1.1认识三角形（10大题型）-（题型·技巧培优系列）同步讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版2024）

（浙教版2024）八年级上册数学《第1章 三角形的初步知识》 1.1 认识三角形 知识点—：三角形有关的概念 ★1、三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. ★2、三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. (2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边. (3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. ★3、三角形的表示方法：用符号“△”表示三角形. 如图，顶点是A，B，C 的三角形，记作△ ABC，读作“三角形ABC”. 知识点二：三角形的内角和定理 ★1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° . 几何语言：在△ ABC 中，∠A+ ∠B+ ∠C=180° . ★2、三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角； ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 知识点三：三角形的分类 ★三角形可以按内角的大小进行分类： 知识点四：三角形的三边关系 ★三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形两边的和大于第三边 a+b﹥c， b+c﹥a， a+c﹥b 两点之间， 线段最短. 三角形两边的差小于第三边 a－b﹤c， b－c﹤a， a－c﹤b(a ﹥b﹥c) 知识点五：三角形的高、中线与角平分线 一、三角形的高 ◆1、三角形的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 性质：如右图： ∵ AD是△ABC的边BC上的高(已知)， ∴ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°) 判定： ∵ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知)， ∴线段AD 是△ABC 的边BC上的高(三角形的高的定义) ◆2、三角形的高的画法 一靠：使三角尺的一条直角边靠在作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点； 三画：画垂线段. ◆3、三角形三条高的位置 高的位置 交点位置 交点名称 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三条高交于一点，都在三角形内部. 垂心 直角三角形 其中两条高恰好是直角边 三条高交于一点，再三角形的直角顶点 钝角三角形 其中两条高在三角形外部 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于一点，在三角形外. 二、三角形的中线 ◆1、三角形的中线的定义：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线. 几何语言：如图， (1)AD是△ ABC 中BC 边上的中线； (2)D是BC边的中点； (3)BD=DC，BD=BC，DC=BC. ◆2、三角形的重心： 三角形的三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心(如右图中的点O)，重心在三角形内部. 三、三角形的角平分线 ◆1、三角形的角平分线的定义： 三角形一个内角的平分线与它所对的边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线. 【注意】●角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段. ●三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. ◆2、三角形的角平分线的位置： 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 题型一 三角形有关的概念 【例1】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【变式1-1】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A．B．C．D． 【变式1-2】（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 【变式1-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图所示的图形中共有 个三角形，它们分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ． 题型二 三角形的分类 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 三角形按三个内角的大小，可将三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．角形的角． 【变式2-1】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来进行分类，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）在中，若，则形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【变式2-3】（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【变式2-4】（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）三角形的三个内角的度数比为．这是一个（　　）三角形 A．直角 B．锐角 C．钝角 D．无法判断 题型三 三角形的计数问题 【例3】（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图中三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 在计数三角形的个数时，要找到一种科学、方便的计数方法，保证所计数的三角形不重不漏，这种方法就是“定边平移法”. 【变式3-1】（2024秋•永吉县期中）如图，图中三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3-2】（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）如图中三角形的个数共有 个． 【变式3-3】（2024春·八年级单元测试）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有___________对． 【变式3-4】（1）如图1，D1是△ABC的边AB上的一点，则图中有哪几个三角形？ （2）如图2，D1，D2是△ABC的边AB上的两点，则图中有哪几个三角形？ （3）如图3，D1，D2，…，D10是△ABC的边AB上的10个点，则图中共有多少个三角形？ 题型四 三角形三边关系的计算 【例4】（24-25七年级下·福建福州·期末）若三角形的两条边长分别为4和9，则第三边的边长可以是（    ） A．4 B．5 C．8 D．13 1.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 2.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，容易忽略． 【变式4-1】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，小华为了估计池塘两岸间的距离（即的长），在池塘的一侧选取一点，测得，，则池塘两岸间的距离可能是（    ）． A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知三角形的两边长分别是1和3，第三边的边长为整数，则这个三角形的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-3】（24-25七年级下·广东梅州·期中）一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是 ． 【变式4-4】（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知的三边长均为整数，的周长为偶数． (1)若，，求的长． (2)若，求的最大值． 题型五 三角形三边关系的证明 【例5】已知：在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上，如图，求证：BD－BC＜AD－AB. 证明线段间不等关系的方法，常先构造三角形，把相关线段尽可能地集中在一个三角形中，然后运用“三角形两边的和大于第三边”这一关系，得出几个同向不等式，最后通过变形得出结论. 【变式5-1】（2024秋•忻府区月考）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，则AB+BC+AC＞2AD．请说明理由． 【变式5-2】如图，△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB+AC＞BP+CP． 【变式5-3】（2024春·八年级统考课时练习）已知点O在内部，连接OA，OB，OC，说明：． 【变式5-4】（2024春·全国·八年级专题练习）观察并探求下列各问题： (1)如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC__ __AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)． (2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． (3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． 题型六 三角形的高 【例6】（2024春•和平区期中）在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（　　） A． B． C． D． 1、从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 2、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【变式6-1】（2024秋•万全区期末）如图，△ABC的边BC上的高是（　　） A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE 【变式6-2】（2024秋•包河区期末）如图，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，以下线段是△ABE的高的是（　　） A．CD B．DE C．AC D．AD 【变式6-3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，图中线段中可以作为△ABC的高有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式6-4】（2024秋•汕尾校级月考）如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B． （1）试说明CD是△ABC的高； （2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长． 题型七 三角形的中线 【例7】（2024秋•政和县期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是48，则△ABE的面积是　 　 ． 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形． 【变式7-1】（2025·吉林长春·二模）如图，根据图形折叠后的情况，可以判定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（    ）    A．16 B．18 C．20 D．22 【变式7-3】（24-25八年级上·天津和平·期末）在中，，中线将这个三角形的周长分为15和21两部分，则的长为（   ） A．16 B．11 C．16或8 D．11或1 【变式7-4】（2024春•丰泽区校级期中）如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm． （1）△ABD与△ACD的周长差为 　 cm． （2）点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 题型八 三角形的角平分线 【例8】如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（　　） A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 【变式8-1】（2025·河南信阳·三模）如图，中，，，线段是的平分线，的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，DE∥BC，CD是△ACB的平分线，∠ACB＝60°，那么∠EDC＝　　度． 【变式8-3】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线，则∠DAC＝　 　，∠BCE＝　 　，∠ACB＝　 　． 【变式8-4】如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，EF∥AD交BC于F，试问：EF是△BDE的角平分线吗？说说你的理由． 题型九 三角形的内角和定理 【例9】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 根据“三角形三个内角的和等于180° ”来求三角形中求角的问题，有时要用到方程的思想来解决. 【变式9-1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·山西吕梁·模拟预测）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式9-4】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线，被所截，连接，交于点E，，，平分． (1)若，求的度数； (2)点F在上，连接．若，请说明：． 题型十 三角形的高、中线、角平分线的综合应用 【例10】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 三角形的高、中线、角平分线的综合应用主要是利用他们的性质来解决综合问题. 【变式10-1】（2024秋•安顺期末）如图，AD是△ABC的高，DE是△ABD的中线，BF是△BDE的角平分线．若AD＝BD，则∠BFD的度数为 　 　． 【变式10-2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，中，，是的角平分线． (1)若，求的度数； (2)若D是的中点，的面积为27，，求的长． 【变式10-3】（2024春•吴江区期中）如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°． （1）求∠AEC的度数； （2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，求BC的长． 【变式10-4】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版2024）八年级上册数学《第1章 三角形的初步知识》 1.1 认识三角形 知识点—：三角形有关的概念 ★1、三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. ★2、三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. (2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边. (3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. ★3、三角形的表示方法：用符号“△”表示三角形. 如图，顶点是A，B，C 的三角形，记作△ ABC，读作“三角形ABC”. 知识点二：三角形的内角和定理 ★1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° . 几何语言：在△ ABC 中，∠A+ ∠B+ ∠C=180° . ★2、三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角； ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 知识点三：三角形的分类 ★三角形可以按内角的大小进行分类： 知识点四：三角形的三边关系 ★三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形两边的和大于第三边 a+b﹥c， b+c﹥a， a+c﹥b 两点之间， 线段最短. 三角形两边的差小于第三边 a－b﹤c， b－c﹤a， a－c﹤b(a ﹥b﹥c) 知识点五：三角形的高、中线与角平分线 一、三角形的高 ◆1、三角形的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 性质：如右图： ∵ AD是△ABC的边BC上的高(已知)， ∴ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°) 判定： ∵ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知)， ∴线段AD 是△ABC 的边BC上的高(三角形的高的定义) ◆2、三角形的高的画法 一靠：使三角尺的一条直角边靠在作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点； 三画：画垂线段. ◆3、三角形三条高的位置 高的位置 交点位置 交点名称 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三条高交于一点，都在三角形内部. 垂心 直角三角形 其中两条高恰好是直角边 三条高交于一点，再三角形的直角顶点 钝角三角形 其中两条高在三角形外部 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于一点，在三角形外. 二、三角形的中线 ◆1、三角形的中线的定义：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线. 几何语言：如图， (1)AD是△ ABC 中BC 边上的中线； (2)D是BC边的中点； (3)BD=DC，BD=BC，DC=BC. ◆2、三角形的重心： 三角形的三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心(如右图中的点O)，重心在三角形内部. 三、三角形的角平分线 ◆1、三角形的角平分线的定义： 三角形一个内角的平分线与它所对的边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线. 【注意】●角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段. ●三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. ◆2、三角形的角平分线的位置： 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 题型一 三角形有关的概念 【例1】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【变式1-1】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形的组成元素，关键是掌握对边是指这个角对面的那条边． 【详解】解：在中，的对边是． 故选C． 【变式1-3】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了三角形的有关概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 【详解】在中，所对的边是；在中，边所对的角是， 故答案为：；． 【变式1-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图所示的图形中共有 个三角形，它们分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ． 【答案】 4 B，G，E 【分析】该题主要考查了三角形的概念和三角形的角和边，解题的关键是掌握三角形中的相关定义． （1）根据三角形的定义解答即可； （2）根据三角形的顶点、边、角解答即可． 【详解】解：（1）根据图形可得，如图所示的图形中共有4个三角形，它们分别是； （2）根据图形可得，的三个顶点分别是B，G，E，三条边分别是，三个角分别是． 故答案为：；B，G，E；；． 题型二 三角形的分类 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据直角三角形，锐角三角形以及钝角单脚的定义分析即可． 【详解】解∶ 已知此三角形露出的一个角是锐角． 对于锐角三角形，它的三个角都是锐角所以仅一个锐角不能确定它就是锐角三角形． 对于直角三角形，除了一个直角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角也不能排除它是直角三角形． 对于钝角三角形，除了一个钝角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角同样不能排除它是钝角三角形． 因此，仅根据露出的这一个锐角，这个三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形，此三角形的类别无法确定． 故选：D 三角形按三个内角的大小，可将三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．角形的角． 【变式2-1】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来进行分类，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形按角分类的方法一一判断即可． 【详解】解：观察图形可知： A、露出的角是直角，因此是直角三角形； B、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形． 故选：C． 【变式2-2】（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）在中，若，则形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及直角三角形的判定，熟知三角形的内角和是是解答此题的关键．先根据，可得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：C． 【变式2-3】（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的识别． 根据，结合钝角三角形的定义即可判断． 【详解】解：∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 【变式2-4】（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）三角形的三个内角的度数比为．这是一个（　　）三角形 A．直角 B．锐角 C．钝角 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据三个内角的度数之比与三角形的内角和为，求出最大的内角的度数，即可作出判断． 【详解】最大的内角的度数为：， 所以这是一个直角三角形． 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角形的内角和等于． 题型三 三角形的计数问题 【例3】（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图中三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段“首尾”顺次连接所组成的封闭图形来判断即可得到． 【详解】解：图中的三角形有，，，共有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形，解题的关键是理解三角形的概念：三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段“首尾”顺次连接所组成的封闭图形． 在计数三角形的个数时，要找到一种科学、方便的计数方法，保证所计数的三角形不重不漏，这种方法就是“定边平移法”. 【变式3-1】（2024秋•永吉县期中）如图，图中三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C． 【分析】由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，据此进行判断即可． 【详解】解：图中的三角形为：△ABD，△ACE，△DCE，△ACD和△ABC，有5个三角形， 故选：C． 【变式3-2】（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）如图中三角形的个数共有 个． 【答案】6 【分析】根据三角形的定义进行求解即可． 【详解】解：由题意得，图中的三角形有， ∴一共有6个三角形， 故答案为；6． 【点睛】本题主要考查了三角形的个数，熟知三角形的定义是解题的关键． 【变式3-3】（2024春·八年级单元测试）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有___________对． 【答案】3 【分析】找到以为边的三角形，即可得解． 【详解】解：以为公共边的“共边三角形”有与、与、与共3对． 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形的定义．理解并掌握“共边三角形”的定义，是解题的关键． 【变式3-4】（1）如图1，D1是△ABC的边AB上的一点，则图中有哪几个三角形？ （2）如图2，D1，D2是△ABC的边AB上的两点，则图中有哪几个三角形？ （3）如图3，D1，D2，…，D10是△ABC的边AB上的10个点，则图中共有多少个三角形？ 【答案】（1）3；（2）6；（3）66． 【分析】（1）根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行分析即可； （2）根据三角形的定义结合图形进行分析即可得； （3）根据直线AB上有几条线段就有几个三角形，由线段的计数方法进行计算即可得答案. 【详解】（1）图中三角形有：△ABC、△AD1C、△AD1B共3个； （2）图中三角形有：△ACD1、△ACD2、△ABC、△D1CD2、△D1CB、△D2CB共6个； （3）∵直线AB上有12个点， ∴直线AB上的线段共有：=66（条），即图中共有66个三角形． 【点睛】本题考查了三角形，规律题，关键在数三角形个数时要做到不重不漏. 题型四 三角形三边关系的计算 【例4】（24-25七年级下·福建福州·期末）若三角形的两条边长分别为4和9，则第三边的边长可以是（    ） A．4 B．5 C．8 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了三边关系，根据三角形三边关系定理，第三边应大于两边之差且小于两边之和，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形的两边长分别为4和9， ∴，即 观察四个选项，唯有C选项的8满足； 故选：C 1.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 2.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，容易忽略． 【变式4-1】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，小华为了估计池塘两岸间的距离（即的长），在池塘的一侧选取一点，测得，，则池塘两岸间的距离可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，能根据三角形的三边关系定理得出不等式是解此题的关键． 根据三角形的三边关系定理得出不等式，即可得出选项． 【详解】解：设， ∵，， ∴由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴、间的距离可能是， 故选：B． 【变式4-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知三角形的两边长分别是1和3，第三边的边长为整数，则这个三角形的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了构成三角形的三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 根据构成三角形的三边关系以及题意确定第三边的长度，然后求周长即可． 【详解】解：设第三边长为，由题意得：， 即：， ∵第三边的边长为整数， ∴， ∴这个三角形的周长为， 故选：D． 【变式4-3】（24-25七年级下·广东梅州·期中）一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为4、7、x， ∴，即． 故答案为：． 【变式4-4】（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知的三边长均为整数，的周长为偶数． (1)若，，求的长． (2)若，求的最大值． 【答案】(1)或10 (2)13 【分析】本题考查了三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）根据三角形的三边关系求出的取值范围，再由为偶数即可得出结论； （2）根据，的周长为偶数，可得为正整数，且为奇数，再根据，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：∵由三角形的三边关系知，，即：， ∴， 又∵的周长为偶数，而、为奇数， ∴为偶数，且为正整数，故或10； （2）解：∵，的周长为偶数， ∴为正整数，且为奇数， ∵ ∴的最大值为13． 题型五 三角形三边关系的证明 【例5】已知：在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上，如图，求证：BD－BC＜AD－AB. 【分析】在△BCD中，由三角形任意两边之差小于第三边可得BD－BC＜CD, 由线段的构成和已知可得 CD=AD－AC=AD－AB, 代入即可求解. 【详解】证明：∵在△BCD中，BD－BC＜CD, ∵CD=AD－AC且AB＝AC， 则CD=AD－AC=AD－AB, 即BD－BC＜AD－AB 证明线段间不等关系的方法，常先构造三角形，把相关线段尽可能地集中在一个三角形中，然后运用“三角形两边的和大于第三边”这一关系，得出几个同向不等式，最后通过变形得出结论. 【变式5-1】（2024秋•忻府区月考）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，则AB+BC+AC＞2AD．请说明理由． 【分析】分别在两个三角形中利用三角形的三边关系得到不等式，然后相加即可得到结论． 【详解】解：∵在△ABD中，AB+BD＞AD，△ACD中AC+CD＞AD， ∴AB+BD+AC+CD＞AD+AD， 即：AB+BC+AC＞2AD． 【变式5-2】如图，△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB+AC＞BP+CP． 【分析】由三角形的三边关系可得AB+AD＞BD，CD+PD＞PC，即可得结论． 【详解】证明：在△ABD中，AB+AD＞BD， 在△PDC中，CD+PD＞PC， ∴AB+AD+CD+PD＞BD+PC ∴AB+AC＞BP+CP． 【变式5-3】（2024春·八年级统考课时练习）已知点O在内部，连接OA，OB，OC，说明：． 【答案】证明见解析 【分析】延长BO交AC于D．在△AOB、△BOC、△AOC中，由三角形三边关系定理列式，三式相加可得2(OA+OB+OC)＞AB+BC+AC，即可证明不等式左边部分成立．在△ADO、△BDC中，由三角形三边关系定理列式，两式相加可得OA+BO＜AC+BC，同理可得：OC+OB＜AB+AC，OC+OA＜AB+BC，三式相加即可证明不等式右边部分成立． 【详解】延长BO交AC于D． 在中，，① 在中，② 在中，，③ ①＋②＋③得． 即． 在△ADO中，OA＜AD+OD， 在△BDC中，BD＜DC+BC， ∴OA+BD＜AD+OD+DC+BC， 即OA+BO+OD＜AC+OD+BC， ∴OA+BO＜AC+BC ④ 同理： ⑤ ，⑥ ④＋⑤＋⑥得， 即． ∴． 【变式5-4】（2024春·全国·八年级专题练习）观察并探求下列各问题： (1)如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC__ __AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)． (2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． (3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． 【答案】（1）＜；（2）＜；（3）＜. 【详解】试题分析：（1）根据三角形中两边之和大于第三边，即可得出结果， （2）可延长BP交AC与M，根据两边之和大于第三边，即可得出结果， （3）分别延长BP1、CP2交于M，再根据（2）中得出的BM+CM＜AB+AC，可得出BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，即可得出结果． 试题解析：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边， （2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由： 如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，两式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长， （3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长，理由： 如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M， 可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得结论. 题型六 三角形的高 【例6】（2024春•和平区期中）在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】根据三角形的高的概念判断． 【详解】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC的延长线于D点，因此只有B符合条件， 故选：B． 1、从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 2、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【变式6-1】（2024秋•万全区期末）如图，△ABC的边BC上的高是（　　） A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE 【答案】A． 【分析】根据三角形的高的定义进行分析即可得出结果． 【解答】解：由图可得：△ABC的边BC上的高是AF． 故选：A． 【点评】本题主要考查三角形的角平分线、中线、高，解答的关键是对三角形的高的定义的掌握． 【变式6-2】（2024秋•包河区期末）如图，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，以下线段是△ABE的高的是（　　） A．CD B．DE C．AC D．AD 【答案】C． 【分析】由三角形的高的定义容易得出结论． 【详解】解：由三角形的高的定义可知， 在△ABE中，AC⊥BC于C， ∴AC是△ABE中BE边上的高， 故选：C． 【变式6-3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，图中线段中可以作为△ABC的高有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B． 【分析】根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：△ABC的高有AC、BC、CD共三条， 故选：B． 【变式6-4】（2024秋•汕尾校级月考）如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B． （1）试说明CD是△ABC的高； （2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长． 【答案】（1）见详解；（2）． 【分析】（1）由等量代换可得到∠B+∠BCD＝90°，故△BDC是直角三角形，即CD⊥AB； （2）由面积法可求得CD的长． 【详解】解：（1）∵∠1+∠BCD＝90°，∠1＝∠B ∴∠B+∠BCD＝90° ∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB， ∴CD是△ABC的高； （2）∵∠ACB＝∠CDB＝90° ∴S△ABCAC•BCAB•CD， ∵AC＝8，BC＝6，AB＝10， ∴CD． 题型七 三角形的中线 【例7】（2024秋•政和县期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是48，则△ABE的面积是　 　 ． 【答案】12． 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答． 【详解】解：∵在△ABC中，AD是BC上的中线， 根据中线的性质可得： S△ABD＝S△ACDS△ABC， 同理S△ABE＝S△BEDS△ABD， ∴S△ABES△ABC， ∵△ABC的面积是12， ∴S△ABE48＝12． 故答案为：12． 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形． 【变式7-1】（2025·吉林长春·二模）如图，根据图形折叠后的情况，可以判定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线和翻折的性质，解题的关键在于观察图形. 根据是的中线，可推出点是中点，再根据翻折可知道与是对称点，即可求出答案. 【详解】解： 是的中线， 是中点， ， 由图可知，根据翻折性质，满足的只有选项D. 故选：D. 【变式7-2】（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（    ）    A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】点是边上的中点可得，再由的周长为20可得，从而得到，最后由三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：点是边上的中点， ， 的周长为20， ， ， ， 的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查了与三角形的中线有关的计算，求出是解题的关键． 【变式7-3】（24-25八年级上·天津和平·期末）在中，，中线将这个三角形的周长分为15和21两部分，则的长为（   ） A．16 B．11 C．16或8 D．11或1 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形三边关系，二元一次方程组的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设，，则，分两种情况列二元一次方程求解，再利用三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：设，， 是中线， ， 中线将这个三角形的周长分为15和21两部分， 当，时， 则， 解得：； 即的三边长为、、，符合题意； 当，时， 则， 解得：； 即的三边长为、、，符合题意； 综上可知，的长为16或8， 故选：C． 【变式7-4】（2024春•丰泽区校级期中）如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm． （1）△ABD与△ACD的周长差为 　 cm． （2）点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 【答案】（1）4；（2）1cm或3cm． 【分析】（1）因为AD是中线，所以BD＝CD，因为△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ACD的周长＝AC+CD+AD，可得△ABD的周长△ACD的周长的差即AB与AC的差，因为AB﹣AC＝4（cm），即△ABD的周长△ACD的周长的差为4cm； （2）分两种情况讨论． 【解答】解：（1）∵AD是中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ACD的周长＝AC+CD+AD， ∴△ABD的周长△ACD的周长的差即AB与AC的差， ∵AB﹣AC＝4（cm）， ∴△ABD的周长△ACD的周长的差为4cm， 故答案为：4； （2）①折线BE+BD比折线AE+AC+CD大2cm时， 即BE﹣（AE+AC）＝2cm， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴AE＝1cm， ②折线AE+AC+CD比折线BE+BD大2cm时， 即AE+AC﹣BE＝2cm， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴AE＝3cm， 综上，线段AE的长为1cm或3cm． 【点评】本题考查了三角形的中线，关键是注意分类讨论． 题型八 三角形的角平分线 【例8】如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（　　） A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 【答案】D． 【分析】利用三角形角平分线的性质即可分析． 【详解】解：A、由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据角平分线的性质，可知：BD是△ABC的角平分线，正确； B、CE是△BCD的角平分线，正确； C、∠3∠ACB，正确； D、CE是△ABC的角平分线是错误的，三角形的角平分线是三角形的内角平分线与对边相交，角的顶点与对边交点之间的线段，错误． 故选：D． 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 【变式8-1】（2025·河南信阳·三模）如图，中，，，线段是的平分线，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的计算，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：∵在中，，， ， ∵平分， ， ， 故选：C． 【变式8-2】如图，DE∥BC，CD是△ACB的平分线，∠ACB＝60°，那么∠EDC＝　　度． 【答案】30． 【分析】利用平行线的性质得出∠EDC＝∠DCB，利用角平分线的性质得出∠EDC＝∠ECD进而求出即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCB， ∵CD是△ACB的平分线， ∴∠ECD＝∠DCB， ∴∠EDC＝∠ECD， ∵∠ACB＝60°， ∴∠EDC＝∠ECD＝30°． 故答案为：30． 【变式8-3】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线，则∠DAC＝　 　，∠BCE＝　 　，∠ACB＝　 　． 【答案】30°、40°、80°． 【分析】由AD平分∠ABC，得∠DAC30°．由CE平分∠BCA，得∠BCE＝∠ACE40°，进而解决此题． 【详解】解：∵AD平分∠ABC， ∴∠DAC30°． ∵CE平分∠BCA， ∴∠BCE＝∠ACE40°． ∴∠BCE＝40°，∠BCA＝2∠ACE＝2×40°＝80°． 故答案为：30°、40°、80°． 【变式8-4】如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，EF∥AD交BC于F，试问：EF是△BDE的角平分线吗？说说你的理由． 【答案】见详解 【分析】由平行线的性质得出同位角相等、内错角相等∠BED＝∠BAC，∠BEF＝∠BAD，由角平分线得出∠BAD∠BAC，得出∠BEF∠BED即可． 【详解】解：EF是△BDE的角平分线；理由如下： ∵DE∥AC，EF∥AD， ∴∠BED＝∠BAC，∠BEF＝∠BAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC， ∴∠BEF∠BED， 即EF平分∠BED， ∴EF是△BDE的角平分线． 题型九 三角形的内角和定理 【例9】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，一元一次方程的应用，根据得出，然后根据三角形的内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：B． 根据“三角形三个内角的和等于180° ”来求三角形中求角的问题，有时要用到方程的思想来解决. 【变式9-1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角板中特殊角度，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键； 根据三角板中特殊角度，利用三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：根据三角板的特殊角度，可知：， ∴． 故选D． 【变式9-2】（2025·山西吕梁·模拟预测）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，三角形内角和定理，对顶角相等等知识，由三角板可知，由平行线的性质得出，由三角形内角和定理得出，对顶角相等得出，再根据对顶角相等以及三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：由三角板可知：， ∵直尺两边平行， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B 【变式9-3】（24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，邻补角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式9-4】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线，被所截，连接，交于点E，，，平分． (1)若，求的度数； (2)点F在上，连接．若，请说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和，熟记三角形内角和定理是解题的关键． （1）先利用角平分线的意义求出，再利用三角形内角和求出，进而求出，然后利用三角形内角和求出； （2）先求出，再利用三角形内角和求出即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ， ， ， ， ， ∴； （2），， ， ， ， ． 题型十 三角形的高、中线、角平分线的综合应用 【例10】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，掌握定义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线，高的定义进而判断即可． 【详解】解：，，分别是的中线、角平分线、高线， ∴，，，故选项A、B正确，不合题意； ，故选项C正确，不合题意； 由与不一定相等，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 三角形的高、中线、角平分线的综合应用主要是利用他们的性质来解决综合问题. 【变式10-1】（2024秋•安顺期末）如图，AD是△ABC的高，DE是△ABD的中线，BF是△BDE的角平分线．若AD＝BD，则∠BFD的度数为 　 　． 【答案】112.5°． 【分析】根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形、等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠DBA＝45°，EB＝ED，再根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵AD＝BD，DE是△ABD的中线， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°，EB＝ED， ∴∠EDB＝∠EBD＝45°， ∴∠BED＝90°， ∵BF是△BDE的角平分线， ∴∠EBF∠EBD＝22.5°， ∴∠BFD＝∠BED+∠EBF＝90°+22.5°＝112.5°， 故答案为：112.5°． 【变式10-2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，中，，是的角平分线． (1)若，求的度数； (2)若D是的中点，的面积为27，，求的长． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、线段的中点定义、三角形的面积，理解角平分线和中点定义是解答的关键． （1）先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的定义求解即可； （2）根据线段中点定义求得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴； （2）解：∵D是的中点，， ∴， ∵，的面积为27， ∴， 解得． 【变式10-3】（2024春•吴江区期中）如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°． （1）求∠AEC的度数； （2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，求BC的长． 【答案】（1）50°（2）10. 【分析】（1）根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ECB，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝65°， ∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°， ∴∠ECB∠ACB＝25°， ∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°； （2）∵F是AC中点， ∴AF＝FC， ∵△BCF与△BAF的周长差为3， ∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3， ∴BC﹣AB＝3， ∵AB＝7， ∴BC＝10. 【变式10-4】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解： 为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$