精品解析：山东省淄博市沂源县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

初三数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式计算正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A．、不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意． B．2与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意． C．，故选项正确，符合题意． D．不能化为2，不能化为，不能提公因数化简，故选项错误，不符合题意． 故选C 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式再把被开方数相同的二次根式进行合并．解答此题的关键是，合并方法为系数相加减，根式不变． 2. 下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，其中一元二次方程的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】依据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】①当a＝0时，ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程； ②x2+ =6＝6是分式方程，不是一元二次方程； ③x2＝0是一元二次方程； ④x＝3x2是一元二次方程； ⑤（x＋1）（x−1）＝x2＋4x，整理后不含x的二次项，不是一元二次方程． 故选A． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3. 已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当且时，四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，菱形，矩形，正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，故A正确， 四边形是平行四边形，， 不能推出四边形是菱形，故错误， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，故C正确， 四边形是平行四边形，，， 四边形是正方形．故D正确． 故选B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形，正方形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 4. 如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出③正确；即可得出结果． 【详解】∵∠DAE＝∠BAC， ∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意， 当时， ∵∠B不一定等于∠AED， ∴△ADE与△ACB不一定相似，故②不符合题意， 当时，△ADE∽△ACB．故③符合题意， 综上所述：使△ADE与△ACB一定相似的是①③， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键 5. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ） A. 2 B. -2 C. 2a-6 D. -2a+6 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴即可确定a的范围，然后根据绝对值和二次根式的性质得出，，再化简即可． 【详解】解：根据数轴可以得到： ， ∴，， ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，以及绝对值的性质，得出，是解题的关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A. （﹣3，﹣1） B. （﹣1，2） C. （﹣9，1）或（9，﹣1） D. （﹣3，﹣1）或（3，1） 【答案】D 【解析】 【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点B′的坐标． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小， ∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 7. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解： ，即， ， 解得： 故选：D． 8. 定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．因此，；按照这个规定，若，则的值是（ ） A. －1 B. －1或 C. D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：当x>0时，有，解得， (舍去)， x<0时，有，解得，x1=−1，x2=2(舍去)． 故选B. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握新定义以及掌握因式分解法以及公式法解方程的方法步骤，掌握降次的方法，把二次化为一次，再解一元一次方程． 9. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案． 【详解】解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称， ∴AP＝CP， 即AP+PE＝CE，此时AP+PE的值最小， 所以此时△PAE周长的值最小， ∵正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1， ∴∠ABC＝90°，BE＝4﹣1＝3， 由勾股定理得：CE＝5， ∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质与轴对称——最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型. 10. 如图，在矩形中，，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，直线分别交、于点、，连接、．给出下面四个结论： ①； ②四边形是菱形； ③； ④． 其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质，垂直平分线的性质，两直线平行内错角相等，全等三角形的判定及性质，菱形的面积公式以及三角形外角的性质判断即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，故①正确， 如图，设与交于点， ， 由题意得垂直平分， ，，，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形，故②正确， ，， ，故③错误， ， ， ，故④正确， 综上所述，①②④正确． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 当时，二次根式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．把代入求解即可． 【详解】解：将代入 可得：， 故答案为：． 12. 三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________． 【答案】17 【解析】 【分析】先利用因式分解法求解得出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案． 【详解】解：解方程得x1=2，x2=6， 当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去； 当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17. 故答案为：17． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 13. 阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据题意，，是两个不相等的实数，且满足，，则可将，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入、的值计算即可求解． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 14. 如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是______． 【答案】△CDB． 【解析】 【分析】连接BC、BD，由正方形的性质得出∠BCD=∠QOP，由勾股定理得：OP=BC=，证出，得出△OPQ∽△CDB即可． 【详解】与△OPQ相似的是△BCD；理由如下： 连接BC、BD，如图所示： 则∠BCD=90°+45°=135°=∠QOP， 由勾股定理得：OP=BC=， ∵OQ=2，CD=1， ∴， ∴△OPQ∽△CDB； 故答案为△CDB． 15. 如图，正方形的边长是16，点在边上，，点是边上不与点、重合的一个动点，把沿折叠，点落在处，若恰为等腰三角形，则的长为______． 【答案】16或 【解析】 【分析】根据翻折的性质，可得B’E的长，根据勾股定理可得CE的长，然后再根据等腰三角形的判定进行分情况讨论． 【详解】解：在正方形ABCD中，DC=16，若恰为等腰三角形，需分三种情况讨论： （1）若，如图， 则（易知此时点在上且不与点、重合）； （2）若，如图， 因为，， 所以点、在的垂直平分线上，则垂直平分，由折叠可知点与点重合，不符合题意，则这种情况不成立； （3）如图， 若，作与交于点，交于点． 因为， ； ， ， ， ， ， 在中， ， ， 在中， ， 综上，或． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题关键． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2）用公式法解方程： 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算； （2）用公式法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：方程整理可得， ，，， ， 则， ，． 17. 阅读材料，解答下列问题： 如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 如： （1）请用上面的方法化简：． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）2026 【解析】 【分析】（1）利用题目所给的方法进行分母有理化； （2）将化简后代入计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 19. 综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目准备】 数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况． 知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式． 工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 【答案】（1）该款迷你无人机的月平均增长率为； （2）每架迷你无人机的售价应降低20元． 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据2025年11月的销售量2026年1月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设每架迷你无人机降价y元，根据利润每架的利润销售量建立方程，解方程可得y的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【小问1详解】 解：设该款迷你无人机的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每架迷你无人机降价y元，则每天能销售架， 由题意得， 整理得， 解得，． 需要尽量减少库存， ． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 20. 已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为的中点， ∴， ∴； （2） 当时，四边形是正方形． 理由如下： ∵点E，O，F分别为的中点， ∴，， 又，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，利用证明即可； （2）菱形的性质和中位线定理，得到，得到四边形是菱形，再根据，得到，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握菱形的性质． 21. 在《数书九章》（宋・秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点、、在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端．根据以上信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为18.2米． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的实际应用．如图，过作于，交于，可得，证明，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，交于， 则，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）． 22. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： ［观察与猜想］ （1）如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、、，则的值为__________． （2）如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接、，且，则的值为__________________． [类比探案] （3）如图③，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：如图，过点作交的延长线于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，，再根据直角三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，得到答案． （2）先根据矩形的性质得到，再根据直角三角形的性质得到，然后根据相似三角形的判定与性质得到． （3）先根据矩形的判定与性质可得，，再根据直角三角形的性质得到，从而证明三角形相似，得到证明． 【小问1详解】 解：如图， 设与的交点为， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为． 【小问2详解】 如图， 设与交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与定理，利用相似三角形的判定与性质，得到相应线段的比例关系是解答本题的关键． 23. 如图1，在中，，，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． （1）问题发现 当时，______；当时，______． （2）拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决 绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长______． 【答案】（1）； （2） 没有， 证明：如图， 当时，的大小没有变化， ， ， ， ， ； （3）满足条件的的长为或 【解析】 【分析】（1）当时，在Rt中，勾股定理，可求的长，然后根据点分别是边的中点，分别求出的大小，即可求出的的值；当时，可得，然后根据，可求的值； （2）首先判断出，再根据，判断出，然后由相似三角形的对应边成比例，可求解； （3）分两种情形：当点在的延长线上时；当点在线段上时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：当时， Rt中，， ， 点分别是边的中点， ，， ， 故答案为：； 如图， 当时，可得， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当点在的延长线上时， 在Rt中，，， ， ， ， ； 如图，当点在线段上时， 在Rt中，，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式计算正确的是（　　　） A. B. C. D. 2. 下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，其中一元二次方程的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当且时，四边形是正方形 4. 如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 5. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ） A. 2 B. -2 C. 2a-6 D. -2a+6 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A. （﹣3，﹣1） B. （﹣1，2） C. （﹣9，1）或（9，﹣1） D. （﹣3，﹣1）或（3，1） 7. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．因此，；按照这个规定，若，则的值是（ ） A. －1 B. －1或 C. D. 1或 9. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在矩形中，，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，直线分别交、于点、，连接、．给出下面四个结论： ①； ②四边形是菱形； ③； ④． 其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 当时，二次根式的值是______． 12. 三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________． 13. 阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 14. 如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是______． 15. 如图，正方形的边长是16，点在边上，，点是边上不与点、重合的一个动点，把沿折叠，点落在处，若恰为等腰三角形，则的长为______． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2）用公式法解方程： 17. 阅读材料，解答下列问题： 如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 如： （1）请用上面的方法化简：． （2）若，求的值． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 19. 综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目准备】 数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况． 知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式． 工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 20. 已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 21. 在《数书九章》（宋・秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点、、在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端．根据以上信息，求塔的高度． 22. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： ［观察与猜想］ （1）如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、、，则的值为__________． （2）如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接、，且，则的值为__________________． [类比探案] （3）如图③，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：． 23. 如图1，在中，，，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． （1）问题发现 当时，______；当时，______． （2）拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决 绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $