25.3实际问题与一元二次方程（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.3实际问题与一元二次方程（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级上册 知识归纳： 1、病毒传染问题：设每轮传染中平均一个人传染了个人.开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示第一轮后共有人患了流感.第二轮传染中，人中的每个人又传染了个人，用代数式表示第二轮后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）²人患了流感. 2、 树枝问题：设一个主干长x个枝干，每个枝干长x个小分支，则一共有1+x+x²个枝。 3、增减率问题涉及的公式有: (1) (2)若设原来量是，平均增长率是，增长次数是，增长后的量是，则;若设原来量是，平均降低率是，降低次数是，降低后的量是，则. 4、利用一元二次方程解面积问题时，有时需要把不规则图形转化为规则图形 5、数字问题有以下几种常见类型: (1)连续整数.若三个连续整数最中间的整数是，则最小的整数是，最大的整数是. (2)连续偶数.若三个连续偶数最中间的偶数是，则最小的偶数是，最大的偶数是. (3)连续奇数.若三个连续奇数最中间的奇数是，则最小的奇数是，最大的奇数是. (4)两位数.若一个两位数的十位数字是，个位数字是，则这个两位数是. (5)三位数.若一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是，则这个三位数是. 6、利润问题常用公式如下: (1)利润=售价–成本价=标价×折扣–成本价. (2)利润率= (3)销售额=销售价×销售量. (4)销售利润=(销售价–成本价)×销售量 典型例题与巩固练习： 题型一：传播问题 典型例题 例1．组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 【答案】(1)6；(2)(3)8 【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打： 场； （2）总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式：； （3）设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 这次比赛共有8个队参加． 巩固练习 1.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B． 2．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（    ） A．x＋（x＋1）x＝36 B．（x＋1）2＝36 C．1＋x＋x2＝36 D．x＋（x＋1）2＝36 【答案】B 3.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排36场比赛，则八年级班级的个数为(   ) A．6 B．9 C．7 D．8 【答案】B 4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感；设每轮传染中平均一个人传染x个人，则所列方程正确的是（ ） A．x（x﹣1）＝81 B．x（x+1）＝81 C．（x﹣1）2＝81 D．（1+x）2＝81 【答案】D 5.某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是31，则每个枝干长出（　　）小分支． A．7根 B．6根 C．5根 D．4根 【答案】C． 6．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片，全班有多少名学生？ 【答案】解：设全班有x名学生，根据题意得： x（x﹣1）＝1640， 解得x＝﹣40（舍去）或x＝41， 答：全班有41名学生． 题型二：增长率问题 典型例题 例2．在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的5000元下降到5月份的4050元 (1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？ (2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元？请说明理由． 【答案】(1) (2)不会，理由见解析 【详解】（1）解：设4、5两月平均每月降价的百分率是x， ，（舍） 答：4、5两月平均每月降价的百分率是． （2）否，理由如下： ∵（元） ， ∴预测到7月份该市的商品房成交均价不会跌破3000元． 巩固练习 1.某商品原价为20元，连续两次降价后售价为8元，设平均降价率为x，根据题意，可列方程为（　　） A．20（1+x）2＝8 B．8（1+x）2＝20 C．20（1﹣x）2＝8 D．8（1﹣x）2＝20 【答案】C． 2.某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（　　） A．20% B．11% C．22% D．44% 【答案】A． 3.某种药品原来售价200元，连续两次降价后售价为162元．若平均每次下降的百分率相同，则这个百分率是 　 　． 【答案】10%． 4.某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台． (1)求该商店11，12两个月的月均增长率； (2)调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价． 【答案】(1)(2)2750元 【详解】（1）解：设该商店11，12两个月的月均增长率为，则该商店去年11月份售出台，12月份售出台， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该商店11，12两个月的月均增长率为； （2）设每台冰箱的售价为元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． 答：每台冰箱的售价为2750元． 题型三：面积问题 典型例题 例3．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为90平方米？    【答案】鸡舍的边长、分别是9米，10米． 【详解】解：设的长度为米，则的长度为米，的长度为米， 根据题意得：， 解得：，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，， 即，， 答：鸡舍的边长、分别是9米，10米． 巩固练习 1.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2．如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD，为了方便出入，建造篱笆花圃时在BC边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设AB的长为x米，则可列方程为（　　） A．x（18﹣3x）＝40 B．x（20﹣2x）＝40 C．x（22﹣3x）＝40 D．x（20﹣3x）＝40 【答案】D． 3．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________． 【答案】x(x+12)=864 4．如图，某学校有一块长30m，宽10m的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块长方形绿地的面积共216m2，求人行通道的宽度． 【答案】解：设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为（30﹣3x）米，宽为（10﹣2x）米的长方形， 根据题意得：（30﹣3x）（10﹣2x）＝216， 整理得：x2﹣15+14＝0， 即（x﹣1）（x﹣14）＝0， 解得：x1＝1，x2＝14， 当x＝14时，30﹣3x＝30﹣3×14＝﹣12＜0，不符合题意，舍去， ∴x＝1． 答：人行通道的宽度是1米． 题型四：动态几何问题 典型例题 例4．如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．    (1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】(1)或； (2)4秒或6秒． 【详解】（1）解：过点P作于E， 设x秒后，点P和点Q的距离是． ， ∴， ； ∴经过或，P、Q两点之间的距离是； （2）解：连接．设经过后△PBQ的面积为． ①当时，， ∴，即， 解得； ②当时，， 则， 解得（舍去）； ③时，， 则， 解得（舍去）． 综上所述，经过4秒或6秒，的面积为． 巩固练习 1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为12cm2时，则点P运动的时间是（　　） A．2s B．3s C．4s D．6s 【答案】A 2．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB，BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C运动．设P，Q运动的时间是t秒，当点P与点Q重合时t的值是(　　) A． B．4 C．5 D．6 【答案】C 3．如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2 【答案】1或4##4或1 4.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）． （1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？ （2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？ 【答案】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得： ×2t（6﹣t）=××6×8， 解得：t=2或4． 答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一． （2）设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得： （6﹣x）2+（2x）2=36， 解得：x=0（舍去）或x=． 答：秒时，P、Q相距6厘米． 题型五：销售问题 典型例题 例5．汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为万元辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为万元辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆． (1)当售价为万元辆时，求平均每周的销售利润． (2)若该店计划下调售价，增大销量，但要确保平均每周的销售利润为万元，每辆汽车的售价定为多少合适？ 【答案】(1)平均每周的销售利润是万元 (2)每辆汽车的售价定为万元更合适 【详解】（1）解：∵当售价为万元辆时，平均每周销量为：（辆， ∴平均每周利润为：（万元）， 答：平均每周的销售利润是万元； （2）解：设每辆汽车的售价是万元， ． 化简，得， ， 解得：，， 由于希望增大销量，定价万元售价更合适， 答：每辆汽车的售价定为万元更合适． 巩固练习 1．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 【答案】D． 2.某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为 　 　元． 【答案】50． 3．某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元．经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克．如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了x元，根据题意，可列方程为_____． 【答案】（10+x）（500﹣10x）＝8000 4．世界读书日是在每年的4月23日，“世界图书日”设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．某批发商在世界读书日前夕，订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元．调查发现，如果每张书签的售价每降价0.1元，平均每天可多售出200张．批发商要想平均每天获利270元，求每张书签应降价多少元． 【答案】解：设每张书签应降价x元，则每张的销售利润为（0.5﹣x）元，平均每天可售出（500+×200）张， 根据题意得：（0.5﹣x）（500+×200）＝270， 整理得：100x2﹣25x+1＝0， 解得：x1＝0.2，x1＝0.05． 答：每张书签应降价0.2元或0.05元． 题型六：数字问题 典型例题 例6．一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一，求这个两位数. 【答案】24或15 【详解】试题分析：首先设个位数字为x，则十位数字为（6-x），由题意得等量关系：两个数字的积=这个两位数的，根据等量关系列出方程，再解即可． 试题解析：设个位上的数为x，则十位数字为(6-x)，由题意得： x(6-1)=[10(6-x)+x]， 解得：x1=4，x2=5， 十位数字为：6-4=2，或6-5=1 这个两位数是：15或24 巩固练习 1．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（　　） A．10x+（x﹣3）＝x2 B．10（x﹣3）+x＝x2 C．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 D．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2 【答案】B． 2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，这个两位数等于它的个位数字的平方，则这个两位数是__________． 【答案】25或36 3.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 　 　． 【答案】84． 4．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小9，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数． 【答案】解：设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x2﹣9）． ∴10（x2﹣9）+x﹣10x﹣（x2﹣9）＝27， 解得x1＝4，x2＝﹣3（不符合题意，舍去）． ∴x2﹣9＝7， ∴10（x2﹣9）+x＝74． 答：原两位数为74． 综合训练： 1．为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为（　　） A．x（x+30）＝1000 B．x（x﹣30）＝1000 C．2x（x+30）＝1000 D．2x（x﹣30）＝1000 【答案】B． 2．为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 【答案】A． 3．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（20﹣x）（200+40x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 【答案】D． 4．一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（　　） A．[（9﹣x）+x][10x+（9﹣x）]＝1458 B．[（9﹣x）+x][x+（9﹣x）]＝1458 C．[10（9﹣x）+x][10x+（9﹣x）]＝1458 D．[10（9﹣x）+x][x+（9﹣x]＝1458 【答案】C． 5.某农业大镇2024年猕猴桃总产量为12万吨，预计2026年猕猴桃总产量达到16万吨，求该镇猕猴桃总产量的年平均增长率，设该镇猕猴桃总产量的年平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 6.如图，在宽为4米､长为6米的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积15平方米，设铺设的石子路的宽为x米，则可列出方程_____________． 【答案】（4-x）（6-x）=15 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s． 【答案】2． 8．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，某市开展“希望杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？ 【答案】解：设：应该邀请x个球队参加， 由题意得：x（x﹣1）＝21， 解得：x＝7或x＝﹣6（舍去）， 答：应邀请7个球队参赛． 9.“早黑宝”葡萄品种是山西省农科院研制的优质新品种，在山西省被广泛种植．某市某葡萄种植基地到2018年年底已经种植“早黑宝”100亩，到2020年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“早黑宝”的平均成本为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得 100（1+x）2＝196， 解得x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去）， 答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%． （2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克， 根据题意，得（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750， 整理得，y2﹣4y+3＝0， 解得y1＝1，y2＝3， ∵要减少库存， ∴y1＝1不合题意，舍去， ∴y＝3． 答：售价应降低3元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3实际问题与一元二次方程（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级上册 知识归纳： 1、病毒传染问题：设每轮传染中平均一个人传染了个人.开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示第一轮后共有人患了流感.第二轮传染中，人中的每个人又传染了个人，用代数式表示第二轮后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）²人患了流感. 2、 树枝问题：设一个主干长x个枝干，每个枝干长x个小分支，则一共有1+x+x²个枝。 3、增减率问题涉及的公式有: (1) (2)若设原来量是，平均增长率是，增长次数是，增长后的量是，则;若设原来量是，平均降低率是，降低次数是，降低后的量是，则. 4、利用一元二次方程解面积问题时，有时需要把不规则图形转化为规则图形 5、数字问题有以下几种常见类型: (1)连续整数.若三个连续整数最中间的整数是，则最小的整数是，最大的整数是. (2)连续偶数.若三个连续偶数最中间的偶数是，则最小的偶数是，最大的偶数是. (3)连续奇数.若三个连续奇数最中间的奇数是，则最小的奇数是，最大的奇数是. (4)两位数.若一个两位数的十位数字是，个位数字是，则这个两位数是. (5)三位数.若一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是，则这个三位数是. 6、利润问题常用公式如下: (1)利润=售价–成本价=标价×折扣–成本价. (2)利润率= (3)销售额=销售价×销售量. (4)销售利润=(销售价–成本价)×销售量 典型例题与巩固练习： 题型一：传播问题 典型例题 例1．组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 巩固练习 1.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 2．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（    ） A．x＋（x＋1）x＝36 B．（x＋1）2＝36 C．1＋x＋x2＝36 D．x＋（x＋1）2＝36 3.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排36场比赛，则八年级班级的个数为(   ) A．6 B．9 C．7 D．8 4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感；设每轮传染中平均一个人传染x个人，则所列方程正确的是（ ） A．x（x﹣1）＝81 B．x（x+1）＝81 C．（x﹣1）2＝81 D．（1+x）2＝81 5.某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是31，则每个枝干长出（　　）小分支． A．7根 B．6根 C．5根 D．4根 6．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片，全班有多少名学生？ 题型二：增长率问题 典型例题 例2．在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的5000元下降到5月份的4050元 (1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？ (2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元？请说明理由． 巩固练习 1.某商品原价为20元，连续两次降价后售价为8元，设平均降价率为x，根据题意，可列方程为（　　） A．20（1+x）2＝8 B．8（1+x）2＝20 C．20（1﹣x）2＝8 D．8（1﹣x）2＝20 2.某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（　　） A．20% B．11% C．22% D．44% 3.某种药品原来售价200元，连续两次降价后售价为162元．若平均每次下降的百分率相同，则这个百分率是 　 　． 4.某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台． (1)求该商店11，12两个月的月均增长率； (2)调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价． 题型三：面积问题 典型例题 例3．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为90平方米？    巩固练习 1.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（    ） A． B． C． D． 2．如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD，为了方便出入，建造篱笆花圃时在BC边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设AB的长为x米，则可列方程为（　　） A．x（18﹣3x）＝40 B．x（20﹣2x）＝40 C．x（22﹣3x）＝40 D．x（20﹣3x）＝40 3．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________． 4．如图，某学校有一块长30m，宽10m的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块长方形绿地的面积共216m2，求人行通道的宽度． 题型四：动态几何问题 典型例题 例4．如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．    (1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 巩固练习 1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为12cm2时，则点P运动的时间是（　　） A．2s B．3s C．4s D．6s 2．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB，BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C运动．设P，Q运动的时间是t秒，当点P与点Q重合时t的值是(　　) A． B．4 C．5 D．6 3．如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2 4.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）． （1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？ （2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？ 题型五：销售问题 典型例题 例5．汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为万元辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为万元辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆． (1)当售价为万元辆时，求平均每周的销售利润． (2)若该店计划下调售价，增大销量，但要确保平均每周的销售利润为万元，每辆汽车的售价定为多少合适？ 巩固练习 1．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 2.某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为 　 　元． 3．某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元．经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克．如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了x元，根据题意，可列方程为_____． 4．世界读书日是在每年的4月23日，“世界图书日”设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．某批发商在世界读书日前夕，订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元．调查发现，如果每张书签的售价每降价0.1元，平均每天可多售出200张．批发商要想平均每天获利270元，求每张书签应降价多少元． 题型六：数字问题 典型例题 例6．一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一，求这个两位数. 巩固练习 1．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（　　） A．10x+（x﹣3）＝x2 B．10（x﹣3）+x＝x2 C．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 D．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2 2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，这个两位数等于它的个位数字的平方，则这个两位数是__________． 3.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 　 　． 4．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小9，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数． 综合训练： 1．为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为（　　） A．x（x+30）＝1000 B．x（x﹣30）＝1000 C．2x（x+30）＝1000 D．2x（x﹣30）＝1000 2．为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 3．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（20﹣x）（200+40x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 4．一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（　　） A．[（9﹣x）+x][10x+（9﹣x）]＝1458 B．[（9﹣x）+x][x+（9﹣x）]＝1458 C．[10（9﹣x）+x][10x+（9﹣x）]＝1458 D．[10（9﹣x）+x][x+（9﹣x]＝1458 5.某农业大镇2024年猕猴桃总产量为12万吨，预计2026年猕猴桃总产量达到16万吨，求该镇猕猴桃总产量的年平均增长率，设该镇猕猴桃总产量的年平均增长率为x，则可列方程为______． 6.如图，在宽为4米､长为6米的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积15平方米，设铺设的石子路的宽为x米，则可列出方程_____________． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s． 8．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，某市开展“希望杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？ 9.“早黑宝”葡萄品种是山西省农科院研制的优质新品种，在山西省被广泛种植．某市某葡萄种植基地到2018年年底已经种植“早黑宝”100亩，到2020年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“早黑宝”的平均成本为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $