第13讲 抛物线（3大知识点+7大题型）（讲义）-2026年新高二数学暑假衔接进阶讲义（人教A版2019）

第13讲 抛物线 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：抛物线的定义 3 知识点二：抛物线的标准方程 3 知识点三：抛物线的简单几何性质： 3 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：抛物线的定义 5 题型 2：求抛物线的标准方程 5 题型 3：焦点三角形问题 6 题型 4：轨迹方程求解 7 题型 5：抛物线的简单几何性质 7 题型 6：抛物线范围与最值问题 8 题型 7：抛物线综合问题 9 04 过关测试 12 知识点一：抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释: （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线. （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化. 知识点二：抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。 知识点三：抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 题型 1：抛物线的定义 例1．（2026·高二·天津西青·期末）若抛物线上的点到其焦点的距离为9，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·高二·浙江台州·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则线段的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例3．（2026·高二·江苏徐州·期末）若抛物线上一点到直线的距离为5，则点到该抛物线焦点的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式1．（2026·高二·贵州遵义·期末）若抛物线：上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·湖北十堰·一模）已知抛物线：的焦点为，点在上，且，为原点，则（   ） A．6 B． C．4 D． 题型 2：求抛物线的标准方程 例4．（2026·高二·广东广州·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 例5．（2026·高三·浙江宁波·期末）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例6．（2026·高二·北京东城·期中）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·高二·贵州贵阳·期末）已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·高二·浙江金华·阶段检测）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 变式5．（2026·高二·辽宁·阶段检测）顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 变式6．（2026·高二·湖南株洲·阶段检测）焦点坐标为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 题型 3：焦点三角形问题 例7．（2026·高二·北京海淀·期中）抛物线的焦点为，若点在上且横坐标为，则（   ） A．9 B．5 C．4 D．3 例8．（2026·山西忻州·模拟预测）设抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点．若，则直线的斜率的绝对值为（    ） A． B．1 C． D．2 例9．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为8，则=（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 变式7．（2026·高二·湖北荆州·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 变式8．（2026·高二·河南洛阳·期末）已知为抛物线上的点，若点到抛物线的焦点的距离和它到轴的距离分别为和，则（   ） A． B． C． D． 变式9．（2026·高二·河北唐山·期末）经过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若，则（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 变式10．（2026·高二·贵州黔南·期末）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若直线的方程为，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式11．（2026·高二·天津·期末）设抛物线：的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为.若直线的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型 4：轨迹方程求解 例10．已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为________． 例11．（2026·江西新余·模拟预测）在平面直角坐标系中，，为轴上一点，经过的直线与垂直且与轴交于点，关于的对称点为．为一曲线，若对于任意固定点，的最小值总为3，则的方程为：_______． 例12．（2026·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 变式12．（2026·高二·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为__________． 变式13．在平面直角坐标系中，动点N到定点的距离比它到y轴的距离大1，则动点N的轨迹方程为_________. 变式14．设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为______． 变式15．（2026·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为__________． 题型 5：抛物线的简单几何性质 例13．（多选题）（2026·高二·浙江衢州·期末）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．当的倾斜角为时， C．当垂直于轴时，弦长最小 D． 例14．（多选题）（2026·高二·山西太原·期末）已知抛物线：与：，则下列结论正确的是（   ） A．与的焦点相同 B．与的离心率相同 C．与的准线相同 D．与的焦点到准线的距离相同 例15．（多选题）（2026·高二·福建福州·期末）对于抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向右 B．对称轴为轴 C．焦点为 D．准线方程为 变式16．（多选题）（2026·高二·宁夏固原·期末）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 变式17．（多选题）（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 题型 6：抛物线范围与最值问题 例16．（2026·高二·四川成都·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，其焦点为，定点，动点在抛物线上，则的最大值为_____________. 例17．（2026·高二·辽宁·期末）已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是________. 例18．（2026·高二·陕西商洛·期末）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为________． 变式18．（2026·全国·模拟预测）已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为________. 变式19．（2026·高三·重庆·开学考试）已知是抛物线上的一个动点，，点到轴的距离为，且的最小值为4，则_______. 变式20．（2026·高二·上海宝山·期末）已知曲线：（），曲线：（），若点为曲线的焦点，点、分别在曲线和上运动，则周长的最小值为________ 变式21．（2026·高二·陕西商洛·期末）已知函数，则函数的最小值为______. 变式22．（2026·高二·山西·阶段检测）如图，是抛物线的焦点，点在上，点在圆的优弧上，且，则周长的最小值是____________． 题型 7：抛物线综合问题 例19．（2026·高二·上海黄浦·期末）若动点P满足到的距离等于到直线的距离，动点P的轨迹为曲线C，则求： (1)动点P的轨迹方程： (2)过点且与曲线C只有一个公共点的直线． 例20．（2026·高二·四川广安·阶段检测）已知椭圆的离心率为，抛物线的准线方程为． (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P．已知． （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围． 例21．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）已知抛物线：上的一点（）到的焦点的距离为，点，是上不同的两点． (1)求的方程； (2)若，求点到直线的距离的最大值． 变式23．（2026·高二·重庆·期中）已知平面内动点到点的距离与到直线的距离相等．记动点的轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点． (1)求轨迹的方程； (2)设点关于轴对称的点为，证明：直线恒过定点． 变式24．（2026·高三·云南昭通·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线方程为，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点（异于原点O），抛物线在P，Q两点处的切线交于点T. (1)求抛物线C的标准方程； (2)证明：点T在定直线上； (3)在（2）的结论下，求此时的面积最小值，并求此时直线的方程. 变式25．（2026·高二·广东潮州·期末）已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上的一点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，若直线经过点，且与抛物线交于，两点，的面积为，求直线的方程． 1．（2026·高二·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 2．（2026·高二·云南文山·阶段检测）设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·四川广安·阶段检测）已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，．若，则直线斜率（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若直线的倾斜角为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·河南周口·期末）已知抛物线C：（）的焦点为，直线：与抛物线在第一象限的交点为．若，则抛物线的方程为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·西藏日喀则·模拟预测）抛物线（）的准线被圆所截得的弦长为4，则（    ） A．8 B． C．4 D． 7．（2026·高二·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上，且满足，，若线段中点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西咸阳·模拟预测）过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·高三·河北衡水·期末）已知抛物线的焦点为，直线经过点交于两点，点在第一象限，点在轴上的射影为. 若的面积为8，则（   ） A．3 B．4 C． D．5 10．（多选题）（2026·高二·四川成都·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，为抛物线上一个动点，且，则（     ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与抛物线的准线相切 C． D．的最小值为3 11．（多选题）（多选）设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若的面积为，则（   ） A． B．是等边三角形 C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为 12．（2026·高二·上海·期中）过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有______条. 13．（2026·高二·河南·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则___________ 14．（2026·高二·云南玉溪·阶段检测）直线过点，且与抛物线交于，两点．若，则线段的中点到轴的距离是______． 15．过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为________． 16．（2026·高二·上海·期中）已知抛物线，过点的直线交抛物线于. (1)求证：为定值； (2)求面积的最小值. 17．（2026·高三·全国·二轮复习）已知抛物线：的焦点到直线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程. 18．（2026·高二·上海·期末）已知为抛物线的焦点，直线经过，且与相交于两点，过点的动直线与相交于两点． (1)求的值； (2)设为坐标原点，若的面积为，直线与轴交于点，证明：． 19．（2026·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点． （i）当点到直线的距离取得最大值时，求； （ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 20．（2026·山东青岛·一模）已知抛物线，点为的焦点，是上任意不重合的两点，当直线过点且垂直轴时，. (1)求的方程； (2)若直线过点且的面积为，求的方程. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 抛物线 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：抛物线的定义 3 知识点二：抛物线的标准方程 3 知识点三：抛物线的简单几何性质： 3 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：抛物线的定义 5 题型 2：求抛物线的标准方程 6 题型 3：焦点三角形问题 8 题型 4：轨迹方程求解 11 题型 5：抛物线的简单几何性质 14 题型 6：抛物线范围与最值问题 17 题型 7：抛物线综合问题 22 04 过关测试 29 知识点一：抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释: （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线. （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化. 知识点二：抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。 知识点三：抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 题型 1：抛物线的定义 例1．（2026·高二·天津西青·期末）若抛物线上的点到其焦点的距离为9，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的准线方程为，由点到其焦点的距离为9， 得，解得，而，则， 所以点的坐标为. 故选：D 例2．（2026·高二·浙江台州·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则线段的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】可知抛物线的焦点为，准线方程为， 点在抛物线上，则点A到准线的距离即为AF的长， 所以． 故选：B． 例3．（2026·高二·江苏徐州·期末）若抛物线上一点到直线的距离为5，则点到该抛物线焦点的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】因为抛物线方程为，所以该抛物线准线方程为， 设， 因为点到直线的距离为5，所以，解得或， 又因为点在抛物线上，所以，故 所以点到准线的距离为，即到抛物线焦点的距离为. 故选：B. 变式1．（2026·高二·贵州遵义·期末）若抛物线：上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 抛物线， 焦点为，准线为， 设点，由抛物线的定义可得， ， ，解得，故B正确． 故选：B． 变式2．（2026·湖北十堰·一模）已知抛物线：的焦点为，点在上，且，为原点，则（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 因为，即， 且，所以. 故选：B. 题型 2：求抛物线的标准方程 例4．（2026·高二·广东广州·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为抛物线的准线方程为，故该抛物线开口向下， 设该抛物线的标准方程为， 则，解得，故该抛物线的标准方程为. 故选：D. 例5．（2026·高三·浙江宁波·期末）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于准线方程为，所以抛物线开口向右，设抛物线的方程为， 因为抛物线的准线方程为， 所以，解得， 所以抛物线的方程为． 故选：B． 例6．（2026·高二·北京东城·期中）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为抛物线的准线方程为，所以， 解得，则该抛物线的标准方程为，故D正确. 故选：D 变式3．（2026·高二·贵州贵阳·期末）已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设抛物线的方程为， 因为抛物线的焦点是， 所以，所以， 所以抛物线的标准方程为. 故选：A. 变式4．（2026·高二·浙江金华·阶段检测）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，设抛物线方程为， 由其准线方程为，则，可得， 所以抛物线的方程为. 故选：D 变式5．（2026·高二·辽宁·阶段检测）顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知抛物线开口向上， 故抛物线的标准方程是： 故选：B. 变式6．（2026·高二·湖南株洲·阶段检测）焦点坐标为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】焦点坐标为，则抛物线开口向左，焦点在轴上， 故抛物线的标准方程是. 故选：D 题型 3：焦点三角形问题 例7．（2026·高二·北京海淀·期中）抛物线的焦点为，若点在上且横坐标为，则（   ） A．9 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】抛物线的焦点为，所以，点在上且横坐标为，所以， 所以. 例8．（2026·山西忻州·模拟预测）设抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点．若，则直线的斜率的绝对值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】抛物线的焦点， 设过的直线的方程为，设，. 联立，整理得， ， 则，. 抛物线的弦长，解得，即. 例9．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为8，则=（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由抛物线，得，即. 得准线方程为，焦点. 设点横坐标为，点到直线的距离为， 即，解得. 根据抛物线定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离， 因此： . 变式7．（2026·高二·湖北荆州·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，解得曲线的方程为， ． 故选：C. 变式8．（2026·高二·河南洛阳·期末）已知为抛物线上的点，若点到抛物线的焦点的距离和它到轴的距离分别为和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线的准线方程为，设点，则， 因为点到轴的距离为，则， 由抛物线的定义可知，点到焦点的距离为，解得. 故选：B. 变式9．（2026·高二·河北唐山·期末）经过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若，则（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意得，抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，， ，根据抛物线的定义可知①， 又，，即②， 由①②可得， . 故选：B. 变式10．（2026·高二·贵州黔南·期末）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若直线的方程为，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】如下图： 对于直线，令，则，所以. 所以抛物线的方程为，故抛物线的准线方程为． 把代入直线的方程1，得点． 设，故， 代入抛物线，解得， 所以． 故选：A． 变式11．（2026·高二·天津·期末）设抛物线：的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为.若直线的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】如图， 对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：B 题型 4：轨迹方程求解 例10．已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为________． 【答案】， 【解析】设，则， 整理，得，． 动点的轨迹方程是，． 故答案为：，． 例11．（2026·江西新余·模拟预测）在平面直角坐标系中，，为轴上一点，经过的直线与垂直且与轴交于点，关于的对称点为．为一曲线，若对于任意固定点，的最小值总为3，则的方程为：_______． 【答案】 【解析】延长到使，由，得四边形为平行四边形， 又，则为菱形，过作轴，垂足为，直线， 则，又，，于是的轨迹为抛物线：， ①在内部，过作轴交于点，而轴， ，为定值，则当共线时，有最小值， 设，，而，整理得； ②在及外部，当共线时，有最小值3，即， 设，则，而，整理得 所以曲线的方程为：． 故答案为： 例12．（2026·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 【答案】 【解析】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. 变式12．（2026·高二·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为__________． 【答案】 【解析】设动点坐标为，依题意，，两边平方整理得， 所以所求轨迹方程为. 故答案为： 变式13．在平面直角坐标系中，动点N到定点的距离比它到y轴的距离大1，则动点N的轨迹方程为_________. 【答案】或 【解析】设为轨迹上任意点，则两边平方， 得， 所以动点N的轨迹方程为或. 故答案为：或. 变式14．设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】设，，， 则，，， 因为， 则， 又因为，则，即， 可得，即． 故点的轨迹方程是． 故答案为：. 变式15．（2026·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为__________． 【答案】 【解析】如图， 设，，则， 依题意，四边形为矩形， 则，即， 所以，即， 则， 所以顶点的轨迹方程为， 故答案为:． 题型 5：抛物线的简单几何性质 例13．（多选题）（2026·高二·浙江衢州·期末）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．当的倾斜角为时， C．当垂直于轴时，弦长最小 D． 【答案】ABC 【解析】由抛物线：可得焦点，准线方程为，故A正确； 如图根据抛物线的定义可知：，， 由，故B正确； 设，则， 同理可得：， 所以， 此时取到最小值，故C正确； 由上可得：，故D错误； 故选：ABC 例14．（多选题）（2026·高二·山西太原·期末）已知抛物线：与：，则下列结论正确的是（   ） A．与的焦点相同 B．与的离心率相同 C．与的准线相同 D．与的焦点到准线的距离相同 【答案】BD 【解析】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1. 抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1. 故选：BD. 例15．（多选题）（2026·高二·福建福州·期末）对于抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向右 B．对称轴为轴 C．焦点为 D．准线方程为 【答案】BD 【解析】由抛物线方程可知，其为开口向上的抛物线，故A错误； 对称轴为轴，故B正确； 由得，则焦点坐标为，故C错误； 准线方程为，故D正确. 故选：BD 变式16．（多选题）（2026·高二·宁夏固原·期末）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 【答案】AC 【解析】A、B，由已知得，，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为，故A正确、B错误； C，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故C正确； D，根据抛物线的方程可知，准线方程为，故D错误. 故选：AC. 变式17．（多选题）（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 【答案】BD 【解析】A，抛物线，设抛物线的焦点到准线的距离为，则， 故的坐标为，故A错误； B，设直线，联立，得， 方程的判别式，，， ，， 故，故B正确； C，因为， 所以时，弦的长度最小，最短弦的长度为4，故C错误； D，由，得，故D正确. 题型 6：抛物线范围与最值问题 例16．（2026·高二·四川成都·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，其焦点为，定点，动点在抛物线上，则的最大值为_____________. 【答案】 【解析】设，由抛物线方程，得焦点，准线， 点为准线与轴的交点，作于点， 则．， 则 ，当且仅当，即时取等号. 则的最大值为. 例17．（2026·高二·辽宁·期末）已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是________. 【答案】6 【解析】 抛物线准线方程为, 过点作抛物线准线的垂线，垂足为， 则， 当过圆心作抛物线准线的垂线时，三点共线时，且在线段上时， 最小，且. 故答案为：6. 例18．（2026·高二·陕西商洛·期末）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为________． 【答案】5 【解析】抛物线的焦点，准线方程为，如图所示： 设点M在准线上的射影为D， 由抛物线的定义知， 所以使得的最小值，则求的最小值， 当D，M，P三点共线时，最小，即点到准线的距离， 则最小值为. 故答案为：5. 变式18．（2026·全国·模拟预测）已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为________. 【答案】 【解析】设，则， 故当时，取最小值. 又由圆的切线性质可得此时. 故答案为： 变式19．（2026·高三·重庆·开学考试）已知是抛物线上的一个动点，，点到轴的距离为，且的最小值为4，则_______. 【答案】2 【解析】由抛物线定义，点到焦点的距离等于到准线的距离， 即，因此， 于是 根据三角形不等式，， 当且仅当 三点共线时取等号. 故， ， 两边平方： 整理得 变式20．（2026·高二·上海宝山·期末）已知曲线：（），曲线：（），若点为曲线的焦点，点、分别在曲线和上运动，则周长的最小值为________ 【答案】/ 【解析】如图所示： 由题意抛物线的焦点、圆的圆心均为， 如图： 作抛物线 的准线，， 过作的垂线，交于点,交于， 作出 ，它为圆的一部分， 在中令，则，其中为的端点， 过作的垂线，交于点,交于， 易得，又，（圆的半径）， 由抛物线的定义可得： ， 从而， 等号同时成立当且仅当分别与（或关于轴的对称点）重合， 所以当分别与重合时，周长有最小值，且最小值为. 故答案为：. 变式21．（2026·高二·陕西商洛·期末）已知函数，则函数的最小值为______. 【答案】 【解析】函数， 所以函数表示与两点间距离与点到直线的距离之和， 所以点在曲线上，曲线是抛物线在第一象限的部分以及坐标原点， 且抛物线的焦点为，准线方程为， 所以函数的最小值就是的最小值，因为， 当且仅当在线段上时等号成立，所以函数的最小值为. 故答案为：. 变式22．（2026·高二·山西·阶段检测）如图，是抛物线的焦点，点在上，点在圆的优弧上，且，则周长的最小值是____________． 【答案】17 【解析】由题可知圆的圆心与焦点重合． 过点作的准线的垂线，垂足为， 所以的周长为． 因为，所以， 所以周长的最小值是． 故答案为：17 题型 7：抛物线综合问题 例19．（2026·高二·上海黄浦·期末）若动点P满足到的距离等于到直线的距离，动点P的轨迹为曲线C，则求： (1)动点P的轨迹方程： (2)过点且与曲线C只有一个公共点的直线． 【解析】（1）根据抛物线的定义： 动点到定点的距离等于到定直线的距离， 因此曲线是以为焦点、直线为准线的抛物线. 设抛物线方程为， 由焦点坐标，得，即， 所以动点的轨迹方程为：. （2）设过点的直线为，分两种情况讨论： 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，与抛物线只有一个公共点，符合条件. 当直线斜率存在，设为，直线方程为，即， 联立抛物线方程，得：， 当直线与抛物线相切时，方程有且仅有一个解，判别式， 即， 解得，此时直线方程为. 综上，过点且与曲线只有一个公共点的直线为： 和 . 例20．（2026·高二·四川广安·阶段检测）已知椭圆的离心率为，抛物线的准线方程为． (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P．已知． （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围． 【解析】（1）因抛物线的准线方程为，且，则，解得， 又因椭圆的离心率为，则，代入，解得， 故椭圆C的方程为； （2）（ⅰ）（i）依题意可设直线l的方程为，，，． 联立，消元得， 显然，则，， 于是直线PM的方程为， 即， 其中， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ii） （ⅱ）因， 则 ， 因为，所以，则， 所以的取值范围为． 例21．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）已知抛物线：上的一点（）到的焦点的距离为，点，是上不同的两点． (1)求的方程； (2)若，求点到直线的距离的最大值． 【解析】（1）由抛物线的定义可得，解得，所以的方程为． （2）因为是上的一点，所以，解得，故． 设直线的方程为，，， 由，得， 所以，，． 因为，所以，即即， 化简得，所以，即， 所以直线的方程可化为，即， 故直线过定点，又， 所以点到直线的距离的最大值为． 变式23．（2026·高二·重庆·期中）已知平面内动点到点的距离与到直线的距离相等．记动点的轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点． (1)求轨迹的方程； (2)设点关于轴对称的点为，证明：直线恒过定点． 【解析】（1）∵平面内动点到点的距离与到直线的距离相等， ∴由抛物线的定义知，动点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线， ∴其轨迹方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，则. 由，得. 恒成立，， ∵不重合，∴，即， ∴直线的方程为， 即. ∴直线过定点. 变式24．（2026·高三·云南昭通·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线方程为，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点（异于原点O），抛物线在P，Q两点处的切线交于点T. (1)求抛物线C的标准方程； (2)证明：点T在定直线上； (3)在（2）的结论下，求此时的面积最小值，并求此时直线的方程. 【解析】（1）抛物线的准线方程为， 由题意可知，准线方程为，即，解得， 因此抛物线的标准方程为. （2）抛物线的焦点坐标为，设过的直线方程为， 直线与抛物线交点、坐标分别为、且， 联立直线方程和抛物线方程可得， 化简可得， 根据韦达定理可得，， 对抛物线求导可得， 因此在处的切线斜率为，则切线方程为， 因为在抛物线上，所以，代入可得， 同理可得在处的切线方程为， 联立两条切线方程可得，化简可得， 因为，所以解得，代入可得， 因为 ，所以，即点在定直线上. （3）， ， 因此， 设点到直线的距离为，，的方程为， ， 因此， 因为，所以当时，取到最小值1， 因此的最小值为， 此时直线的方程为. 变式25．（2026·高二·广东潮州·期末）已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上的一点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，若直线经过点，且与抛物线交于，两点，的面积为，求直线的方程． 【解析】（1）对于抛物线，准线方程为，根据抛物线的定义： 点到焦点的距离为，则， 故抛物线的方程为：. （2）求直线的方程 设直线的方程为，设, 联立直线与抛物线方程：，整理得：， 由韦达定理得：， 的面积：，其中， 因此：， 由弦长公式：， 的面积为，因此：， 整理得直线的方程为：或. 1．（2026·高二·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 2．（2026·高二·云南文山·阶段检测）设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得或， 不妨设， 因为， 所以， 即， 解得， 又因为抛物线的焦点坐标为，即. 3．（2026·高二·四川广安·阶段检测）已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，．若，则直线斜率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，，, 因为，由抛物线的定义知，① 作垂直轴，垂足为，作垂直轴，垂足为，则， 从而，得到，所以②，由①②解得， 因为在抛物线上，所以，解得， 则． 4．（2026·高二·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若直线的倾斜角为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 抛物线的焦点的坐标为， 直线的倾斜角为，故斜率，直线的方程为， 联立方程，得， 解得（舍去），，，所以， 直线的斜率， 所以直线的方程，即， 所以原点到直线的距离． 5．（2026·高二·河南周口·期末）已知抛物线C：（）的焦点为，直线：与抛物线在第一象限的交点为．若，则抛物线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立，得或（舍），则， 则，得， 则抛物线的方程为. 6．（2026·西藏日喀则·模拟预测）抛物线（）的准线被圆所截得的弦长为4，则（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】抛物线的准线方程为， 圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离， 所以直线被圆所截得的弦长为，解得． 7．（2026·高二·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上，且满足，，若线段中点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由抛物线定义可得的准线为， 则，， 由，得， 又中点纵坐标为，即，得， 联立，解得， 又因为在第一象限且在抛物线上， 所以，，得， 由两点距离公式，得， 代入，得． 8．（2026·陕西咸阳·模拟预测）过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，， 由，得，则， 所以抛物线在点处的切线方程为， 又，化简得， 同理得抛物线在点处的切线方程为， 又两切线相交于点，所以， 即点都在直线上，即直线的方程为， 因为点在直线上，代入得． 9．（2026·高三·河北衡水·期末）已知抛物线的焦点为，直线经过点交于两点，点在第一象限，点在轴上的射影为. 若的面积为8，则（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【解析】设点，则，解得，所以， 因此，所以直线， 与抛物线方程联立可得，即， 所以，， 所以， 因此，， 所以. 10．（多选题）（2026·高二·四川成都·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，为抛物线上一个动点，且，则（     ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与抛物线的准线相切 C． D．的最小值为3 【答案】AD 【解析】抛物线的焦点，， 选项A：过焦点的弦中，通径（垂直于对称轴的弦）长度最短，通径长为，因此最小值为4，A正确； 选项B：设中点为，由抛物线定义得，圆半径， 圆心到准线的距离为，故圆与准线不相切，B错误； 选项C：设过的直线方程为， 代入抛物线方程得，韦达定理得，， 因此，C错误； 选项D：由抛物线定义，等于到准线的距离， 因此，最小值为点到准线的距离，即， 所以的最小值为，D正确． 11．（多选题）（多选）设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若的面积为，则（   ） A． B．是等边三角形 C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为 【答案】BCD 【解析】因为以为半径的圆交于，两点，所以； 又，所以，， 可得为等边三角形，B正确； 过作交于， 则为的中点，的横坐标为，的横坐标为， 所以的横坐标为，代入抛物线可得，，的面积为， 即，解得， 所以抛物线的方程为，D正确； 焦点坐标为，所以焦点到准线的距离为，C正确； 此时点的横坐标为，所以，A不正确． 12．（2026·高二·上海·期中）过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有______条. 【答案】 【解析】过点且斜率不存在的直线，与抛物线无交点， 因此，直线斜率存在时，设直线，与联立， 得：， 当直线与抛物线只有一个公共点， 当时，，得：， 则直线方程为或与抛物线相切， 即此时与抛物线有且只有一个公共点； 当时，直线方程为， 轴与抛物线只有一个公共点， 则共三条直线与抛物线有且只有一个公共点. 13．（2026·高二·河南·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则___________ 【答案】 【解析】根据题意，点在抛物线上，则有，解得， 因此抛物线方程为，焦点， 如图所示，直线过焦点且与抛物线交于，则直线的斜率为，方程为， 联立，解得和，由于，所以， 根据过焦点的弦长公式，. 14．（2026·高二·云南玉溪·阶段检测）直线过点，且与抛物线交于，两点．若，则线段的中点到轴的距离是______． 【答案】3 【解析】由抛物线，得，即，准线方程为，焦点坐标为， 设，则，， 所以焦点弦长，已知，代入得， 中点的横坐标为，点到轴的距离等于横坐标的绝对值， 因此距离为. 15．过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为________． 【答案】6 【解析】由题知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得， 由，解得，或， 所以， 解得．当时，同理可得． 16．（2026·高二·上海·期中）已知抛物线，过点的直线交抛物线于. (1)求证：为定值； (2)求面积的最小值. 【解析】（1）设过点的直线方程为，设， 联立直线与抛物线方程： 消去得一元二次方程：， 由韦达定理得： ， 所以， 因此， 故为定值，得证. （2）因为，，，故， 所以， 由韦达定理， ，当（即）时，取得最小值， 即面积的最小值是. 17．（2026·高三·全国·二轮复习）已知抛物线：的焦点到直线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程. 【解析】（1）抛物线的焦点坐标为， 所以焦点到直线的距离为， 解得，则抛物线的标准方程为. （2）由题意设过点的直线方程为，设. 联立方程，消去得：， 所以，， 所以， 由弦长公式，. 原点到直线的距离为. 所以， 解得 ，即. 故直线方程为：或，即或. 18．（2026·高二·上海·期末）已知为抛物线的焦点，直线经过，且与相交于两点，过点的动直线与相交于两点． (1)求的值； (2)设为坐标原点，若的面积为，直线与轴交于点，证明：． 【解析】（1）由题意得抛物线的焦点为， 若过点，则有，解得， 故抛物线，准线方程为， 联立，得，则， 所以. （2）易得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，， 联立，得，则， ， ， 解得，当时，直线，令，则，即， 所以， 当时，直线，令，则，即， 所以， 综上，得证. 19．（2026·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点． （i）当点到直线的距离取得最大值时，求； （ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）设点为上任意一点，因为圆过点且与直线相切， 所以与点到直线的距离相等，故，整理得， 即的方程为． （2）（i）因为点是上的一点，所以，解得，即， 当点到直线的距离取得最大值时，有， 又，所以直线的斜率为，则直线的方程为， 设，由，得，所以， 所以． （ii）由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为， 由，得， 此时即即且, 又， 则直线的方程为， 令，得点的纵坐标为． 同理得点的纵坐标为． 由，得． 所以 ．即为定值2. 20．（2026·山东青岛·一模）已知抛物线，点为的焦点，是上任意不重合的两点，当直线过点且垂直轴时，. (1)求的方程； (2)若直线过点且的面积为，求的方程. 【解析】（1）设点，， 因为抛物线，所以. 当直线过点且垂直轴时，直线的方程为， 把代入可得， 故，所以，所以方程为. （2）由（1）可知，易知直线的斜率不为零，设直线方程为， 联立得， 则，， 所以， 又点到直线距离， 所以， 令，所以，所以，解得或， 所以直线方程为或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $