第十四章  全等三角形-2026-2027学年八年级数学上册基本功（人教版）

第14章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 知识点1全等形和全等三角形的概念 1.【2026盐城质检】如图，有6个条形方格图，方格图上由实线围成的图形与(1)是全 等形的有() (1): g2阳 (6) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.【2025巴南期中】下列说法正确的是() A.周长相等的两个三角形是全等三角形 B.形状、大小相同的两个三角形是全等三角形 C.面积相等的两个三角形是全等三角形 D.所有的等边三角形都是全等三角形 知识点2全等三角形的性质 3.【2026山东菏泽期未】如图，Rt△ABC沿直角边BC向右平移得到Rt△DEF,则下列结 论中，错误的是() A.BE-EC B.BC=EF C.AC-DF D.Rt△ABC≈Rt△DEF 4.【2026辽宁葫芦岛质检】三个全等三角形按如图的形式摆放，∠1=50°，∠3=85°，则∠2 的度数等于() A.30° B.45° C.60° D.65° 14/88 第14章全等三角形 5.如图，在平面直角坐标系中，△0AB的顶点坐标分别是A(一6,0)，B(0,5),△0AB兰△A0B, 若点A在x轴上，则点B的坐标是 B 6.如图，点B,C,D在同一条直线上，∠B=∠D=90°，△ABC兰△CDE,AB=6,BC=8, CE=10。 (1)求△ABC的周长； (2)求△ACE的面积。 易错点三角形的对应关系不定，未分类讨论致错 7.一个三角形的三条边的长分别是5,8,10，另一个三角形的三条边的长分别是5,4x+2, 2y-2,若这两个三角形全等，则x+y的值是 15/88 第14章全等三角形 14.2两边及夹角证全等(SAS) 知识点1用“SAS”判定两个三角形全等 1、下列全等的两个三角形是（) A.①② B.②③ c.③④ D.①④ 2、【2026山西晋中期末】据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称 为“木鸢”。后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于 放飞。在如图所示的“风筝”图案及其示意图中，AB=AD,∠BAE=∠DAC,AC=AE。则可 以直接用“SAS”判定() A.△ADG兰△ABF B.△ABC≥△ADE C.△AFC兰△AGE D.△AED兰△ACF 3、【2026四I川成都期末】如图，在△ABF和△DCE中，点E,F在BC上，BE=CF,∠AFB=∠DEC, 添加一个条件后能用“SAS”判定△ABF兰△DCE的是 4、【2026陕西渭南期末】如图，过△ABC的顶点A作AB II CD,使CD=AB,点E,F是AC上 两点，连接BE,DF,且AF=CE,请找出图中的一对全等三角形，并证明。 16/88 第14章全等三角形 知识点2SAS”判定定理的应用 5、【2026福建莆田质检】在△ABD中，C为BD的中点，AB=3,AC=4,延长AC至点E,使 CE=AC,连接DE,则AD的长的取值范围为() A.1<AD<7 B.2<AD<14 C.2.5<AD<5.5 D.5<AD<11 6、如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则∠1和∠2的关系为() A.∠1=∠2 B.∠2=2∠1 C.∠1+90°=∠2 D.∠1+∠2=180° 第6题图 第7题图 0 7、【2025贵州毕节期中】如图，在平面直角坐标系中，A(3,0),B(0,4),连接AB,在平面直 角坐标系中找一点C（点C不在坐标轴上)，使△AOC与△A0B全等，则C点的坐标为(3,4)或 8、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A,C,D三点在同一直线上，连接BD,AE, 延长AE交BD于F。 (1)求证：AE=BD; (2)试判断直线AE与BD的位置关系，并说明理由。 17/88 第14章全等三角形 14.3两角及一边证全等(ASA,AAS) 知识点1用ASAAAS”判定三角形全等 1、【2026福建福州期中】小明不慎将一块三角形的玻璃摔成如图所示的四块（图中所标①、 ②、③、④)，若要去商店配一块与原来完全一样的三角形玻璃，应该带去的是（) A.① B.② C.③ D.④ 2 ③ ④ 2、【2026吉林长春期末】有一张三角形纸片ABC,已知LB=∠C=,按如图两种方案用剪 刀沿着箭头方向剪开。若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√"，不一定全等打“×”， 则下列判断正确的是() 3 方案一 30 方案二 A.方案一：V、方案二：V B.方案一：V、方案二：× C.方案一：×、方案二：V D.方案一：×、方案二：X 3、如图，AB=AC,下列条件： (1)B=LC;(2)LAEB=LADC;(3)AE=AD;(4)BE=CD 中，若只添加一个条件就可以证明△ABE兰△ACD,则所有符合的条件序号是 18/88 第14章全等三角形 知识点2ASA”和AAS”判定定理的应用 4、【2025北京海淀区期中】数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF,其尺寸如 图，如果把△ABC的面积记作p,△DEF的面积记作q,那么p与q的大小关系为() A.p>q B.p=q C.p<q D.不能确定 D 5 B500 130° C 4 E4 小敏画的三角形 小颖画的三角形 5、【2026陕西西安期末】小乐与朋友们周未去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到 最高位置时的高度。如图，当海盗船静止时，位于铅垂线BD上，B到地面的距离BD=10。 当海盗船在点A处时，测得点A到铅垂线BD的距离AC=5m;当海盗船从A处摆动到A处时， AB1AB,则点A到地面的距离为 B 。 D 6、【2026山东青岛质检】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm,CD⊥AB,在AC 上取一点E,使EC=BC,过点E作EF L AC交CD的延长线于点F。 (1)找出图形中的全等三角形，并证明； (2)若EF=5cm,求AE的长。 A B 19/88 第14章全等三角形 14.4三边证全等(SSS) 知识点1用“SSS”判定三角形全等 1、【2026江苏南通期末】雨伞在开合过程中某一时刻截面图如图所示，伞骨AB=AC,点D, E分别是AB,AC的中点，DM,EM是支架，且DM=EM,在将伞打开的过程中，总有△ADM≥△ AEM,这里得到两个三角形全等的依据是() A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA 2、【2025山东泰安质检】如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等，在 方格的格点中找出符合条件的P点（不与点A,B,C重合）的位置共有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3、【2025福建厦门质检】如图所示，在△ABC中，AB=AC,D,E是边BC的三等分点，且AD=AE。 求证：△ABD兰△ACE。 A 20/88 第14章全等三角形 知识点2已知三边作三角形 4、【2025山东青岛期中】用无刻度的直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 已知：如图，在△ABC中，AB=AC。 求作：△PEF,使PE=AB,EF=BC。 知识点3“SSS”判定定理的应用 5、【2026甘肃武威期末】如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F。 若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则∠ACB等于() A.∠EDB B.∠BED C.2LABF <AFB D. 第5题图 B CD 第6题图 6、【2026江苏泰州期末】如图，已知AB=DC,AD=BC,E,F是DB上两点，且BF=DE, 若∠AEB=120°，∠ADB=30°，则∠BCF= 度。 7、【2026辽宁大连质检】风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史。从某 种风筝中可以抽象出如图所示的几何图形，其中AB=AD,CB=CD。 (1)猜想∠BCA和LDCA的数量关系： (2)证明你的猜想。 21/88 第14章全等三角形 14.5尺规作图 知识点1作一个角等于已知角 1、【2026河北保定期末】如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCD=∠AOB。以下 是排乱的作图过程，则正确的作图顺序是（) D ①以C为圆心，OE长为半径画弧MN,交OB于点M。 ②作射线CD,则∠BCD=∠AOB。 ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D。 ④以O为圆心，任意长为半径画弧EF, 分别交OA,OB于点E,F,连接EF。 A.①②③④ B.③②④① c.④①③② D.④③①② 2、【2026湖南衡阳期未】已知LAOB与LA'0'B(LAOB<∠A'0'B),给出部分尺规作图痕迹如 图所示，尺规作图过程如下（无需补全作图痕迹)： (I)以O为圆心，适当长为半径作弧MN(弧MN足够长)，分别交射线0A,OB于C,D两点， 连接CD; (2)以O为圆心，OD长为半径作弧MN(弧MN足够长)，交OB'于点D'; (3)以D'为圆心，CD长为半径作弧，交弧MN于点C,作射线0'C。 若LA0B=40°，∠A'0'B=66°，当0'E为LA'0C的平分线时，∠C0E的度数为. M D B' 22/88 第14章全等三角形 知识点2过直线外一点作平行线 3、【2025辽宁大连质检】如图，已知直线AB及直线外一点P。 (1)请你用一个圆规和一把没有刻度的直尺，过点P作直线CD,使得CD I AB。(保留作图痕迹， 不写作法) (2)在(1)中，CD I AB的依据是 B 知识点3作三角形 4、【2025河南郑州期中】下列关于尺规作图的结论中错误的是() A.已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出 B.已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出 C.已知一个直角三角形的两条直角边，那么这个三角形一定可以作出 D.已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出 5、【2025福建南平质检】如图，已知线段a和La。求作△ABC,使AB=AC=a,∠A=∠(。 (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 6、【2026辽宁本溪期末】用直尺和圆规作一个三角形，使它和如图所示的三角形全等（要求 用两种方法作图，保留作图痕迹，不必写作法)。 B B 23/88 第14章全等三角形 14.6斜边及一直角边证全等(HL) 知识点1用“HL”判定直角三角形全等 1、【2025山西大同期中】下列条件不能判定两个直角三角形全等的是() A.斜边和一条直角边分别相等 B.一个锐角和斜边分别相等 C.两条直角边分别相等 D.两个锐角分别相等 2、【2026湖南长沙期末】甲、乙两位同学玩一种数学游戏。游戏规则是两人轮流给△ABC 及△A'BC对应的边或角添加等量条件（点A',B,C分别是点A,B,C的对应点），某轮添 加条件后，若能判定△ABC与△ABC全等，则当轮行动者失败，另一人获胜。下表记录了两 人游戏的部分过程，则下列说法正确的是() 轮次 行动者 添加条件 1 甲 AB=A'B' 2 乙 BC=B'C' 3 甲 ①若第3轮甲添加条件AC=AC,则乙获胜；②若甲想获胜，第3轮可以添加条件LC=∠C; ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为∠A=∠A=90° A.①② B.①③C.②③ D.①②③ 3、【2025大连期中】如图，AB1EF于点B,CD1EF于点D,BE=DF。若要直接用“HL'" 判定Rt△ABF兰Rt△CDE,则需要添加的条件为。 X Q D 第3题图 第4题图C 4、【2025哈尔滨期末】如图，AC1BC于点C,AC=6,BC=3,连接AB,射线AX⊥AC 于点A,点P在线段AC上移动，点Q在射线AX上随着点P移动，且始终保持PQ=AB, 当AP=时，才能使△PQA与△ABC全等。 24/88 第14章全等三角形 知识点2“HL”判定定理的应用 5、【2026辽宁鞍山质检】如图，有两个长度相等的滑梯靠在同一面垂直于地面的墙上。已知 左边滑梯的一端C到地面的高度AC与右边滑梯的一端F到墙的距离DF相等，则这两个滑梯 与地面的夹角∠ABC与∠DFE的度数和是() A.60° B.90° C.120° D.180° 7777 6、【2026四川成都期中】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE= BC,连接DE,EC,DE=EC。 求证：(1)Rt△ADE兰Rt△BEC。 (2)DE⊥CE。 7、如图，∠A=∠D=90°，AB=DC,点E,F在直线BC上，且BE=CF。 (1)求证：∠E=∠F; (2)若PO平分LEPF,则PO与BC有什么位置关系？并说明理由。 APD B 25/88 第14章全等三角形 14.7角平分线的性质 知识点1角平分线的作法 1、【2026河南郑州期末】如图，在△ABC中，∠ABC=65°，∠ACB=45°，AD是高，以点A 为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点厂，再分别以，为圆心，大于号：B的长为半径画弧， 两弧在LBAC的内部交于点F,作射线AF,则∠DAF的度数是。 F米 2、分别画出已知钝角和平角的平分线。 A 0 B 知识点2角平分线的性质 3、【2026陕西榆林质检】在如图所示的网格中，∠QBC的位置如图所示，Q,B,C,P,A,M, N在格点上，则P,A,M,N中到∠QBC两边距离相等的点是（) A.P B.A C.N D.M c 4、点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则下列选 项正确的是() A.PQ>6 B.PQ≥6 C.PQ<6D.PQ≤6 5、如图，已知△ABC的周长是34，BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB, OD⊥BC于D,且OD=4,则△ABC的面积是() A.17 B.34C.38 D.68 26/88 第14章全等三角形 6、如图，点P是LAOB的平分线0C上一点，PN1OB于点N,点M是线段ON上一点。已知OM=3, ON=5,点D为OA上一点，若满足PD=PM,则OD的长度为一。 M N B 7、【2026湖南长沙质检】如图，在△ABC中，按如下步骤作图：以点B为圆心，适当长为半 径作圆弧，交AB于点M,交BC于点N;分别以点M,N为圆心，大于MN的长为半径作圆弧， 两弧在LABC内交于点P;作射线BP,交AC于点D。 (1)连接MP,WP,通过证明△BMP兰△BNP,得到∠ABD=∠CBD,从而得到BD是∠ABC的 平分线，其中证明△BMP≈△BNP的依据是（填序号）。 ①SAS; ②ASA; 3AAS; ④SSS。 (2)若AB=16,BC=14,S△48c=75,过点D作DE1AB于E,求DE的长。 A E 27/88 第14章全等三角形 14.8角平分线的判定 知识点角平分线的判定 1、【2026佛山质检】如图，在四边形ABCD中，AB=CD,BA和CD的延长线交于点E, 若存在点P使得S△PAB=SAPCD,则满足此条件的点P(） A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.组成∠E的平分线 D.组成∠E的平分线所在的直线（点E除外) E 第1题图 第2题图 2、【2025常州期中】如图，点0在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB,OC,若 ∠B0C=110°，则∠A的大小是（) A.35 B.40° C.45° D.70 3、如图，平面内三条直线Q,b,c两两相交，在平面内找出一点P,使得点P到三条直线 的距离相等，那么符合条件的点P有 处。 A P 第3题图 第4题图 4、如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺的一边与射线OB重合，且另一边与射线0A 交于点C,另一把直尺的一个直角顶点在射线OA上，且与第一把直尺交于点P,作射线OP, 已知∠P0B=40°，则∠ACP的度数是-。 28/88第14章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 知识点1全等形和全等三角形的概念 1.【2026盐城质检】如图，有6个条形方格图，方格图上由实线围成的图形与(1)是全 等形的有() (1) 2hZ☑ (6 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 解析：由题图可知，方格图上由实线围成的图形与(1)是全等形的有(2)(3)(6)。 2. 【2025巴南期中】下列说法正确的是() A.周长相等的两个三角形是全等三角形 B.形状、大小相同的两个三角形是全等三角形 C.面积相等的两个三角形是全等三角形 D.所有的等边三角形都是全等三角形 答案：B 解析：根据全等三角形的定义能够判断出B选项的说法正确，A、C、D选项的反例如下： 选项 A C D 反例 知识点2全等三角形的性质 3.【2026山东菏泽期未】如图，Rt△ABC沿直角边BC向右平移得到Rt△DEF,则下列结 论中，错误的是() A.BE=EC B.BC=EF C.AC=DF D.Rt△ABC≈Rt△DEF 答案：A 23/152 第14章全等三角形 解析：Rt△ABC沿直角边BC向右平移得到Rt△DEF,·Rt△ABC≈Rt△DEF,BC=EF, AC=DF,BE与EC不一定相等，·只有选项A是错误的，故选A。 4.【2026辽宁葫芦岛质检】三个全等三角形按如图的形式摆放，∠1=50°，∠3=85°，则∠2 的度数等于() A.30° B.45° C.60° D.65 答案：B 解析：如图， 由图可得∠3+∠4+∠7=180°，∠1+∠5+∠8=180°，∠2+∠6+∠9=180°，∠3+∠4+ ∠7+∠1+∠5+∠8+∠2+∠6+∠9=540°。由三角形内角和定理可得∠7+∠8+∠9=180°， 由全等三角形的性质可得∠4+∠5+∠6=180°，∠1+∠2+∠3=180°。：∠1=50°，3= 85°，∠2=180°-∠1-∠3=45°，故选B。 5.如图，在平面直角坐标系中，△0AB的顶点坐标分别是A(-6,0),B(0,5),△0A'B≈△A0B, 若点A在x轴上，则点B的坐标是 B 答案：(6，-5) 解析：A(-6,0),B(0,5),÷0A=6,0B=5,∠A0B=90°。：△0A'B兰△A0B,0A=OA=6, AB'=OB=5,∠BA'0=90°。：点B在第四象限，点B的坐标是(6，-5)。 24152 第14章全等三角形 6.如图，点B,C,D在同一条直线上，∠B=∠D=90°，△ABC≈△CDE,AB=6,BC=8, CE=10。 (1)求△ABC的周长； (2)求△ACE的面积。 答案：(1)24，(2)50 解析：(1)△ABC兰△CDE,CE=10,AC=CE=10。AB=6,BC=8, ∴.△ABC的周长为AB+BC+AC=6+8+10=24。 (2)∠B=90°，·∠ACB+∠BAC=90°。△ABC兰△CDE,∠ECD=LCAB,.∠ACB+ ∠BCD=90,∠4CE=90,:4GC=CE=10,△ACE的面积为2AC-CE=2×10×10=50。 1 易错点三角形的对应关系不定，未分类讨论致错 7.一个三角形的三条边的长分别是5,8,10，另一个三角形的三条边的长分别是5,4x+2, 2y-2,若这两个三角形全等，则x+y的值是 答案：7.5或7 解析：两个三角形全等，·当4x+2=8,2y-2=10时，解得x=1.5,y=6,此时x+y= 7.5;当4x+2=10,2y-2=8时，解得x=2,y=5,此时x+y=7。综上，x+y的值是 7.5或7，故答案为7.5或7。 25/152 第14章全等三角形 14.2两边及夹角证全等(SAS) 知识点1用“SAS”判定两个三角形全等 1、下列全等的两个三角形是（) 509 G 50° ① ② ③ ④ A.①②B.②③C.3④D.①④ 答案：A 解析：在△ABC和△FGE中，△ABC兰△FGE(SAS),·.全等的两个三角形是①②。 2、【2026山西晋中期末】据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称 为“木鸢”。后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于 放飞。在如图所示的“风筝”图案及其示意图中，AB=AD,∠BAE=∠DAC,AC=AE。则可 以直接用“SAS”判定() A.△ADG≈△ABF B.△ABC≥△ADE C.△AFC兰△AGE D.△AED≈△ACF 答案：B 解析：·∠BAE=∠DAC,·∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE,即LBAC=∠DAE。 在△ABC与△ADE中，△ABC兰△ADE(SAS). 3、【2026四I川成都期末】如图，在△ABF和△DCE中，点E,F在BC上，BE=CF,LAFB=∠DEC, 添加一个条件后能用“SAS”判定△ABF兰△DCE的是 。 D 26/152 第14章全等三角形 答案：AF=DE 解析：添加AF=DE后能用“SAS”判定△ABF≈△DCE。 理由：：BE=CF,·BE十EF=CF十EF,BF=CE。 在△ABF与△DCE中，·△ABF兰△DCE(SAS). 4、【2026陕西渭南期末】如图，过△ABC的顶点A作ABI‖CD,使CD=AB,点E,F是AC上 两点，连接BE,DF,且AF=CE,请找出图中的一对全等三角形，并证明。 D B 答案：△ABE兰△CDF, 证明如下：AB II CD,·∠BAE=∠DCF。'AF=CE,·AF-EF=CE-EF,·AE=CF。 在△ABE与△CDF中，·△ABE兰△CDF(SAS)。 知识点2“SAS”判定定理的应用 5、【2026福建莆田质检】在△ABD中，C为BD的中点，AB=3,AC=4,延长AC至点E,使 CE=AC,连接DE,则AD的长的取值范围为() A.1<AD<7 B.2<AD<14 C.2.5<AD<5.5 D.5<AD<11 答案：D 解析：C为BD的中点，BC=CD。 又：∠ACB=∠DCE,AC=CE,△ABC≈△EDC(SAS),·.DE=AB=3。 在△ADE中，AE=AC+CE=2AC=8,·.8-3<AD<8+3,即5<AD<11。故选D。 27/152 第14章全等三角形 6、如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则41和∠2的关系为() A.∠1=∠2 B.∠2=2∠1 C.∠1+90°=∠2 D.∠1+∠2=180° 2 答案：D 解析：由题意得AB=ED,BC=DF,LABC=∠EDF=90°， △ABC兰△EDF(SAS),·∠DEF=∠1，·∠1+∠2=180°。故选D。 7、【2025贵州毕节期中】如图，在平面直角坐标系中，A(3,0),B(0,4),连接AB,在平面直 角坐标系中找一点C（点C不在坐标轴上)，使△AOC与△AOB全等，则C点的坐标为(3,4)或 B 答案：(3，-4) 解析：A(3,0),B(0,4),且0B10A,0A=3,0B=4,∠A0B=90°。 当C点在第一象限时，过点A作AC1AO,且AC=B0=4,连接0C。 :A0=A0,∠AOB=∠CA0=90°，B0=AC, ∴△AOC兰△OAB(SAS),此时C点坐标为(3,4)。 同理可得，当C点在第四象限时，C点坐标为(3，一4)。 综上，C点坐标为(3,4)或(3，-4)。 28/152 第14章全等三角形 8、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A,C,D三点在同一直线上，连接BD,AE, 延长AE交BD于F。 (1)求证：AE=BD; (2)试判断直线AE与BD的位置关系，并说明理由。 答案：(1)证明：“△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴AC=BC,CE=CD,∠ACE=LBCD=90°。 在△ACE和△BCD中，·△ACE兰△BCD(SAS),·AE=BD。 (2)解：直线AE与BD互相垂直， 理由：：△ACE≥△BCD,·∠EAC=∠DBC。又∠EAC+∠AEC=90°，LAEC=∠BEF, ÷LDBC十∠BEF=90°，÷LBFE=90°，·AE1BD,即直线AE与BD互相垂直。 29/152 第14章全等三角形 14.3两角及一边证全等(ASA,AAS) 知识点1用ASAAAS”判定三角形全等 1、【2026福建福州期中】小明不慎将一块三角形的玻璃摔成如图所示的四块（图中所标①、 ②、③、④)，若要去商店配一块与原来完全一样的三角形玻璃，应该带去的是（) A.① B.② C.③ D.④ 2 ③ ④ 答案：C 解析：由题图可知，带③去，符合“角边角”，可以配一块与原来完全一样的三角形玻璃。故 选C。 2、【2026吉林长春期末】有一张三角形纸片ABC,已知LB=∠C=,按如图两种方案用剪 刀沿着箭头方向剪开。若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，不一定全等打“×”， 则下列判断正确的是() 3 方案一 30 方案二 A.方案一：V、方案二：V B.方案一：√、方案二：× C.方案一：×、方案二：√ D.方案一：×、方案二：X 答案：B 解析：方案一：如图(1)，·∠BDE+∠EDF=∠C+LCFD, .∠BDE=∠CFD。∠B=LC,BE=CD,∠C=∠EDF=a, .∠BDE=∠CFD。:∠B=∠C,BE=CD,△BDE≈△CFD(AAS)。 方案二：如图(2)，·∠BMK+∠KML=∠C+∠MLC,∠C=∠KML=a, ·LBMK=∠MLC.BK=3,MC不一定等于3，△BMK和△CML不一定全等， “方案一：√，方案二：X。故选B。 30/152 第14章全等三角形 3、如图，AB=AC,下列条件： (1)4B=LC;(2)LAEB=LADC;(3)AE=AD;(4)BE=CD 中，若只添加一个条件就可以证明△ABE兰△ACD,则所有符合的条件序号是 B 答案：(1)(2)(3) 解析：∠B=∠C,AB=AC,∠A=∠A,符合全等三角形的判定定理ASA,能推出△ABE兰△ACD, 故(1)符合； ∠AEB=∠ADC,∠A=∠A,AB=AC,符合全等三角形的判定定理AAS,能推出△ABE兰△ACD, 故(2)符合； AE=AD,∠A=∠A,AB=AC,符合全等三角形的判定定理SAS,能推出△ABE兰△ACD, 故(3)符合； BE=CD,AB=AC,∠A=∠A,不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABE兰△ACD, 故(4)不符合。 综上，能证明△ABE兰△ACD的条件序号是(1)(2)(3)。 知识点2ASA”和AAS判定定理的应用 4、【2025北京海淀区期中】数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF,其尺寸如 图，如果把△ABC的面积记作P,△DEF的面积记作q,那么p与q的大小关系为（) A.p>q B.p=q C.p<q D.不能确定 0 5 B50 130° 4 E 4 小敏画的三角形 小颖画的三角形 答案：B 31/152 第14章全等三角形 D 5 130° 解析：(1) 4 G (2)H 4 如图(1)，过点A作AG1BC于点G,如图(2)，过点D作DH1FE交FE的延长线于点H,则 ∠DEH=180°-130°=50°。 在△ABG和△DEH中，∴△ABG≈△DEH(AAS),·AG=DH。 1 :BC=EF=4,SAABG=2×BC×AG,SADEF=2 X EF X DH, ·S△ABc=S△DEF,即p=q。故选B。 5、【2026陕西西安期末】小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到 最高位置时的高度。如图，当海盗船静止时，位于铅垂线BD上，B到地面的距离BD=10。 当海盗船在点A处时，测得点A到铅垂线BD的距离AC=5;当海盗船从A处摆动到A处时， AB1AB,则点A到地面的距离为 D 答案：5m Cr---- 解析： D 如图，过点A'作A'FIBD于点F。 :AB1AB,AC⊥BD,·∠FBA+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，·∠FBA=∠CAB。 在△BFA与△ACB中，.△BFA兰△ACB(AAS),·BF=AC=5m, 32/152 第14章全等三角形 :.DF=BD-BF=10-5=5m,即点A'到地面的距离为5m。故答案为5m。 6、【2026山东青岛质检】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm,CD1AB,在AC 上取一点E,使EC=BC,过点E作EF1AC交CD的延长线于点F。 (1)找出图形中的全等三角形，并证明； (2)若EF=5cm,求AE的长。 A D B (1)答案：△ACB≈△FEC 解析：证明：：CD1AB,∠CDB=90°，·∠B+∠BCD=90°。 ∠ACB=90°，∠ECF+∠BCD=90°，∠B=LECF。 :EF⊥AC,·∠FEC=90°=∠ACB。 在△ACB和△FEC中，△ACB兰△FEC(ASA)。 (2)答案：3cm 解析：：EC=BC=2cm,EF=5cm,△ACB≥△FEC,.AC=EF=5cm, ∴.AE=CA-EC=5-2=3(cm)。 33/152 第14章全等三角形 14.4三边证全等(SSS) 知识点1用“SSS判定三角形全等 1、【2026江苏南通期末】雨伞在开合过程中某一时刻截面图如图所示，伞骨AB=AC,点D, E分别是AB,AC的中点，DM,EM是支架，且DM=EM,在将伞打开的过程中，总有△ADM≥△ AEM,这里得到两个三角形全等的依据是() A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA D 答案：C 解析：：AB=AC,点D,E分别是AB,AC的中点，·.AD=AE。 又：DM=EM,AM=AM, ∴△ADM兰△AEM(SSS),故选C。 2、【2025山东泰安质检】如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等，在 方格的格点中找出符合条件的P点（不与点A,B,C重合）的位置共有() A.1个 B.2个 C.3个D.4个 C B 答案：C A 解析： 如图所示，共3个，故选C。 3、【2025福建厦门质检】如图所示，在△ABC中，AB=AC,D,E是边BC的三等分点，且AD=AE。 34/152 第14章全等三角形 求证：△ABD兰△ACE。 A B y 证明：：D,E是边BC的三等分点，BD=CE=与BC。 3 (AB =AC, 在△ABD和△ACE中 AD=AE,∴△ABD≈△ACE(SSS)。 BD=CE, 知识点2已知三边作三角形 4、【2025山东青岛期中】用无刻度的直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 已知：如图，在△ABC中，AB=AC。 求作：△PEF,使PE=AB,EF=BC。 答案： 如图，△PEF即为所求。 知识点3“SSS”判定定理的应用 5、【2026甘肃武威期末】如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F。 若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则LACB等于() 1 A.∠EDB B.∠BED C.2LABF D.AFB 21 35/152 第14章全等三角形 B CD 答案：D (AC=BD, 解析：在△ABC和△DEB中， AB=ED,·△ABC≈△DEB(SSS),·LACB=∠DBE。 BC BE, :∠APB是△BFC的外角，∠ACB+∠DBE=∠AFB,∠ACB=2AFB,故选D. 1 6、【2026江苏泰州期末】如图，已知AB=DC,AD=BC,E,F是DB上两点，且BF=DE, 若∠AEB=120°，∠ADB=30°，则∠BCF=度。 答案：90 (DC=AB, 解析：在△BCD和△DAB中， BC=AD,·△BCD兰△DAB(SSS), BD=DB, ·∠CBD=∠ADB=30°，∠CDF=∠ABE。 :BF=DE,·BF-EF=DE-EF,即BE=DF。 DC=AB, 在△CDF和△ABE中 ∠CDF=∠ABE,△CDF兰△ABE(SAS),∠CFD=∠AEB=120°。 DF=BE, :∠CFD=∠CBD+∠BCF,·.∠BCF=∠CFD-∠CBD=120°-30°=90°，故答案为90。 7、【2026辽宁大连质检】风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史。从某 种风筝中可以抽象出如图所示的几何图形，其中AB=AD,CB=CD。 (1)猜想LBCA和LDCA的数量关系： (2)证明你的猜想。 36/152 第14章全等三角形 答案： (1)∠BCA=∠DCA (AB=AD, (2)证明：在△ABC和△ADC中， CB=CD,△ABC≈△ADC(SSS),.∠BCA=∠DCA。 AC=AC, 37/152 第14章全等三角形 14.5尺规作图 知识点1作一个角等于已知角 1、【2026河北保定期末】如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCD=∠AOB。以下 是排乱的作图过程，则正确的作图顺序是（) ①以C为圆心，OE长为半径画弧MN,交OB于点M。 ②作射线CD,则∠BCD=∠AOB。 ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D。 ④以O为圆心，任意长为半径画弧EF,分别交OA,OB于点E,F,连接EF。 A.①②③④ B.③②④① C.④①③② D.④③①② M 答案：C 解析：根据作一个角等于已知角的过程可知正确的作图顺序如下：④以0为圆心，任意长为半 径画弧EF,分别交OA,OB于点E,F,连接EF。①以C为圆心，OE长为半径画弧MN,交OB 于点M。③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D。②作射线CD,则LBCD=∠AOB。 故选C。 2、【2026湖南衡阳期末】已知LAOB与LA'O'B'(LAOB<LA'0'B),给出部分尺规作图痕迹如 图所示，尺规作图过程如下（无需补全作图痕迹)： D'B (1)以O为圆心，适当长为半径作弧MN(弧MN足够长)，分别交射线0A,OB于C,D两点， 连接CD; 38/152 第14章全等三角形 (2)以0为圆心，OD长为半径作弧MN(弧MN足够长)，交0B'于点D'; (3)以D'为圆心，CD长为半径作弧，交弧MN于点C',作射线0'C。 若∠A0B=40°，∠A'0'B=66°，当0'E为∠A'0'C的平分线时，∠C0E的度数为 答案：13或53° M M D'B 解析：图(1) 图(2) 由作图可知，∠B'O'C=∠A0B=40°。 ①当射线0'C在∠A'O'B的内部时， :LA0'B=66,∠B'0C=40°，LA0'C=∠A'0B'-∠B'0'C=66°-40°=26°。 0E为∠A0C的平分线，2C0E=A0C=13。 1 ②当射线0'C在LA'0'B'的外部时， :∠A'0'B'=66°，∠B'0'C=40°，.∠A'0'C=∠A'0'B'+∠B'0'C=66°+40°=106°。 0E为LA0C的平分线，Ld0E-A0C-53。故答案为13或5. 知识点2过直线外一点作平行线 3、【2025辽宁大连质检】如图，已知直线AB及直线外一点P。 (1)请你用一个圆规和一把没有刻度的直尺，过点P作直线CD,使得CD II AB。(保留作图痕迹， 不写作法) A p B 39/152 第14章全等三角形 M B 答案：如图，直线CD即为所求。 (2)在(1)中，CD I AB的依据是 答案：内错角相等，两直线平行（答案不唯一，需与(1)的作图痕迹对应) 解析：由作图可知LMPD=∠AMP,CD‖AB,故答案为内错角相等，两直线平行。（答案不唯 一，需与(1)的作图痕迹对应) 知识点3作三角形 4、【2025河南郑州期中】下列关于尺规作图的结论中错误的是() A.已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出 B.已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出 C.已知一个直角三角形的两条直角边，那么这个三角形一定可以作出 D.已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出 答案：B 解析：A选项，已知一个三角形的两角与一边，根据AAS或ASA,这个三角形一定可以作出， 所以本选项不符合题意；B选项，已知一个三角形的两边与一角，不一定可以作出这个三角 形，所以本选项符合题意；C选项，已知一个直角三角形的两条直角边，根据SAS,这个三 角形一定可以作出，所以本选项不符合题意；D选项，已知一个三角形的三条边，根据SSS, 这个三角形一定可以作出，所以本选项不符合题意。故选B。 5、【2025福建南平质检】如图，已知线段a和∠。求作△ABC,使AB=AC=a,∠A=∠。 (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 0 a 40/152 第14章全等三角形 答案：如图所示。口 6、【2026辽宁本溪期末】用直尺和圆规作一个三角形，使它和如图所示的三角形全等（要求 用两种方法作图，保留作图痕迹，不必写作法)。 B 答案：（答案不唯一） 方法一：如图(1)，△DEF即为所求。 方法二：如图(2)，△DEF即为所求。 41/152 第14章全等三角形 14.6斜边及一直角边证全等(HL) 知识点1用“HL”判定直角三角形全等 1、【2025山西大同期中】下列条件不能判定两个直角三角形全等的是() A.斜边和一条直角边分别相等 B.一个锐角和斜边分别相等 C.两条直角边分别相等 D.两个锐角分别相等 答案：D 解析：A选项，利用HL可以判定两个直角三角形全等，不符合题意；B选项，利用AAS可 以判定两个直角三角形全等，不符合题意；C选项，利用SAS可以判定两个直角三角形全等， 不符合题意；D选项，利用AAA不能判定两个直角三角形全等，符合题意。故选D。 2、【2026湖南长沙期末】甲、乙两位同学玩一种数学游戏。游戏规则是两人轮流给△ABC 及△ABC对应的边或角添加等量条件（点A,B,C分别是点A,B,C的对应点），某轮添 加条件后，若能判定△ABC与△A'BC全等，则当轮行动者失败，另一人获胜。下表记录了两 人游戏的部分过程，则下列说法正确的是() 轮次 行动者 添加条件 甲 AB=AB' 乙 BC=B'C' 3 甲 ①若第3轮甲添加条件AC=A'C,则乙获胜；②若甲想获胜，第3轮可以添加条件2C=∠C; ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为∠A=∠A'=90° A.①② B.①3 C.②③ D.①②③ 答案：D 解析：①若第3轮甲添加条件AC=A'C,根据SSS即可判定△ABC≈△ABC,则甲失败， 乙获胜，故说法正确，符合题意；②若第3轮甲添加条件∠C=∠C,SSA不能判定△ABC兰△ AB'C,而第4轮无论乙添加任何对应的边或角的等量条件，都能判定△ABC兰△AB'C,则 乙失败，甲获胜，故说法正确，符合题意；③若乙第2轮添加条件为∠A=∠A=90°，则第 42/152 第14章全等三角形 3轮甲无论添加任何对应的边或角的等量条件，都能判定△ABC≥△ABC,则甲失败，乙获 胜，故说法正确，符合题意。综上，说法正确的是①②③，故选D。 3、【2025大连期中】如图，AB1EF于点B,CD⊥EF于点D,BE=DF。若要直接用“HL"” 判定Rt△ABF兰Rt△CDE,则需要添加的条件为_。 h 答案：AF=CE 解析：需要添加的条件为AF=CE。'BE=DF,·.BE+BD=FD十BD,即DE=BF。:AB⊥EF, CD⊥EF,·∠ABF=∠CDE=90°。又AF=CE,·Rt△ABF≈Rt△CDE(HL)。故答案为AF= CE。 4、【2025哈尔滨期末】如图，AC1BC于点C,AC=6,BC=3,连接AB,射线AX1AC 于点A,点P在线段AC上移动，点Q在射线AX上随着点P移动，且始终保持PQ=AB, 当AP=时，才能使△PQA与△ABC全等。 Q B A 答案：3或6 解析：AC1BC,AX1AC,∠ACB=∠PAQ=90°。又PQ=AB,当AP=BC=3或AP= AC=6时，可以根据HL证明△PQA与△ABC全等。故答案为3或6。 43/152 第14章全等三角形 知识点2“HL”判定定理的应用 5、【2026辽宁鞍山质检】如图，有两个长度相等的滑梯靠在同一面垂直于地面的墙上。已知 左边滑梯的一端C到地面的高度AC与右边滑梯的一端F到墙的距离DF相等，则这两个滑梯 与地面的夹角∠ABC与∠DFE的度数和是() A.60° B.90° C.120° D.180° 答案：B 解析：由题意可知，AC=DF,∠CAB=∠EDF=90°，BC=EF。在Rt△CAB和Rt△FDE中， .Rt△CAB≈Rt△FDE(HL),∴∠ABC=∠DEF。'∠DEF+∠DFE=90°，·∠ABC+∠DFE= 90°。故选B。 6、【2026四川成都期中】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE= BC,连接DE,EC,DE=EC。 求证：(1)Rt△ADE兰Rt△BEC。 (2)DE⊥CE。 A B 答案：（1)证明：在Rt△ADE和Rt△BEC中，·Rt△ADE兰Rt△BEC(HL)。 (2)解：由(1)得Rt△ADE≈Rt△BEC,·∠AED=∠BCE。~∠B=90°， ∴∠BCE+∠BEC=∠AED+∠BEC=90°， ·∠DEC=180°-(LAED+∠BEC)=90°，·DE1CE。 44/152 第14章全等三角形 7、如图，LA=∠D=90°，AB=DC,点E,F在直线BC上，且BE=CF。 (1)求证：∠E=∠F; (2)若PO平分LEPF,则PO与BC有什么位置关系？并说明理由。 E 答案：(1)证明：BE=CF,·BE+EF=CF+EF,·BF=CE。 在Rt△ABF与Rt△DCE中，.Rt△ABF兰Rt△DCE(HL),.∠E=∠F。 (2)解：P01BC。理由如下： 由(1)得∠E=∠F。PO平分LEPF,·∠EPO=∠FPO。 在△EPO和△FPO中，△EP0兰△FPO(AAS),·.∠EOP=∠FOP。 :∠E0P+∠F0P=180°，·∠E0P=∠F0P=90°，P01BC。 45/152 第14章全等三角形 14.7角平分线的性质 知识点1角平分线的作法 1、【2026河南郑州期末】如图，在△ABC中，∠ABC=65°，∠ACB=45°，AD是高，以点A 为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点，再分别以，为圆心，大于号：B的长为半径画弧， 两弧在LBAC的内部交于点F,作射线AF,则∠DAF的度数是。 F米 答案：10° 解析：由三角形内角和得∠BAC=180°一65°一45°=70°。由尺规作图知，AF平分∠BAC, ∠BAF=号∠BAC=35,:AD是高，∠ADB=90。∠BAD=180°-90°-65°=25°， .∠DAF=∠BAF-∠BAD=35°-25°=10°。 2、分别画出已知钝角和平角的平分线。 B 答案：如图所示，射线0C即为角平分线。 知识点2角平分线的性质 3、【2026陕西榆林质检】在如图所示的网格中，∠QBC的位置如图所示，Q,B,C,P,A,M, N在格点上，则P,A,M,N中到∠QBC两边距离相等的点是（) A.P B.A C.N D.M 46/152 第14章全等三角形 A 4 答案：D 解析：由题图可知，点M在LQBC的平分线上，点P,A,N均不在∠QBC的平分线上，∴点M到LQBC 两边距离相等，故选D。 4、点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是0B边上的任意一点，则下列选 项正确的是() A.PQ>6 B.PQ≥6 C.PQ<6D.PQ≤6 答案：B M 解析：如图， 0 B OP平分LAOB,PM=6,PM1OA,过点P作PN1OB于N,则PM=PN=6。点Q是OB边上 的任意一点，PQ≥6。故选B。 5、如图，已知△ABC的周长是34，B0,C0分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=4, 则△ABC的面积是（) A.17 B.34 C.38 D.68 答案：D E 解析：如图， 47/152 第14章全等三角形 过点O作OE1AB于E,OF1AC于F,连接OA。:BO,C0分别平分LABC和LACB,OD⊥BC, OE=OD,OD=OF,即OE=OF=OD=4。△ABC的面积为： 故选D。 6、如图，点P是LAOB的平分线OC上一点，PN1OB于点N,点M是线段ON上一点。已知OM=3, ON=5,点D为OA上一点，若满足PD=PM,则OD的长度为。 A P B 答案：3或7 解析：如图，0MN B 过点P作PE⊥OA于点E。:OC平分LAOB,PE1OA,PN1OB,PE=PN。在Rt△OPE和Rt△ T中，P二gP,Rt△OPERt△OPNH四，0E=ON=5。OM=3,ON=5 MN=2。 若点D在线O段F上：在ERLAPMNE和RL△PDB中，W二0，RL△PMN=RLAPDE(, ·DE=MN=2,OD=OE-DE=3。 若点D'在射线EA上：同理可得DE=MN=2,OD=OE+D'E=7。 综上，OD的长度为3或7。 7、【2026湖南长沙质检】如图，在△ABC中，按如下步骤作图：以点B为圆心，适当长为半 径作圆弧，交AB于点M,交BC于点N;分别以点M,N为圆心，大于号MN的长为半径作圆弧， 两弧在LABC内交于点P;作射线BP,交AC于点D。 (1)连接MP,NP,通过证明△BMP≥△BNP,得到LABD=LCBD,从而得到BD是∠ABC的 平分线，其中证明△BMP兰△BNP的依据是 （填序号)。 ①SAS; ②ASA; (3AAS; (④SSS。 48/152 第14章全等三角形 答案：④ BM=BN 解析：在△MBP和△NBP中，{BP=BP,·△MBP兰△NBP(SSS)。故答案为（④。 MP-NP (2)若AB=16,BC=14,S△4Bc=75,过点D作DE1AB于E,求DE的长。 答案：5 解析：如图， B N 过点D作OF L BC于F。由(1)可知LABD=∠CBD,又：DE L AB,DF L BC,DE=DF。 代入数据：75-之DE-(16+10,解得0E-5。 49/152 第14章全等三角形 14.8角平分线的判定 知识点角平分线的判定 1、【2026佛山质检】如图，在四边形ABCD中，AB=CD,BA和CD的延长线交于点E, 若存在点P使得S△PAB=SAPCD,则满足此条件的点P() A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.组成∠E的平分线 D.组成∠E的平分线所在的直线（点E除外) 答案：D 解析：作∠E的平分线所在的直线，可知该直线上的点到AB和CD的距离相等。因为AB= CD,S△PAB=S△PCD,所以点P到AB和CD的距离相等，所以点P组成LE的平分线所 在的直线（点E除外)，故选D。 2、【2025常州期中】如图，点0在△ABC内，且到三边的距离相等，连接0B,OC,若 ∠B0C=110°，则∠A的大小是() A.35° B.40° C.45° D.70° 答案：B 解析：：∠B0C=110°，∠0BC+∠0CB=180°-110°=70°。 点O在△ABC内，且到三边的距离相等， ·OB平分LABC,OC平分LACB,·LABC=2LOBC,∠ACB=2LOCB, ∴∠ABC+∠ACB=2(L0BC+∠0CB)=140°， ·∠A=180°-(LABC+∠ACB)=180°-140°=40°。 50/152 第14章全等三角形 3、如图，平面内三条直线，b,c两两相交，在平面内找出一点P,使得点P到三条直线 的距离相等，那么符合条件的点P有处。 答案：4 D 解析： :点P到三条直线的距离相等，·点P是三条直线α，b,c所形成的角的平分线的交点， 如图所示，图中点P,点P,点P',点P“即为所求，故答案为4。 4、如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺的一边与射线OB重合，且另一边与射线OA 交于点C,另一把直尺的一个直角顶点在射线0OA上，且与第一把直尺交于点P,作射线OP, 已知∠P0B=40°，则∠ACP的度数是。 A 456891 答案：80 解析：由题意，得0OP平分∠AOB,∠AOB=2LPOB=2×40°=80°。由长方形直尺可知CPI OB,∠ACP=∠AOB=80°。故答案为80°。 51/152