专题02 全等三角形中的动点问题有关的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 聚焦全等三角形动点问题，以四类题型构建“模型识别-方法应用-关系推导”的系统性训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型一|5题|利用全等性质建立动点边/角等量关系|以全等判定为基础，结合运动速度与时间变量，推导动态边、角计算| |题型二|5题|分类讨论动点位置确定全等对应关系|通过射线/直线上动点位置分类，明确全等三角形对应顶点，培养严谨思维| |题型三|5题|构造全等三角形求证线段和差/倍分关系|围绕旋转/对称变换构造全等，建立已知线段与目标线段的转化逻辑| |题型四|3题|利用全等性质推导角的数量/位置关系|通过全等三角形对应角相等，结合三角形内角和等定理，论证角的关系|

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02全等三角形中的动点问题有关的四种模型 题型归纳 题型一利用全等三角形求解动点边、角问题 题型二利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 题型三利用全等三角形求证线段之间的关系问题 题型四利用全等三角形求证角之间的关系问题 题型专练 题型一：利用全等三角形求解动点边、角问题 8 1.5 2.∠FDG+2∠AOB=180° 3. 24 4.10 5. 【详解】(1)解：：AD平分∠BAC, .∠FAD=∠MAD」 DF⊥AB,DM LAC, ∴.∠AFD=∠AMD 在△AFD和△AMD中， ∠AFD=∠AMD ∠FAD=∠MAD AD-AD .△AFD≌△AMD,(AAS) .AF=AM AF =9cm,AC=12cm, 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CM=AC-AM AC-AF =12-9=3(cm) (2),△DEF≌△DGM, ..EF =GM. ①当0<t≤1.5时，点G在线段CM上运动，点E在线段AF上运动， ∴.EF=9-3t,MG=3-2t, .9-3t=3-2t, 解得t=6(不合题意，舍去)： ②当1.5<1≤3时，点G在线段MA上运动，点E在线段AF上运动， ∴.EF=9-3t,MG=2t-3, 9-3t=2t-3, ∴.t=2.4 综上所述，当△DEF≌△DGM时，t=2.4s. (3)S-AE-DF,SAo-CG-DM,DF=DM 1 2 ,S△ED=AE SADGC CG :点E以3cms的速度从点A向点F运动，动点G以2cm/s的速度从点C向点A运动， ∴.AE=3tcm,CG=21cm, AE 3 3 G2：即、-29 即SADC5Sham 在运动过程中，不管，取何值，都有Sc 题型二：利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 717 7.2 8.4或8或12 4 9.3或4 2/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14 10.2或3或12 题型三：利用全等三角形求证线段之间的关系问题 11. 【详解】(1)解：当BP=4时，CP=BC-BP=5-4=1, AB=1, .AB=CP, :AB⊥BC,DP⊥AP,CM⊥BC, ∴.LB=∠C=90°，∠APB+∠DPC=90°=∠PDC+∠DPC, ∴.∠APB=∠PDC, 在△APB和△PDC中， ∠B=∠C ∠APB=∠PDC, AB=CP .△APB≌aPDC(AAS). ∴.AP=DP 又∠APD=90°， ∴，△ADP是等腰直角三角形， ∴.当BP=4时，△ADP是等腰直角三角形. (2)解：PB和PC的数量关系：PB=PC, 证明：如图2，延长线段AP、DC交于点E, M D B 图2 DP平分∠ADC, ∴.∠ADP=∠EDP, :DP⊥AP, 3/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DPA=∠DPE=90° 在△DPA和△DPE中， [∠ADP=∠EDP DP=DP ∠DPA=∠DPE :.△DPA≌aDPE(ASA), .'PA=PE, ,AB⊥BP,CM⊥CP .∠ABP=∠ECP=90°， 在△APB和△EPC中， 「∠ABP=∠ECP ∠APB=∠EPC, PA=PE .△APB≌aEPC(AAS), ∴PB=PC 12. 【详解】解：(1)：△ABC是等边三角形， .∠A=∠ABC=60°，AB=BC, 由题意得，BD=AE, 在△ABE和△BCD中， AB=BC ∠A=∠DBC, BD=AE .△ABE≌aBCD(SAS), .'BE =CD. (2)BE=CD成立， 理由如下：由题意得，CE=AD, :∠A=∠ACB=60°，AC=BC, .∠DAC=∠ECB=120°， 在△ADC和△CEB中， 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC=CB ∠DAC=∠ECB AD=CE .△ADC≌△CEB(SAS), .BE=CD (3)ME=MD, 理由如下：作EH∥BC交AB于H,如图， D B ,△ABC为等边三角形，EH∥BC, .∠AHE=∠B=60°，∠AEH=∠C=60°，∠HEM=∠D, ∴，△AEH为等边三角形， .'EH=AE, .BD=AE, .EH BD, 在△HME和△BMD中， ∠HME=∠DMB ∠HEM=∠D EH=DB ∴.△HME≌aBMD(AAS), ∴.ME=MD 13, 【详解】(1)解：，等边△ABC中， ∴.∠BAC=60° BD=DC,AD⊥BC 1 :.∠BAD=7∠BAC=300 2 :.∠BAD=30°，线段AD与线段BC的位置关系是互相垂直 (2)BC=BF+DF,理由如下： :△ABC为等边三角形 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AB=AC,∠ABC=∠BAC=∠C=60° 又：AD绕点A顺时针旋转60°至AE ∴.AD=AE,∠EAD=60° ∴.∠EAD=∠EAB+∠BAD,∠BAC=∠CAD+∠BAD .∠EAB=∠CAD ∴△AEB≌△ACD(SAS) ∴.CD=BE,∠ABE=∠C=60 延长BF至H,截取BF=HF,EF⊥BF 垂直平分 B D 图② ..EF BH ∴.EH=EB ∴.∠EHF=∠EBF=180°-∠ABE-∠ABC=60° ∴.△EBH为等边三角形 ∴.BE=BH=CD ·.·BC=BD+CD=BD+BF+HF=DF+BF ∴.BC=DF+BF (3)情况1：如图，当点D在CB延长线上且位于EF右侧时，BC=DF+BF:理由如下： 延长BF至H,截取BF=HF,EF⊥BF EF垂直平分BH .EH=EB 由(2)可得， △AEB≌△ACD,CD=BE,∠EBH=60° ∴.△EBH为等边三角形 ∴.HB=BE=CD 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .HB=HF+DF+BD=BF+DF+BD,CD=BC+BD .BC=DF+BF 情况2：如图，当点D在CB延长线上且位于EF左侧时，BF=DF+BC:理由如下： H B C∠BAC=∠EAD=60°AB=ACAE=AD ∴.∠BAD=∠BAC+∠EAC,∠CAD=∠EAD+∠EAC ∴△ACD≌△ABE,∠EBD=60° ..CD=BE 在FD延长线上截取DH=BC ∴.CD=BC+BD=DH+BD=BH ..BH=BE ∴.△EBH为等边三角形 :EF⊥BH .HF=BF ·.·HIF=DF+DH=DF+BC .BF =DF+BC 情况3：如图，当点D在BC延长线上时，DF=BF+BC:理由如下： 由(2)得：△BAE≌△CAD(SAS) CD=BE,∠ACD=∠ABE .∠ABE=∠ACD=180°-∠ACB=120° .∠CBE=∠ABE-∠ABC=120°-60°=60° 又·EF⊥BC .∠BEF=90°-∠CBE=90°-60°=30° 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△BFE中，BE=2BF .CD=2BF ..DF=DC+CF=BE+CF=2BF+CF=BF+(BF+CF)=BF+BC ∴.DF=BF+BC 14. 【详解】(I)证明：'△ABC与△ADE为等边三角形， AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°，∠B=60°， :∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE, .∠BAD=∠CAE, 在△ABD与△ACE中， [AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE ∴.△ABD≌△ACE(SAS), ∠ACE=∠B=60°： (2)AF+CD=CF,理由如下， 如图，连接CE,过点E作EH⊥BC延长线于点H, E 均为等边三角形， CDH△ABC △ADE AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=6O°，∠B=∠ACB=60°， ∴∠BAC+∠DAC=∠DAC+∠DAE, .∠BAD=∠CAE, 在△ABD与△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE. AD=AE ∴△ABD≌△ACE(SAS) ∴.∠ACE=∠B=60°. .∠ECH=60°， 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF⊥AC,EH⊥CH, ∴.EF=EH,∠FEC=∠HEC=30°， 在RIAEF与RtADEH中， 「AE=ED EF=EH .Rt△AEF≌RtADEH(HL), ∴.AF=DH, '∠FEC=∠HEC=30°， ÷CF=CH=CE, ∴AF+CD=DH+CD=CH=CF, ..AF+CD=CF: (3)解：60°+a, 如图，过点A在AC右侧作AE=AD,且∠EAC=a,连接DE, D 在△AMD与△ANE中， AM=AN ∠MAD=∠NAE AD=AE ∴△AMD≌△ANE(SAS). ∴.DM=NE,∠AMD=∠ANE, .∠BMD=LCNE, DM DN =DN+NE z DE, 当D、N、E三点共线时，DM+DN取得最小值， '∠MAD=∠NAE, ∠DAC+∠NAE=∠DAC+∠MAD=60°， AD=AE, ∴△ADE为等边三角形， .∠CNE=∠AED+∠NAE=6O°+a, 9/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BMD=60°+a, 故答案为：60°+a. 15. 【详解】解：(1)证明：：∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， :BE⊥CD, ∠B+∠BCD=90°， .∠B=∠ACD, 在△ACD和△CBE中， ∠ACD=∠B ∠ADC=∠CEB=90° AC=BC △ACD≌△CBE(AAS). .AD=CE: (2)证明：过B作BH⊥CD于H,如图： F GH ⊙ 由(1)得：△ACD≌△CBH, .AD=CH,CD=BH, .DF =CD, :.DF =BH, 在△DFG和△HBG中， ∠DGF=∠BGH ∠ADH=∠DHB=90°， DF BH .ADFG≌△HBG(AAS), 10116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DG=1, :..DG=GH=1, CG=3, ..CH=CG=GH=3-1=2.CD=CH+DG=4, .AD=2,DF=4, ∴A是DF的中点： (3)CG=9DG,理由如下： ①如图，当A在DF延长线上时，过点B作BH⊥CD于H, G B 同(2)理得：AD=CH,CD=BH=FD,HG=DG, .FD=4AF, .AD=CH=5AF,CD=DF=4AF, .DH=CH-CD=AF, :.DG=IDH-TAF, 1 2 9 ..CG=CD+DG= AF, 2 ..CG=9DG: ②如图，当A在线段DF上时，过点B作BN⊥CD于N, F A B 同(2)理得：AD=CN,CD=BN=FD,NG=DG, 11/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .FD=4AF, .AD=CN=3AF,CD=DF=4AF, .'DN CD-CN=AF, :DG-NG-IDN-14F, 2 7 ÷CG=CW+NG=24F, ..CG=7DG: 综上可得：CG=9DG或CG=7DG 题型四：利用全等三角形求证角之间的关系问题 16. 【详解】(1)证明：①，∠DAE=∠BAC=90°， .∠BAD+∠DAC=90,LDAC+∠CAE=90°， .∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE △ABD≌△ACE: ②由△ABD≌△ACE得∠B=∠ACE, .∠BAC=90°， ∴∠B+∠ACB=90°， .∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°， ∴.BC⊥CE: (2)解：∠BAC+∠DCE=180°或∠BAC=∠DCE.理由如下： ①当点D在线段CB上时，如图2所示， 12116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 图2 :∠DAE=∠BAC, ∴.∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE .∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE ∴.△ABD≌△ACE .∠B=∠ACE, :∠BAC+∠ACB+∠B=180°， ∴.∠BAC+∠ACB+∠ACE=180°. .∠BAC+∠DCE=180°， ②当点D在线段CB的延长线上，如图所示， D B :∠DAE=∠BAC, :∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE, ∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE ∴.△ABD≌△ACE, 13116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABD=∠ACE, :·∠ABD=∠BAC+∠ACB,∠ACE=∠DCE+∠ACB .∠BAC=∠DCE. 17. 【详解】(1)解：∠CM0=60°不变. ~等边三角形ABC中，AB=CA,∠B=∠CAP=60°， 又由条件得BQ=AP」 △ABO≌△CAP(SAS, .∠BAQ=∠ACP、 :.∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°， (2)解：∠CM0=120°不变. ~在等边三角形ABC中，∠ABC=∠CAP=60° :∠PBC=∠QCA=120°，又由条件得BP=CD,BC=CA, :△PBC≌△OCA(SAS), .∠BPC=∠CQM 又：∠PCB=∠MCg, .∠CMQ=∠PBC=120° 18. 【详解】(1)，∠ACB=90°，AD⊥BE ∴.∠ACB=∠ADB=90°， .∠DAC+∠AED=90°，∠DBC+∠BEC=90° ,∠AED=∠BEC, .∠DAC=∠DBC, 故答案为：∠DAC=∠DBC (2)∠CDB的大小不改变， 如图①，作CF⊥CD交BD于点F,则∠DCF=90°， 14116 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图① .∠ACD=∠BCF=90°-∠ACF 由(I)得∠DAC=∠FBC, AC=BC △DAC≌aFBC(ASA), .CD=CF .∠CDB=∠CFD=45° .∠CDB的大小不改变，∠CDB=45°. (3)BE=5DEE. 理由：如图②，作CG⊥CD交BD于点G,作CH⊥BD于点H,则∠CHE=90°， G B 图② ∴∠CHE=∠ADE, :E为AC中点， .CE=AE, ∠CEH=∠AED, :.△CHE≌aADE(AAS). ..HE=DE,CH=AD, 由(2)得△DAC≌aGBC, .AD=BG, ∴.CH=BG, ,CG=CD,CH⊥DG, ..DH=GH, 15116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CH=DH =GH-DG, 2 ∴.BG=DH=GH=2DE, .BE=BG+GH+HE =2DE+2DE+DE=5DE 16116可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02全等三角形中的动点问题有关的四种模型 题型归纳 题型一利用全等三角形求解动点边、角问题 题型二利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 题型三利用全等三角形求证线段之间的关系问题 题型四利用全等三角形求证角之间的关系问题 题型专练 题型一：利用全等三角形求解动点边、角问题 1.(25-26七年级下四川成都期中)如图，在△ABC中，AB=18cm,AC=12cm,点P从点B出发以每 秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一 个动点也随之停止，当△AP是以P为底的等腰三角形时，运动的时间是秒. 2.(2025广东清远·一模)点D是锐角∠AOB内一点，DE⊥OA于点E,点F是线段OE的一个动点，点 G是射线OB的一个动点，连接DF、FG、GD,当△DFG的周长最小时，∠FDG与LAOB的数量关系式是 E 3.(25-26八年级上河南信阳月考)如图，在直角△ABC中，∠C=90°，4C=8,BC=6,AB=10,AD平 分∠BAC,N是AC上一动点（不与A,C重合），M是AD上一动点（不与A,D重合），则CM+MN的 最小值为 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 4.(25-26七年级下山西晋中期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,AB=15,AD平分 ∠BAC交BC于点D,过点D作DE⊥AD交AB于点E,点P是DE上的动点，点O是BD上的动点，则 BP+PQ的最小值为 E B 5.(25-26八年级上安徽蚌埠月考)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DF⊥AB,DM⊥AC, AF=9cm,AC=12cm,动点E以3cms的速度从点A向点F运动，动点G以2cm/s的速度从点C向点A 运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为s, B D (1)求CM的长 (2)当△DEF≌△DGM时，求t的值. 2 (3)求证：在运动过程中，不管t取何值，都有S△Dcc S△AED 3 题型二：利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 6.(25-26七年级下江西景德镇期末)如图，在△ABC中∠A=90°，AB=12cm,AC=5cm,过点B作 BM⊥AB.动点E从A点出发以3Cm/S的速度沿射线AB运动，动点D在射线BM上，随着E点的运动而 运动，始终保持ED=CB.若点E的运动时间为t秒(t>0),则当以B,E,D为顶点的三角形与△ABC 全等时，t的值为 秒. 217 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B N 7.(25-26七年级下·四川成都期中)如图，在长方形ABCD中，E为AB边上一点，其中BC=9cm, BE=3cm,AB=5cm,动点P从B开始，以3cm/s的速度沿B→C路线运动到点C停止，从点P开始运 动的同一时刻动点Q以Cm/s的速度从C点出发沿边CD运动，到D点停止.当x为时，在某一时刻 △PBE与△PCQ全等】 D E B 8.(25-26八年级上黑龙江哈尔滨期末)如图，AC⊥BC,垂足为点C,射线BM⊥BC,垂足为点B, BC=12cm,AC=4cm,动点E从C点出发以2cm/s的速度沿射线CN运动，动点D在射线BM上，随着 E点运动而运动，始终保持ED=AB,若点E的运动时间为s(【>0),则当1=一 秒时，ADEB与 △BCA全等. M D E B N 9.(25-26七年级下江苏盐城阶段检测)如图△ABC的两条高AD与BE交于点O,AD=BD,AC=8.F 是射线BC上一点，且CF=AO,动点P从点O出发，沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运 动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P,Q两点 同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t的值 317 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D 10.(25-26八年级上：河北石家庄期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,直线l 经过点C且与边AB相交（不经过点A,B),动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点 Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动.点P和点Q的速度分别为lcm/s和2cm/s,两点同时出发并 开始计时，当点P到达终点B时计时结束.在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥1于点E,QF⊥I于点F, 设运动时间为秒，则当t= 秒时，△PEC与△QFC全等。 题型三：利用全等三角形求证线段之间的关系问题 11.(25-26八年级上全国期末)如图，AB1BC,射线CM1BC,且BC=5,AB=1,点P是线段BC (不与点B、C重合)上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D,连接AD. M D B 图1 图2 (I)如图1，当BP=时，△ADP是等腰直角三角形.（请直接写出答案） (2)如图2，若DP平分∠ADC,试猜测PB和PC的数量关系，并加以证明. 12.(24-25八年级上河南周口·期末)(1)如图1，△ABC为等边三角形，动点D在边AB上，动点E在 边AC上，若这两点分别从点B,A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连 接CD,BE交于点P,则在动点D,E的运动过程中，CD与BE之间的数量关系是 417 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (2)如图2，若把(1)中的“动点D在边AB上，动点E在边AC上”改为“动点D在射线BA上运动， 动点E在射线AC上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由. (3)如图3，若把(I)中的“动点D在边AB上”改为“动点D在射线CB上运动”，连接DE,交AB 于点M,其他条件不变，则在动点D,E的运动过程中，DM与EM之间存在怎样的数量关系？请写出简 要的证明过程 13.(2026贵州贵阳模拟预测)在等边△ABC中，点D是直线BC上一动点， 图① 图② 备用图 备用图 (I)如图①，当点D运动到BC的中点时，连接AD,则∠BAD= 线段AD与线段BC的位置关 系是 (②)如图②，点D是线段BC上异于B、C一动点，连接AD,将线段AD绕点A顺时针旋转60°至AE,连 接DE,BE,过点E作EF垂直于CB的延长线于F,探究BF,DF,BC之间的数量关系. (3)点D是直线BC上异于线段BC上一动点，连接AD,将线段AD绕点A顺时针旋转60°至AE,连接DE, BE,过点E作EF⊥BC,交直线BC于点F,探究BF,DF,BC之间的数量关系， 14.(25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测)已知△ABC是等边三角形，点D为射线BC上一动点，连接 AD,以AD为边在直线AD右侧作等边△ADE. 图1 图2 图3 (I)如图1，当点D在线段BC上，连接CE,求证：∠ACE=60°： (2)如图2，当点D是BC延长线上一点，过点E作EF L AC于点F,猜想线段AF、CF、CD之间的数量 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 关系，并证明你的结论： (3)如图3，M,N分别是AB,AC上两个动点，满足AM=AN,且∠DAB=a,当DM+DN最小时， 直接写出∠BMD的大小为 一（用含a的式子表示）. 15.(25-26八年级上广西南宁·期末)综合与实践： 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，∠ACB=90°，AC=BC, AD⊥CD,BE⊥CD,垂足分别为点D,E.请证明：AD=CE. 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，∠CDF=90°，CD=FD,点A是 DF上一动点，连接AC,作∠ACB=90°且BC=AC,连接BF交CD于点G.若DG=l,CG=3,请证明： 点A为DF的中点. 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，∠CDF=9O°，CD=FD,点 A是射线DF上一动点，连接AC,作∠ACB=90°且BC=AC,连接BF交射线CD于点G.若FD=4AF, 请直接写出DG与CG的数量关系， A G G D B B B 图1 图2 图3 题型四：利用全等三角形求证角之间的关系问题 16.(24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末)在△ABC中，AB=AC,点D是射线CB上的一动点 (不与点B,C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,LDAE=∠BAC,连接CE. B D 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°时求证：①△ABD≌△ACE;②BC⊥CE. (2)如图2，∠BAC≠90°，请你探究∠BAC与∠DCE之间的数量关系，并证明你的结论. 617 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 I7.点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A,点Q从顶点B同时 出发，且它们的速度都是1cs M M Q 图1 图2 (1)连接A№、CP交于点M,则在卫、Q运动的过程中，∠CM0变化吗？若变化，则说明理由；若不变， 则求出它的度数： (2)如图2，若点P、O在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线A、CP交点为M,则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数 18.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E为AC上一动点，过点A作AD⊥BE于D,连接CD. B 图① 图② (1)【观察发现】 如图①，∠DAC与∠DBC的数量关系是-： (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，∠CDB的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求∠CDB的度数： (3)【深入思考】 如图②，若E为AC中点，探索BE与DE的数量关系， 717 专题02 全等三角形中的动点问题有关的四种模型 题型一 利用全等三角形求解动点边、角问题 题型二 利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 题型三 利用全等三角形求证线段之间的关系问题 题型四 利用全等三角形求证角之间的关系问题 题型一：利用全等三角形求解动点边、角问题 1．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是___秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用．设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：． 2．（2025·广东清远·一模）点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接，当的周长最小时，与的数量关系式是________ 【答案】 【分析】作关于的对称点，作关于的对称得，连接，交、于，此时的周长最小，最小值为，连、、，根据轴对称的性质得出，即可得出，，由，根据三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：作关于的对称点，作关于的对称得，连接，交、于、， 此时四点共线，此时的周长最小，最小值为，连接、、， 由轴对称的性质可知， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，在直角中，，平分，是上一动点(不与，重合，是上一动点不与，重合，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】此题考查根据面积等式求线段的长度、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识与方法，正确作出辅助线是关键．作于点，根据三角形的面积公式求得，在上取点，使，连接，则，可知当点与点重合，点与点重合时，取得最小值，则的最小值为． 【详解】解：作于点， ， ， ， ， 在上取点，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当点与点重合，点与点重合时，则的值最小， 的最小值为， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为______． 【答案】10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴（假设点Q是定点，点共线时，取最小）， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的最小值为， 故答案为：10． 5．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）如图，在中，平分，，，，，动点以的速度从点向点运动，动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)当时，求的值． (3)求证：在运动过程中，不管t取何值，都有． 【答案】(1) (2)当时， (3)见解析 【分析】本题主要综合考查了全等三角形的判定与性质，动点问题的分类讨论思想，三角形面积公式的应用． ()通过角平分线性质得，根据证明 ，得到线段相等，再结合已知线段长度计算目标线段； ()分两种情况讨论，根据动点运动的不同阶段(点在上)分类列方程，由全等三角形的性质可求解，舍去不合题意的解后确定值； ()利用三角形面积公式，结合全等得到的高相等的条件，将面积比转化为底的比，再根据动点速度表示出底的长度，推导出面积的固定比例关系． 【详解】（1）解：平分， ． ，， ． 在和中， ， ， ． ，， ． （2）， ． ①当时，点G在线段上运动，点E在线段上运动， ，， ， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，点在线段上运动，点在线段上运动， ，， ， ． 综上所述，当时，． （3），，， ． 点以的速度从点向点F运动，动点以的速度从点向点运动， ，， ，即， 即， 在运动过程中，不管取何值，都有． 题型二：利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 6．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒（），则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，t的值为________秒． 【答案】、、8 【分析】分当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①当E在线段上时， 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； 若，此时点E和点A重合，不符合题意； ②当E在线段延长线上时， 如图：若， ∴， ∵， ∴； 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴当或或8秒时，与全等． 7．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 【答案】 2 【分析】本题考查了全等三角形判定与动点问题，解题关键是分情况讨论时，同时验证点的运动边界条件． 【详解】解：设运动时间为秒，则：，，，且，． ， 与均为直角三角形，全等需两组直角边对应相等，分两种情况：   情况一：且， 解得， 此时，点超出边界，舍去． 情况二：且， 解得，． 此时，，符合运动范围，有效． 综上，唯一符合条件的解为． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，，动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持，若点的运动时间为，则当______ 秒时，与全等． 【答案】或或 【分析】本题考查直角三角形全等的判定及动点问题的分类讨论，根据动点的位置分情况讨论，结合全等条件列出方程求解． 【详解】解：∵动点的速度为，运动时间为， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴与全等有两种对应情况： ①当时，需． 若在线段上，则， 由，解得； 若在的延长线上，则， 由，解得； ②当时，需． 若在线段上，则，解得(舍去)； 若在的延长线上，则，解得； 综上，当或或秒时，与全等． 故答案为：4或8或． 9．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 【答案】或4 【分析】先得出t的取值范围，然后分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含t的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 分情况讨论： ①如图，当点在延长线上时，． ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， 当时，有． ，， ， 解得； ②如图，当点在线段上时，．    同①得， 又， 当时，有． ，， ， 解得； 综上，当与全等时，t的值为秒或4秒． 10．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当________________秒时，与全等． 【答案】2或或12 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论的数学思想以及全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，分点Q在上，点P在上， 由题意得，，， ∵，， ，， ∵，， ， ， ， 当时，则， ∴，解得：． ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，，， ∵，， ，， 当，则， ，解得：． ③如图3，当Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ，， ， ∴， 当，则，即，解得：． 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 故答案为：2或或12． 题型三：利用全等三角形求证线段之间的关系问题 11．（25-26八年级上·全国·期末）如图，，射线，且，，点P是线段（不与点B、C重合）上的动点，过点P作交射线于点D，连接． (1)如图1，当 时，是等腰直角三角形．（请直接写出答案） (2)如图2，若平分，试猜测和的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)4 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明，得出，根据，得出是等腰直角三角形； （2）延长线段、交于点E，证明，得出，证明，得出． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴当时，是等腰直角三角形． （2）解：和的数量关系：， 证明：如图2，延长线段、交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），证明见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意得，和，即可证明，则有； （2）由题意得，，进一步得，结合等边三角形的性质即可证明，有； （3）作交于H，则，，，有为等边三角形，进一步得，即可证明，则． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立， 理由如下：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）， 理由如下：作交于H，如图， ∵为等边三角形，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 13．（2026·贵州贵阳·模拟预测）在等边中，点是直线上一动点． (1)如图①，当点运动到的中点时，连接，则__________；线段与线段的位置关系是__________． (2)如图②，点是线段上异于、一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接，，过点作垂直于的延长线于，探究，，之间的数量关系． (3)点是直线上异于线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接，，过点作，交直线于点，探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)，互相垂直 (2) (3)当点在延长线上且位于右侧时，；当点在延长线上且位于左侧时，；当点在延长线上时， 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，根据为的中点，根据三线合一的性质，即可求解； （2）证明得出，，延长至，截取，，得出为等边三角形，进而得出，； （3）情况1：如图，当点在延长线上且位于右侧时，，同（2）的方法，即可求解；情况2：如图，当点在延长线上且位于左侧时，在延长线上截取，情况3：如图，当点在延长线上时，由（2）得：，进而得出则，可得，进而得出结论． 【详解】（1）解：∵等边中， ∴ ∵， ∴， ∴，线段与线段的位置关系是互相垂直 （2），理由如下： 为等边三角形 ， 又绕点顺时针旋转至 ， ， ， 延长至，截取， 垂直平分 为等边三角形 （3）情况1：如图，当点在延长线上且位于右侧时，；理由如下： 延长至，截取， 垂直平分 由（2）可得， ，， 为等边三角形 ， 情况2：如图，当点在延长线上且位于左侧时，；理由如下： ，， ， ， 在延长线上截取 为等边三角形 情况3：如图，当点在延长线上时，；理由如下： 由（2）得： ， 又 ∴在中， 14．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． (1)如图1，当点在线段上，连接，求证：； (2)如图2，当点是延长线上一点，过点作于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，，分别是，上两个动点，满足，且，当最小时，直接写出的大小为_____（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质综合，掌握全等三角形的构造是解题关键． （1）根据两个等边三角形的性质，证明，即可求得； （2）作，分别证明与即可证得； （3）延续前两问的解题思路，构造出等边，通过三角形三边关系确定的最小值，最后根据三角形外角和定理即可求得． 【详解】（1）证明：与为等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2），理由如下， 如图，连接，过点E作延长线于点H， 与均为等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ，， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 如图，过点A在右侧作，且，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， 当三点共线时，取得最小值， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·广西南宁·期末）综合与实践： 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：． 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点． 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用证得，即可求证结论； （2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论； （3）分如图，当在延长线上时，如图，当在线段上时，过点作于两种情况分析求解即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过作于，如图： 由（1）得：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ，， 是的中点； （3），理由如下： 如图，当在延长线上时，过点作于， 同（）理得：，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在线段上时，过点作于， 同（）理得：，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上可得：或． 题型四：利用全等三角形求证角之间的关系问题 16．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，点D是射线上的一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，连接． (1)如图1，当点D在线段上，且时求证：①；②． (2)如图2，，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)或，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质；熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1） ①先证明，可得；②由可得，证明，从而可得结论； （2）①当点D在线段上时，如图2所示，证明，，可得，进一步可得结论；②当点D在线段的延长线上，如图所示，证明，，可得，再进一步可得结论． 【详解】（1）证明：①∵， ∴，    ∴ ，    在和中， ， ∴；          ②由得 ，        ∵， ∴ ，       ∴ ，         ∴； （2）解：或．理由如下： ①当点D在线段上时，如图2所示， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴  ， ②当点D在线段的延长线上，如图所示， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．点P、Q分别是边长为的等边的边、上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s．    (1)连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 【答案】(1)不变， (2)不变， 【分析】（1）因为点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都为cm/s，所以，，，因而运用边角边定理可知．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数． （2）首先利用边角边定理证得，再利用全等三角形的性质定理得到，再运用三角形角间的关系求得的度数． 【详解】（1）解：不变． 等边三角形中，，， 又由条件得， ， ， ； （2）解：不变． 在等边三角形中，， ，又由条件得，， ， ， 又， ． 18．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）E， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $