1.2-1.3 定义与命题、证明 同步讲义-2025-2026学年八年级数学上册浙教版（2024）

第1章 三角形的初步知识 1.2定义与命题+1.3证明 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 准确理解定义、命题、真命题、假命题、基本事实、定理等概念。​ . 能够熟练区分命题的条件与结论，并会把命题改写成 “如果…… 那么……” 的形式。​ . 掌握证明的概念与一般步骤，能进行简单命题的证明。 . . . 一：定义、命题、基本事实与定理 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 二：逆命题、逆定理 1、逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 2、互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 3.公理、定理 4、公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 5、定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 6.互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． 三：证明 1.证明 从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 2.证明表述格式 证明几何命题时，表述格式一般如下： （1）按题意画出图形； （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； （3）在“证明”中写出推理过程. 考点一： 三判断是否是命题 1．下列句子是命题的是（   ） A．连接 B．小于的角是锐角？ C．画 D．相等的角是对顶角 2．下列句子中，属于命题的是（   ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 3．下列语句中，不是命题的是（   ） A．两个锐角的和大于直角 B．作的平分线 C．三个角对应相等的两个三角形全等 D．两直线平行，同位角相等 4．下列句子中，属于命题的是（　　） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 考点二：判断命题真假 5．下列四个命题，①对顶角相等；②垂线段最短；③平行于同一条直线的两条直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在三角形中，点，，分别在边，，上，连接，．下列四个命题中，是真命题的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 7．下列命题中是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．两直线平行，内错角相等 8．下列命题是真命题的是（    ） A．两点之间的所有连线中线段最短 B．同位角相等 C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．相等的角是对顶角 考点三.举例说明假（真）命题 9．可以用来说明“，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．下列可以说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 11．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 12．下列说法错误的是（    ） A．判断命题的真假需要证明 B．举反例是一种证明的方法 C．证明假命题举一个反例即可 D．证明真命题举一个成立的例子即可 考点四.写出命题的题设与结论 13．命题“两个锐角相等”的条件是（    ）． A．两个角 B．相等 C．两个角是锐角 D．锐角相等 14．命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是（    ） A．一个三角形是直角三角形 B．两个锐角 C．互余的两个锐角 D．两个锐角互余 15．关于命题“等角对等边”，下列说法错误的是（    ） A．这个命题是真命题 B．条件是“一个三角形有两个角相等” C．结论是“这两个角所对的边也相等” D．可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题 16．下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 考点五.证明 17．如图是交通直行指示标志，将其抽象成平面图形，，，，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 18．如图，已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 19．如图，，为上一点，连接若，，则（   ） A． B． C． D． 20．如果将一副三角板按如图的方式叠放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点六.定理与证明 21． 如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、．则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 22．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 23．如图，是的平分线，是的邻补角的平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 24．的三条外角平分线所在直线相交成一个，则（   ） A．一定是直角三角形 B．一定是钝角三角形 C．一定是锐角三角形 D．一定是等腰三角形 一、单选题 1．有下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两点之间直线最短；③不相等的角不是内错角；④对顶角相等．其中，假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列命题中，是真命题的是（ ） A．相等的角是对顶角 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补 D．若，则 3．下列可以说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．下列命题中是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．两直线平行，内错角相等 5．下列语句中，属于真命题的是（   ） A．同位角相等 B．垂线段最短 C．相等的两个角是对顶角 D．两个锐角的和是钝角 6．下列语句是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．过一点作直线的垂线 C．对顶角相等 D．若，则 7．如图，在中，与的平分线交于点，的外角平分线所在的直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论①；②；③；④．正确的有：（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．下列图形中，不能求出度数的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，点在边上，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．如图，，则不可能是的度数的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．命题“若则”是 ．（填“真命题”或“假命题”） 12．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为 ． 13．下面命题中，是真命题的是 ．（填序号） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③互为补角的两个角都是锐角． 14．如图，在中，，外角和的角平分线交与点，则 ，、的角平分线交于点，…，依次下去，则 ．（结果用含的式子表示） 15．如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的初步知识 1.2定义与命题+1.3证明 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 准确理解定义、命题、真命题、假命题、基本事实、定理等概念。​ . 能够熟练区分命题的条件与结论，并会把命题改写成 “如果…… 那么……” 的形式。​ . 掌握证明的概念与一般步骤，能进行简单命题的证明。 . . . 一：定义、命题、基本事实与定理 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 二：逆命题、逆定理 1、逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 2、互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 3.公理、定理 4、公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 5、定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 6.互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． 三：证明 1.证明 从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 2.证明表述格式 证明几何命题时，表述格式一般如下： （1）按题意画出图形； （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； （3）在“证明”中写出推理过程. 考点一： 三判断是否是命题 1．下列句子是命题的是（   ） A．连接 B．小于的角是锐角？ C．画 D．相等的角是对顶角 【答案】D 【分析】本题考查命题的识别．命题是能够判断真假的陈述句，需满足两个条件：①是陈述句；②有明确的真假． 【详解】解：A．“连接”是作图指令，属于祈使句，无法判断真假，不是命题． B．“小于的角是锐角？”是疑问句，不是陈述句，因此不是命题． C．“画”是作图指令，属于祈使句，因此不是命题． D．“相等的角是对顶角”是陈述句，且可以判断真假．因此是命题． 故选：D． 2．下列句子中，属于命题的是（   ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 【答案】B 【分析】本题考查了命题的定义，熟记能够判断一件事情的语句叫做命题是解题关键．根据命题的定义，逐一分析各选项是否为陈述句且可判断真假即可． 【详解】解：A.画一条线段等于已知线段，不是命题； B.垂线段最短，是命题； C. 利用三角板画出的角，不是命题； D. 直角都相等吗？不是命题； 故选：B． 3．下列语句中，不是命题的是（   ） A．两个锐角的和大于直角 B．作的平分线 C．三个角对应相等的两个三角形全等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题的定义，解题的关键是掌握命题的定义以及各性质定理． 根据命题的定义，判断各选项是否为可以判断真假的陈述句． 【详解】解： 选项A：“两个锐角的和大于直角”是命题，不符合题意； 选项B：“作的平分线”是祈使句，描述一个操作而非陈述事实，无法判断真假，因此不是命题，符合题意; 选项C：“三个角对应相等的两个三角形全等”是命题，不符合题意； 选项D：“两直线平行，同位角相等”是陈述句且为真命题，不符合题意； 故选：B． 4．下列句子中，属于命题的是（　　） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 【答案】B 【分析】本题考查了命题的定义，熟记能够判断一件事情的语句叫做命题是解题关键．根据命题的定义，逐一分析各选项是否为陈述句且可判断真假即可． 【详解】解：A、“画一条线段等于已知线段”是祈使句，描述动作而非陈述事实，无法判断真假，不属于命题； B、“垂线段最短”是陈述句，且根据几何基本性质，垂线段是点到直线的最短距离，可判断为真，属于命题； C、“利用三角板画出的角”是操作指令，属于祈使句，无法判断真假，不是命题； D、“直角都相等吗？”是疑问句，非陈述句，不属于命题； 故选：B． 考点二：判断命题真假 5．下列四个命题，①对顶角相等；②垂线段最短；③平行于同一条直线的两条直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题考查了命题的真假，对顶角相等，垂线段最短，平行公理推论，点到直线的距离定义，根据对顶角相等，垂线段最短，平行公理推论，点到直线的距离定义求解即可． 【详解】命题①：对顶角相等．根据对顶角的性质，两条直线相交时，对顶角一定相等，故①为真命题． 命题②：垂线段最短．直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短，这是垂线段的基本性质，故②为真命题． 命题③：平行于同一条直线的两条直线平行．根据平行公理的推论，若两条直线都与第三条直线平行，则它们互相平行（同一平面内），故③为真命题． 命题④：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．此定义符合教材中“点到直线的距离”的表述，故④为真命题． 综上，四个命题均为真命题， 故选：D． 6．如图，在三角形中，点，，分别在边，，上，连接，．下列四个命题中，是真命题的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定定理，本题中每组条件都可判断直线平行，但是有三个不能判断题目所需的直线平行，所以依据平行线的判定定理，要找准截线和被截线． 先观察已知角的位置关系，根据平行线的判定定理判断通过已知角可得哪两条直线平行，可得出结论． 【详解】解：①，则，是真命题； ②若，则，是真命题； ③若，则，是真命题； ④若，无法判断，是假命题； 故选：C． 7．下列命题中是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及对顶角、平行公理、点到直线的距离及平行线性质等知识．根据对顶角、平行公理、点到直线的距离及平行线性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，例如平行线中的同位角相等，故A是假命题，不符合题意； B．平行公理强调“过直线外一点”有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上则无法作平行线，故B不严谨，是假命题，不符合题意； C．点到直线的距离是垂线段的长度，而非线段本身，故C表述错误，是假命题，不符合题意； D．根据平行线性质定理，两直线平行时内错角相等，故D是真命题，符合题意． 故选：D 8．下列命题是真命题的是（    ） A．两点之间的所有连线中线段最短 B．同位角相等 C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．相等的角是对顶角 【答案】A 【分析】利用线段的性质、平行线的性质和判定、对顶角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项． 本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：A、两点之间的所有连线中线段最短，是公理，是真命题，本选项符合题意； B、两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题，本选项不符合题意； C、同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，此命题是假命题，本选项不符合题意； D、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，本选项不符合题意； 故选：A． 考点三.举例说明假（真）命题 9．可以用来说明“，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明“若，则”是假命题，通过满足但的例子逐一排除即可，理解题意是解题关键． 【详解】解：、∵，， ∴，，此时，不满足，不符合题意； 、∵，， ∴，，满足， ∵， ∴成立，不是反例，排除，不符合题意； 、∵，， ∴ ，，此时，不满足，排除，不符合题意； 、∵，， ∴，，满足， ∵，∴不成立，符合反例条件，符合题意； 故选：． 10．下列可以说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了举例说明假命题，只要在选项中找到满足，但不满足即可． 【详解】解：A、∵，，∴，，不是反例，故此选项不符合题意； B、∵，，∴，，不是反例，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，，是反例，故此选项符合题意； 故选：D． 11．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查举反例，要说明命题“如果，那么”是假命题，需找到满足但的反例． 【详解】解：A、，和为，且，满足反例条件． B、，和为90°，但，支持原命题． C、，和为，不满足条件． D、，和为，不满足条件． 故选A． 12．下列说法错误的是（    ） A．判断命题的真假需要证明 B．举反例是一种证明的方法 C．证明假命题举一个反例即可 D．证明真命题举一个成立的例子即可 【答案】D 【详解】本题考查命题的真假判断及证明方法，需逐一分析各选项的正确性，熟练掌握命题相关知识点是解此题的关键． 【分析】解：A、判断命题的真假需要证明：无论是真命题还是假命题，均需通过逻辑推理或举反例进行验证，而举反例本身属于证明方法的一种，故原说法正确，不符合题意； B、举反例是一种证明的方法：举反例是证明命题为假的常用方法，属于反证法的一种形式，故原说法正确，不符合题意； C、证明假命题举一个反例即可：若命题为假，存在至少一个反例，举出即可证明其不成立，故原说法正确，不符合题意； D、证明真命题举一个成立的例子即可：真命题需满足所有情况均成立，仅举一个特例无法保证普遍性，例如，命题“所有偶数都是4的倍数”中，4和8符合条件，但2不符合，说明单举例子不能证明命题为真，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 考点四.写出命题的题设与结论 13．命题“两个锐角相等”的条件是（    ）． A．两个角 B．相等 C．两个角是锐角 D．锐角相等 【答案】C 【分析】本题考查命题，命题由条件和结论组成，通常形式为“如果条件，那么结论”，题目中的命题“两个锐角相等”可还原为“如果两个角是锐角，那么它们相等”，因此条件为“两个角是锐角”． 【详解】解：命题“两个锐角相等”的条件是两个角是锐角． 故选：C． 14．命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是（    ） A．一个三角形是直角三角形 B．两个锐角 C．互余的两个锐角 D．两个锐角互余 【答案】A 【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的条件，根据定义可得答案． 【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是：一个三角形是直角三角形， 故选A 【点睛】本题考查的是命题的组成，掌握“命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项”是解本题的关键． 15．关于命题“等角对等边”，下列说法错误的是（    ） A．这个命题是真命题 B．条件是“一个三角形有两个角相等” C．结论是“这两个角所对的边也相等” D．可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题 【答案】D 【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可． 【详解】解：在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”， 则选项A、B、C正确，不符合题意， 不可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，正确理解定义是关键． 16．下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 【答案】C 【分析】根据对顶角的概念，平行线的判定，等边三角形的定义，绝对值的定义判断各项，即可得出结论． 【详解】解：A．“相等的角是对顶角”是假命题，正确，故A选项不符合题意； B．“两直线平行，同位角相等”是真命题，正确，故B选项不符合题意； C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“三角形的三个内角都相等”，错误，故C选项符合题意； D．，，故“若，则”是假命题的反例可以是正确，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，命题的条件，用反例法证明命题的真假，熟练掌握知识点是解题的关键． 考点五.证明 17．如图是交通直行指示标志，将其抽象成平面图形，，，，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定与性质，三角形外角的性质，关键是通过作辅助线，由平行线的性质，得到延长交于M，延长交于N，过G作，得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可求出的度数． 【详解】解：延长交于M，延长交于N，过G作， ， ， ，， ， ， ，， ， 同理：， 故选：B． 18．如图，已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：D． 19．如图，，为上一点，连接若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．先根据平行线的性质求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 20．如果将一副三角板按如图的方式叠放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的外角的定义和性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算． 【详解】解：由三角形外角的定义可知：， 故选：C 考点六.定理与证明 21． 如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、．则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质，余角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由直角三角形的性质得到，因此，得到，判断A正确；根据角平分线性质得出，根据平行线的性质得出，即可得出，判断B正确；根据，，，，判断C正确；根据，得出，即可判定D错误． 【详解】解：是边上的高， ， ， ， ， ，故A正确，不符合题意； 平分， ， ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ，，，， ，故C正确，不符合题意； ∵， ∴ 即，故D错误，符合题意． 故选：D． 22．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质求出，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 23．如图，是的平分线，是的邻补角的平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．利用角平分线的定义，可求出，的度数，由是的外角，利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 【详解】解：是的平分线，是的邻补角的平分线，，， ，， 是的外角， ． 故选：C． 24．的三条外角平分线所在直线相交成一个，则（   ） A．一定是直角三角形 B．一定是钝角三角形 C．一定是锐角三角形 D．一定是等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．先据题意作图，根据三角形的外角的性质可表示出，再根据三角形内角和定理可表示出，同理可表示出，从而不难判断的形状． 【详解】解：如图，分别是三条外角平分线的交点． ， ． 同理，，， 一定是锐角三角形， 故选：C． 一、单选题 1．有下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两点之间直线最短；③不相等的角不是内错角；④对顶角相等．其中，假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了命题真假的判断，垂直公理，线段公理，内错角及对顶角的性质等知识，逐一判断四个命题的真假，统计假命题的个数即可． 【详解】解：命题①：“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 在同一平面内，过一点（无论点在直线上还是直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直；此命题缺少前提“在同一平面内”，故不正确，是假命题； 命题②：“两点之间直线最短” 正确的公理是“两点之间，线段最短”，直线是无限延伸的，没有长度的概念；此命题错误，是假命题； 命题③：“不相等的角不是内错角” 内错角是否相等取决于两直线是否平行；若两直线不平行，内错角不相等，但它们仍然是内错角；因此，不相等的角可能是内错角；此命题错误，是假命题； 命题④：“对顶角相等” 根据对顶角的性质，对顶角一定相等；此命题正确，是真命题； 综上，假命题为①②和③，共3个； 故选C． 2．下列命题中，是真命题的是（ ） A．相等的角是对顶角 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补 D．若，则 【答案】B 【详解】本题考查了真假命题的判断，根据对顶角，平行线的判定，平方的性质等知识点逐一分析各选项的正确性，掌握知识点的应用是解题的关键． 【分析】解：、相等的角不一定是对顶角，例如平行线中的同位角相等，但并非对顶角，故为假命题，不符合题意； 、根据平行线判定定理，内错角相等则两直线平行，故为真命题，符合题意； 、同旁内角互补需以两直线平行为前提，未说明条件时命题不成立，故为假命题，不符合题意； 、 若，则，例如但，故为假命题，不符合题意； 故选：． 3．下列可以说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】该题考查了举反例，要说明命题“如果，那么”是假命题，需找到满足但的例子．逐一验证选项即可． 【详解】解：选项A：，，，满足条件．，结论成立，故A不是反例． 选项B：，，，满足条件．，结论成立，故B不是反例． 选项C：，，，满足条件．，结论成立，故C不是反例． 选项D：，，，满足条件．，结论不成立，故D是反例． 故选：D． 4．下列命题中是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及对顶角、平行公理、点到直线的距离及平行线性质等知识．根据对顶角、平行公理、点到直线的距离及平行线性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，例如平行线中的同位角相等，故A是假命题，不符合题意； B．平行公理强调“过直线外一点”有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上则无法作平行线，故B不严谨，是假命题，不符合题意； C．点到直线的距离是垂线段的长度，而非线段本身，故C表述错误，是假命题，不符合题意； D．根据平行线性质定理，两直线平行时内错角相等，故D是真命题，符合题意． 故选：D 5．下列语句中，属于真命题的是（   ） A．同位角相等 B．垂线段最短 C．相等的两个角是对顶角 D．两个锐角的和是钝角 【答案】B 【分析】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题． 根据平行线的性质对A选项进行判断；根据垂线段最短的对B选项进行判断；根据对顶角的定义对C选项进行判断；根据角之间的数量关系对D选项进行判断． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故该选项是假命题； B、垂线段最短，故该选项是真命题； C、相等的角不一定是对顶角，故该选项是假命题； D、两个锐角的和不一定是钝角，故该选项是假命题． 故选：B． 6．下列语句是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．过一点作直线的垂线 C．对顶角相等 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查真命题的判断，根据平行线的性质，垂线的性质，对顶角的性质以及实数的性质依次判定即可．熟练掌握平行线的性质，垂线的性质，对顶角的性质以及实数的性质是解题的关键． 【详解】解：A、两直线平行时同位角才相等，否则不成立．因此A是假命题，不符合题意； B、过一点作直线的垂线，不是命题，B选项不符合题意； C、 “对顶角相等”是公理，故C是真命题，符合题意； D、若，则或，故D是假命题，不符合题意． 故选：C． 7．如图，在中，与的平分线交于点，的外角平分线所在的直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论①；②；③；④．正确的有：（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故④正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 8．下列图形中，不能求出度数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理，三角形的外角性质对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、已知三角形的三个内角的度数都为，可求得的度数为，故A不符合题意； B、另一锐角为，能求得的度数，故B不符合题意； C、根据外角性质，能求得的度数，故C不符合题意； D、另一锐角的度数不知道，不能求得的度数，故不符合题意； 故选：D． 9．如图，在中，点在边上，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，由外角性质可得，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握三角形的外角性质与三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：． 10．如图，，则不可能是的度数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考试三角形的内角和，三角形外角的性质，掌握三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角是解题的关键．设，则，根据即可列出不等式，求出的取值范围，即可解答． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的度数不可能是． 故选：A 2、 填空题 11．命题“若则”是 ．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【分析】本题主要考查对命题真假的判断，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题， 举出一个符合条件，而不符合结论的例子即可． 【详解】解：命题“若则”是假命题，举例如下： ， ， 但， 满足，但是不满足， 命题“若则”是假命题． 故答案为：假命题． 12．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、实数的大小比较法则、假命题的概念解答． 【详解】解：当时，，而， 说明命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 13．下面命题中，是真命题的是 ．（填序号） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③互为补角的两个角都是锐角． 【答案】② 【分析】本题考查了命题真假的判断，掌握相关知识是解题的关键；根据平行线的性质，平行公理，互补角的特点去判断即可． 【详解】解：①是假命题，正确的应该是：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等； ②是真命题； ③是假命题，互为补角的角，若其中一个为锐角，则另一个必是钝角；或者两个角都为直角； 故答案为：②． 14．如图，在中，，外角和的角平分线交与点，则 ，、的角平分线交于点，…，依次下去，则 ．（结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的相关计算等知识． 根据三角形外角的性质及角平分线的性质逐步计算，即可解答． 【详解】在中，，有 ∵外角和的角平分线交与点， ∴， ∴． ∵、的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 同理可得 ， ∴． 故答案为：，． 15．如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 根据三角形外角的性质，结合角的和差运算，即可得的值． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，则，， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$