福建省福州第一中学2025-2026学年第二学期第四学段模块考试高一数学试卷

1 福州一中2025一2026学年第二学期第四学段模块考试 高一数学学科试卷 (完卷120分钟满分150分) 一一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每 小题5分，共40分) 1.2+i= () A.1-2i B.1+2i c.2-i D.2+i 2.一组数据中最大值为184cm,最小值152cm,绘制频率分布直方图，若组距为 3,且第一组左端点取151.5，则组数为 () A.9 B.10 C.11 D.12 3.已知α为空间中一个平面，m,n为不同的直线，则下列结论正确的是（) A.若m//u,n//a,则m/n B.若m⊥a,n⊥u,则m//n C.若ml/n,nca,则/a D.若m⊥a,n上m,则n/a 1甲、乙、丙三人各射击一个目标一次，三次射击相互独立，命中率分别为2写 则目标恰好被击中两次的概率为 () A月 B.4 c D.司 5四面体ACD中，AB1平面BCD,AB=2V6,∠CBD=,CD=3,则该四面 体的外接球体积为 () A严 B.12元 C.27π D.36元 6.一个圆台的轴截面周长为4，则该圆台侧面积的最大值为 () A B.π C.2π D.4元 7.签筒中有6支外形完全相同的签，签面上分别写有数字1,2,3,4,5,6.从中不放 回地依次随机抽取2支签，先后抽得的数字分别记为x,y.若△ABC满足AB= x,AC=y,∠A=60°，则△ABC为锐角三角形的概率为 () A写 B. C. 3-5 D. 2 8.正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=4,动点P在侧面BCC1B1内，且直线 AP与面BCC,B1所成角的正切值为V3,则线段AP扫过的曲面面积为() A.2V7π B.4V7z c. 8vV7π D.4V3π 3 二、多项选择题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对 得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分，共18分) 9.三棱锥V-ABC中，∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°，且VA=AB=BC=1,下 列结论正确的是 () A.平面VAB⊥平面VBC B。三棱锥V-ABC的体积为3 C.三棱锥V-ABC外接球半径为V3 D.二面角V-BC-A的大小为T 10.事件A,B发生的概率分别为P(A)=子P(B)=,下列说法正确的是(） A.事件A与事件B互为对立事件 B必有PM≤号 C.若PAB)-3则PAE-{ D.若PAU)=名，则事件A与事件B相互独立 11.如图，将一副三角板拼接，并将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得到三棱锥 A-BCD,设CD=2,点E,F分别为棱BC,BD的中点，则翻折过程中() 60° A.始终有AE⊥CF B.若AB⊥CD,则AD与平面BCD所成角的正切值为V2] C.G为AC的中点，平面EFG截三棱锥A-BCD所得截面面积的最大值为V6 D.M为线段AE上的动点，当AB=AD时，CM+FM的最小值为V4+3V2 3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若样本数据x1,x2,x3的方差为4，则2x1-3,2x2-3,2x3-3的方差为 13.已知点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1D1(包括端点)上的一个动点， 设异面直线AB与CP所成的角为a,则cosa的最小值是 14点P,A,B是半径为1的球上任意不同的三点则PA.P西 的取值范围是 PAI 四、解答题（本题共5小题，共77分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤.注 意：本次考试解答题使用空间向量法论证、计算不得分) 15.盒中有4张大小、质地相同的卡片，分别写有数字1,2,3,4 (1)有放回地随机抽取2次，每次抽1张，求两次抽得数字之和大于5的概率； (2)不放回地依次随机抽取2张卡片，判断“两次抽得的数字之和为奇数”与“两次 抽得的数字之积为3的倍数”这两个事件是否相互独立，并证明你的结论 16.如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，点E,F分别是CD,PB的中点 (1)求证：EF//平面PAD; (2)设平面AEF与线段PC交于点Q,作出平面AEF与 平面P8C的交线（要求说明做法）.并求是 4 17.某校学生参加数学竞赛，成绩均在区间[40,100]内.已知选物理、历史方 向的学生人数分别为180人、120人.现按选科方向按比例分层抽样，抽取50名 学生的答题成绩，并绘制如下样本频率分布直方图 频率/组距 选科方向 样本平均数 样本方差 0.028 物理方向 60 881 0.008 历史方向 59 0.004 0 成绩/分 50 60 70 80 90 100 (1)计算α的值，并用样本估计全体学生成绩的上四分位数（结果精确到整数）： (2)已知所抽取的物理和历史方向学生答题成绩的平均数、方差如上表，且根据 频率分布直方图估计出全体学生成绩的方差为148，求表中x1,s 18.如图，在多面体ABCDE中，△ABC是边长为2的等边三角形，BD=CD=V5 平面BCD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,且AE=2.点D,E位于平面ABC同侧 (1)证明：平面EBD⊥平面BCD; (2)求平面BED与平面ABC所成锐二面角的余弦值； (3)以A为球心，AE为半径作球2，P是2上的一动点， 求P到平面EBD距离的最大值 19.在平面中，任意三角形A1A2A3均可作三条互相平行且相邻距离相等的直线 11,l2,l3,使A;∈1，i=1,2,3.设13与线段A1A2交于D, (1)直接判断点D在线段A1A2上的位置（无需给出理由）； (2)()证明：对任意四面体A1A2A3A4,都可作四个互相平行、相邻距离相等的平 面1，a2,a3,a4,使A:∈ai,i=1,2,3,4; ()若A1A2A3A4是正四面体，且满足()的相邻平面间距离均为1，求其体积 福州一中2025一2026学年第二学期第四学段模块考试答案 6 8 9 10 11 B B B ACD BCD BC 12.1613.V3 14.(-1,2) 15.解(1)设事件A表示“两次抽得的数字之和大于5”， 有放回抽取两次，共有4×4=16种等可能结果， 和大于5的有2,4.(3,3.8，，4,2,4,3.44.共6种，故Pa)=6= 6 3 (2)设事件B表示“两次抽得的数字之和为奇数”，事件C表示“两次抽得的数字之积为3的倍数” 不放回依次抽取两次，样本空间共有4×3=12种等可能结果 事件B:1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(21),(4,1),(2,3)(4,3),共8种 事件C:(3,1),(3,2),(3,4),(1,3),(2,3),(4,3),共6种 事件B0C:需一张为3，另一张为偶数，即(3,2)，(2,3)，(3,4)，(4,3)，共4种 Pa-g- PC-合-分PBnO=告-S 因为 1 21 P(BnC)=3=5×2=P(B)·P(C) 所以事件B与事件C相互独立 16.解：(L)证明：取M为PA的中点，因为PF=BF,PM=MA,所以FMI/AB,且FM=AB. 又底面ABCD为平行四边形，所以AB/CD,且AB=CD. 因为E为CD的中点，所以DE=EC=CD.于是MIIDE,且FM=DE, F 故四边形FMED为平行四边形，从而EF/MD, 又MDC平面PAD,EF4平面PAD,所以EF/I平面PAD, B (2)延长AEBC交于点G,连接FG.因为G∈AE,所以G∈平面AEF 又G∈BC,所以G∈平面PBC·同理，F∈平面AEF,且F∈PBC平面PBC, 所以FG=平面AEFn平面PBC. 因为E是CD的中点，且ABCD为平行四边形，由平行线性质知C是BG的中点 A 又F是BP的中点，所以在△PBG中，PC与GF分别为两条中线， 设Q=PCOFG,则Q是△PBG的重心，放是=2 17.解：(1)10×(0.004+0.012+a+0.028+0.014+0.008)=1,解得a=0.034 各组频率为：0.04,0.12,0.34,0.28,0.14,0.08， 0.04+0.12+0.34=0.5<0.750.04+0.12+0.34+0.28=0.78>0.75 所以上四分位数落在[70,80)内， 方法1：在该组内所占比例为0500-点因此上四分位数约为70+10×京。789 0.28 方法2：设上四分位数为x,则0.04+0.12+0.34+0.028(x-70)=0.75. 解得x=70+075050≈78,9.精确到整数，得P579 0.028 (3)物理方向与历史方向人数比为180：120=3：2，故总体中两类学生所占比例分别为号和号 由直方图估计总体平均数为元=45×0.04+55×0.12+65×0.34+75×0.28+85×0.14+95×0.08=71. 又因为71=1+号×59，解得元1=79 由分层方差公式，148=[60+(9-702]+号号+(59-712]解得号=40=79，号=40 18.(1)取BC中点M,连接AM,DM. 因为BD=CD=V5,所以DM⊥BC,且DM=VCD2-MC2=2. 因为DMC平面BCD,平面BCD⊥平面ABC,平面BCDn平面ABC=BC,且DM⊥BC, 所以DM⊥平面ABC.因为AE⊥平面ABC,所以AE/DM. 又因为DM=AE=2,所以四边形AMDE是平行四边形，从而ED/AM. 因为△ABC是等边三角形，且M为BC的中点，所以AM⊥BC 因为AMC平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,平面BCDN平面ABC=BC, 所以AM⊥平面BCD.由ED/AM,得ED⊥平面BCD. 又因为EDC平面EBD,所以平面EBD⊥平面BCD, (2)由(1)知ED/平面ABC,EDC平面BED,设I=平面BEDn平面ABC, 所以I/ED/AM·因为AM⊥BC,所以I⊥BC; 又因为ED2+DB2=(V3)2+(V5)2=8=EB2,所以ED⊥BD,所以1⊥BD 因此DBC即为平面BED与平面ABC所成二面角的平面角 在△BCD中，BD=CD=V5,BC=2,所以cos∠DBC=0=S 故平面BED与平面ABC所成角的余弦值为 7 (3)由ED/AM,且EDC平面BED,AM4平面BED知AM/I平面BED, 因此，点A与点M到平面BED的距离相等.过点M作MH⊥BD,垂足为H, 由AM⊥平面BCD,MHC平面BCD,所以AM⊥MH,又ED/AM,所以ED⊥MH 又因为ED,BDC平面BED,ED 0 BD=D 所以MH⊥平面BED,因此MH是M到平面BED的距离. 由O知co∠DBC=5,所以mDac-2V5 在直角三角形BMH中，MH=BMsin∠DBC-2V5 5 过点A作AK1平面EBD,垂足为K,则AK=MH=2V5.球2的半径为AE=2. 5 当点P位于射线KA上，且AP=2时，点P到平面EBD的距离最大， 此时PK=PA+AK=2+2V5.所以，点P到平面EBD距离的最大值为 2+2v5 5 19.解：(1)D是A1A2的中点 (2)()取P1为A1A4的中点，P2为A2A3的中点.取M,N为A4A3的三等分点， 且A4M=MW=NA3,记平面A1NP2为a1,平面A2MP1为a2: A1 P 因为P1,M分别为A1A4,A4N的中点，以P1M/1A1N, 又P1Mca2,且A1Nta2,所以A1N/a2: A 同理可证NP2/a2 因为A1Nca1,NP2Ca1,且A1NnNP2=N,所以a1/a2 再过A3,A4分别作平面a3,a4,使a3/a1,a4/a1: A2 P2 A3 直线A4A3依次交a4,a2,a1,a3于A4,M,N,A3,且A4M=MN=NA3 四个平面互相平行，同一直线截这四个平面所得相邻线段相等， 所以相邻平面间距离相等，a1,a2,a3,a4即为所求 (i方法1：设正四面体A1A2A3A4的棱长为a.由()中的构造，A4到平面a2的距离为1. 考察三棱锥A4-ANP.在正四面体中，AN=写a,AP1=0,AP1=5a 2 又A2N2=a2+(a2-2:aa-cos60=a2,所以AN=5a 3 同理，Pw2=(了+(-20ac60=名2，所以Pw=a 在△A2P1N中，cos∠P1NA2 2.Va.via 3 故2PNa=34,从而5w-号aa9-92 7 6 7 12 △A4P1M与△A4A1A3在同一平面内，且A4P1:A4A1=1:2,A4M:A4A3=1:3, 故S△A4A,M=石S△A4A1A,又两三棱锥以A2为顶点且等高， 所以VA4-AMP=VA2-A4MP1=石VA2-A4A1A3=石VA1-A2A3A 6 所以号921=6温 612 解得a=Vo.因此V=2a=2(Vo) 5V5 12 12 方法2：在平面a1,a2之间作中心平面a,a与a1,a2等距， 则A1,A2到。的距离为)，A3,A4到a的距离为根据()中平面的作法可知， 平面a过A1A4,A2A3上靠近A1,A2的四等分点，以及A3A4,A1A2的中点 如图所示，将正四面体放到棱长为s的正方体中，则正四面体的棱长为a=√2s 取上述特殊点，将平面a补成平面EFGH, 作A:01平面EFGH,此时AQ1底面直线EF,且A3Q=多 考察底面，过E作EP⊥AF,则EP=S,PF= 所以EF=VEP2+PF2=V5s. 2 由相似关系得能二即 解得s=V5,所以a=V2=V10. 因此v==9(V而°-9 12 12 A1 A1 H A3 E A3