第二十五章《一元二次方程》暑假单元自测卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级《一元二次方程》，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合航天、大冬会等时代情境，适配暑假复习，强化数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|方程定义、系数、根与系数关系|基础概念辨析，如第3题考查根与系数关系| |填空题|4题12分|几何应用（切正方形做方盒）、新定义运算|第13题结合新运算规则，培养抽象能力| |解答题|58分|增长率问题（航天纪念品、吉祥物销售）、几何与方程综合（篱笆围花圃、动点问题）、创新定义（理想方程）|第19题航天情境、20题大冬会素材，强化模型意识；24题动点问题融合几何与方程，提升推理能力|

第二十五章《一元二次方程》单元自测卷 注意事项： 1.本次考试是数学，60分钟完成。数学满分100分。 2.考试范围：九年级数学第二十五章 第一部分 选择题(共30分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 一、单选题 1．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 2．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 3．若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A．2 B．8 C．4 D．16 5．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 7．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 8．某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 9．若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 第二部分 非选择题 (共70分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 11．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 12．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 14．已知，是方程的两个根，则_______． 三、解答题（共58分） 15．解下列方程： (1) (2) 16．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 17．（1）解方程①    ② （2）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支． 18．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 19．为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 20．第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 21．月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 22．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 23．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 24．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章《一元二次方程》单元自测卷 注意事项： 1.本次考试是数学，60分钟完成。数学满分100分。 2.考试范围：九年级数学第二十五章 第一部分 选择题(共30分) 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 【答案】D 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 2．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3．若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系求出的值，再根据可得答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 4．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A．2 B．8 C．4 D．16 【答案】C 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 5．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原方程为， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 由完全平方公式整理得． 6．已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，方程的根可使方程左右两边相等将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得， ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 7．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 8．某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售量”的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件商品降价元， ∴降价后每枚徽章的盈利为元， ∵每降价元平均每天可多售出枚， ∴降价元后，每天的销售量为枚， 又∵平均日盈利为元， ∴可列方程为． 9．若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】利用一元二次方程有解的条件，即判别式，结合平方数的非负性求出的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：一元二次方程有解， 判别式， 其中，，代入得， ， 对任意实数，都有， ，结合，得， 解得， 将代入原方程，得， 整理为， 解得， 所以该方程的解是和． 10．若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 第二部分 非选择题 (共70分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 11．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 12．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 14．已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】12 【分析】根据一元二次方程根的定义，可得，满足方程，由此求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：因为，是方程的两个根， 将代入方程得， 整理得 ． 将代入方程得 ，整理得． 将，代入所求代数式 得： ． 三、解答题（共58分） 15．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：移项得， 提取公因式得：， ∴， 即，， 解得：，． （2）解：对于方程，其中，，， ∴判别式， ∴， ，． 16．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 17．（1）解方程①    ② （2）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支． 【答案】（1）① ；②，；（2）每个支干长出9个小分支 【分析】此题考查了一元二次方程的解法与实际应用； （1）①用因式分解法求解即可； ②利用公式法求解方程即可； （2）由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，所以支干有x个，小分支共有个，根据“主干、支干和小分支的总数是91”即可列方程，再解方程即可求解． 【详解】解：（1）①， ， ， 或 解得，； ②， ，，，， ∴ ∴，； （2）由题意设每个支干长出x个小分支，则支干有x个，小分支共有个， 由题意得：， 整理得， 解得，（舍去）， 即每个枝干长出9个小分支． 18．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 19．为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)售价应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程并求解，结合实际即可获得答案； （2）设降价元，则单件利润为元，每日销量为件，根据题意列出一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意，可得， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴， 答：月平均增长率为； （2）解：设降价元，则单件利润为（元），每日销量为（件）， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，， 要求尽快减少库存，选择降价更多的，降价元， 答：售价应降低20元． 20．第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 【答案】 【分析】先设月平均增长率为，根据4月和6月的销售量列出方程，即可求解． 【详解】解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， ∴． 答：吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 21．月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案． （2）设最小数为，最大数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． 22．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 【答案】(1)米 (2)花圃的长为9米，宽为5米 (3)解：不能围成面积为的花圃，理由如下： 当花圃的面积刚好为时， ， 化简得：， ∴， ∴该方程没有实数解， ∴不能围成面积为的花圃． 【分析】（1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【详解】（1）解：∵宽米， ∴长（米）； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， 当时，长，不合题意，舍去； 当时，长，符合题意； 答：花圃的长为9米，宽为5米． （3）略 23．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)当或时，方程是理想方程 (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． 24．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $