第二章 直线和圆的方程（暑假预习举一反三单元自测·提高篇）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高二数学直线和圆的方程单元暑假提高篇自测卷，覆盖直线方程、圆的方程等核心知识，融合文化情境与分层设计，适配单元综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|圆心坐标、直线平行与对称|基础概念辨析，如第3题直线对称| |多选|3/18|直线斜率、圆的位置关系|多维度考查，如第11题直线与圆公共点| |填空|3/15|垂直关系、弦长计算、将军饮马|文化情境应用，如第14题古从军行问题| |解答|5/77|轨迹方程、切线问题|分层设计，如第19题轨迹与切线综合，体现数学思维与创新意识|

第二章 直线和圆的方程（单元自测·提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直接由圆的标准方程可得圆心坐标. 【解答过程】由圆的标准方程，可知圆心为. 故选：B. 2．（5分）（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知直线l经过点，且与直线平行，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由平行关系设直线方程为，代入点求解即可. 【解答过程】由题意可设l的方程为， 代入点，可得，得， 即l的方程为， 故选：A. 3．（5分）（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【解答过程】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B. 4．（5分）（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两直线平行求出参数的值，再由两平行线间的距离公式计算可得. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线，即，直线， 所以直线与直线间的距离为. 故选：D. 5．（5分）（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两圆的位置关系求解公共弦长或公切线长得出答案. 【解答过程】由题,圆，圆心 ，圆的半径为， 圆和圆的公共弦方程为 ，化简得. 又圆圆心到弦的距离为. 故弦长为. 故选：A. 6．（5分）（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【解答过程】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 7．（5分）（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】曲线表示的上半部分，且含端点，由图象可得，当与半圆左上部相切时，根据点到直线距离公式，可得k值，分析即可得答案. 【解答过程】由得，表示圆的上半部分，且含端点， 由直线恒过定点，一般方程为， 作出图象： 由图知，当与半圆左上部相切时， 可得且，解得， 结合图知：实数k的取值范围为：． 故选：D. 8．（5分）（25-26高二上·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【解题思路】当圆心与点的距离最小时，切线长最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段. 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可． 【解答过程】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，    ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）已知直线，直线，则下列选项正确的是（   ） A．直线在轴上的截距为 B．直线的斜率为 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解题思路】对于A，B：根据直线的方程分析斜率和截距即可判断；对于C：根据直线垂直运算求解即可；对于D：代入检验即可. 【解答过程】对于选项A，B：直线， 令，解得，可知直线在轴上的截距为，故A正确； 整理可得，可知直线的斜率为，故B错误； 对于选项C：若，则，解得，故C正确； 对于选项D：若，则直线，即， 可知直线与直线重合，故D错误； 故选：AC. 10．（6分）（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时，两直线之间的距离为 【答案】ABD 【解题思路】设所求直线方程为，将点代入，求得，可判定A正确；化简直线为，求得直线过定点，可判定B正确；结合两直线垂直的判定方法，可判定C不正确；由求得，得出的方程，结合两平行线间的距离公式，可判定D正确. 【解答过程】对于A，设过点且垂直于直线的直线方程为， 将点代入，可得，解得， 所以所求直线为，所以A正确； 对于B，直线， 可化为， 联立方程组，解得， 所以直线恒过定点，所以B正确； 对于C，当时，可得直线， 此时， 所以与不垂直，所以C不正确； 对于D，当时，则满足，解得， 此时， 则两平行线间的距离为，所以D正确. 故选：ABD. 11．（6分）（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知直线，圆，则下列结论正确的是（   ） A．直线和圆总有公共点 B．直线被圆截得的最短弦长为 C．若圆与圆有且只有一条公切线，则实数 D．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 【答案】ABD 【解题思路】将直线方程变形，求出直线经过的定点，然后利用定点在圆的内部可判断A；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断B；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断C；结合直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式进行计算可判断D. 【解答过程】对于A，直线的方程为， 变形可得，令，解得， 所以直线恒过定点， 因为，所以定点在圆内部， 则直线和圆总有公共点，故A正确； 对于B，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故B正确； 对于C，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆有且只有一条公切线，则两圆内切， 则有，解得，故C错误； 对于D，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，依题意需满足. 因为，，，满足， 故圆上恰有两个点到直线的距离等于1.故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·云南·期中）若直线与垂直，则__________． 【答案】0 【解题思路】根据两直线垂直的结论求. 【解答过程】直线与垂直， 可得，解得． 故答案为：0. 13．（5分）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知直线被圆所截得的弦长为，则___________. 【答案】或 【解题思路】利用点到直线的距离公式结合弦长公式建立方程，求解参数即可. 【解答过程】由题意得圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得， 因为直线被圆截得的弦长为， 所以由弦长公式得，解得或. 故答案为：或. 14．（5分）（25-26高二上·全国·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为___________. 【答案】5 【解题思路】确定点关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【解答过程】若是关于的对称点， 则， 设饮马点为，如下图示， 由图知：， 当且仅当共线时等号成立， 所以. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·广西·开学考试）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【解答过程】（1）因为 ，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 16．（15分）（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)圆，当为何值时，两圆外切？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设圆心，利用圆心到点和距离相等联立关于的方程，进而求解圆的方程； （2）利用两圆外切时圆心距等于两圆半径之和，建立关于的方程求解. 【解答过程】（1）设圆心，则圆心到点和距离分别为 ， 所以 ，即， 解得， 所以圆的半径，圆心， 故圆的方程为. （2）由圆，得， 故圆的圆心，设半径为，则. 两圆外切时满足， 又因为， 所以，解得. 17．（15分）（25-26高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将条件代入点斜式方程，化简变形，即可得答案. （2）将方程变形为，可得B点坐标，代入点到直线距离公式，即可得答案. 【解答过程】（1）因为直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程为，化为一般式方程为. （2）直线的方程可化为， 令，则，解得，即点， 所以点到直线的距离为. 18．（17分）（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解题思路】（1）直线方程可化为，故直线过直线与直线的交点，联立求交点可得结论； （2）求直线与坐标轴的交点，表示三角形面积，结合二次函数性质求最值可得结论. 【解答过程】（1）由直线方程变形可得， 所以直线过直线与直线的交点， 联立，解得， 所以直线过定点. （2）已知直线：， 令，得，得. 令，得，得， 则三角形面积为， 当时，分母取得最大值，则此时取到最小值. 此时，直线的方程为，即. 19．（17分）（25-26高二上·四川德阳·期中）已知动点与两个定点的距离的比值为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. (3)若，为直线上一动点，过做曲线的切线，切点为.求面积的最小值. 【答案】(1) (2)和 (3)2 【解题思路】（1）设，利用距离公式列式化简求解即可； （2）按照直线斜率不存在和斜率存在分类讨论，利用弦长公式列方程求解即可； （3）根据相切性质可得，进而转化为点B到直线的距离问题求解即可. 【解答过程】（1）设，则，即，化简得， 所以曲线的方程为：； （2）由（1）知曲线的轨迹为圆，其圆心坐标为，半径， 当直线斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离为1， 所以，故满足题意； 当直线斜率存在时，设的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，解得， 所以的方程为，即的方程为， 综上所述，直线的方程为和； （3）由（1）知为圆心， 由相切关系可得， 故最短时，有最小值， 此时为圆心到直线的距离， 所以最小值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程（单元自测·提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知直线l经过点，且与直线平行，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）已知直线，直线，则下列选项正确的是（   ） A．直线在轴上的截距为 B．直线的斜率为 C．若，则 D．若，则 10．（6分）（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时，两直线之间的距离为 11．（6分）（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知直线，圆，则下列结论正确的是（   ） A．直线和圆总有公共点 B．直线被圆截得的最短弦长为 C．若圆与圆有且只有一条公切线，则实数 D．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·云南·期中）若直线与垂直，则__________． 13．（5分）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知直线被圆所截得的弦长为，则___________. 14．（5分）（25-26高二上·全国·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·广西·开学考试）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 16．（15分）（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)圆，当为何值时，两圆外切？ 17．（15分）（25-26高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 18．（17分）（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 19．（17分）（25-26高二上·四川德阳·期中）已知动点与两个定点的距离的比值为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. (3)若，为直线上一动点，过做曲线的切线，切点为.求面积的最小值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $