1.5.3 直角三角形的性质定理 专项练习 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦直角三角形核心性质，通过基础到综合的题型设计，系统覆盖30°角性质、斜边中线定理及多知识点综合应用，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|选择1-4|直接应用性质计算|从30°角对边与斜边关系、斜边中线等于斜边一半切入，夯实核心概念| |综合应用|选择5-10、填空11-13|多知识点结合（含图形变换）|结合等腰、等边三角形及折叠、动点问题，构建性质与图形变换的关联| |探究证明|解答14-18|性质推导与综合证明|通过中点性质、垂直平分线及旋转探究，深化性质原理的逻辑推导，形成完整知识链|

1.5.3直角三角形性质定理专项练习 一、选择题 1、已知直角三角形中 30° 角所对的直角边为 2cm, 则斜边的长为 ( ) A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 2、在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°,D 是边 AB 的中点，若 AB=12, 则 CD 的长是 ( ) A.12 B.6 C.4 D.3 3、如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若测得 AB 的长为 6.4km，则 M，C 两点间的距离为（ ） A．3km B．3.2km C．12.8km D．距离不确定 4、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，O 为 AB 的中点．若∠B=50°，则∠OCB 的度数为（ ） A．45° B．50° C．55° D．60° 5、如图，在△ABC 中，AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,AD=4, 则 BC 的长为 ( ) A.4 B.8 C.12 D.16 6、如图，△ABC 中，∠ABC=90°，∠C=62°，分别以点 A，C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于 E，F 两点，连接 EF，EF 与 AC 交于点 O，则∠ABO 的大小为（ ） A．28° B．30° C．31° D．36° 7、如图，在四边形 ABCD 中，∠BCD=∠BAD=90°,AC,BD 相交于点 E, 点 G,H 分别是 AC,BD 的中点，若∠BEC=80°, 那么∠GHE 等于 ( ) A.5° B.10° C.20° D.30° 8、等边三角形 ABC 的边长为 9，D 为 AC 边上一动点，E 为 AB 延长线上一动点，DE 交 CB 于点 P，点 P 为 DE 中点．若 DE⊥AC，则 CD 长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9、如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90∘,AB=1,M 为边 BC 上的点,连接 AM,如果△ABM 沿直线 AM 翻折后,点 B 恰好落在边 AC 的中点处,那么点 M 到 AC 的距离是（ ） A． B． C． D． 10、在△ABC 中，AB=6cm，BC=5cm，∠C=60°，动点 M、N 分别从点 B、C 同时出发，其中点 M 以 2cm/s 的速度沿 BA 向点 A 匀速运动，点 N 以 1cm/s 的速度沿 CB 向点 B 匀速运动，当 M、N 其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t，当△BMN 为直角三角形时，t 的值为（ ） A.1 B.1 或 2.5 C.1 或 2 D.2 或 2.5 二、填空题 11、如图，△ABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的角平分线，点 D 在 AB 的垂直平分线上，若 AD=6，则 CD= ． 12、如图，D 为等边△ABC 的边 AB 上一点，且 DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为点 E、F、D．若 AB=6，则 BE= ． 13、如图，以正方形 ABCD 的一边 CD 为边向外作等边三角形 CDE, 则∠AEB= °. 三、解答题 14、如图，在△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点. (1) 若 AB=10, AC=8, 求四边形 AEDF 的周长； (2) 求证: EF 垂直平分 AD. 15、如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点。 (1)若EF=4，BC=10，求△EFM的周长； (2)若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠FME的度数。 16、如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90° , 对角线 AC 与 BD 相交于点 o , M､ N 分别是边 AC､BD 的中点. (1) 求证: MN⊥BD : (2) 当∠BCA=15° , AC=10 cm , OB=OM 时，求 MN 的长. 17、如图，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到△DBE，DE 的延长线与 AC 相交于点 F，连接 AD、BF，且 BF=AF。 (1) 求证：AD∥BC； (2) 求证：AD=2AE。 18、小聪同学为了探究 “直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系”，他先画出了如图（1）和图（2）所示的两个特殊的直角三角形，其中∠BAC 均为直角，AD 均为斜边 BC 上的中线，图（1）中∠B=30°，图（2）中∠B=45°． （1）请猜想 AD 与 BC 之间的数量关系，并在图（1）和图（2）中选择一个加以证明． （2）如图（3），在任意的 Rt△ABC 中，AD、BC 之间的数量关系是否仍成立？请证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5.3直角三角形的性质定理专项练习答案解析 一、选择题 1. 答案：B解析：根据直角三角形的性质：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 已知 30° 角对的直角边为 2cm，因此斜边长度为 。 2. 答案：B解析：根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 在 Rt△ABC 中，D 是 AB 中点，因此 。 3. 答案：B解析：由题意知 AC⊥BC，因此△ABC 是直角三角形，AB 为斜边。 M 是 AB 的中点，根据直角三角形斜边中线定理，。 已知 AB=6.4km，因此 。 4. 答案：B解析：在 Rt△ABC 中，O 是 AB 的中点，根据斜边中线定理，。 因此△OCB 是等腰三角形，。 5. 答案：C 解析： 已知 AB=AC，，因此，。 因为 AB⊥AD，所以△ABD 是直角三角形，，根据 30° 角的直角三角形性质，。 同时，因此，所以。 因此。 6. 答案：A 解析： 根据作图可知，EF 是 AC 的垂直平分线，因此 O 是 AC 的中点。 在 Rt△ABC 中，O 是 AC 中点，根据斜边中线定理，，因此△ABO 是等腰三角形，。 已知，，因此，所以。 7. 答案：B 解析： 连接 AH、CH，因为，H 是 BD 中点，根据斜边中线定理，。 同理，，因此，所以，△ACH 是等腰三角形。 因为 G 是 AC 中点，所以 HG⊥AC，即。 已知，因此，在 Rt△HEG 中，。 8. 答案：B 解析： 过点 D 作 DF∥AB，交 BC 于 F，因为△ABC 是等边三角形，因此△CDF 也是等边三角形，。 因为 P 是 DE 中点，所以，结合，，可证△PDF≌△PEB，因此，即。 设，则，，。 因为 DE⊥AC，，所以，在 Rt△ADE 中，，即，解得，即。 9. 答案：A 解析： 如图,过点 M 作 ME⊥AC 于 E,MF⊥AB 于 F.由翻折可知∠BAM=∠EAM, ∵ ∠BAC=90∘, ∴ ∠MAB=∠MAE=45∘, ∴ ME=MF. 设 B'为点 B 翻折后落在 AC 上的点,连接 MB'.由题意知 AB=AB′=CB′=1 S△ABC=S△ABM+S△AMC S△ABC=AB×MF+AC×ME=AB×AC ∴ ME= ∴ 点 M 到 AC 的距离是. 10. 答案：B 解析： 设运动时间为，则，，，分两种情况讨论： 当时：，因此，，即，解得。 当时：，因此，，即，解得。 因此的值为 1 或 2.5。 二、填空题 11. 答案：3 解析： 因为点 D 在 AB 的垂直平分线上，所以，因此。 因为 BD 是角平分线，所以，因此。 在 Rt△ABC 中，，即，所以。 在 Rt△BCD 中，30° 角对的直角边。 12. 答案：2 解析： 设，根据等边三角形的性质和 30° 直角三角形的性质推导： 在 Rt△BDE 中，，因此，。 在 Rt△ADF 中，，因此，。 在 Rt△EFC 中，，因此，而，因此，解得，即。 13. 答案：30 解析： 设正方形边长为，则。 ，且，因此△ADE 是等腰三角形，。 同理，。 因此。 三、解答题 14.(1) 解：因为 AD 是高，所以△ABD 和△ACD 都是直角三角形。 E 是 AB 中点，根据斜边中线定理，。 F 是 AC 中点，同理，。 因此四边形 AEDF 的周长为：。 (2)证明：由 (1) 可知，，，因此点 E、F 都在 AD 的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。 因此 EF 垂直平分 AD。 15.(1) 解：因为 CF⊥AB，BE⊥AC，所以△BFC 和△BEC 都是直角三角形。 M 是 BC 中点，根据斜边中线定理，。 同理，。 因此△EFM 的周长为：。 (2) 解：因为，所以△FBM 是等腰三角形，。 因为，所以△EMC 是等腰三角形，。 因此。 16.(1) 证明： 连接 BM、DM。 因为，所以△ABC 和△ADC 都是直角三角形。 M 是 AC 中点，根据斜边中线定理，，，因此，△BMD 是等腰三角形。 N 是 BD 中点，根据等腰三角形三线合一的性质，。 (2) 解： 由 (1) 可知，。 因为，所以，因此，。 因为，所以。 在 Rt△BMN 中，，，因此。 17.(1)证明： 将△ABC 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到△DBE，因此，。 因此△ABD 是等边三角形，。 同时旋转可得，因此。 因此，内错角相等，所以。 (2)证明： 由 (1) 可知△ABD 是等边三角形，因此，且 D 在 AB 的垂直平分线上。 因为，所以 F 也在 AB 的垂直平分线上，因此 DF 垂直平分 AB，即 E 为 AB 的中点，因此。 结合，可得。 18.(1) 猜想：。 选择图 1 进行证明： 在 Rt△ABC 中，，，因此。 因为 D 是 BC 中点，所以，又因为，因此△ACD 是等边三角形，。 因此。 (2) 结论：结论仍成立，即。 证明： 延长 AD 到点 E，使，连接 BE、CE。 因为 D 是 BC 中点，所以，又，因此四边形 ABEC 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。 又因为，因此平行四边形 ABEC 是矩形，因此。 因为，因此。 学科网（北京）股份有限公司 $