专题02 添加辅助线构造全等八种方法（举一反三专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“辅助线作法”为主线，系统整合构造全等三角形的八种方法，通过题型分类与变式训练，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |连接两点构造全等|1例+3变式|连公共边或中点构造全等|从图形关联到全等判定| |延长线段构造全等|1例+3变式|延长中线或角平分线构造全等|利用延长转化线段关系| |作垂线构造全等|1例+3变式|“一线三直角”模型构造全等|通过垂直建立直角全等| |作平行线构造全等|1例+3变式|平移线段构造全等三角形|利用平行转移角与线段| |倍长中线构造全等|1例+3变式|延长中线至等长构造全等|中线性质与旋转全等结合| |截长构造全等|1例+3变式|截取线段等于已知线段构造全等|解决线段和差问题| |补短构造全等|1例+3变式|延长线段等于已知线段构造全等|转化线段和差为等量关系| |旋转构造全等|1例+3变式|旋转图形使对应边重合构造全等|利用旋转不变性构造全等|

专题02 添加辅助线构造全等八种方法（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 连接两点构造全等】 2 【题型2 延长线段构造全等】 3 【题型3 作垂线构造全等】 4 【题型4 作平行线构造全等】 5 【题型5 倍长中线构造全等】 6 【题型6 截长构造全等】 8 【题型7 补短构造全等】 9 【题型8 旋转构造全等】 10 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形． 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形． 常见辅助线的作法有以下几种： 1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”． 5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点A提取文字备更多点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 【题型1 连接两点构造全等】 【例1】如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【变式1-1】如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 【变式1-2】如图，，，，点F是的中点．求证：    【变式1-3】（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为______°． 【题型2 延长线段构造全等】 【例2】如图，已知，点是的中点，且，求证：． 【变式2-1】如图，四边形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，AE平分∠DAB，∠D＝∠C＝90°，AD＝4BC＝8，则线段AB的长为__． 【变式2-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB=90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB=6，EF=1，则线段AC的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2-3】已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 【题型3 作垂线构造全等】 【例3】（24-25八年级上·重庆·阶段检测）如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为_________． 【变式3-1】如图，在四边形中，，，，若，，则点到的距离是______． 【变式3-2】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）已知：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于点．求证：为的中点． 【变式3-3】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【题型4 作平行线构造全等】 【例4】（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，，且，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足．如图当点E在线段上运动，点D在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【变式4-1】如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求证： 【变式4-2】如图，过边长为1的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究： (1)如图1，当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论． (2)如图2，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； 【题型5 倍长中线构造全等】 【例5】（25-26八年级上·全国·周测）如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5-1】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 【变式5-3】（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 如图1，小潘通过倍长中线法解决了这个问题：延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）由全等知．在中，根据三角形的三边关系，得______________________，从而得到的取值范围是___________． 【方法应用】 （3）如图2，在中，为边的中点，点在边上，与相交于点，且，求证：． 【能力提升】 （4）如图3，在中，平分，为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 【题型6 截长构造全等】 【例6】在中，是的平分线，且，若，则的大小为______．    【变式6-1】如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，已知点I是△ABC的角平分线的交点．若AB＋BI＝AC，设∠BAC＝α，则∠AIB＝______（用含α的式子表示） 【变式6-3】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）转化和类比迁移是解决几何问题的重要思想方法，前者通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上；后者通过观察图形的变化与联系，适当添加辅助线，把类似的图形类比迁移应用到不同情境中． 【等边三角形】（1）如图，在等边中，点，，分别在边，，上，且也为等边三角形，求证：．小洛仔细审题后发现关键的一步是推导出等角，请你完成证明； 【直角三角形】（2）如图2，若把（1）中的等边改成，且，，其他条件不变，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由； 【任意四边形】（3）如图3，在四边形中，，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，若，，请直接写出的值． 【题型7 补短构造全等】 【例7】如图，在边长为5的正方形内作，交于点，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【变式7-1】如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________． 【变式7-2】如图1，等腰，，，为外部一点，在的右侧作，且． (1)探究线段、和的数量关系； (2)若将“”改为“”，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，给出正确的结论，并简要说明理由． 【变式7-3】（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【题型8 旋转构造全等】 【例8】点M、N分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，则的度数为______．    【变式8-1】如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式8-2】如图，正方形中，，，则___．    【变式8-3】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 添加辅助线构造全等八种方法（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 连接两点构造全等】 2 【题型2 延长线段构造全等】 5 【题型3 作垂线构造全等】 10 【题型4 作平行线构造全等】 15 【题型5 倍长中线构造全等】 21 【题型6 截长构造全等】 28 【题型7 补短构造全等】 35 【题型8 旋转构造全等】 42 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形． 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形． 常见辅助线的作法有以下几种： 1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”． 5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点A提取文字备更多点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 【题型1 连接两点构造全等】 【例1】如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】连接，如图， 在与中 ， ≌ ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 【变式1-1】如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依据全等三角形的对应边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长． 【详解】解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 【变式1-2】如图，，，，点F是的中点．求证：    【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．连接，证明，得到，再利用三线合一即可得证．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】证明：连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 【变式1-3】（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为______°． 【答案】31 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，先根据证明，得出，然后根据证明，即可得出结论． 【详解】解：连接，    在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：31． 【题型2 延长线段构造全等】 【例2】如图，已知，点是的中点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】延长AE、BC交于点M，利用AAS证出△ADE≌△MCE，从而得出AD=MC，AE=ME，结合已知条件即可证出BM=AB，再利用SSS即可证出△BAE≌△BME，从而得出∠BEA=∠BEM，根据垂直定义即可证出结论． 【详解】解：延长AE、BC交于点M，如下图所示 ∵点是的中点， ∴DE=CE， ∵ ∴∠1=∠M 在△ADE和△MCE中 ∴△ADE≌△MCE ∴AD=MC，AE=ME ∵ ∴MC＋BC=AB ∴BM=AB 在△BAE和△BME中 ∴△BAE≌△BME ∴∠BEA=∠BEM ∵∠BEA＋∠BEM=180° ∴∠BEA=∠BEM=90° ∴ 【点睛】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键． 【变式2-1】如图，四边形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，AE平分∠DAB，∠D＝∠C＝90°，AD＝4BC＝8，则线段AB的长为__． 【答案】10 【分析】延长AE、BC交于点F，再根据ASA证明△ADE≌△FEC，得CF＝AD＝8、∠DAE＝∠F，然后结合角平分线的定义得∠BAE＝∠F，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：如图，延长AE、BC交于点F， ∵E是DC的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FEC中， ∴△ADE≌△FEC（ASA）， ∴CF＝AD＝8，∠DAE＝∠F， ∵AD＝4BC＝8 ∴BC=2 ∴BF=BC+CF=2+8=10 ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠F＝∠BAE， ∴AB＝BF， ∴BF＝AB＝10， 故填10． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解答本题的关键． 【变式2-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB=90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB=6，EF=1，则线段AC的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】延长交于，证明，根据全等三角形的性质求出，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：延长交于， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式2-3】已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 【答案】见解析. 【分析】延长BD交CA的延长线于F，先证得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再证△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出结论即可． 【详解】证明：如图， 延长交的延长线于， 平分 【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键． 【题型3 作垂线构造全等】 【例3】（24-25八年级上·重庆·阶段检测）如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为_________． 【答案】6 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算及等腰直角三角形的性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．作于，由得，，再证明得即可解决问题． 【详解】解：如图作于， ，， ， ， 又， ∴， ， 和都是等腰三角形， ，，， 在和中， ， ， ∴，， 在和中， ， ． ∴， ∴； 故答案为6． 【变式3-1】如图，在四边形中，，，，若，，则点到的距离是______． 【答案】4 【分析】作DE⊥BC交BC延长线于E,作DF⊥AB，垂足为F，证明四边形BFDE是矩形，得到DF=BE，证明△ABC≌CED，得到AB=CE=3，问题得解． 【详解】解：作DE⊥BC交BC延长线于E,作DF⊥AB，垂足为F， ∵, ∴四边形BFDE是矩形， ∴DF=BE ∵，，DE⊥BE, ∴∠B=∠E=90°， ∠BAC+∠ACB=∠DCE+∠ACB=90°， ∴∠BAC=∠DCE， 又∵， ∴△ABC≌CED， ∴AB=CE=3， ∴DF=BE=BC+EC=4． 故答案为：4 【点睛】本题考查了点到直线的距离、矩形的判定、全等三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式3-2】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）已知：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于点．求证：为的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于点，过点作交的延长线于点，先证明，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：过点作于点，过点作交的延长线于点， 则， 由旋转的性质得， ， 由旋转的性质得， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， 是的中点． 【变式3-3】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【答案】(1)， (2) 证明：如图2，作于点， ∵于点，于点E， ∴， 由， 同理（1）得， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【分析】本题考查一线三直角全等问题， （1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则． 【详解】（1））解：于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）略 【题型4 作平行线构造全等】 【例4】（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，，且，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足．如图当点E在线段上运动，点D在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点作交于点，可得是等边三角形，得，结合利用全等三角形判定定理证出，得出，最后通过等量代换即可完成证明． 【详解】解：，理由如下： 过点作交于点， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，   ， ， ， ，            在和中， ， ， ， ， ． 【变式4-1】如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求证： 【答案】见详解 【分析】过点D作DF∥AC，交BC于点F，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDF=∠MEC，DF=CE，从而证明∆FMD≅∆CME，进而即可得到结论． 【详解】过点D作DF∥AC，交BC于点F， ∵是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DF∥AC， ∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC， ∴是等边三角形， ∴BD=DF， ∵， ∴DF=CE， 又∵∠FMD=∠CME， ∴∆FMD≅∆CME， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键． 【变式4-2】如图，过边长为1的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，过P作交于F，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可． 【详解】解：过P作交于F． ，是等边三角形， ，是等边三角形， ， ， ， ， ． ∵在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式4-3】已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究： (1)如图1，当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论． (2)如图2，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； 【答案】(1)DM=EM．理由见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； （2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论． 【详解】（1）解：DM=EM，证明如下： 如图，过点E作EF//AB交BC于点F， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C； 又∵EF//AB， ∴∠ABC=∠EFC， ∴∠EFC=∠C， ∴EF=EC． 又∵BD=EC， ∴EF=BD． 又∵EF//AB， ∴∠BDM=∠FEM． 在△DBM和△EFM中，， ∴△DBM≌△EFM（AAS）, ∴DM=EM． （2）解：成立，理由如下： 如图，过点E作EF//AB交CB的延长线于点F， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C； 又∵EF//AB， ∴∠ABC=∠EFC， ∴∠EFC=∠C， ∴EF=EC． 又∵BD=EC， ∴EF=BD． 又∵EF//AB， ∴∠BDM=∠FEM． 在△DBM和△EFM中，， ∴△DBM≌△EFM（AAS）， ∴DM=EM． 【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质，利用平行构造全等三角形是解题关键． 【题型5 倍长中线构造全等】 【例5】（25-26八年级上·全国·周测）如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 延长，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求的长． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵是的中线， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：B. 【变式5-1】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，延长到E，使，再连接，再证明可得，然后再根据可得答案． 【详解】解：延长到点E，使得，连接，则， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：B． 【变式5-2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 如图1，小潘通过倍长中线法解决了这个问题：延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）由全等知．在中，根据三角形的三边关系，得______________________，从而得到的取值范围是___________． 【方法应用】 （3）如图2，在中，为边的中点，点在边上，与相交于点，且，求证：． 【能力提升】 （4）如图3，在中，平分，为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；；；（3）证明见解析；（4）①，理由见解析；② 【分析】（1）由作图过程及已知得，，，再根据即可得证； （2）根据全等三角形的性质得，再根据三角形三边关系即可得出答案； （3）如图，延长至，使，证明得，，再根据等边对等角得，进一步推出，即可得证； （4）根据角平分线的定义得，根据平行线的性质得，，继而得到，即可得证； ②如图，过点作交的延长线于点，得，，由①知：，，可推出，证明得，，继而得到，即可得解． 【详解】（1）证明：由作图过程知：， ∵是的边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的取值范围是， 故答案为：；；； （3）证明：如图，延长至，使，    ∵点为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （4）解：①与的数量关系：． 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴； ②如图，过点作交的延长线于点，    ∴，， 由①知：，， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，三角形三边关系定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质等知识，正确理解题意，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型6 截长构造全等】 【例6】在中，是的平分线，且，若，则的大小为______．    【答案】33° 【分析】可在AB上截取AE＝AC，先根据SAS证明△AED≌△ACD，可得DE=DC，然后根据全等三角形的性质、题中条件可得BE＝ED，进而可得∠C＝∠AED＝2∠B，而由三角形的内角和易求得∠B+∠C的度数，进一步即可求出答案． 【详解】解：如图，在AB上截取AE＝AC， 在△AED和△ACD中， ∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD， ∴△AED≌△ACD（SAS）， ∴DE=DC，∠C＝∠AED， ∵AB＝AC+CD，AB＝AE+EB， ∴CD＝BE， ∴BE＝ED， ∴∠EDB＝∠B， ∴∠C＝∠AED＝2∠B， 又∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝99°， ∴∠B＝33°． 故答案为：33°．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键． 【变式6-1】如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形的周长． 【详解】解：在线段AC上作AF=AB， ∵AE是的平分线， ∴∠CAE=∠BAE， 又∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEB（SAS）， ∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB， ∵AB∥CD， ∴∠D+∠B=180°， ∵∠AFE+∠CFE=180°， ∴∠D=∠CFE， ∵， ∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠CEF=∠CED， 在△CEF和△CED中 ∵, ∴△CEF≌△CED（AAS） ∴CD=CF， ∴四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 【变式6-2】如图，已知点I是△ABC的角平分线的交点．若AB＋BI＝AC，设∠BAC＝α，则∠AIB＝______（用含α的式子表示） 【答案】 【分析】在AC上截取AD=AB，易证△ABI≌△ADI，所以BI=DI，由AB＋BI＝AC，可得DI=DC， 设∠DCI=β，则∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形内角和可推出β与α的关系，进而求得∠AIB. 【详解】解：如图所示，在AC上截取AD=AB，连接DI， 点I是△ABC的角平分线的交点 所以有∠BAI=∠DAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI， 在△ABI和△ADI中， ∴△ABI≌△ADI（SAS） ∴DI=BI 又∵AB＋BI＝AC，AB+DC=AC ∴DI=DC ∴∠DCI=∠DIC 设∠DCI=∠DIC=β 则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β 在△ABC中， ∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即， ∴ 在△ABI中， 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形角度计算，利用截长补短构造全等三角形是解题的关键. 【变式6-3】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）转化和类比迁移是解决几何问题的重要思想方法，前者通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上；后者通过观察图形的变化与联系，适当添加辅助线，把类似的图形类比迁移应用到不同情境中． 【等边三角形】（1）如图，在等边中，点，，分别在边，，上，且也为等边三角形，求证：．小洛仔细审题后发现关键的一步是推导出等角，请你完成证明； 【直角三角形】（2）如图2，若把（1）中的等边改成，且，，其他条件不变，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由； 【任意四边形】（3）如图3，在四边形中，，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）．理由见解析； （3） 【分析】（1）利用等边三角形内角均为的性质，通过角的和差关系推导出一组等角，再结合等边三角形的边相等，用证明． （2）在上截取，构造与全等，得到对应边和对应角相等；再利用中的性质，证明，从而推导出． （3）连接，延长交的延长线于点，过点作于，于．先证明为等边三角形，结合，由（）的结论得；再证明，得；证明四边形是长方形，得；证明，得；最后利用求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴ 在和中， ， ∴（）； （2）解：，理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，延长交的延长线于点，过点作于，于， ∵，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴由（）得， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵，，， ∴四边形是长方形， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴ 解得． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的构造方法和特殊三角形、四边形的边角关系是解题的关键． 【题型7 补短构造全等】 【例7】如图，在边长为5的正方形内作，交于点，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长至使得，连接，根据正方形的性质证明，得出，，进而再证出，得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：如图，延长至使得，连接， ∵边长为5的正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：A． 【变式7-1】如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________． 【答案】20° 【分析】延长至点E使，连接，证明是等边三角形，设，则，再证明，即可得到结果． 【详解】解：如图，延长至点E使，连接． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴设，则．在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键． 【变式7-2】如图1，等腰，，，为外部一点，在的右侧作，且． (1)探究线段、和的数量关系； (2)若将“”改为“”，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，给出正确的结论，并简要说明理由． 【答案】(1) (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、三角形内角和定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长至点使得，由得到是等边三角形，利用三角形内角和定理得到，通过证明，得到，再利用线段的和差即可得出结论； （2）在上取点使得，由得到是等边三角形，利用三角形内角和定理得到，通过证明，得到，再利用线段的和差即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长至点使得，设与交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：不成立，，理由如下： 如图，在上取点使得，设与交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解； (2)，理由见详解 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 【题型8 旋转构造全等】 【例8】点M、N分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，则的度数为______．    【答案】45°/45度 【分析】由题意得，将绕点顺时针旋转得到,证即可求解． 【详解】解： 即 将绕点顺时针旋转得到，如图所示：      在的延长线上 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转等．根据几何条件进行严密的几何推理是解题关键． 【变式8-1】如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 【变式8-2】如图，正方形中，，，则___．    【答案】/30度 【分析】把逆时针旋转得到，则，先证出C、A、G三点共线，得出，，由证明，得出，证出，即是等边三角形，得出，再由三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：把逆时针旋转得到，连接；如图所示：    则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C、A、G三点共线， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 【变式8-3】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键． 将绕点逆时针旋转，得到相等的角和线段，得出，得出相等的线段，然后利用等量代换可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转， ∵是等腰三角形，， ∴与重合，， ∴， ∴，，， ∵是边长为3的等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 故选：A． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $