全等，符合题意； B、添加，可以运用角边角证明，不符合题意； C、添加， ∴，即，可以运用边角边证明，不符合题意； D、添加， ∴，可以运用角角边证明，不符合题意； 故选：A． 4．如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点O作地面于点G，则，证明，得出，即可推出结果． 【详解】解：如图，过点O作地面于点G，则， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是， 故选：D． 5．如图，把两块大小相同的含的三角板和三角板如图所示摆放，点D在边上，点E在边上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 作交于，证明即可解决问题． 【详解】作交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：D． 6．如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要全等三角形的判定，由O是的中点，可得，再有对顶角相等，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B． 7．如图，是的边上的中线，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，倍长至点，连接，证明，得到，利用三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：倍长至点，连接，则， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选A． 二、填空题 8．如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明全等三角形的方法有是解题的关键．本题中根据证明，即可求解． 【详解】解：由题意知：， ∵是、的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 9．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质. 作于F，于G，根据可证，根据全等三角形的性质可得米，根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差． 【详解】解：作于F，于G， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴米， 则（米）． 故答案为：． 10．如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积；延长交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，由三角形的中线得，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积的求法是解题的关键． 【详解】解：延长交于， 是的角平分线，， ， ， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，在的正方形网格中， ． 【答案】/90度 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据网格特点，证明，得到，进而得到即可． 【详解】解：如图，由图可知： ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 12．如图，在四边形中，，，，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若在上且，试猜想，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理以及角的计算；根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键． （1）通过角的计算得出，证出，由此即可得出； （2）结合即可证出，由此即可得出，再根据即可得出，，由（1）可知，进而得知，根据角的计算即可得出，结合即可证出，即得出，由相等的边与边之间的关系即可证出． 【详解】（1）证明：， ． ， ． 在和中， ， ． ． （2）解：猜想之间的数量关系为：，证明如下： 如图所示，连接， 在和中， ， ， ． ， ． 由（1）可得：， ． ，即． ． 在和中， ， ， ． ， ． 13．如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由平行线的性质得到，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在中，，过点作，且，过点作，垂足为点，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，证明，得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 15．如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）等腰直角三角形，得到，进而得到，再根据，即可得证； （2）根据全等三角形的对应角相等，得到，进而得到，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 三角形全等的判定 教学目标 1.学生能够理解并掌握全等三角形的判定方法，包括边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）。​ 2.能准确运用这些判定方法判断两个三角形是否全等，明确判定两个三角形全等所需的条件组合。​ 3.学会利用全等三角形的判定解决简单的几何问题和实际应用题，提升逻辑推理能力和几何语言表达能力。 教学重难点 1.重点 （1）全等三角形判定方法的理解和掌握，即 SSS、SAS、ASA、AAS 的条件及其应用。​ （2）能够根据已知条件选择合适的判定方法来判定两个三角形全等 2.难点 （1）探究全等三角形判定条件的过程，尤其是通过实验操作、归纳总结得出判定方法的逻辑推理过程。 （2）判定方法的灵活应用，例如在复杂图形中准确找出全等三角形的对应边和对应角，以及在开放型问题中合理添加辅助线构造全等三角形。 （3）区分容易混淆的判定条件，如 SAS 与 SSA（边边角）的区别，明确 SSA 不能判定一般三角形全等的原因 知识点01 全等三角形的判定 1.（1）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 （2）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 2.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 【即学即练】 1．如图，已知，则甲、乙、丙三个三角形中与全等的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 2．如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知为小明根据所作的图形，若，则他作图的根据是（    ） A． B． C． D． 4．已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 题型01 三角形全等的判定-SSS 【典例1】如图，点D、C在线段上，，，．求证：． 【变式1】如图所示，，与交于点O．试说明：． 【变式2】如图，四点共线，，，．求证：． 【变式3】如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型02 三角形全等的判定-SAS 【典例2】如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【变式1】如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．    【变式2】如图，点，在线段上，，，．求证：． 【变式3】如图，已知，，，，求证： 题型03 三角形全等的判定-ASA 【典例3】如图，，，，求证：． 【变式1】如图，点D是的边延长线上一点，且，过D作，且，连接交于点F，若，求证：． 【变式2】如图，，．求证：． 【变式3】如图，在四边形中，是边上一点，连接，，平分，．求证：． 题型04 三角形全等的判定-AAS 【典例4】如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 【变式1】如图，，点在边上，和相交于点． (1)若，则_____°； (2)若，求证：． 【变式2】如图，，，，求证：． 【变式3】如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且．与全等吗？请说明你的理由； 题型05 利用全等图形求正方形网格中角度之和 【典例5】如图所示是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是 ． 【变式1】如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则 ． 【变式2】如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，C，D，E五点均在格点上，则的度数为 ． 【变式3】如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则 ． 题型06 添加条件使三角形全等 【典例6】如图，已知，，欲证，需补充的条件是（） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【变式2】如图，已知，在不添加任何辅助线的前提下，请你添加一个条件 ，使． 【变式3】如图所示，已知，若添加一个条件使，则可添加 ． 题型07 灵活选用判定方法证全等 【典例7】如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择个作为题设，余下的个作为结论，写一个真命题，并加以证明． ， ， ， ． 【变式1】如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 【变式2】如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【变式3】如图，已知， (1)现要从如下条件中再添加一个①；②；③；④得到．你添加的条件是：________．（填序号） (2)选择（1）中的一种情况进行证明． 题型08 结合尺规作图的全等问题 【典例8】已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( ) A．， B．， C．，， D．，， 【变式1】用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得：的根据是（    ）    A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【变式3】如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC并延长到点D，使，连接BC并延长到点E，使，连接DE并且测出DE的长即为A，B间的距离，这样实际上可以得到，理由是（    ） A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS 题型09 全等三角形的判定和性质综合 【典例9】如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式1】【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述： 活动2  用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____． 【应用拓展】 （4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积． 【变式2】在和中，与交于点E，且． (1)请说明：； (2)当时，求的度数． 【变式3】如图，点在一条直线上， (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 一、单选题 1．根据下列已知条件，画出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 3．如图，点在一条直线上，，要说明，则添加的条件不能是（　　） A． B． C． D． 4．如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A． B． C． D． 5．如图，把两块大小相同的含的三角板和三角板如图所示摆放，点D在边上，点E在边上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（　　） A． B． C． D． 7．如图，是的边上的中线，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ． 9．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 10．如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为 ． 11．如图，在的正方形网格中， ． 三、解答题 12．如图，在四边形中，，，，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若在上且，试猜想，，之间的数量关系，并证明． 13．如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，求的长． 14．如图，在中，，过点作，且，过点作，垂足为点，求线段的长． 15．如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使． (1)求证：； (2)求证：． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$