精品解析：山东省淄博市沂源县2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制）

2024-2025学年山东省淄博市沂源县八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的值是（    ） A. 1 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式的求值，由比例关系设参数k，将x、y、z用k表示，代入分式化简即可. 【详解】解：设，则，，， 代入分式： 分子：， 分母：， ∴； 故选：B 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用二次根式的运算方法进行逐一计算、辨别． 【详解】A选项：，故A选项计算正确； B选项：，故B选项计算正确； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选：D 【点睛】此题考查了二次根式的运算能力，关键是能准确运用计算法则进行计算． 3. 如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．故选C． 考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质． 4. 已知点在第三象限内，化简的结果是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，点的坐标，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据各象限内点的坐标特征易得，，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：点在第三象限内， ，， ， 故选D． 5. 如图，下列四个三角形中，与相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据两角对应相等或者三边成比例、夹角相等，两边成比例等方法证明相似，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ A、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； B、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； C、两边成比例，夹角相等，故该选项是正确的； D、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； 故选：C 6. 如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质．由四边形的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理知，只需添加条件是邻边相等． 【详解】解：∵四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴要使四边形是菱形，需添加或， 故选：C． 7. 山农酥梨是山东农业大学培育的优质晚熟水果，这种梨皮薄、酥脆、甘甜，抗氧化，营养丰富，2022年这种梨在我县的年产量约为1万吨，截止到2024年底，三年总产量约为万吨，求三年中该梨的年平均增长率．设山农酥梨产量的年平均年增长率为x，则可列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及平均增长率问题，根据题意，三年的总产量由初始年产量及后续两年的增长产量组成，建立相应的方程即可. 【详解】解：设年平均增长率为，则： 2022年产量为1万吨； 2023年产量为万吨； 2024年产量为万吨； ∴， 综上，正确答案为C； 故选：C 8. 如图，中，，有三个正方形、、，它们分别是、和的内接正方形，，，则第三个正方形的边长的长（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，正方形的性质，得到是解题的关键．先由相似三角形的判定可得，再由相似三角形的性质可得，然后将已知条件代入，即可求得的长度． 【详解】解：∵正方形、、， ∴，，，， ， ， ∴， 设正方形的边长为， ∴，，， ∴， 解得， 故选：D． 9. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上， OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是【 】 A. （－2，3） B. （2，－3） C. （3，－2）或（－2，3） D. （－2，3）或（2，－3） 【答案】D 【解析】 【详解】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一 条直线上，那么这两个图形叫做位似图形．把一个图形变换成与之位似的图形是位似变换．因此， ∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC． ∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴位似比为：． ∵点B的坐标为（－4，6），∴点B′的坐标是：（－2，3）或（2，－3）．故选D． 10. 如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC、BE、DO，且DO与AC交于点F．则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF∶AD＝2∶5；④S四边形AFOE∶S△COD＝2∶3．其中结论正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的判定、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可． 【详解】解：如图，四边形是平行四边形， ，， 垂直平分， ，， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故①正确； ，， ， ，故②正确； ， ， ， 故③错误． 设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积的面积， 四边形的面积为，的面积为， ．故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 请你写出一个有一根为1的一元二次方程：_____．（答案不唯一） 【答案】x2＝1 【解析】 【分析】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可． 【详解】解：根据题意x＝1得方程式x2＝1． 故答案为：x2＝1（答案不唯一） 【点睛】本题属于开放性试题，主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握.可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如(y-1)(y+2) =0， 后化为一般形式为y2+y-2=0. 12. 某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度之比是黄金比（约等于0.618）．已知，则约是________（结果保留整数）． 【答案】49 【解析】 【分析】根据题意列出比例式即可解答． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， 故答案为：49． 【点睛】本题考查了黄金分割问题，解题关键是根据题意正确列出比例式． 13. 如图，是中边上一点，连接，有如下条件：①，②，③，④，其中能判定的条件是________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由图可得△APC和△ACB已经有一个公共角∠A，再根据相似三角形的判定方法依次分析各小题即可判断. 【详解】由图可知，∠A为△ACP和△ABC的公共角， ①∠ACP=∠B，符合两角对应相等，两三角形相似，故①正确； ②∠APC=∠ACB，符合两角对应相等，两三角形相似，故②正确； ③由AC2=AP•AB可得，符合两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，故③正确； ④，∠A与∠BCP不一定相等，不能判定两三角形相似，故④错误， 所以能判定△ACP∽△ABC的条件是①②③， 故答案为①②③. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似. 14. 代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，分式有意义即分母不为0，由此计算即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 【详解】解：依题意有且， 解得. 故答案为： 15. 如图，，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为______． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】此题考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理的应用等，根据折叠可得，，，，，然后推导出是等腰直角三角形，进而求得，， ，从而求得，，在中，由勾股定理即可求得的长，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】先整理方程为，再利用因式分解法解方程即可． 本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握利用因式分解解方程是解题的关键． 【详解】解：， 整理得， ， ， 17. 如图所示，菱形的对角线，时，求菱形的边长和面积． 【答案】边长为，面积为2 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理列式计算即可求出边长AB，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可． 本题考查了二次根式的应用，菱形的对角线互相垂直平分的性质以及菱形的面积等于对角线乘积的一半的求法． 【详解】解：在菱形中，， ， ， 根据勾股定理，； 面积为： 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， （1）求k的取值范围； （2）若，求方程的根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用根与系数的关系得到，由于，于是可求出k的值，则原方程化为，然后利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得， 即k的取值范围为； 【小问2详解】 根据根与系数的关系得， ， ， 解得， ， 符合题意， 原方程化为， 解得，． 19. 阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC． 【答案】窗口底边离地面的高为． 【解析】 【分析】因为光线AE、BD是一组平行光线，即AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，则有，从而算出BC的长． 【详解】∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即窗口底边离地面的高为． 【点睛】本题考查了相似的三角形在实际生活中的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键. 20. 我县地处鲁中山区腹地，这里山清水秀，土质肥沃，气候独特，为大樱桃的生长提供了得天独厚的条件，其中燕崖镇已经发展为全国种植大樱桃面积最大的乡镇之一，我县大樱桃通过网络直播和电商平台销售到全国各地，某商户在抖音平台上直播带货，销售我县所产大樱桃，成本价为50元/箱．直播后，按每箱70元销售，第一天卖出了80箱． （1）若第三天的销售利润为2500元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率； （2）若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10箱．求当售价定为多少时，日销售利润为1950元？ 【答案】（1） （2）售价应定为65元或63元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二天、第三天日销售利润的平均增长率为x，根据第三天的销售利润为2500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设应降价y元，则售价为元，日销售量为箱，根据日销售利润为1950元，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设第二天、第三天日销售利润的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：第二天、第三天日销售利润的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设应降价y元，则售价为元，日销售量为箱， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，； 当时，； 答：售价应定为65元或63元． 21. 如图①，在中，，于点，点是边上一点，连接并交于．交边于点． （1）求证：； （2）如图②，当O为边的中点，时，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用等角的余角相等求得，，即可证明； （2）作，交的延长线于，推出，证明．再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作，交的延长线于． ∵，即，是边的中点， ∴． 由（1）有， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又，． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图所示的一张矩形纸片（），将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，与交于点,分别连结和．在线段上是否存在一点，使得？若存在，请说明点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． 【答案】存在． 过作交于，则就是所求的点， 当顶点与重合时，折痕垂直平分， ，， ∵矩形中，， ， ， ， 四边形是菱形． ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过作交于，则就是所求的点，首先证明四边形是菱形，然后证明，得到 ，推出，由，即可得到结论． 【详解】略 23. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135° （1）求证：△PAB∽△PBC （2）求证：PA=2PC （3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）结合题意，易得∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，然后由∠APB=∠BPC=135°即可证明△PAB∽△PBC； （2）根据（1）中△PAB∽△PBC，可得，然后由△ABC是等腰直角三角形，可得出，易得PA=2PC； （3）过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，首先由Rt△AEP∽Rt△CDP得出，即，再根据△PAB∽△PBC可得出，整理即可得到. 【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC 又∠APB=135°， ∴∠PAB+∠PBA=45°， ∴∠PBC=∠PAB， 又∵∠APB=∠BPC=135°， ∴△PAB∽△PBC； （2）∵△PAB∽△PBC， ∴， 在Rt△ABC中，AC=BC， ∴, ∴ ∴PA=2PC； （3） 过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E， ∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°， ∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°, 又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90° ∴∠EAP=∠PCD， ∴Rt△AEP∽Rt△CDP， ∴，即，∴ ∵△PAB∽△PBC， ∴ 即. 【点睛】本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，其中第（3）问有一定难度，通过作辅助线构造出Rt△AEP∽Rt△CDP是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省淄博市沂源县八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的值是（    ） A. 1 B. 5 C. 4 D. 3 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 已知点在第三象限内，化简的结果是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，下列四个三角形中，与相似的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 7. 山农酥梨是山东农业大学培育的优质晚熟水果，这种梨皮薄、酥脆、甘甜，抗氧化，营养丰富，2022年这种梨在我县的年产量约为1万吨，截止到2024年底，三年总产量约为万吨，求三年中该梨的年平均增长率．设山农酥梨产量的年平均年增长率为x，则可列方程为（    ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，有三个正方形、、，它们分别是、和的内接正方形，，，则第三个正方形的边长的长（    ） A. B. C. D. 9. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上， OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是【 】 A. （－2，3） B. （2，－3） C. （3，－2）或（－2，3） D. （－2，3）或（2，－3） 10. 如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC、BE、DO，且DO与AC交于点F．则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF∶AD＝2∶5；④S四边形AFOE∶S△COD＝2∶3．其中结论正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 请你写出一个有一根为1的一元二次方程：_____．（答案不唯一） 12. 某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度之比是黄金比（约等于0.618）．已知，则约是________（结果保留整数）． 13. 如图，是中边上一点，连接，有如下条件：①，②，③，④，其中能判定的条件是________（填序号）． 14. 代数式有意义，则x的取值范围是______． 15. 如图，，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： 17. 如图所示，菱形的对角线，时，求菱形的边长和面积． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， （1）求k的取值范围； （2）若，求方程的根． 19. 阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC． 20. 我县地处鲁中山区腹地，这里山清水秀，土质肥沃，气候独特，为大樱桃的生长提供了得天独厚的条件，其中燕崖镇已经发展为全国种植大樱桃面积最大的乡镇之一，我县大樱桃通过网络直播和电商平台销售到全国各地，某商户在抖音平台上直播带货，销售我县所产大樱桃，成本价为50元/箱．直播后，按每箱70元销售，第一天卖出了80箱． （1）若第三天的销售利润为2500元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率； （2）若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10箱．求当售价定为多少时，日销售利润为1950元？ 21. 如图①，在中，，于点，点是边上一点，连接并交于．交边于点． （1）求证：； （2）如图②，当O为边的中点，时，求的值． 22. 如图所示的一张矩形纸片（），将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，与交于点,分别连结和．在线段上是否存在一点，使得？若存在，请说明点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． 23. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135° （1）求证：△PAB∽△PBC （2）求证：PA=2PC （3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $