1.1 定义与命题、证明（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“定义与命题、证明”核心知识点，构建从定义识别（严谨性、可逆性）到命题拆分（条件与结论）、真假判断（反例法），再到证明规范书写（画图、已知求证、推理依据）的递进式学习支架。 资料通过对比表格明晰定义、命题、证明逻辑关系，设计分层题型（举反例、证明推理）培养抽象能力与推理意识，随学随练即时巩固。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生规范表达，查漏补缺，发展数学语言与理性思维。

第一章 三角形 1.1 定义与命题、证明 课标要点 1.结合生活、几何实例，区分定义、命题两类语句，能准确识别命题，分清命题的条件与结论，会把命题改写成 “如果…… 那么……” 标准形式。 2.理解真命题、假命题的概念，掌握举反例的方法判断假命题；了解公理、定理的含义，理清定义、命题、公理、定理之间的逻辑关系。 3.理解证明的含义，掌握几何证明的基本格式与推理规范，能结合三角形相关性质完成简单几何证明，做到步步有据。 4.掌握证明命题的完整流程：分清条件结论→画图标注已知求证→书写推理证明；能利用三角形内角和、边角关系完成基础推理证明。 5.区分直观观察、实验操作与演绎证明的差异，体会几何推理严谨性，能判断推理过程是否存在逻辑漏洞。 6.结合三角形相关情境，运用定义、命题、证明解决简单几何说理题，规范几何语言书写。 学习重难点 重点： 1.识别命题，拆分命题的条件与结论，规范改写 “如果…… 那么……” 句式；区分真假命题，会举反例证假命题。 2.理解证明的意义，掌握几何证明的标准书写格式，推理过程每一步标注依据（定义、公理、定理）。 3.三角形基础相关简单命题的完整证明，规范书写已知、求证、证明三大板块。 4.理清定义、命题、公理、定理的逻辑层级关系。 难点： 1.复杂文字命题中准确提取隐藏条件与结论，正确画出对应几何图形、写出已知和求证。 2.构建几何推理逻辑链，自主梳理证明思路，避免跳步、无依据推理，规范严谨书写证明过程。 3.精准举出反例反驳假命题，区分直观错觉与严谨演绎证明。 4.综合运用三角形内角和、边角等量关系完成多步复合几何证明，辨析推理中的逻辑错误。 5.区分定义与命题，理解公理无需证明、定理需要证明的本质区别。 知识点 定义 1.一般地，能明确说明某一名称或术语的意义的句子，叫做该名称或术语的定义。 2.定义的核心特点： 严谨唯一性：精准描述事物本质属性，无模糊、无歧义，一个术语仅有一个标准定义； 双向可逆性：定义的正反表述均成立，这是定义区别于普通命题的核心特征； 判定功能性：可直接用于判断一个事物是否属于该术语范畴。 3.常用表述形式：固定句式：……叫作……、……是……，是数学定义最标准的书写形式。 4.常见定义举例 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形； 垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直； 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 易错提醒 1）所有定义都是真命题，但命题不一定是定义； 2）定义具备双向可逆性，普通真命题大多不可逆。 随学随练 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）下列语句中，属于定义的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同角的余角相等 C．垂线段最短 D．有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 【答案】D 【分析】定义是对某一名称或术语的含义作出明确规定的语句，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：、两直线平行，同位角相等是平行线的性质定理，不是定义； 、同角的余角相等是经过证明的定理，不是定义； 、垂线段最短是基本事实，不是定义； 、有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，对直角三角形的含义作出了明确规定，属于定义． 2．下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的内角和等于 C．表示数与字母的积的代数式叫作单项式，单独一个数或一个字母也是单项式 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】需区分定义与公理、定理的概念逐项判断即可． 【详解】解：A．两点之间，线段最短是公理，属于对线段性质的判断，不是定义，不符合题意； B．三角形的内角和等于是定理，属于对三角形内角和性质的判断，不符合题意； C．数与字母的积组成的代数式叫作单项式，是对单项式这个数学术语的含义作出明确规定，符合定义的特征，符合题意； D．两直线平行，内错角相等是定理，属于平行线性质的判断，不是定义，不符合题意． 【点睛】定义是对名称或术语的含义作出明确规定，公理和定理是对事物作出判断的真命题． 知识点 命题（重点） 1.一般地，判断某一件事情的句子叫作命题。 2.命题判定标准：一句话只要有判断、有对错，就是命题；无判断、仅描述、疑问、指令类句子均不是命题。 3.命题的结构：所有命题都由条件（题设）和结论两部分组成，均可改写为“如果……那么……”的标准形式。 如果后面紧跟的内容：已知条件、题设； 那么后面紧跟的内容：由条件推导得出的结论。 注：部分命题原文省略“如果、那么”，改写时需补充完整，不可改变原意。 4.真命题：条件成立时，结论一定成立的正确命题。 5.假命题：条件成立时，结论不成立或不一定成立的错误命题。 6.真假命题判定方法 ①判定真命题：需要通过严谨的逻辑推理、依据公理定理证明； ②判定假命题：只需举出一个反例即可。 7.反例：满足命题的已知条件，但不满足命题结论的例子，是推翻假命题的唯一简易方法。 8.基本事实（公理）：经过人们长期实践检验、不需要证明而直接公认正确的真命题，叫做基本事实（公理）。基本事实是推理证明的原始依据。 9.定理：通过推理证明为正确的真命题，叫做定理。定理可以作为判断其他命题真假的依据。 易错提醒 1）改写命题为“如果……那么……”形式时，不能删减核心条件、不能篡改原意； 2）判断假命题无需全盘否定，只需找到一个符合条件、不符合结论的反例即可。 随学随练 1．（25-26八年级上·江西吉安·期末）下列语句是命题的是（   ） A．美丽的天空 B．负数都小于零 C．过一点作已知直线的垂线 D．你的数学作业做完了吗？ 【答案】B 【分析】判断一件事件的语句是命题，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解： A选项“美丽的天空”没有对事件做出判断，不是命题. C选项是描述作图动作，没有对事件做出判断，不是命题. D选项是疑问句，没有对事件做出判断，不是命题. B选项对负数与零的大小关系做出了明确判断，符合命题定义．∴B选项是命题， 故选：B． 2．（25-26七年级下·重庆九龙坡·期末）下列命题中，是假命题的是（     ） A．两点之间，线段最短 B．在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 【答案】D 【详解】解：A、两点之间，线段最短是几何基本公理，是真命题，不符合题意； B、在同一平面内，同位角相等，两直线平行是平行线的判定定理，是真命题，不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行是平行公理，是真命题，不符合题意； D、点到直线的距离的定义为：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题混淆了垂线段与垂线段的长度，因此是假命题，符合题意． 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）将命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____，那么______． 【答案】 两个角是邻补角 这两个角互补 【详解】解：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项， 因此将命题“邻补角互补”改写为“如果……那么……”的形式为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补． 知识点 证明 1.证明的定义：要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。 2.证明的本质：证明是严谨的演绎推理，区别于观察、测量、猜想、实验等直观感知方法。直观观察存在误差，只有逻辑证明才能百分百确定命题的正确性。 3.证明的核心要求：证明的每一步推理都必须有依据，不可以凭空臆断、凭感觉推导。推理依据只能是：题目已知条件、定义、基本事实、定理及定理推论。 4.几何命题证明的一般步骤 步骤1：根据题意画出图形： 结合命题文字描述，准确画出对应几何图形，标注顶点字母、角度、线段等关键信息，图形需规范、贴合题意，不随意特殊化图形。 步骤2：分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论： 已知：抄写、整理命题中的所有已知条件； 求证：明确写出需要证明成立的结论。 步骤3：在“证明”中写出推理过程： 从已知条件出发，逐层推导，每一步后标注对应依据（已知、定义、定理、基本事实），逻辑连贯、层层递进，最终推出求证结论。部分复杂题型需要添加辅助线辅助证明。 易错提醒 1）证明过程严禁跳步、无依据推理。很多同学默认显而易见的结论、省略关键推理步骤，考试会扣分。所有推导结论，必须对应已知、定义、定理、基本事实四类依据； 2）辅助线不能默认存在，必须文字说明作图过程；禁止在图上直接画线却不书写说明。同时辅助线用虚线绘制，区别于原图实线。 随学随练 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____ ）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____ ）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____ ）． 请把小明的说明过程补充完整． 【答案】①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，根据得到，再由，得到，即可证明． 【详解】已知：如图，在同一平面内直线，①． 求证：②． 证明：∵（已知）， ∴③（④垂直的定义）． ∵⑤（已知）， ∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等）， ∴⑧（等式的基本事实）， ∴⑨（⑩垂直的定义）． 拓展 定义、命题、证明三者对比 对比维度 定义 命题 证明 核心作用 解释名词本质属性 对事物作出判断，分真假 验证真命题的推理过程 本质属性 描述性语句 判断性语句 逻辑推理过程 可逆性 双向可逆（核心特征） 不可逆，仅条件推结论 单向推导（条件→结论） 是否分真假 无真假，仅标准解释 分真命题、假命题 无真假，只判断命题是否成立 能否作为推理依据 可以 真命题（公理、定理）可作依据；假命题不可 推理手段，不能作为依据 活学活用 1．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）下列关于定义、命题、定理表述错误的个数是（　　） ①“你饿了吗?”不是命题； ②“过一点作已知直线的垂线”，是真命题， ③“对顶角相等”，是定理； ④“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴”，是定义； ⑤“两点确定一条直线”，是基本事实． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：∵①“你饿了吗?”是疑问句，没有对事情做出判断，不是命题，因此①的表述正确； ∵②“过一点作已知直线的垂线”是作图语句，没有对事情做出判断，不是命题，因此“它是真命题”的表述错误； ∵③“对顶角相等”是经过推理证明的真命题，属于定理，因此③的表述正确； ∵④“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴”是数轴的定义，因此④的表述正确； ∵⑤“两点确定一条直线”是经过实践验证的基本事实，因此⑤的表述正确； ∴综上，表述错误的个数为个． 2．（25-26七年级下·广西玉林·期中）填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________ ）， ∴（___________ ）． ∴（___________ ）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（___________ ）． ∴（___________ ）． 【答案】对顶角相等；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 拓展 公理（基本事实）与定理对比 对比维度 公理（基本事实） 定理 证明要求 无需证明，实践公认 必须经过严格逻辑推理证明 来源 长期生活、实践总结 依托公理、定义、已有定理推导得出 共性 都属于真命题；均可作为几何证明的推理依据 活学活用 1．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）及相互关系． 根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性． 【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明的真命题． A：公理和定理都是真命题，此说法错误； B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误； C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确； D：公理无需证明即可使用，此说法错误． 故选：C． 2．下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查公理与定理的区分．公理是不需要证明的基本命题，而定理是通过公理推导出的命题，据此可得答案． 【详解】解：A、B、D三个选项中的命题都是公理， C选项中的命题需要证明，即该命题不是公理， 如则， 故选：C． 题型 定义的判断 解题贴士 定义的特点：精准描述事物本质属性，无模糊、无歧义，一个术语仅有一个标准定义；定义的正反表述均成立，这是定义区别于普通命题的核心特征。 ▌例1．下面各个命题中，定义为（ ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在正数前加上符号“”的数叫做负数 D．今天的天气很好 【答案】C 【详解】解：A、两点之间，线段最短，是性质不是定义，不符合题意； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是性质不是定义，且原说法错误，不符合题意； C、在正数前加上符号“”的数叫做负数，是定义，符合题意； D、今天的天气很好，不是定义，不符合题意． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·广东梅州·期末）在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 C．作一个角等于已知角 D．a，b两条直线平行吗 【答案】B 【分析】本题主要考查了定义的概念；定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项B明确给出了直角三角形的定义，符合要求． 【详解】解：∵定义是明确概念含义的陈述，选项B中有一个角是直角的三角形叫做直角三角形符合定义的特征； ∴选项B是定义． 其他选项A、C为操作指令，选项D为疑问句，均不是定义． 故选：B． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查定义的概念；定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项D明确给出了直角三角形的定义，符合要求． 【详解】解：∵定义是明确概念含义的陈述，选项D中“有一个角是直角的三角形叫作直角三角形”符合定义的特征；   ∴选项D是定义． 其他选项A、C为操作指令，选项B为疑问句，均不是定义． 故选：D． 题型 命题的判断 解题贴士 1）有明确对错判断语句是命题； 2）疑问句、作图指令、感叹句都不是命题。 ▌例1．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）下列语句中，是命题的是（     ） A．宇树机器人是当下国内外人们关注的热点之一 B．你喜欢旅游吗 C．吃饭的时候不要说话 D．过点A画一条与直线垂直的直线 【答案】A 【分析】本题根据命题的定义判断即可，命题是指对一件事情作出判断的语句． 【详解】解：A、对宇树机器人的相关情况作出了明确判断，属于命题； B、是疑问句，未对事件作出判断，不属于命题； C、是祈使句，是行为要求，未对事件作出判断，不属于命题； D、是作图操作指令，未对事件作出判断，不属于命题． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·福建莆田·期中）下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【答案】A 【详解】解：∵选项A是对事件作出明确判断的陈述语句，∴A是命题； ∵选项B是疑问句，未对事情作出判断，∴B不是命题； ∵选项C是祈使句，未对事情作出判断，∴C不是命题； ∵选项D是操作指令，未对事情作出判断，∴D不是命题． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）下列关于定义、命题、定理表述错误的个数是（　　） ①“你饿了吗?”不是命题； ②“过一点作已知直线的垂线”，是真命题， ③“对顶角相等”，是定理； ④“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴”，是定义； ⑤“两点确定一条直线”，是基本事实． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：∵①“你饿了吗?”是疑问句，没有对事情做出判断，不是命题，因此①的表述正确； ∵②“过一点作已知直线的垂线”是作图语句，没有对事情做出判断，不是命题，因此“它是真命题”的表述错误； ∵③“对顶角相等”是经过推理证明的真命题，属于定理，因此③的表述正确； ∵④“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴”是数轴的定义，因此④的表述正确； ∵⑤“两点确定一条直线”是经过实践验证的基本事实，因此⑤的表述正确； ∴综上，表述错误的个数为个． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·上海普陀·期中）下列语句中，是命题的是（    ） A．画一个角等于已知角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等吗？ C．等角的余角相等 D．延长线段到点，使得 【答案】C 【分析】本题考查命题的定义，根据“判断一件事情的语句叫做命题”这一定义，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：A选项是操作指令，没有对事件做出判断，不是命题； B选项是疑问句，没有对事件做出判断，不是命题； C选项是对等角的余角关系做出判断的陈述句，符合命题定义，是命题； D选项是操作指令，没有对事件做出判断，不是命题． 题型 写出命题的题设与结论 解题贴士 1）标准句：如果后为题设，那么后为结论； 2）无关联词：先改写为 “如果… 那么…” 再拆分，统一主语。 ▌例1．（25-26七年级下·河南许昌·期中）把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果那么”的形式：________． 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【分析】命题由题设和结论两部分组成，“如果”后接题设，“那么”后接结论，先分离出原命题的题设与结论即可完成改写． 【详解】解：原命题的题设为“两个数互为相反数”，结论为“这两个数的和为零”，因此改写为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·广东广州·期中）命题“对顶角相等”的题设是：___________． 【答案】 两个角是对顶角 【分析】本题考查命题的结构，命题由题设和结论组成，将原命题改写为“如果…那么…”的形式，“如果”引出的部分即为题设，据此求解即可. 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其中“如果”引领的部分是题设， 因此该命题的题设是两个角是对顶角. ▌对点练1-2．（25-26七年级下·广东江门·期中）写出“同位角相等，两直线平行”的结论为__________． 【答案】两直线平行 【分析】命题由题设和结论两部分组成，将命题改写成“如果那么”的形式，即可得出结论． 【详解】解：将命题改写成“如果那么”的形式为：如果同位角相等，那么两直线平行． 该命题中题设为同位角相等，结论为两直线平行． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·福建厦门·期末）命题“如果，那么”是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】运用有理数乘方的知识，通过举反例即可判断该命题的真假． 【详解】解：取，计算得，满足的条件， 但此时，不满足的结论， 因此原命题是假命题． 题型 判断命题的真假 解题贴士 1）真命题：所有情况结论都成立，用课本定理验证； 2）假命题：存在任意一种例外即假，只需找 1 个反例。 ▌例1．（25-26七年级下·北京海淀·期末）下列命题中，真命题是（     ） A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 B．如果，那么或 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．的算术平方根是 【答案】B 【分析】根据平行线的性质与判定定理，算术平方根的定义，有理数乘法运算法则逐一判断即可． 【详解】解：选项A：∵只有在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线才平行，∴A是假命题； 选项B：根据有理数乘法的性质，若，则或，∴B是真命题； 选项C：∵只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，选项未说明两直线平行，∴C是假命题； 选项D：∵，的算术平方根是，不是，∴D是假命题． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·福建福州·期末）下列命题是假命题的是（     ） A．若，则 B．同位角相等 C．垂线段最短 D．若，则 【答案】B 【分析】本题要求找出四个选项中的假命题，根据初中数学相关概念和性质逐一判断命题真假即可． 【详解】解：选项A：根据等式的基本性质，等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立， ∵， ∴两边同乘可得，因此A是真命题； 选项B：只有两条平行线被第三条直线所截时，得到的同位角才相等，原命题没有给出“两直线平行”的前提，同位角不一定相等，因此B是假命题，符合题意； 选项C：“垂线段最短”是几何基本性质，因此C是真命题； 选项D：∵， ∴， ∴，因此D是真命题． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中是真命题的有__________．（填序号） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平行于同一条直线的两条直线互相平行；③同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；④互补的两个角是邻补角；⑤从直线外一点作这条直线的垂线段，叫作这点到这条直线的距离． 【答案】②③/③② 【详解】解：①“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的结论需要添加“在同一平面内”的前提才能成立，题目未给出前提，因此①是假命题； ②根据平行公理的推论可知，平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此②是真命题； ③若同旁内角互补，则两个同旁内角的和为，角平分线将两个同旁内角各分为一半，两个半角的和为， 因此两条角平分线的夹角为，即互相垂直，因此③是真命题； ④互补仅要求两个角的和为，不要求两个角有公共顶点与公共边，邻补角不仅要求互补还要求位置相邻，因此互补的两个角不一定是邻补角，因此④是假命题． ⑤从直线外一点作这条直线的垂线段，垂线段的长度叫作这点到这条直线的距离，距离是长度不是垂线段本身，因此⑤是假命题． 题型 举反例 解题贴士 1）核心要求：满足题设，但不满足结论； 2）选用简单数字、特殊三角形举例，书写简洁。 ▌例1．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）为说明“若，则”是假命题，可举反例（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】要说明原命题是假命题，只需找出满足条件，但不满足结论的反例，逐个验证选项即可． 【详解】解：选项A．，，且，符合原命题，不是反例． 选项B．，，且，满足条件，但不满足结论，是原命题的反例． 选项C．，，不满足命题条件，不是反例． 选项D．，，不满足命题条件，不是反例． ▌例2．（25-26七年级下·北京平谷·期末）用一组，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是________，________． 【答案】 【分析】要说明该命题是假命题，只需举出满足条件，但不满足结论的反例即可. 【详解】解：当，时，满足， 计算得，， ∵， ∴， 不满足，因此可以说明命题“如果，那么”是假命题． 故，时，命题“如果，那么”是假命题．（答案不唯一） ▌对点练1-1．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）要证明命题“任何数的平方都大于”是假命题的反例只能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要证明命题是假命题，只需举出一个满足命题条件，但不满足命题结论的反例，本题只需找到使得，计算各选项即可判断． 【详解】∵原命题结论为“任何数的平方都大于”， ∴反例需要满足， 对各选项逐一计算： 选项A：当时，，符合原命题结论，不能作为反例； 选项B：当时，，符合原命题结论，不能作为反例； 选项C：当时，，符合原命题结论，不能作为反例； 选项D：当时，，不满足，可作为该命题的反例． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反例需要满足命题条件，且不满足命题结论，据此逐一判断选项即可． 【详解】反例需要满足条件，且不满足结论． 选项B、D中，，均不满足， B、D不符合要求，不是反例； 选项C中，满足，且，满足命题结论， C不是反例； 选项A中，满足，且，不满足， A是符合要求的反例． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·河南新乡·期中）小聪认为命题“两个无理数的积一定是无理数”不正确，请你帮他举一个反例：_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明命题“两个无理数的积一定是无理数”不正确，只需找到两个乘积为有理数的无理数，即可作为反例． 【详解】解：无理数是无限不循环小数，取和，二者均为无理数， ，是有理数， 这两个无理数的乘积是有理数，可作为原命题的反例． 题型 逻辑推理与证明 解题贴士 1）审题标图，正向推导走不通就逆向倒推； 2）每一步标注定理/定义依据，不跳步、不自创结论； 3）角度题优先外角定理，复杂角度设未知数用方程； 4）文字证明题四步：画图→写已知→写求证→推理证明。 ▌例1．（25-26八年级上·山西太原·期末）有三个不透明的饮料瓶，上面标签分别贴着“橙汁”“可乐”“咖啡”，标号为1、2、3号，工作人员说三个标签全部贴错了，让小明打开2号瓶发现里边装着咖啡，则可乐在_________号瓶． 【答案】1 【分析】根据三个标签全部贴错的约束条件，结合已知2号瓶装咖啡，通过排除法推理得到可乐所在的瓶子编号． 【详解】解：由题意得，1号瓶标签为橙汁，2号瓶标签为可乐，3号瓶标签为咖啡，且所有标签全部贴错， 所以，实际1号瓶内饮料橙汁，实际2号瓶内饮料可乐，实际3号瓶内饮料咖啡， 已知2号瓶内实际装咖啡，满足实际2号瓶内饮料可乐，符合全部贴错的条件. 剩余饮料为橙汁和可乐，需要分配给1号瓶和3号瓶，由实际1号瓶内饮料橙汁，可得1号瓶内只能装可乐，剩余3号瓶内装橙汁． ▌例2．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了证明几何命题，对顶角相等．根据证明几何命题的步骤画图，写出已知求值，再推理证明即可． 【详解】已知：如图，直线与相交于点， 求证：． 证明：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·四川成都·期中）某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是_______． 【答案】623 【分析】本题考查了推理与论证的有关知识，使用排除法缩小范围进而推断出每个数位上的数字是解题的关键． 【详解】解：∵每人都只猜对了不同数位的一个数字，若个位是4，则小致和小萌猜对的数位相同，与题意不符， ∴个位数为3， ∵由上述可知小莉猜对的是个位数，故她猜的百位数5是错误的， ∴百位数字为6， ∴小萌猜对十位数字，即十位数字为2， ∴这个密码锁的密码是623． 故答案为：623 ▌对点练1-2．（25-26八年级上·广东珠海·期末）在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ___________． 即． (1)任务一：补全小颖的说理过程； (2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． 【答案】(1)、 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和性质，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意，得，证明，所以，即； （2）理解题意，由得，，又因为，得，即可作答． 【详解】（1）解： ， 即． （2）解：∵， ，， ∵， ． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形，点在的延长线上，是的平分线，若，求证： （请把证明过程补充完整） 点在延长线上 ___________ （　 　） ___________ ______________________ ___________ 是的平分线 ___________ ___________ （ 　　） 【答案】见解析 【详解】证明：点在延长线上 （三角形内角和定理） 是的平分线 （同位角相等，两直线平行） 基础通关 1．（25-26七年级下·北京石景山·期末）能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】找出满足但的的值即可． 【详解】解：A、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； B、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； C、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； D、，满足，且，不满足，可以说明该命题是假命题． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）下列命题中的真命题是（     ） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．两个锐角的和是钝角 D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直 【答案】A 【分析】根据对顶角性质，平行线的性质，角的分类等知识，熟记相关概念性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：选项A：∵对顶角的性质为对顶角相等，∴A是真命题； 选项B：∵只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，任意两条直线被截同位角不一定相等，∴B是假命题； 选项C：∵若两个锐角分别为和，和为，仍是锐角，∴两个锐角的和不一定是钝角，C是假命题； 选项D：∵同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不是互相垂直，∴D是假命题． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知命题：任何正数的平方都大于这个数本身，请举一个反例说明该命题是假命题．这个正数可以是（     ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查假命题的反例，解题思路是找出满足“正数的平方不大于这个数本身”的数，计算后比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 原命题为“任何正数的平方都大于这个数本身”，反例需要满足：为正数，且． ∴对选项A，当时，． ∵，即，不符合原命题结论． ∴是原命题的反例． 4．（25-26七年级下·上海·期中）下列说法中，是真命题的是（   ） A．如果直线与相交，与相交，那么与相交 B．三角形的外角大于任何一个内角 C．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．经过直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】根据相交线的位置关系，三角形外角性质，点到直线的距离定义，平行公理，逐个判断即可． 【详解】解：A、如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c不一定相交，有可能平行，原命题为假命题，故选项不符合题意； B、三角形的一个外角大于与其不相邻的任何一个内角，原命题为假命题，故选项不符合题意； C、从直线外一点到这条直线上的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原命题为假命题，故选项不符合题意； D、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是平行公理，是真命题，故选项符合题意． 5．（25-26八年级下·四川成都·期末）命题“若，则”是_______命题．（填“真”或“假”）． 【答案】 假 【分析】利用平方的性质，通过举反例即可验证命题是否正确． 【详解】解：取，，计算得，， 此时满足，但，不满足， 因此原命题不成立，该命题是假命题． 6．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知命题“如果，那么”，则该命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】 假 【分析】是求出满足的所有的值，判断结论是否一定成立，即可判断命题的真假． 【详解】解：根据平方根的定义，若，则或． 因此当条件成立时，结论不一定成立， 所以该命题是假命题． 7．（25-26七年级下·上海杨浦·期末）判定命题“如果，那么”是假命题，只需要举一个反例，这个反例可以是________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】题中条件为，结论为，则只需找出满足且的一组即可． 【详解】解：当，时，，， 满足，但，不满足， ∴，可作为该命题的反例． 8．（2026·河南周口·模拟预测）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，______． 【答案】 2（不唯一） （不唯一） 【详解】解：取，， 此时，，满足， 但，即不满足， 因此，可说明该命题是假命题，答案不唯一． 9．（25-26八年级下·云南昭通·期中）把命题“3的倍数是奇数”改写成“如果……，那么……”的形式是_____． 【答案】如果一个数是3的倍数，那么这个数是奇数 【分析】先分清命题“的倍数是奇数”的题设与结论，“如果”后接题设部分，“那么”后接结论部分，即可完成改写． 【详解】解：命题“的倍数是奇数”中，题设为一个数是的倍数，结论为这个数是奇数， 因此改写成“如果……，那么……”的形式为：如果一个数是的倍数，那么这个数是奇数． 10．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【答案】(1) (2)三角形内角和为； (3)见解析 【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键． （1）根据图形直接写出结果即可； （2）根据（1）写出猜想即可； （3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：通过、、的拼接，发现； （2）猜想：三角形内角和为； （3）延长，过点C作，如图所示：    ∴， ∵， ∴． 素养提升 1．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）下列四个命题中，是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，如平行线的同位角相等，但不是对顶角，因此A是假命题，不符合要求； B．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，才叫作点到直线的距离，原命题描述错误，因此B是假命题，不符合要求； C．只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，原命题缺少前提条件，因此C是假命题，不符合要求； D．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本性质，因此D是真命题，符合要求． 2．（25-26七年级下·北京房山·期末）下列命题中正确的是（     ） A．如果两个角相等，那么这两个角一定是对顶角 B．如果，那么 C．如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角相等 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】D 【分析】结合对顶角概念，绝对值性质，平行线性质和平行公理推论，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角，∴ A选项错误； ∵ 若，则或，例如，但，∴ B选项错误； ∵ 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，不一定相等，∴ C选项错误； ∵ 根据平行公理的推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，∴ D选项正确． 3．（25-26七年级下·北京房山·期末）用一组，，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是__________、__________、__________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需举出反例说明命题错误即可，根据不等式的性质，当为非正数时，满足，但无法得到，即可完成举例． 【详解】解：当，，时，可得，即，不满足，因此可以说明“如果，那么”是假命题． 4．（25-26七年级下·江苏南京·期末）在以下命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．其中是假命题的有：_____________．（填序号） 【答案】②④ 【分析】根据命题与真假命题的概念，对顶角性质、平行线的性质、平行公理、垂线的定义，等知识点，逐项判断，找出假命题即可． 【详解】解：①对顶角相等，符合对顶角的性质，是真命题； ②同旁内角互补的前提是两直线平行，命题未给出该前提，结论不成立，故②是假命题； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行，符合平行公理的推论，是真命题； ④“经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直”的前提是在同一平面内，命题缺少该前提，结论不成立，故④是假命题； ∴假命题的有②④． 5．（25-26七年级下·重庆南川·期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）根据得到，根据平行线的判定和性质得到，即可证明； （2）根据对顶角相等得到，根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质求出，根据平行线的性质作答即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 迁移创新 1．（25-26七年级下·广西南宁·期末）如图，直线，被直线所截，下列命题为真命题的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据平行线的性质与判定定理逐一判断即可． 【详解】解：如图所示，， A、当时，，此时不能得到，原命题是假命题，不符合题意； B、当时，，此时不能得到，原命题是假命题，不符合题意； C、当时，，则，不能得到，原命题是假命题，不符合题意； D、当时，，则，原命题是真命题，符合题意． 2．（2026·浙江温州·三模）三角尺是常用的画图工具．一副三角尺包含两块：一块是两锐角分别为和的直角三角尺，另一块是等腰直角三角尺，将它们按下列四种位置摆放，其中能使比小的摆放方式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四个选项中三角板的摆放情况，计算出和的值，再比较即可 【详解】解：由题意，得A选项中，，，； B选项中，，，； C选项中，，，； D选项中，，，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形 1.1 定义与命题、证明 课标要点 1.结合生活、几何实例，区分定义、命题两类语句，能准确识别命题，分清命题的条件与结论，会把命题改写成 “如果…… 那么……” 标准形式。 2.理解真命题、假命题的概念，掌握举反例的方法判断假命题；了解公理、定理的含义，理清定义、命题、公理、定理之间的逻辑关系。 3.理解证明的含义，掌握几何证明的基本格式与推理规范，能结合三角形相关性质完成简单几何证明，做到步步有据。 4.掌握证明命题的完整流程：分清条件结论→画图标注已知求证→书写推理证明；能利用三角形内角和、边角关系完成基础推理证明。 5.区分直观观察、实验操作与演绎证明的差异，体会几何推理严谨性，能判断推理过程是否存在逻辑漏洞。 6.结合三角形相关情境，运用定义、命题、证明解决简单几何说理题，规范几何语言书写。 学习重难点 重点： 1.识别命题，拆分命题的条件与结论，规范改写 “如果…… 那么……” 句式；区分真假命题，会举反例证假命题。 2.理解证明的意义，掌握几何证明的标准书写格式，推理过程每一步标注依据（定义、公理、定理）。 3.三角形基础相关简单命题的完整证明，规范书写已知、求证、证明三大板块。 4.理清定义、命题、公理、定理的逻辑层级关系。 难点： 1.复杂文字命题中准确提取隐藏条件与结论，正确画出对应几何图形、写出已知和求证。 2.构建几何推理逻辑链，自主梳理证明思路，避免跳步、无依据推理，规范严谨书写证明过程。 3.精准举出反例反驳假命题，区分直观错觉与严谨演绎证明。 4.综合运用三角形内角和、边角等量关系完成多步复合几何证明，辨析推理中的逻辑错误。 5.区分定义与命题，理解公理无需证明、定理需要证明的本质区别。 知识点 定义 1.一般地，能明确说明某一名称或术语的意义的句子，叫做该名称或术语的定义。 2.定义的核心特点： 严谨唯一性：精准描述事物本质属性，无模糊、无歧义，一个术语仅有一个标准定义； 双向可逆性：定义的正反表述均成立，这是定义区别于普通命题的核心特征； 判定功能性：可直接用于判断一个事物是否属于该术语范畴。 3.常用表述形式：固定句式：……叫作……、……是……，是数学定义最标准的书写形式。 4.常见定义举例 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形； 垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直； 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 易错提醒 1）所有定义都是真命题，但命题不一定是定义； 2）定义具备双向可逆性，普通真命题大多不可逆。 随学随练 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）下列语句中，属于定义的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同角的余角相等 C．垂线段最短 D．有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 2．下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的内角和等于 C．表示数与字母的积的代数式叫作单项式，单独一个数或一个字母也是单项式 D．两直线平行，内错角相等 知识点 命题（重点） 1.一般地，判断某一件事情的句子叫作命题。 2.命题判定标准：一句话只要有判断、有对错，就是命题；无判断、仅描述、疑问、指令类句子均不是命题。 3.命题的结构：所有命题都由条件（题设）和结论两部分组成，均可改写为“如果……那么……”的标准形式。 如果后面紧跟的内容：已知条件、题设； 那么后面紧跟的内容：由条件推导得出的结论。 注：部分命题原文省略“如果、那么”，改写时需补充完整，不可改变原意。 4.真命题：条件成立时，结论一定成立的正确命题。 5.假命题：条件成立时，结论不成立或不一定成立的错误命题。 6.真假命题判定方法 ①判定真命题：需要通过严谨的逻辑推理、依据公理定理证明； ②判定假命题：只需举出一个反例即可。 7.反例：满足命题的已知条件，但不满足命题结论的例子，是推翻假命题的唯一简易方法。 8.基本事实（公理）：经过人们长期实践检验、不需要证明而直接公认正确的真命题，叫做基本事实（公理）。基本事实是推理证明的原始依据。 9.定理：通过推理证明为正确的真命题，叫做定理。定理可以作为判断其他命题真假的依据。 易错提醒 1）改写命题为“如果……那么……”形式时，不能删减核心条件、不能篡改原意； 2）判断假命题无需全盘否定，只需找到一个符合条件、不符合结论的反例即可。 随学随练 1．（25-26八年级上·江西吉安·期末）下列语句是命题的是（   ） A．美丽的天空 B．负数都小于零 C．过一点作已知直线的垂线 D．你的数学作业做完了吗？ 2．（25-26七年级下·重庆九龙坡·期末）下列命题中，是假命题的是（     ） A．两点之间，线段最短 B．在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）将命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____，那么______． 知识点 证明 1.证明的定义：要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。 2.证明的本质：证明是严谨的演绎推理，区别于观察、测量、猜想、实验等直观感知方法。直观观察存在误差，只有逻辑证明才能百分百确定命题的正确性。 3.证明的核心要求：证明的每一步推理都必须有依据，不可以凭空臆断、凭感觉推导。推理依据只能是：题目已知条件、定义、基本事实、定理及定理推论。 4.几何命题证明的一般步骤 步骤1：根据题意画出图形： 结合命题文字描述，准确画出对应几何图形，标注顶点字母、角度、线段等关键信息，图形需规范、贴合题意，不随意特殊化图形。 步骤2：分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论： 已知：抄写、整理命题中的所有已知条件； 求证：明确写出需要证明成立的结论。 步骤3：在“证明”中写出推理过程： 从已知条件出发，逐层推导，每一步后标注对应依据（已知、定义、定理、基本事实），逻辑连贯、层层递进，最终推出求证结论。部分复杂题型需要添加辅助线辅助证明。 易错提醒 1）证明过程严禁跳步、无依据推理。很多同学默认显而易见的结论、省略关键推理步骤，考试会扣分。所有推导结论，必须对应已知、定义、定理、基本事实四类依据； 2）辅助线不能默认存在，必须文字说明作图过程；禁止在图上直接画线却不书写说明。同时辅助线用虚线绘制，区别于原图实线。 随学随练 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____ ． 求证：②______ ． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____ ）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____ ）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____ ）． 请把小明的说明过程补充完整． 拓展 定义、命题、证明三者对比 对比维度 定义 命题 证明 核心作用 解释名词本质属性 对事物作出判断，分真假 验证真命题的推理过程 本质属性 描述性语句 判断性语句 逻辑推理过程 可逆性 双向可逆（核心特征） 不可逆，仅条件推结论 单向推导（条件→结论） 是否分真假 无真假，仅标准解释 分真命题、假命题 无真假，只判断命题是否成立 能否作为推理依据 可以 真命题（公理、定理）可作依据；假命题不可 推理手段，不能作为依据 活学活用 1．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）下列关于定义、命题、定理表述错误的个数是（　　） ①“你饿了吗?”不是命题； ②“过一点作已知直线的垂线”，是真命题， ③“对顶角相等”，是定理； ④“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴”，是定义； ⑤“两点确定一条直线”，是基本事实． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·广西玉林·期中）填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________ ）， ∴（___________ ）． ∴（___________ ）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（___________ ）． ∴（___________ ）． 拓展 公理（基本事实）与定理对比 对比维度 公理（基本事实） 定理 证明要求 无需证明，实践公认 必须经过严格逻辑推理证明 来源 长期生活、实践总结 依托公理、定义、已有定理推导得出 共性 都属于真命题；均可作为几何证明的推理依据 活学活用 1．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 2．下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 题型 定义的判断 解题贴士 定义的特点：精准描述事物本质属性，无模糊、无歧义，一个术语仅有一个标准定义；定义的正反表述均成立，这是定义区别于普通命题的核心特征。 ▌例1．下面各个命题中，定义为（ ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在正数前加上符号“”的数叫做负数 D．今天的天气很好 ▌对点练1-1．（25-26八年级上·广东梅州·期末）在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 C．作一个角等于已知角 D．a，b两条直线平行吗 ▌对点练1-2．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 题型 命题的判断 解题贴士 1）有明确对错判断语句是命题； 2）疑问句、作图指令、感叹句都不是命题。 ▌例1．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）下列语句中，是命题的是（     ） A．宇树机器人是当下国内外人们关注的热点之一 B．你喜欢旅游吗 C．吃饭的时候不要说话 D．过点A画一条与直线垂直的直线 ▌对点练1-1．（25-26七年级下·福建莆田·期中）下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 ▌对点练1-2．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）下列关于定义、命题、定理表述错误的个数是（　　） ①“你饿了吗?”不是命题； ②“过一点作已知直线的垂线”，是真命题， ③“对顶角相等”，是定理； ④“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴”，是定义； ⑤“两点确定一条直线”，是基本事实． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌对点练1-3．（25-26七年级下·上海普陀·期中）下列语句中，是命题的是（    ） A．画一个角等于已知角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等吗？ C．等角的余角相等 D．延长线段到点，使得 题型 写出命题的题设与结论 解题贴士 1）标准句：如果后为题设，那么后为结论； 2）无关联词：先改写为 “如果… 那么…” 再拆分，统一主语。 ▌例1．（25-26七年级下·河南许昌·期中）把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果那么”的形式：________． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·广东广州·期中）命题“对顶角相等”的题设是：___________． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·广东江门·期中）写出“同位角相等，两直线平行”的结论为__________． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·福建厦门·期末）命题“如果，那么”是________命题．（填“真”或“假”） 题型 判断命题的真假 解题贴士 1）真命题：所有情况结论都成立，用课本定理验证； 2）假命题：存在任意一种例外即假，只需找 1 个反例。 ▌例1．（25-26七年级下·北京海淀·期末）下列命题中，真命题是（     ） A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 B．如果，那么或 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．的算术平方根是 ▌对点练1-1．（25-26七年级下·福建福州·期末）下列命题是假命题的是（     ） A．若，则 B．同位角相等 C．垂线段最短 D．若，则 ▌对点练1-2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中是真命题的有__________．（填序号） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平行于同一条直线的两条直线互相平行；③同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；④互补的两个角是邻补角；⑤从直线外一点作这条直线的垂线段，叫作这点到这条直线的距离． 题型 举反例 解题贴士 1）核心要求：满足题设，但不满足结论； 2）选用简单数字、特殊三角形举例，书写简洁。 ▌例1．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）为说明“若，则”是假命题，可举反例（     ） A．， B．， C．， D．， ▌例2．（25-26七年级下·北京平谷·期末）用一组，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是________，________． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）要证明命题“任何数的平方都大于”是假命题的反例只能是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·河南新乡·期中）小聪认为命题“两个无理数的积一定是无理数”不正确，请你帮他举一个反例：_____． 题型 逻辑推理与证明 解题贴士 1）审题标图，正向推导走不通就逆向倒推； 2）每一步标注定理/定义依据，不跳步、不自创结论； 3）角度题优先外角定理，复杂角度设未知数用方程； 4）文字证明题四步：画图→写已知→写求证→推理证明。 ▌例1．（25-26八年级上·山西太原·期末）有三个不透明的饮料瓶，上面标签分别贴着“橙汁”“可乐”“咖啡”，标号为1、2、3号，工作人员说三个标签全部贴错了，让小明打开2号瓶发现里边装着咖啡，则可乐在_________号瓶． ▌例2．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·四川成都·期中）某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是_______． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·广东珠海·期末）在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ___________． 即． (1)任务一：补全小颖的说理过程； (2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形，点在的延长线上，是的平分线，若，求证： （请把证明过程补充完整） 点在延长线上 ___________ （　 　） ___________ ______________________ ___________ 是的平分线 ___________ ___________ （ 　　） 基础通关 1．（25-26七年级下·北京石景山·期末）能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）下列命题中的真命题是（     ） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．两个锐角的和是钝角 D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直 3．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知命题：任何正数的平方都大于这个数本身，请举一个反例说明该命题是假命题．这个正数可以是（     ） A． B．2 C．3 D．4 4．（25-26七年级下·上海·期中）下列说法中，是真命题的是（   ） A．如果直线与相交，与相交，那么与相交 B．三角形的外角大于任何一个内角 C．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．经过直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线平行 5．（25-26八年级下·四川成都·期末）命题“若，则”是_______命题．（填“真”或“假”）． 6．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知命题“如果，那么”，则该命题是______命题．（填“真”或“假”） 7．（25-26七年级下·上海杨浦·期末）判定命题“如果，那么”是假命题，只需要举一个反例，这个反例可以是________． 8．（2026·河南周口·模拟预测）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，______． 9．（25-26八年级下·云南昭通·期中）把命题“3的倍数是奇数”改写成“如果……，那么……”的形式是_____． 10．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 素养提升 1．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）下列四个命题中，是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（25-26七年级下·北京房山·期末）下列命题中正确的是（     ） A．如果两个角相等，那么这两个角一定是对顶角 B．如果，那么 C．如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角相等 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 3．（25-26七年级下·北京房山·期末）用一组，，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是__________、__________、__________． 4．（25-26七年级下·江苏南京·期末）在以下命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．其中是假命题的有：_____________．（填序号） 5．（25-26七年级下·重庆南川·期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 迁移创新 1．（25-26七年级下·广西南宁·期末）如图，直线，被直线所截，下列命题为真命题的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（2026·浙江温州·三模）三角尺是常用的画图工具．一副三角尺包含两块：一块是两锐角分别为和的直角三角尺，另一块是等腰直角三角尺，将它们按下列四种位置摆放，其中能使比小的摆放方式是（     ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $