精品解析：山东省枣庄市薛城区2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

学业综合素养监测 七年级数学试题 亲爱的同学： 这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获．请认真审题，看清要求，仔细答题．预祝你取得好成绩！ 请注意： 1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在表格里． 2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写． 3．考试时，不允许使用科学计算器． 4．试卷分值：120分． 一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共30分． 1. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用完全平方公式、合并同类项、同底数幂相乘、积的乘法求解并一一辨别即可． 【详解】选项A，，故不符合题意； 选项B，不是同类项，不可以合并，故不符合题意； 选项C，，故不符合题意； 选项D，，故符合题意． 2. 下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 斐波那契螺旋线 C. 阿基米德螺线 D. 笛卡尔心形线 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，判断每个选项中的图形是否能沿着某条直线对折后，直线两侧的部分完全重合． 【详解】解：、赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的大正方形，无论沿哪条直线对折，直线两侧的部分都无法完全重合，所以它不是轴对称图形； 、斐波那契螺旋线是一种优美的曲线，它没有对称轴，无论沿哪条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，因此不是轴对称图形； 、阿基米德曲线是一种螺旋线，它也不存在对称轴，沿任何直线对折后，直线两侧的部分都无法完全重合，所以不是轴对称图形； 、笛卡尔心形线是一个经典的轴对称图形，它有一条对称轴，沿这条对称轴对折后，直线两侧的部分能够完全重合； 故选． 3. 在全球对清洁能源需求日益迫切的当下，太阳能作为一种取之不尽、用之不竭的可再生能源，其开发与利用备受关注．某实验室研发的高效太阳能电池的超薄纳米涂层，其厚度仅为0.000000068米．其中数据0.000000068用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据0.000000068用科学记数法表示为； 故选B． 4. 如图，和关于直线对称，交于点，若，，，则五边形的周长为　　 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，正确得出对应线段是解题关键．直接利用轴对称的性质得出，，，再用周长公式即可得出答案． 【详解】解：∵和关于直线对称，交于点， ∴，，， ∵，，， ∴，，， 五边形的周长为：． 故选：C． 5. 如图，过点作中的角平分线，交的平行线于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 6. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∵仅给出一个角和一条边，符合条件的三角形有无数个，∴不能画出唯一，不符合要求． B．∵，，，属于的情况，可以画出两个不同的三角形，∴不能画出唯一，不符合要求． C．∵，，，符合全等三角形的判定定理，∴能画出唯一，符合要求． D．∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，∴不能构成三角形，不符合要求． 7. 如图，在中，于点，是上一点，若，，，则的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】由全等三角形的性质可得，，即可得的周长． 【详解】解：， ，， 的周长． 8. 一位患者今天发烧了．他在早晨烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时体温基本正常．但是下午他的体温又开始上升，直到夜里他才感觉体温基本正常了．下面哪一幅图能较好地刻画出这位患者今天体温的变化情况？ 【答案】 图（3） 【解析】 【分析】根据题意将体温变化过程分为四个阶段，分析每个阶段体温的增减趋势及关键时间点的体温数值，结合图象的特征进行判断即可.  【详解】解：根据题意可知，患者的体温变化过程如下：早晨烧得很厉害，说明早晨时段体温较高； 中午时体温基本正常，说明从早晨到中午体温呈下降趋势，且时左右体温接近； 下午体温又开始上升，说明从中午到下午体温呈上升趋势； 直到夜里他才感觉体温基本正常了，说明从下午到夜里体温呈下降趋势，且时左右体温接近； 观察四个图象： 图（1）体温随时间推移一直下降，不符合题意； 图（2）体温先上升后下降，仅有一个变化转折点，不符合题意； 图（4）在时至时体温呈下降趋势，不符合“下午体温又开始上升”的描述； 图（3）体温在时左右较高，时左右降至最低，时左右又升高，时左右降至最低，符合“高低高低”的变化特征，符合题意. 9. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，．则的周长为（ ） A. 14 B. 15 C. 17 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，进而可得的周长为，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 故选：C 10. 如图，在第1个，同；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长，到，使，得到第3个，…．按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数． 【详解】解：在中，，， ， ，是△的外角， ； 同理可得，， 第个三角形中以为顶点的底角度数是． 故选：B． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 12. 某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运行李，超出部分每千克按经济舱全票价的计费．张叔叔出差携带的行李超过，他这次乘坐经济舱的全票价为2000元．设他携带的行李为，需交的行李费用为元．请直接写出与之间的关系式___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意得． 13. 如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于．若，则面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图可知，平分，根据角平分线的性质，得到点到的距离相等，均为的长，再根据分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：由作图可知：平分， ∵，， ∴点到的距离相等，均为的长， ∴． 14. 如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题需要分类讨论，注意当时，点与点C重合，不符合题意，需舍去．分，，三种情况，分别计算即可． 【详解】分三种情况讨论， 当时， ， 此时点与点C重合，不符合题意，故舍去； 当时， ； 当时， ， 综上，的度数为或． 15. 如图，点，，，在一条直线上，，，，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的是___________．（直接填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误． 16. 如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度也最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上， ∴，， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度最小， 当时，， ∴，解得：， ∴， 即线段长度的最小值是． 三、解答题（本题共8道大题，满分72分） 17. 一道习题及其错误的解答过程如下： 化简：． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 （1）以上化简过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______； （2）请写出正确的化简过程． 【答案】（1）一，完全平方公式运用错误 （2） 解：正确化简过程如下： 原式 ． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式即可判断； （2）先根据单项式乘以多项式的运算法则和完全平方公式计算，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴第一步开始出现错误，错误原因是完全平方公式运用错误； 【小问2详解】 略 18. 如图是正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的三种方案不能重复． 【答案】 如图所示， 【解析】 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键，根据轴对称图形的特征直接画图即可． 【详解】略 19. 按要求解答下列各题 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲：过点作射线． ②过点B作于点． 在的延长线上截取，使得________．（只添加一个条件） 测量的长即可． 乙：在水池外过点作的垂线，在上取点，使得． 过作的垂线，使点在同一条直线上． 测量的长即可． 问题解决： （1）乙的方案是否可行，请说明理由； （2）补全甲方案，并说明可行的理由． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（）由，，得，然后通过“”证明即可； （）根据全等三角形的判定方法即可求解． 【小问1详解】 解：乙的方案可行，理由如下， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； 【小问2详解】 解：添加，理由， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； 或添加，理由， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； 或添加，理由， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可． 20. 按要求完成以下问题 （1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】（1） （2）乙获胜的概率大，理由如下： 图中共有32个小三角形，其中黑色的小三角形有12个，白色的小三角形有20个， ∴甲获胜的概率为：， 乙获胜的概率为：， ， 故乙获胜的概率大． 【解析】 【分析】（1）根据阴影面积与正方形面积之比得到投中阴影部分的概率； （2）根据黑色、白色小三角形的个数与总共三角形的个数之比确定甲、乙获胜的概率，进而比较大小得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率； 【小问2详解】 略 21. 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 （1）若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． （2）已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）2 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）设，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：， 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：设，由图可知： ， ∴， ∵的长度变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 22. 你知道自己的反应时间是多少吗？如图，测试者将一根较长的直尺零刻度朝下，悬在被测试者的大拇指和食指之间，被测试者两个手指间距约，与直尺的零刻度保持在同一水平面上．测试者突然放开直尺，被测试者迅速用手指夹住，手指所夹处的直尺刻度就是被测试者的反应距离．不同的反应距离对应不同的反应时间，下表呈现了部分反应距离及对应的反应时间： 反应距离 反应时间 （1）上表反映了某两个变量之间的关系，其中自变量是________，因变量是_______； （2）当反应距离为时，其反应时间是_____； （3）反应距离每增加，反应时间的变化情况相同吗？_____（填“相同”或“不相同”） （4）小亮同学测得的反应距离为，根据表格估计他反应时间为_______． 【答案】（1）反应距离，反应时间 （2） （3）不相同 （4） 【解析】 【分析】（1）由表格可知反应时间是随着反应距离的变化而变化，所以自变量是反应距离，因变量是反应时间； （2）由表格可知，当反应距离是时，对应的反应时间是； （3）反应距离每增加，反应时间的变化情况不相同； （4）由表格中的数据可知，随着反应距离的增加，反应距离每增加，反应增加的时间逐步稳定在，计算出反应距离为时，反应时间即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，自变量是反应距离，因变量是反应时间； 【小问2详解】 解：由表格可知，当反应距离是时，对应的反应时间是； 【小问3详解】 解：由表格可知，反应距离每增加，反应时间的变化情况不相同； 【小问4详解】 解：由表格中的数据可知，随着反应距离的增加，反应距离每增加，反应增加的时间逐步稳定在， 反应距离为时，反应时间大约为． 23. （1）问题：如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是14，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）同理（1）证明即可； （3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）证明：直线，直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：结论成立；理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：同理（2）可得，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ， ∴， ∴， ∴与的面积之和为． 24. 最短路径问题例：如图①，要在街道旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使，到它的距离之和最短？ 解：如图②，只有点关于直线的对称点与点，在同一条直线上时，才能使的值最小，作点关于直线的对称点，然后连接，交直线于点，则就是所求的点． 应用： 如图③，是锐角内部任意一点，在的两边，上各取一点，，组成，使它的周长最小． （1）借助直角三角尺在图③中找出符合条件的点和点，并画出； （2）若，，请结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形这个结论，求周长的最小值． 迁移： （3）如图④是锐角内部一条线段，在的两边，上各取一点，组成四边形，使四边形周长最小． 【答案】（1） （2）周长的最小值为10 （3） 【解析】 【分析】（1）分别作出点关于和的对称点和，连接与和的交点即为点和点，即为所求； （2）连接、和，根据轴对称的性质得到，，，，可知，即是边长为10的等边三角形，即可求出周长的最小值； （3）如图，作关于的对称点，再作关于的对称点，连接交于C，交于D，四边形即为所求． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接、和， ∵点和点关于对称， ，， 同理，， ， 又， ． 又， 是边长为10的等边三角形， 则， 即周长的最小值为10； 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学业综合素养监测 七年级数学试题 亲爱的同学： 这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获．请认真审题，看清要求，仔细答题．预祝你取得好成绩！ 请注意： 1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在表格里． 2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写． 3．考试时，不允许使用科学计算器． 4．试卷分值：120分． 一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共30分． 1. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 斐波那契螺旋线 C. 阿基米德螺线 D. 笛卡尔心形线 3. 在全球对清洁能源需求日益迫切的当下，太阳能作为一种取之不尽、用之不竭的可再生能源，其开发与利用备受关注．某实验室研发的高效太阳能电池的超薄纳米涂层，其厚度仅为0.000000068米．其中数据0.000000068用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，和关于直线对称，交于点，若，，，则五边形的周长为　　 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 5. 如图，过点作中的角平分线，交的平行线于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 如图，在中，于点，是上一点，若，，，则的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 13 D. 14 8. 一位患者今天发烧了．他在早晨烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时体温基本正常．但是下午他的体温又开始上升，直到夜里他才感觉体温基本正常了．下面哪一幅图能较好地刻画出这位患者今天体温的变化情况？ 9. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，．则的周长为（ ） A. 14 B. 15 C. 17 D. 23 10. 如图，在第1个，同；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长，到，使，得到第3个，…．按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 12. 某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运行李，超出部分每千克按经济舱全票价的计费．张叔叔出差携带的行李超过，他这次乘坐经济舱的全票价为2000元．设他携带的行李为，需交的行李费用为元．请直接写出与之间的关系式___________． 13. 如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于．若，则面积为___________． 14. 如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________． 15. 如图，点，，，在一条直线上，，，，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的是___________．（直接填写序号） 16. 如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 三、解答题（本题共8道大题，满分72分） 17. 一道习题及其错误的解答过程如下： 化简：． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 （1）以上化简过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______； （2）请写出正确的化简过程． 18. 如图是正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的三种方案不能重复． 19. 按要求解答下列各题 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲：过点作射线． ②过点B作于点． 在的延长线上截取，使得________．（只添加一个条件） 测量的长即可． 乙：在水池外过点作的垂线，在上取点，使得． 过作的垂线，使点在同一条直线上． 测量的长即可． 问题解决： （1）乙的方案是否可行，请说明理由； （2）补全甲方案，并说明可行的理由． 20. 按要求完成以下问题 （1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 21. 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 （1）若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． （2）已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 22. 你知道自己的反应时间是多少吗？如图，测试者将一根较长的直尺零刻度朝下，悬在被测试者的大拇指和食指之间，被测试者两个手指间距约，与直尺的零刻度保持在同一水平面上．测试者突然放开直尺，被测试者迅速用手指夹住，手指所夹处的直尺刻度就是被测试者的反应距离．不同的反应距离对应不同的反应时间，下表呈现了部分反应距离及对应的反应时间： 反应距离 反应时间 （1）上表反映了某两个变量之间的关系，其中自变量是________，因变量是_______； （2）当反应距离为时，其反应时间是_____； （3）反应距离每增加，反应时间的变化情况相同吗？_____（填“相同”或“不相同”） （4）小亮同学测得的反应距离为，根据表格估计他反应时间为_______． 23. （1）问题：如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是14，求与的面积之和． 24. 最短路径问题例：如图①，要在街道旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使，到它的距离之和最短？ 解：如图②，只有点关于直线的对称点与点，在同一条直线上时，才能使的值最小，作点关于直线的对称点，然后连接，交直线于点，则就是所求的点． 应用： 如图③，是锐角内部任意一点，在的两边，上各取一点，，组成，使它的周长最小． （1）借助直角三角尺在图③中找出符合条件的点和点，并画出； （2）若，，请结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形这个结论，求周长的最小值． 迁移： （3）如图④是锐角内部一条线段，在的两边，上各取一点，组成四边形，使四边形周长最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $