第7章 复数 单元测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一数学下单元测试卷 第7章 复数 一、单选题 1. 复数1+3i对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】求出复数在复平面内对应点坐标，进而求得答案. 【详解】复数对应的点在第一象限. 故选：A 2. 复数满足，则的虚部为（ ） A. -2 B.-2025i C. 2 D.-2025 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算结合共轭复数的定义得出的虚部. 【详解】因为， 所以， 所以，所以的虚部为. 故选：A 3. 设复数满足z（1-i）=1+i，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的除法化简复数，由此可得出复数的虚部. 【详解】，，因此，复数的虚部为. 故选：B. 4. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算即可求解. 【详解】由， 可得：， 故选：B 5. 已知i为虚数单位，复数z=（1+i）（2+i），复数的虚部为（ ） A. 1 B. 3 C. i D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算及复数的定义即可求解. 【详解】∵，∴复数的虚部为3. 故选：B. 6. 在复平面内，复数对应的向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数，进而求出模. 【详解】由复数对应的向量，则， 所以. 故选：A 7. 计算的结果是（ ） A. 2i B. -2i C. i D. -i 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简即可. 【详解】， 故选：B 8. 设复数z满足，则它的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C.-i D.i 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解． 【详解】， 复数的虚部为． 故选：B． 二、多选题 9. 设为复数，下面四个命题中，真命题的是（ ） A. 若互为共轭复数，则为实数 B. 对于复数，若，则 C. 对于复数，若，则 D. 复数z满足，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的乘法可判断A的正误，根据反例可判断BC的正误，根据复数的几何意义可判断D的正误. 【详解】设. 对于A，因为互为共轭复数，故， 故，故A正确； 对于B， 取， 则，同理， 但，故B错误； 对于C，仍取，则， 当不成立，故C错误； 对于D，由可得对应的点为圆周上的动点， 且该圆圆心为，半径为1，故的最大值为， 故D正确； 故选：AD. 10. 已知，是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由复数的概念、模长公式及代数形式的乘除运算逐个判断. 【详解】对于AB，设， 则，所以，故A错误； ，所以，故B正确； 考虑特例，，满足，显然不成立， C错误； 因为，所以，即， 所以，故D正确． 故选：BD 11. 关于复数，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. D. 若，则，中至少有一个是虚数 【答案】BCD 【解析】 【分析】取可判断A；根据复数的概念可判断B；根据复数的运算可判断C；利用反证法可判断D. 【详解】对于A，设，则,但，不能比较大小，故A错误； 对于B，因为，所以或，故B正确； 对于C，设， 则,. 又， 故，故C正确； 对于D，若，中全是实数，则，与矛盾， 故，中至少有一个是虚数，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12. 已知为虚数单位，，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用复数乘法及复数相等得，即可得. 【详解】由题设，则，可得. 故答案为： 13. 设，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的定义设的代数式，利用复数的加减运算结合模长计算可得到参数间的关系，再利用基本不等式可求得最值. 【详解】设，因为，即， 所以，则，解得 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 14. 已知复数在复平面内对应的点在第二象限，且，则___________.(写出满足条件的一个复数即可) 【答案】(答案不唯一). 【解析】 【分析】根据复数模的运算公式，结合复数在复平面内对应的点的特征进行求解即可. 【详解】设，，， 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，， 又因为，所以，显然当时，符合题意， 故答案为： 四、解答题 15. 已知复数． （1）求和； （2）若复数是关于的方程的一个根，求的值． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）利用复数的除法运算求出复数，再求其共轭复数和模长即可； （2）根据实系数方程的根的定义代入方程，利用复数相等得出的方程组，求解即可. 【小问1详解】 因复数， 则，. 【小问2详解】 因为是关于的方程的一个根， 所以，整理得：， 即， 故有，解得：，． 16. 设为实数，已知复数． （1）若对应的点在第一象限，求的取值范围； （2）若为实数，且与复数相等，求的值． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）由题设列出关于x的不等式组即可计算求解； （2）由复数相等得方程组，解方程组即可得解. 【小问1详解】 由对应的点在第一象限得，解得， 所以的取值范围是； 【小问2详解】 由得，即， 所以，解得或． 17. 已知为虚数单位，复数． （1）当实数取何值时，是纯虚数； （2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义列方程组求解即可； （2）当时，，再将其代入方程，利用复数相等列方程组，解得参数即可. 【小问1详解】 若复数z是纯虚数，则， 解得， 所以得. 小问2详解】 当时，， 把代入方程， 得， 整理得，， 所以，解得. 18. 已知复数，根据下列条件求实数的值． （1）是实数； （2）是纯虚数； （3）在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】（1）1或2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，根据复数的概念列式即可求解； （2）根据复数的概念列式即可求解； （3）根据复数的几何意义列式即可求解. 【小问1详解】 由题意 ， 若是实数，则，解得或 【小问2详解】 若是纯虚数，则，解得； 【小问3详解】 若在复平面内对应的点在第二象限，则，解得. 19.已知复数，，其中． （1）若，且为纯虚数，求复数； （2）若为虚数，为实数，且，求实部的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义来确定复数； （2）先设出的表达式，再根据为实数得出相关等式，最后结合的取值范围求出实部的取值范围． 【小问1详解】 已知，则． 根据复数乘法法则展开可得：  ， 因为为纯虚数，根据纯虚数的定义，可得． 解得．所以． 【小问2详解】 设（，且）． 则． 可得：． 所以． 因为为实数，所以虚部为，即． 因为，可得，即． 此时． 又因为，即，可得． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下单元测试卷 第7章 复数 一、单选题 1. 复数1+3i对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 复数满足，则的虚部为（ ） A. -2 B.-2025i C. 2 D.-2025 3. 设复数满足z（1-i）=1+i，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知i为虚数单位，复数z=（1+i）（2+i），复数的虚部为（ ） A. 1 B. 3 C. i D. 6. 在复平面内，复数对应的向量，则（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果是（ ） A. 2i B. -2i C. i D. -i 8. 设复数z满足，则它的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C.-i D.i 二、多选题 9. 设为复数，下面四个命题中，真命题的是（ ） A. 若互为共轭复数，则为实数 B. 对于复数，若，则 C. 对于复数，若，则 D. 复数z满足，则的最大值为 10. 已知，是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 关于复数，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. D. 若，则，中至少有一个是虚数 三、填空题 12. 已知为虚数单位，，若，则__________. 13. 设，且，则的最小值为__________. 14. 已知复数在复平面内对应的点在第二象限，且，则___________.(写出满足条件的一个复数即可) 四、解答题 15. 已知复数． （1）求和； （2）若复数是关于的方程的一个根，求的值． 16. 设为实数，已知复数． （1）若对应的点在第一象限，求的取值范围； （2）若为实数，且与复数相等，求的值． 17. 已知为虚数单位，复数． （1）当实数取何值时，是纯虚数； （2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 18. 已知复数，根据下列条件求实数的值． （1）是实数； （2）是纯虚数； （3）在复平面内对应的点在第二象限． 19.已知复数，，其中． （1）若，且为纯虚数，求复数； （2）若为虚数，为实数，且，求实部的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $