第二十五章 一元二次方程（暑假单元自测）新九年级数学新教材人教版

**基本信息** 人教版初中数学第二十五章一元二次方程单元卷，90分钟120分，24题覆盖选择、填空、解答，考点全面，结合足球赛、利润计算等实际情境，注重基础与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、增长率、根的判别式|足球赛单循环赛制（题7）体现模型意识| |填空题|6/18|韦达定理、几何图形方程、利润问题|通道问题（题12）考查几何直观与方程应用| |解答题|8/72|新定义“纠缠方程”“师梅方程”、韦达定理应用|青团销售（题22）、阅读探索（题23）培养应用意识与推理能力|

第二十五章 一元二次方程 单元自测卷 【新教材，人教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可． 【详解】解：∵选项A：中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A不符合要求； ∵选项B：未说明，当时，方程不是一元二次方程，∴B不符合要求； ∵选项C：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，∴C符合要求； ∵选项D：含有两个未知数，是二元一次方程，∴D不符合要求． 2．某超市2019年的销售利润是100万元，计划到2021年利润要达到144万元，若设每年平均增长率是，则可得方程（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得，. 3．用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式与求根公式，通过对比题干给出的根的表达式，反推方程的二次项系数、一次项系数和常数项即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为， 又∵题干中方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴此一元二次方程的一般形式为， ∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：． 4．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：根据题意，得， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故选：A． 5．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，结合“有两个不相等的实数根”可得根的判别式大于0，据此求出a的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，因此方程是一元二次方程， ∴， 对于一元二次方程 ，，代入得： ， 由得 ，解得， 由得， 因此a的取值范围是且， 结合选项，只有B选项的满足该范围. 6．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 7．足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据单循环赛制的比赛场次规律，设出球队数量，列方程求解，舍去不合题意的负根即可求出答案． 【详解】单循环赛制中每两支球队之间只进行一场比赛，总比赛场数为28场， 设参加比赛的球队数量是，列方程 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ，． 球队数量为正整数， （舍去）， ． 参加比赛的球队数量是8． 8．如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【详解】解：①∵四边形是矩形，分别为边的中点， ∴，， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴的长可以是，故①正确； ②设，则， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴， ∴的长为，故②错误； ③∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有个， 故选：． 9．已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，分别求得和的值即可． 【详解】解：因为是一元二次方程的根，可得 ． 变形，得 ． 由一元二次方程根与系数的关系，得 ． 所以． 10．对于一元二次方程，下列判断正确的是（    ） A．若是该方程的一个根，则一定有成立； B．若，则方程有一根为； C．若该方程的解为和x，则方程的解是或 D．当，，时，方程一定有实数根； 【答案】D 【分析】A．将代入方程判断即可； B．将变为，将代入方程可得，即方程有一根为； C．根据解为和可将原方程化为，展开后可知，，代入求解即可； D．根据不等式的性质得到，则，判断判别式的正负即可． 【详解】解：对选项A：∵是方程的根，代入方程得，整理得，∴或，并非一定满足，故A错误． 对选项B：∵，移项得，将代入方程得，∴方程有一根为，不是，故B错误． 对选项C：∵原方程的解为和，则原方程可写为，展开得，即，，代入新方程得：，，整理得，解得或，与选项结论不符，故C错误． 对选项D：∵，，∴，可得，又∵，∴，方程判别式，∴方程一定有实数根，故D正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的含义，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】把代入原方程得：， 整理得， 即， 解得． 12．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 【答案】 【分析】根据草坪的总面积为长为，宽为的长方形的面积，列出方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 13．已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 【答案】 【分析】对于第一空 ，根据单项式乘以多项式的运算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，根据方程的解的定义推出，再由可得答案；对于第二空，由根与系数的关系得到，再根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解： ， ∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； ∵m、n是方程的两个根， ∴， ∴ ． 14．一元二次方程 的两根为，则 的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到及的值，代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， ∴． 15．已知关于的方程（、、为常数，）的解是，，那么方程的解为_______． 【答案】， 【分析】将所求方程变形后，利用整体换元思想，结合已知原方程的解得到关于x的一次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解是，， ∴或， 解得，． 16．某商城在元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．市场调研表明：当每个商品的售价为20元时，平均每天能够售出40个，当每个商品的售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的售价应为___________元，最大利润是___________元． 【答案】 19 250 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握根据利润、售价、销售量的关系构建二次函数模型，利用二次函数的性质求最值是解题的关键． 设每个商品降价元，根据售价、利润、销售量的关系得到总利润的二次函数，结合售价不低于进价的条件，求二次函数的最大值，进而得到售价和最大利润． 【详解】解：设每个商品降价元，则售价为元， 由售价不低于进价，得，解得， 每个商品的利润为元， 每天销售量为个， 总利润， 化简得， 二次项系数， 有最大值， 当时，取最大值， 此时售价为元， 元， 故答案为：19，250． 三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分） 17．解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 移项得：， 提公因式得：， 可得：或， 解得：，； （2）解：， 分解因式得：， 可得：或， 解得：，． 18．某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 【答案】这两日定制量的日平均增长率是 【详解】解：设这两日定制量的日平均增长率是x．由题意得：      解得：，（不合题意舍去）     答：这两日定制量的日平均增长率是． 19．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． (1)判断一元二次方程是否为“纠缠方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程为“纠缠方程”，证明：为“纠缠方程”的根； (3)已知是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 【答案】(1)一元二次方程不是“纠缠方程”，理由见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“纠缠方程”的定义判断即可； （2）根据“纠缠方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“纠缠方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项n用含m的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于m的一元二次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程不是“纠缠方程”． 理由如下：∵， ∴，即． ∵，，， ∴，即． ∴一元二次方程不是“纠缠方程”； （2）证明：∵关于x的一元二次方程为“纠缠方程”， ∴． ∴，即． 因式分解，得， 解得，． ∴为“纠缠方程”的根； （3）解：∵是关于x的“纠缠方程”， ∴，即． ∴． ∵m是该“纠缠方程”的一个根， ∴． 整理方程，得， 解得，． ∴m的值为或． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由（1）知，则原方程变为， 设这个方程的两个根是，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】(1)证明：由题意得：， 则：， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等的实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 22．2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成A，B两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），A礼盒中有个肉松青团，B礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，A，B两种礼盒的销量分别为盒、盒，A，B两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 【答案】(1)每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元 (2)6 【分析】（1）设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元，根据“6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元”列方程求解即可； （2）降价后，肉松青团单价为元，红豆青团单价为元，则每盒A礼盒有个肉松、个红豆，单盒价格为；每盒B礼盒有个红豆、个肉松，单盒价格为；根据“A，B两种礼盒的销售总额为4100元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元， 由题意得： 解得， ∴每个红豆青团的价格为（元）， 答：每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元； （2）解：由题意得，降价后，肉松青团单价为（元），红豆青团单价为（元）， 则每盒A礼盒：个肉松、个红豆，单盒价格为； 每盒B礼盒：个红豆、个肉松，单盒价格为； 根据题意，得 解得，（不符合实际，舍去）， 即m的值为6． 23．【阅读与探索】 弗朗索瓦·韦达（，）是16世纪法国数学家，他是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，被誉为“代数学之父”．他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系．对于一般形式的一元二次方程，如果方程的两根为、，则，．特别地，当二次项系数时，方程可化为，此时根与系数的关系式变得更加简洁：，．这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”也被称为“根与系数的关系”． 根据以上材料回答以下问题： (1)两个数的和为8，积为9.75，求这两个数．在解决这个问题时，可以这样思考： 设这两个数为、，则，．由此可根据韦达定理，构造一个以、为根的一元二次方程，此方程（一般式）为___________． (2)解（1）中所列方程； (3)设实数、、满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据根与系数的关系即可写出方程； （2）利用因式分解法即可求解； （3）由条件可得，可看作是一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程的判别式即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，一元二次方程的根与系数的关系式为：，， ∵，， ∴，， ∴一元二次方程为． （2）解：， ∴， ∴， ∴，． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，可看作一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 令， 当时，， ∴， 解得，， ∴的解集为，即的取值范围． 24．新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)①；②0 (3) 【分析】（1）由“师梅方程”的定义，逐一判断即可； （2）①根据题意可知该一元二次方程有两个相等实数根，结合根的判别式可知，从而求出a的值，注意一元二次方程二次项系数，要舍去的情况；②将方程的“师梅方程”，即方程 变形为：，由此可知当方程的时，方程的，且方程与的根互为相反数，从而求得； （3）先将方程化简为，写出其“师梅方程”为：，设两个方程的公共根为，将公共根代入两个方程并相减，可得，随后分析和 两种情况，最后求出k的值． 【详解】（1）解：①两组方程二次项系数均为1，一次项系数为2和，常数项均为0，符合定义，标记为√； ②两组方程常数项分别为4和，不相等，不符合定义，标记为×； ③两组方程二次项系数均为1，一次项系数为3和，常数项均为，符合定义，标记为√． （2）解：①∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ∴ ， 解得或， ∵一元二次方程二次项系数， ∴， ∴； ②∵，方程的“师梅方程”为方程， ∴，即， ∴当方程的时， 师梅方程的， 且方程与的根互为相反数， ∴． （3）解：∵， ∴该方程化为：， 该方程的“师梅方程”为：， 设两个方程的公共根为， 则有及， 两式相减得：， ∴或． 若， 则两个方程均为， 此时两个方程有两个公共根，不符题意， 故； 若，将其代入方程中， 解得：， 经验证，符合题意， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十五章一元二次方程单元自测卷 【新教材，人教版】 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 考前须知： 1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2.本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1下列方程中是关于x的一元二次方程的是() A.2x+3=4 B.ax2+bx+c=0 C.x2-mx-1=0 D.x+y=2024 2.某超市2019年的销售利润是100万元，计划到2021年利润要达到144万元，若设每年平均增长率是 x%,则可得方程() A.100(1+x)2=144 B.100(1+x%)2=144 C.x2=144 D.100x(x+1)=144 3,用公式法解一个一元二次方程的根为x=-5±V5+4x3x 2×3 ,则此方程的二次项系数、一次项系数、常 数项分别为() A.3,5,-1B.-3,-5,1C.3,-5,1 D.-3,5,-1 4.已知关于x的一元二次方程式+(m-x+m=0有两个相等的实数根。则m的值是() A. 1 B.4 c月 D.2 5.若关于x的方程(a-l)r+4x-2=0有两个不相等的实数根，则a的值可能是() A.-1 B.2 c D.-2 6.若关于x的一元二次方程(k+2)r+3x+k-4=0的一个根为0，则k的值为(). A.-2 B.2 C.2或-2 D.-1或2 1/5 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和 运动能力.在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行 一场比赛)，共比赛28场，则参加比赛的球队数量是() A.7 B.8 C.9 D.10 8.如图，要用篱笆围成一个矩形菜园ABCD,其中一边AB是墙，且AB的长不超过21m,E,F分别为 边AB,CD的中点，EF将其分成面积相等的两部分，在DF,FC上分别留出两个宽为lm的小门.若图中 虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是43，有下列结论： ①AD的长可以是10m: ②当矩形菜园ABCD的面积为150m时，BC的长为5m: ③当矩形菜园ABCD的面积最大时，BC的长为8m. 其中，正确结论的个数是() 用 A E B D-im方ii-C A.0 B.1 C.2 D.3 9.已知一元二次方程2x2+4x-5=0的两个根为X,2,则+3x+x3的值为() 1 3 A员 B.-2 c.2 D 10.对于一元二次方程ax+bx+c0(a≠0)，下列判断正确的是（) A.若x=C是该方程的一个根，则一定有aC+b+1=0成立： B.若a+c=b,则方程ax2+bx+c=0有一根为x=1: 1 C.若该方程的解为x=2和x=3,则方程cx2-bx+a=0的解是x=3或x=2 D.当a<0,b+c>0,b-c<0时，方程一定有实数根： 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.已知关于x的一元二次方程2x2-c+4=0的一个根为x=2,则k的值为一. 12.如图，某小区规划在一个长40m、宽26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条 与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为144m2,那么通道的宽x应 215 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 该满足的方程为 A B 13.已知m、n是方程x2-2x-5=0的两个根，代数式3m(m-)-(m-3m+3)-m的值为 m2+n2的值为 14.一元二次方程x2-4x-2=0的两根为a,b,则a2-4a+ab的值为 15.己知关于x的方程a(x+m)+b=0(a、b、m为常数，a≠0)的解是=2，为=-l,那么方程 a(2x+m+2)2+b=0的解为 16.某商城在元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元.市场调研 表明：当每个商品的售价为20元时，平均每天能够售出40个，当每个商品的售价每降1元时，平均每天 就能多售出I0个.在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的售价 应为 元，最大利润是 元 三、解答题（第17-第22题，每题8分：第23,24题，每题12分：共8小题，共72分） 17.解下列关于x的一元二次方程： (1)3x(x+1)=2(x+1): (2)x2-6x-16=0 18.某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本.文具店4月15日定制出2000本，16 日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平 均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率. 19.定义：如果关于x的一元二次方程ar+br+c=0(a≠0)满足b=a+c,那么我们称这个方程为“纠缠 方程”. ()判断一元二次方程(2x+3=9是否为“纠缠方程”，并说明理由： (2)若关于x的一元二次方程ar+br+C=0(a≠0)为“纠缠方程”，证明：x=-1为“纠缠方程”的根； (3)已知3x2-mx+n=0是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值. 3/5 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.己知关于x的一元二次方程3xm3-2mx-1=0. (1)求m的值： ②设这个方程的两个根是5，与，且+写-0 ,求n的值. 21.己知关于x的一元二次方程x+(k-3)x-2k+1=0. (1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根： (2)已知x=1是此方程的一个根，求k的值和这个方程的另一个根 22.2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共 付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵1.5元. (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元· (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成A,B两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青 团（包装成本忽略不计），A礼盒中有m个肉松青团，B礼盒中有m个红豆青团.包装后每个青团降价0.5 元，统计发现，A,B两种礼盒的销量分别为(2m+18)盒、(80-5m)盒，A,B两种礼盒的销售总额为4100 元，求的值. 23.【阅读与探索】 弗朗索瓦·韦达(FrancoisViete,1540-1603)是16世纪法国数学家，他是第一个有意识地和系统地使用 字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，被誉为“代数学之父”·他深入研究了一元二次方程 的根与系数之间的关系.对于一般形式的一元二次方程x+br+C=0(a≠0)，如果方程的两根为：、x2, 则+5=合、名=台特别地，当二次项系数。1时，方程可化为+x十g=0,此时根与系数的 b 关系式变得更加简洁：+=一P,x=9.这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”也被称为“根与 系数的关系”· 根据以上材料回答以下问题： (1)两个数的和为8，积为9.75，求这两个数.在解决这个问题时，可以这样思考： 设这两个数为水、五，则+x=8,x=9.75.由此可根据韦达定理，构造一个以、x2为根的一元 二次方程，此方程（一般式）为 (2)解(1)中所列方程： 415 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2-bc-6a+9=0 6)设实数。b。满足B+c2+bc-2a+5=0,求。的取值范围. 24.新定义：关于x的一元二次方程C:cx2+mx+n=0与C,:x2-mx+n=0互为“师梅方程”. ()根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打 “x”); ①x2+2x=0与x2-2x=0() ②2x2+4=0与2x2-4=0（） ③x2+3x-2=0与x2-3x-2=0() ②若关于x的一元二次方程C:(a+r2+a+lx+2-日 4 =0的两实数根x=x=p ①求a的值； ②记方程C的“师梅方程”为方程C,q是方程C的一个实数根，求P+q的值， (3)若关于x的一元二次方程(x-1)'+(k+2x-)+2k=0与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根， 求k的值 5/5